山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)2025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)10月聯(lián)考試題

周二數(shù)學(xué)

本卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)、座號(hào)填涂在相應(yīng)位置。

2.選擇題答案必須使用2B鉛筆(按填涂樣例)正確填涂；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑

色簽字筆書寫，繪圖時(shí)，可用2B鉛筆作答，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題

卷上答題無效。保持卡面清潔，不折疊、不破損。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

1.已知集合A==J2x—1卜3=｛y[y=2x+l,xeR｝,則4口《3=()

A.1x|x>l|B.<xx<—C.<x—<x<1>D.<x0<x<—>

2J12,

2.在等差數(shù)列｛a.｝中，已知勾=一9,a3+o5=-9,a^n_x=9,貝!]”=()

A.7B.8C.9D.10

ax-sinx,x<0,

3.“。21”是“函數(shù)/(x)=,在R上單調(diào)遞增”的()

x+ax-a+2,x>0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知平行六面體A3CD—4與。12的各棱長(zhǎng)均為6，NAAB=NAAD=ND43=6O°,貝”苑卜

()

A.6瓜B.6A/5C.6A/3D.6V2

5.已知無窮等比數(shù)列｛4｝的公比為q,其中@<1,其前"項(xiàng)和為S”，下列條件中，能使得

3s〃〈衛(wèi)(”cN*)恒成立的是()

11II

A.〃]=],^=—B.二一，q=—

123

1I11

C.q=——D.a1=一萬，Q~~

6.已知函數(shù)/(x)=x+^

,若正數(shù)a,6滿足。+匕=1,則/(a)/(6)的最小值是()

X

1725

A.2B.—C.4D.—

44

71

7.在直四棱柱ABC?！狝B|G2中，ZBAD=~,AB=AD==2,點(diǎn)Q在側(cè)面DCG2內(nèi)，且

4Q=S，則點(diǎn)。軌跡的長(zhǎng)度為()

，兀c兀一2兀一4兀

A.一B.-C.—D.—

6333

8.若過點(diǎn)(1,加)可以作y=(x+l)e]的三條切線，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

A.(-4e-2,0)B.(—Ge飛。)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分

分，不選或有選錯(cuò)的得0分.

9已知lga〉lg],則下列結(jié)論成立的是()

bb+2024

A.2a-b>1B.a+->b+-C.—>---------D--.7ta~b>3a~b

aba〃+2024

10.已知定義在(一co,0)U(0,+8)上的函數(shù)/(%)，滿足/(孫)+2=/(%)+/(y),且當(dāng)1>1時(shí)，

/(x)>2,則()

A./(-l)=lB./(x)為偶函數(shù)

C.//(2024)>/(2023)D.若/(x+2)<2,則—3<x<—1

IL四面體ABC。中，AC=BC=AB=6,CD=10,BD=8,四面體ABC。外接球的表面積記為S,

則()

A.當(dāng)四面體A2C￡>體積最大時(shí)，S=112TTB.ADLBC

C.當(dāng)AD=6時(shí)，S="羽兀D.S可以是400兀

11

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

僅已知八叫/(x二+2心)+l。,,x<則0十(萬11卜、

13.已知圓柱的底面直徑為2,其軸截面是矩形ABC。，A為底面弧AB上任一點(diǎn)，若面積

的最大值為則圓柱。。的母線長(zhǎng)為.

14.已知有窮數(shù)列｛4｝共加項(xiàng)(m>3),數(shù)列｛4｝中任意連續(xù)三項(xiàng)%,aM,4心。=1,2,3,…)，滿足如下條

件：

(1)至少有兩項(xiàng)相等；

(2)q.+aM>ai+2,■+ai+2>aM,aM+ai+2>■恒成立;

（3）以q,aM,勾+2為邊長(zhǎng)的三角形兩兩均不全等.

若4c｛1,2,3,4,5｝（〃=1,2,…，機(jī)），則m的最大值為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的

文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（13分）

0Q

已知函數(shù)/（X）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xWO時(shí)，/（%）=--3\且

⑴求函數(shù)/（x）的解析式；

（2）是否存在正實(shí)數(shù)如n,使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)/（x）的值域?yàn)?-5,5-金。若存在，求出

m,“的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

16.（15分）

如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為梯形，AB//CD,AB1BC,CD=2AB=6,

AC=SC,ASAB為等邊三角形.

（1）證明：平面SA&

（2）若AD=6,求平面SAC與平面所成角的余弦值.

17.（15分）

已知數(shù)列｛4｝,抄,｝,｛&｝的首項(xiàng)均為1,；a,+i為,c”的等差中項(xiàng),且2+2。,+1—2c“=0.

⑴若數(shù)列也｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和S“=/,數(shù)列｛cj的前“項(xiàng)和為7；,是否存在正整數(shù)加使7；〉^^對(duì)

〃eN*恒成立？若存在，求出根的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.（17分）

如圖（1）,已知拋物線E：/=2y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)歹的動(dòng)直線加與E交于A,B兩點(diǎn)（其

中點(diǎn)A在第一象限），以為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切于點(diǎn)C,。為弦上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將△AC3沿CD

折成直二面角A'—CD—JB,如圖（2）.

A

m

(1)(2)

(1)證明：cosZA'CB=cosZA'CD-cosABCD；

(2)當(dāng)NACB最小時(shí)，

①求A,3兩點(diǎn)間的最小距離；

②當(dāng)4,3兩點(diǎn)間的距離最小時(shí)，在三棱錐A-BCD內(nèi)部放一圓柱，使圓柱底面在面BCD上，求圓柱

體積的最大值.

19.(17分)

在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可以應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)

成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單地講，就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)y=/(x),xeD,若存在

9

2

xoeD,使得/(x0)=x0,則稱不是函數(shù)y=f(x)的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=31nx+ax-6x+—.

3

(1)若函數(shù)g(x)=/(%)+7%-5只有一?個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=|時(shí)，數(shù)列｛4｝滿足：%=|,4+|=七］+1.

2

證明：對(duì)任意的,k+---l-|an-1|<j.

山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)10月聯(lián)考（B版）所以益=（0,1■，苧）,衣=（3痣,3,0）,茄=（3痣,一3,0）,

...............................................................................12分

高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

設(shè)平面SAC的一個(gè)法向量為m=（乃，“，4），貝?心=2山+亍牛=°

1.C2.A3.B4.A5.C6.D7.C8.B9.AD10.BC11,ACD［AC?八1=3V^zi+3y1=0,

12.213.V214.16令孫=1,得平面SAC的一個(gè)法向量為m=（1,一痣,1）,....................................13分

設(shè)平面SAD的一個(gè)法向量為〃2=（12,山，之2）,

15.解：(1)因?yàn)椤阿?是偶函數(shù)，所以/(I)=/(-1)=^T-3-'=3?-y=1-

貝I］1布."2=*.+竽9=°'

解得Q=1,......................................................................................................................2分

所以當(dāng)時(shí)，/（1）=*—3"，.................................................................................3分［AD?如=3痣￡2-3）2=0,

令七=1,得平面SAD的一個(gè)法向量為％2=（1,石,一1）,....................................14分

當(dāng)1＞0時(shí)，可得一xVO,則/（一］）=止一3一，=3工一3一=/（力），..........4分

所以平面SAC與平面SAD所成角的余弦值為cos6=衛(wèi)產(chǎn)叫=與.……15分

MlI?5215

所以函數(shù)/（￡）的解析式為,「二.........................5分17.解：（1）由題意,a】=6i=ci=l,

數(shù)列｛"｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，仇+瓦/=解得q=2或｝（舍），

（2）存在.1■dq,q=

假設(shè)存在正實(shí)數(shù)也⑶使得當(dāng)我［加,時(shí)，函數(shù)?。┑闹涤?yàn)椋?—親,5一點(diǎn)，所以"=2"T,..................................................................................................................2分

1一匕=即午「所以數(shù)列｛｝為等比數(shù)列，的=圭，........分

因?yàn)楫?dāng)1＞0時(shí)，/（久）=3，一3一%所以/（%）在%￡［小匯|上單調(diào)遞增,........6分2”+g—2“0,Jc.4

7

m)=5

世一±“"+以=%+1即an+1—an=-^x，

所以4:

心)=5一(

所以心2時(shí)，由疊加法〃”="1+1+；+上-|---\--^2=-^―?_2?........6分

444ooA4

所以根，〃為方程?。?5一京的兩個(gè)根，即3工-3r=5一京的兩個(gè)根，......8分當(dāng)％=1時(shí),Ql=l符合，

即（3工產(chǎn)一5?3工+6=0的兩根，整理得31=2或3”=3,........................................10分故/=巧一聲下節(jié)......................................................7分

解得N=log32或1=1,..............................................................................................12分

(2)由S?=n2得，時(shí),6”=1一(n—l)2=2n—l,n=l時(shí)，d=1滿足上式，所以

又0＜根＜〃，所以m=log2,n=l,

3bn=2n—\,......................................................................................................................9分

所以存在m=log32,〃=l,使得當(dāng)力￡［相，口時(shí)，函數(shù)/（力）的值域?yàn)?5—*,5—1?］.

所以(2九+3)的+1—(2/2——1)c”=0,即^^=，"上；,

CLn-T6

.......................................................................................................................................13分n

3

所以G2時(shí)，由疊乘法c?=ci

16.（1）證明：取SA中點(diǎn)E,連結(jié)BE,CE,則SA，BE,SA_LCE,且BEDCE=E，所以SA(2〃一1)(2%+1)'

，平面所以分

BCE,SA_LBC,.........................................................................................3當(dāng)7?=1時(shí),Ci1符合,

因?yàn)榍襍Ap|AB=A，所以BC_L平面SAB.............................................6分3

所以G11分

（2）解：取AB中點(diǎn)O,以O(shè)S為z軸,OB為y軸，過O平行BC的線為力軸，建立如圖(2/?-1)(2/?+1)=1■（高一普＞

所示坐標(biāo)系.因?yàn)锳D=CD=6,可得BC=3痣，所以AC=6,所,3113_1—占

TT++-??+因

以△AC。為等邊三角形，...........................8分"=T2〃一12〃+1~2

3

由AB=3,CO=6,得以下點(diǎn)的坐標(biāo)0（0,0,0）,S（0,0,^^），為T”+i—T=c+i=＞0,所以數(shù)列｛，,｝單調(diào)遞增，所以（T.）min=Tl

nn(2"+1)(2%+3)

Cl=l,13分

A（0,-1-,0）,C（373,y,0）,D（3V3...........10分

因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n均有7\〉恐成立，所以其VI,解得徵＜2025,因?yàn)閍GN*,

Z0Z5ZOZ5

所以Mmax=2024,所以m的最大值為2024..............................................................15分

高三數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共4頁）高三數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共4頁）

18.(1)證明：在△A'CD內(nèi)作A'O'_LC。于點(diǎn)O',因?yàn)锳'-CD-B為直二面角，所以面當(dāng)0</<2薩時(shí)"'(r)>0,y(r)單調(diào)遞增，當(dāng)2薩薩時(shí)0)<0"(廠)

A'C。，面BCD,所以平面BCD,..................................................................2分

過。作OfE±BC于點(diǎn)E,連接A'E,所以A'E^BC,所以cosZAzCB=林,單調(diào)遞減，所以當(dāng)〃=之券時(shí)，圓柱體積的最大值為絲盛............17分

cosZA'CD=然，所以cosZA/CB=O

cosZBCD=^1,cosNA'CDcos/BCD19.(1)解:g(N)=/(N)+72—^=31ni+G+i+3恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

.........................................................................................................................................4分等價(jià)于方程g(K)=R在(0,+8)內(nèi)只有一個(gè)根，

即3(l+ln^=-ax在(0,+8)內(nèi)只有一個(gè)根，

(2)解：①因?yàn)锳C_LBC,所以ZACD=y-ZBCD,又NA'C。=ZACD，所以cos

等價(jià)于"I：①=一■在(0,+8)內(nèi)只有一個(gè)根，令無(1)=1+》”,

ZA/CB=cosZBCDcos(y-ZBCD)=ysin2ZBCD，所以當(dāng)ZBCD=年時(shí),ZAZ

等價(jià)于力(N)=1+1廠與)=■有且僅有一個(gè)交點(diǎn),.......................2分

CB最小..................................................................5分x6

j、x.-2x(l+lnx)—1—21nx,/、八-4

過點(diǎn)A作AMJ_CD,垂足為M,連接BM,在RtAACM中，|AM|=*\AC\=h(x)=-----------4---------=--------3------，h(z力)=0,K=e至,

當(dāng)iG(0,eT)時(shí)，，CZ)>0,MN)在(0,eT)上單調(diào)遞增，

\A'M\,|CM|=考|人。|,在△BCM中，由余弦定理得\BM\2=|BC|2+y|AC|2

當(dāng)RG(eT,+8)時(shí),，(久)〈0,無(1)在(e+,+8)上單調(diào)遞減，............5分

-2X^|AC|^|BC|=|BC|2+y|AC|2-\AC\|BC|,...............................6分所以h(力)max=4(eT)=5，

因?yàn)锳M±CD,所以AfM±CD，因?yàn)槊鍭'CDJ_面BCD,且面AfCD0面BCD=CD,所以—或—]&。，即a=—(e,或a>0.....................................................7分

所以A'M上面BCD.又因?yàn)锽MU面BCD,所以AZM±BM.所以在RtAAzBM中，由

(2)證明：當(dāng)。=|■時(shí)，先證明當(dāng)1>1時(shí),ln1〈,(R一1),

勾股定理得\ArB\2=\BM\2+|AM|2,即|AZB|2=|BC|2+y\AC\2-

設(shè)"l)=ln.一,"(%)=!―'=23]<0在(1,+8)上恒成立，所以

f%2

|AC||8。|+十|人。|2,所以|AB|=|BC||AC|-|AC||BC|?..........8分ZLXLLX

72(N)在(1,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)1>1時(shí),"])<"1)=0,

因?yàn)?43。為直角三角形，則有|人引2=必。|2+|8。|2,由均值不等式得必。|2+

即當(dāng)久>1時(shí)，ln2<—(1一1),.................................................................................9分

|BCp>2\AC\|BC|,當(dāng)且僅當(dāng)\AC\=|BC|時(shí)取等號(hào)，所以\AfB\2=\AB\2—

|AC||BC|>|AB|2--^-^=-^1-^.................................................................9分則當(dāng)￡>1W.yln薪吟+/R號(hào)背3

2

1r3

由題知焦點(diǎn)F(0，直線AB可設(shè)為了一=歸x,即設(shè)A(J;I,J/I),夙亞，——Inx~\-----1-----

則-----------------K—(^―1),即:^7<丁(1一]),

y2)，聯(lián)立方程組消y得力—2kx—1=0,所以|AB\=yi+y2+l=l(Ri+￡2)+2=x46久4

2(%2+1),所以|4即2>嗎上=2(/+/,所以當(dāng)k=0時(shí)|A'BI取最小值，最小4"“'—,.................................................................11分

6a?44

若%>1,則%+1>1,因此，若存在正整數(shù)N,使得“N&I,則防一1&1,從而訪-2&1，

值為招..................................................................11分

重復(fù)這一過程有限次后可得Q1&1,與。1=|■矛盾，故包>1,...........13分

②由①知BD=CD=1=A'D,則三角形BC。內(nèi)切圓半徑R=々薩，設(shè)圓柱底面半徑

由于%>1,a?>1,所以—1>0,%+i—1>0,故|a”+i—1|<-j-|<2?—1|,故

為廠，高為無，則11卜=——，則h=l一(2)r,................................................12分+1

12一—

\an—l|<-^\an-1—l|<p-j&?-2-1|—1|=y(Y)，所以對(duì)任意"

-2-

-

所以圓柱體積V=TC,無=冗產(chǎn)[1-(2+科)廠],..............................13分GN*,|<21—l|+|tz21H------F\a?—lI+H------F4-x

乙乙a4乙

令/(r)=r2-(2+72)r3(0<r<^^),/(r)=2r-3(2+72)r2=r[2-3(2+72)r]

=0,得廠=2活,..........................................................................................................14分

高三數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共4頁)高三數(shù)學(xué)參考答案第4頁(共4頁)

B版

山東新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)10月聯(lián)考試題

高三數(shù)學(xué)2024.10

njr>

本卷滿分150分，考試時(shí)間,120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答題前，?考生先將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)、座號(hào)填涂在相應(yīng)位置。

2.選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂;非選擇題答案必須使用0.5毫米

黑色簽字筆書寫，繪圖時(shí),'可用,2B鉛筆作答，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試

題卷上答題無效。保持卡面清潔，不折疊、不破損。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

輛有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

1.已知集合A={_r|y=y/2x—1},B={y|y=2，+l,2￡R},則AQCRB=

A.{2|]31}B.{hC.D.6

2.在等差數(shù)列{a”）中，已知?=-9,。3+痣=—9,。2,-1=9,則n=

A.7B.8C.9D.10

ax—sinz<0,

3.“心1”是“函裂f（i）=%在R上單調(diào)遞增”的

x2~\~ax—a+2,彳>0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知平行六面體ABCD—AiB】GDi的各棱長(zhǎng)均為6,/AiAB=NA】AD=NDAB=

出60°,貝！||溫|=

A.6#B.675C.673D.672

5.已知無窮等比數(shù)列｛4｝的公比為q,其中|q|VL其前〃項(xiàng)和為S“，下列條件中，能使得

3s“〈答（"GN，）恒成立的是

i-q

彝A.ai=],q=2b.aj—y

料

C.ai=—l,g=—D.a1=一/,g=/

高三數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

6.已知函數(shù)f(N)=x+J,若正數(shù)滿足a+6=l,則的最小值是

A.2B丹C.4常

7.在直四棱柱ABCD—AiBiGDi中，NBA[D=*,AB=AD=AAi=2,點(diǎn)Q在側(cè)面

0

DCCiDi內(nèi)，且AiQ=?■，則點(diǎn)Q軌跡的長(zhǎng)度為

A;*B.*C.孕D.學(xué)

6333

8.若過點(diǎn)(l,m)可以作y=(z+De，的三條切線，則實(shí)數(shù)7n的取值范圍是

A.(-4e-2,0)B.(-6e-3,0)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部

分分，不選或有選錯(cuò)的得0分.

9.已知lga>lg6,則下列結(jié)論成立的是

A.2°-6>1B,a+—>6+-1-C.—D.Ka~b>3a~b

abaa+2024

10.已知定義在(一8,0)|J(0,+8)上的函數(shù)f(H),滿足/?(工“+2=八工)+，3),且當(dāng)

工>1時(shí),f(z)>2,則

A./(-1)=1BJ(z)為偶函數(shù)

C.1(2