概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：極限定理

2首頁(yè)返回退出首頁(yè)返回退出第一節(jié)大數(shù)定律一、問(wèn)題的背景二、隨機(jī)變量序列的收斂性三、常用的大數(shù)定律§5.1

大數(shù)定律5.1.1問(wèn)題的背景在實(shí)踐中，人們發(fā)現(xiàn)，在隨機(jī)現(xiàn)象的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)出必然的規(guī)律性.即，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求規(guī)律，應(yīng)該在相同的條件下觀察大量重復(fù)試驗(yàn).大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率早期密碼破譯，字母使用頻率大數(shù)定律的提出

歷史上第一個(gè)大數(shù)定律的提出人是大名鼎鼎的雅各布-伯努利，1713年在其著作《猜度術(shù)》第四卷中描述了“伯努利大數(shù)定律”。

“頻率的不穩(wěn)定性隨觀察次數(shù)的增加而減少”。關(guān)于大量隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性的定律，統(tǒng)稱為大數(shù)定律.

5.1.2隨機(jī)變量序列的收斂性5.1.3常用的大數(shù)定律(1)弱大數(shù)定律由契比雪夫不等式得：弱大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列{Xn}，如果有相同的數(shù)學(xué)期望，則

所以，在抽樣問(wèn)題中，樣品的平均值接近于全部個(gè)體的平均值。平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述，統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)定理5.2（伯努利大數(shù)定律）設(shè)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，意義：伯努利大數(shù)定律用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，說(shuō)明了頻率的穩(wěn)定性，即試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率與概率有較大偏差的可能性很小。作用：伯努利大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法.12首頁(yè)返回退出首頁(yè)返回退出第二節(jié)中心極限定理一、棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理二、列維-林德伯格中心極限定理中心極限定理是概率論中最重要的定理之一。它討論的是什么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和近似地服從正態(tài)分布。它運(yùn)用極限的思維，將部分和的計(jì)算轉(zhuǎn)化為極限的計(jì)算，使運(yùn)算過(guò)程得到了大大的簡(jiǎn)化。中心極限定理的出現(xiàn)說(shuō)明了正態(tài)分布為什么是最常見(jiàn)的分布，為概率論在自然科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。

說(shuō)明了二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布，并且這兩個(gè)分布的期望和方差是一樣的。因此這個(gè)定理最直接的一種應(yīng)用就是二項(xiàng)分布的近似計(jì)算。定理5.3（棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理）

解：我們將觀測(cè)一個(gè)終端是否被使用看做是一次試驗(yàn)，X表示被使用終端的個(gè)數(shù)例1

某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端，每個(gè)終端有5%時(shí)間在使用，假定各個(gè)終端使用與否相互獨(dú)立，求有10個(gè)以上終端被使用的概率。

則

，其分布律為我們利用棣莫弗-拉普拉斯定理來(lái)求它的近似值

定理5.4（列維-林德伯格中心極限定理）

說(shuō)明獨(dú)立同分布隨機(jī)變量只要方差和期望都存在，它們的和的極限分布是正態(tài)分布。一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)變量的和的分布函數(shù)是很難得到的，通過(guò)定理5.4，我們就可以利用正態(tài)分布對(duì)和的分布進(jìn)行近似計(jì)算和理論分析，好處是非常明顯的。

例2已知某高校的在校學(xué)生數(shù)服從泊松分布，期望為100.現(xiàn)開(kāi)設(shè)一門公共選修課，按規(guī)定，選課人數(shù)超過(guò)120人（含120人）就需分兩個(gè)班授課，否則就一個(gè)班上課。請(qǐng)問(wèn)該課程采用分班授課的概率是多少？

解

期望為100的泊松分布隨機(jī)變量