2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市百?gòu)?qiáng)校(YZ)高二上期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市百?gòu)?qiáng)校(YZ)高二上期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=1?i2+i，則z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)直線l：x?3y+8=0的傾斜角為α，則A.30° B.60° C.120° D.150°3.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若AB=A.12a+12b+c 4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，p，q，s，t∈N??.設(shè)甲：A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬AB為2?m，渠深OC為1.5?m，水面EF距AB為0.5?m，則截面圖中水面的寬度EF約為(參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，A.0.816?m B.1.33?m C.1.50?m D.1.63?m6.已知圓C1:(x?a)2+(y+3)2=9A.2 B.22 C.527.若函數(shù)f(x)=2sin?ωxcos?ωx+3(sin4ωx?cosA.(13,43] B.[8.已知F1,F2分別為橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓E上存在兩點(diǎn)A,BA.223 B.45 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，某個(gè)個(gè)體m被抽到的概率是0.2

B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5

C.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位數(shù)是18

D.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均值為8，則數(shù)據(jù)2x1?1，210.下列四個(gè)命題中正確的是A.過(guò)定點(diǎn)P(1,?1)，且在x軸和y軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為x?y?2=0

B.過(guò)定點(diǎn)P(1,?1)的直線與以M(?3,1)，N(3,2)為端點(diǎn)的線段相交，則直線的斜率k的取值范圍為k≤?12或k≥32

C.定點(diǎn)Q(1,0)到圓(x+1)2+(y?3)2=4上的點(diǎn)的最大距離為11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P滿足APA.當(dāng)λ=0時(shí)，點(diǎn)P到平面A1BC1的距離為2

B.當(dāng)μ=0時(shí)，點(diǎn)P到平面A1BC1的距離為233

C.當(dāng)μ=34三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.假設(shè)P(A)=0.3，P(B)=0.4，且A與B相互獨(dú)立，則P(AB)=________．13.斜率為1的直線與橢圓x24+y23=1相交于A，B兩點(diǎn)，AB14.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4，S5，S7四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)已知ΔABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且2sin(1)求角C；(2)若a=1，點(diǎn)D滿足AD=2DB，且CD=16.(本小題12分)

在四棱錐QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=5，QC=3(1)求證：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求平面ABQ與平面BDQ所成夾角的余弦值．17.(本小題12分)已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F(1)求E的方程；(2)A，B為雙曲線E右支上兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段AB的中垂線過(guò)點(diǎn)C0,4，求直線AB的斜率的取值范圍．18.(本小題12分)已知Sn是數(shù)列{an}的前(1)求證：數(shù)列{a(2)若a1=?2，cn=13+an，數(shù)列(ⅰ)求Tn取最大值時(shí)n(ⅱ)若m是偶數(shù)，且bn=(?1)n19.(本小題12分)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x=ty+1表示過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線．(1)若圓C1：x2+y2=1是直線族(2)若點(diǎn)P(x0,y0)不在直線族Ω：(2a?4)x+4y+(a?2)(3)在(2)的條件下，過(guò)曲線E上A，B兩點(diǎn)作曲線E的切線l1，l2，其交點(diǎn)為P.若C(0,1)且A，B，C不共線，探究∠PCA=∠PCB是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.D

6.D

7.A

8.C

9.ACD

10.BD

11.BD

12.0.12

13.?414.?6

15.解：(1)?2sin(A+π6)=b+2ac?2sin(A+π6)=sinB+2sinAsinC，

∴(3sinA+cosA)sinC=sin(A+C)+2sinA，

∴3sinAsinC+16.(1)證明：△QCD中，CD=AD=2，QD=5，QC=3，

所以CD2+QD2=QC2，所以CD⊥QD;

又CD⊥AD，AD∩QD=D，

AD?平面QAD，QD?平面QAD，所以CD⊥平面QAD;

又CD?平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD．

(2)解：取AD的中點(diǎn)O，在平面ABCD內(nèi)作Ox⊥AD，

∵QD=QA，

∴QO⊥AD，且OQ=QD2?(12AD)2=2，

又平面QAD⊥平面ABCD，QO?平面QAD，平面QAD∩平面ABCD=AD，

∴QO⊥平面ABCD，

以O(shè)D所在直線為y軸，OQ所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，如圖所示：

則O(0,0,0)，A(0,?1,0)，B(2,?1,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，Q(0,0,2)，

設(shè)平面ABQ的一個(gè)法向量為α=(x1,y1,z1)，

由AB=(2,0,0)，AQ=(0,1,2)，

得α?AB=0α?AQ=0即2x1=0y1+2z1=0，17.解：(1)根據(jù)題意得，ba=3c=2c2=a2+b2

整理方程組可得a=1b=3，

因此雙曲線E的方程為E：?x2?y23=1．

(2)由題意可知直線AB斜率存在且斜率k≠±3，

令A(yù)B：y=kx+m，B(x2,y2)，A(x1,y1)，令A(yù)B的中點(diǎn)為M．

根據(jù)y=kx+m3x2?y2=3消去y并整理得(3?k2)x2?2kmx?m2?3=0，3?k2≠0，

所以Δ=(2km)2+4(3?k2)(m2+3)=12(3+m2?k2)>0，所以m2>k18.解：(1)證明：因?yàn)镾n+1an+1?Snan=12，

所以Snan是以a1a1=1為首項(xiàng)，以12為公差的等差數(shù)列，

所以Snan=1+12(n?1)=n+12，即Sn=n+12an?①，

所以Sn+1=n+22an+1?②，

由?②??①可得n+1219.解：(1)由定義可知，mx+ny=1與x2+y2=1相切，

則圓C1的圓心(0,0)到直線mx+ny=1的距離等于1，

則d=1m2+n2=1，即m2+n2=1．

(2)點(diǎn)P(x0,y0)不在直線族Ω:(2a?4)x+4y+(a?2)2=0(a∈R)的任意一條直線上，

所以無(wú)論a取何值時(shí)，(2a?4)x0+4y0+(a?2)2=0無(wú)解．

將(2a?4)x0+4y0+(a?2)2=0整理成關(guān)于a的一元二次方程：a2+(2x0?4)a+(4+4y0?4x0)=0．

若該方程無(wú)解，則Δ=(2x0?4)2?4(4+4y0?4x0)<0，即y0>x024．

猜測(cè)直線族Ω的包絡(luò)曲線E為y=x24．

證明：在y=x24上任取一點(diǎn)Q(x1,x124)，y=x24在該點(diǎn)處的切線斜率為k=x12