2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之解答題：數(shù)列（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(解答題)：數(shù)列(10題)

—.解答題(共10小題)

1.(2024?衡陽(yáng)縣校級(jí)模擬)已知等差數(shù)列｛板｝的前〃項(xiàng)和為甑,且S4=4S2,a2n=2an+l(nGN*').

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛劭｝的前"項(xiàng)和S”；

(3)若6n=3"T,令”求數(shù)列｛Cn｝的前"項(xiàng)和7k

2.(2024?淄博模擬)定義：給定一個(gè)正整數(shù)處把它叫做模.如果用機(jī)去除任意的兩個(gè)整數(shù)“與b所得

的余數(shù)相同，我們就說a,b對(duì)模相同余，記作a=6(〃70而).如果余數(shù)不同，我們就說a,b對(duì)模機(jī)

不同余，記作^modrn).

設(shè)集合A=｛x|x=0(modi),尤CN*｝,B=｛x\(log3x)=0(modi'),x€N*,尤＞1｝.

(1)求ACB；

(2)①將集合A中的元素按從小到大順序排列后構(gòu)成數(shù)列｛a”｝,并構(gòu)造@=(1+2)中，“6N*；

②將集合8中的元素按從小到大順序排列后構(gòu)成數(shù)列｛為｝,并構(gòu)造Cn=￡2i卷，沱N*.

請(qǐng)從①②中選擇一個(gè)，若選擇.

證明：數(shù)列｛Cn｝單調(diào)遞增，且有界(即存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列中所有的項(xiàng)都不超過M).

注：若①②都作答，按第一個(gè)計(jì)分.

3.(2024?回憶版)已知數(shù)列｛.｝的前“項(xiàng)和為S”,且4%=3斯+4.

(1)求｛久｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勿=(-1尸啊,求數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和為Tn.

4.(2024?濟(jì)南二模)已知數(shù)列｛斯｝，｛加｝中,ai=4,加=-2,｛斯｝是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列｛劭+加｝

是公比為2的等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和Tn.

5.(2024?朝陽(yáng)區(qū)一模)若有窮自然數(shù)數(shù)列A：小，及，…，an522)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱A為4

數(shù)列：

?ak^max｛ai+ak-i9ai+ak-2,…，ak-1+tzi｝(k=2,3,…，幾),其中，max｛x\,xi,…，卻｝表示xi,

X2,…，沏，這S個(gè)數(shù)中最大的數(shù)；

②以Wm加｛m+以-1,ai+ak-2,…，ak-1+^1｝+1(Z=2,3,…，n),其中，max｛xi,xi,…，龍s｝表示xi,

XI,???,Xs,這S個(gè)數(shù)中最小的數(shù).

（I）判斷A：2,4,6,7,10是否為85數(shù)列，說明理由；

（II）若A：ai,a2,???,。6是86數(shù)列，且。2,。3成等比數(shù)列，求。6;

（III）證明：對(duì)任意2"數(shù)列A：m,a2,…，a”（G2）,存在實(shí)數(shù)入，使得以=伏人］（左=1,2,?）.（［%］

表示不超過x的最大整數(shù)）

6.（2024?株洲模擬）各項(xiàng)都為整數(shù)的數(shù)列｛斯｝滿足及=-2,R=4,前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起

依次成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）求出所有的正整數(shù)機(jī)，使得的"+。"什1+而+2=。"?！?1而+2.

7.（2024?浙江模擬）一般地，〃元有序?qū)崝?shù)對(duì)（al,ai,■,an）稱為〃維向量.對(duì)于兩個(gè)w維向量a=（%_,

a2，…，廝），b=（b「b2,■■■,bn）,定義：兩點(diǎn)間距離d-

J（瓦一幻1）2+（匕2_&2）2H----F（如―0^）2,

利用〃維向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計(jì)學(xué)問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計(jì)算

向量與每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離d”,與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離辦最近就歸為哪類.某公司對(duì)應(yīng)聘員工的不同方面

能力進(jìn)行測(cè)試，得到業(yè)務(wù)能力分值（m）、管理能力分值（及）、計(jì)算機(jī)能力分值（03）、溝通能力分值

（?4）（分值七eN*,ie｛l,2,3,4｝代表要求度，1分最低，5分最高）并形成測(cè)試報(bào)告.不同崗位

的具體要求見下表：

岡UU位業(yè)務(wù)能力分值管理能力分值計(jì)算機(jī)能力分值溝通能力分值合計(jì)分值

（〃1）（。2）（。3）（〃4）

會(huì)計(jì)（1）215412

業(yè)務(wù)員（2）523515

后勤（3）235313

管理員（4）454417

對(duì)應(yīng)聘者的能力報(bào)告進(jìn)行四維距離計(jì)算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對(duì)應(yīng)四維向量

—>

6=。4）的四個(gè)坐標(biāo).

（1）將這四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；

（2）小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個(gè)崗位的擬合距離的平方感均小于20的應(yīng)聘者才能被

招錄.

(i)小剛測(cè)試報(bào)告上的四種能力分值為另=(4,3,2,5),將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個(gè)點(diǎn)，將

四種職業(yè)1、2、3、4的分值要求看成樣本點(diǎn)，分析小剛最適合哪個(gè)崗位；

(n)小明已經(jīng)被該公司招錄，其測(cè)試報(bào)告經(jīng)公司計(jì)算得到四種職業(yè)1、2、3、4的推薦率(p)分別為

2

141397<7,

―/—'(P=22^2^2)試求小明的各項(xiàng)能力分值，

43434343n酹+的+帽

8.(2024?重慶模擬)已知在數(shù)列｛即｝中，m=l,an+1=1.

(1)求證：數(shù)列｛^｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯斯+1｝的前”項(xiàng)和Sn.

an

11

(2)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,且a=-----bcosC+ccosB=-2ACOSA,

an+lan

求△ABC面積的最大值.

9.(2024?鞍山模擬)設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”，已知2S=a"+i-2"+i+l(“6N*),且碘=5.

(1)證明：｛$+1｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)仇=log3(a〃+2"),若對(duì)于任意的“eN*,不等式瓦(1+〃)-入(°"+2〃)-6<0恒成立，求實(shí)

數(shù)人的取值范圍；

(3)高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用他名字定義的函

數(shù)稱為高斯函數(shù)次》)=印，其中田表示不超過x的最大整數(shù)，如[2.3]=2,[-1.9]=-2,設(shè)&=聲喑;，

數(shù)列｛Cn｝的前"項(xiàng)和為〃，求乃024除以16的余數(shù).

10.(2024?莆田模擬)若有窮數(shù)列A：ai,ai,…，劭(〃>4)滿足：ai+an+l-i=c(cGR,i=l,2,…，幾),

則稱此數(shù)列具有性質(zhì)Pc.(I)若數(shù)列A：-2,ai,〃3,2,6具有性質(zhì)Pc,求〃2,〃3,c的值；

(II)設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)尸o,且2V…〈即，〃為奇數(shù)，當(dāng)即aj>0(IWi,jW幾)時(shí)，存在正整

數(shù)左，使得勾-訪=以，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；

(III)把具有性質(zhì)Pc,且滿足1+。2左|=m(％€N",k<，，m為常數(shù))的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作Tc(小

m).求出所有的小使得對(duì)任意給定的相，c,當(dāng)數(shù)列(小m)時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，

即存在由=勾(，差/,IWi,jW〃).

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(解答題)：數(shù)列(10題)

參考答案與試題解析

一.解答題(共10小題)

1.(2024?衡陽(yáng)縣校級(jí)模擬)已知等差數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為品，且S4=4S2,a2n=2an+l(neN*\

(1)求數(shù)列｛金｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛而｝的前〃項(xiàng)和S”；

n

(3)若6n=3T,令Cn=￥，求數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)和Ta.

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.

【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)atl=2n-1；

2

(2)Sn=n；

n+1

(3)T=3一

n3nT

f

【分析】(1)由S4=4S2,a2n=2an+l(neN),可求解m,d,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可;

(2)由(1)知，m=l,a“=2…,利用等差數(shù)列求和公式求解即可；

(3)由6n=3叱1,版=2”-1,可知％=*=*＞利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為力由54=48,a2n=2an+l(jiGN*),

可得，“我"上針器；?解得將=J,

+(2?1—l)u=2。1+2,(TL-l)u+1Id=2

所以斯=1+(?-1)X2=2n-1；

(2)由(1)知，d:i=l,an=2n-1,

?1(。1+斯)_幾(1+2幾-1)

所以S九=2=2

(3)因?yàn)?n=3吩1,an=2n-1,所以“=胃=等二,

T=J--PA+____|_2n-32H-1Q

n3°31323n-2

11352n-32n-l^

~T=~+—+―+???+?+—②，

3n3132333n-1d3n

①-②得

212222n-l扣-2n-l271+2

-T=—+—+—+…+----=2-

3n3031323n-13n3九3n

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

2.(2024?淄博模擬)定義：給定一個(gè)正整數(shù)徵，把它叫做模.如果用機(jī)去除任意的兩個(gè)整數(shù)〃與匕所得

的余數(shù)相同，我們就說b對(duì)模機(jī)同余，記作。=Z?(MO力n).如果余數(shù)不同，我們就說〃，b對(duì)模機(jī)

不同余，記作〃WbQmodm).

設(shè)集合A=｛x|x=0(modi),xEN*｝,B=[x\(logsx)=0Qmod2),%CN”,x>l｝.

(1)求AD&

(2)①將集合A中的元素按從小到大順序排列后構(gòu)成數(shù)列｛而｝,并構(gòu)造cn=(l+[)于，“6N*；

②將集合B中的元素按從小到大順序排列后構(gòu)成數(shù)列｛加｝,并構(gòu)造Cn=￡^i瓦三，iCN*.

請(qǐng)從①②中選擇一個(gè)，若選擇.

證明：數(shù)列｛cn｝單調(diào)遞增，且有界(即存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列中所有的項(xiàng)都不超過M).

注：若①②都作答，按第一個(gè)計(jì)分.

【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；交集及其運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)AAB=0；

(2)詳見解答過程.

【分析】(1)由已知定義分別求出集合A,B,然后結(jié)合集合的交集運(yùn)算即可求解;

(2)結(jié)合所選條件先求出Cn,然后結(jié)合單調(diào)性的定義及二項(xiàng)式定理即可判斷.

【解答】解：(1)當(dāng)x=0(〃KM2)成立時(shí)，則x能被2整除，得尤=2〃，"6N*,

即4=｛無以=2”,nGN*

當(dāng)(log3x)=0(modi)成立時(shí)，則log*能被2整除,得(log*)=2n,MGN*,

即X=32"=9",nGN*,則8=｛小=9",nGN**｝,

顯然集合A為全體正偶數(shù)組成的集合，集合8中所有的元素都是奇數(shù)，所以AC8=0;

(2)若選擇①，將集合A中的元素按從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，

其通項(xiàng)公式為：an=2n,neN*,5=(1+卷)號(hào)=(1+》，％+I=(1+

由二項(xiàng)式定理得：％=(1+=嗚。++C汽》2+…+cn(lr

1+x*n(n—1)1n(n—l)(n—2)1,,n!1

i.n-2!-記3!x^+-+^x

=1+1+齊(1-3+品(1一》*(1—$+…+=x(l—3x(l—$x…x(l—M),

11112112

“+lul+l+^Xa----ZTT)+有X(1----r)X(1--------j-y)+???H----(?X(1----r)X(1--------ry)XX

n+12!'n+ly3!'n+ly'n+lyn!'n+17'n+1?

/Y九一1、.1/Y1、/Y2、/y九、

(1-------ry)+7~~x,X(1----rrr)X(1------rrf)X???X(1------pr)

'n+17(n+1)!'n+17'n+ly'n+ly

顯然Cn<Gz+l,

所以數(shù)列%=(1+卷泮，"6N*為單調(diào)遞增數(shù)列，

同時(shí)“=(1+》n=G?+禺：+第今+*2+…+優(yōu),，

當(dāng)G>,Rvfrk_J__幾(幾_1)(幾-2)???(??-.+1)_n幾一1二一2'一:+1_____1_____<______1_____<

y'n心九上?左(左一1)…1nnnn/c(/c—1)…1—k(k—l)…1—

1_11

k(k—l)二口—『

ii11ii1

則”=(1+宗"W1+1+(1_2)+e_W)+…+(口—R=3_五<3,

且q=(1+y)1=2<3,

所以數(shù)列(1+2)智，在N*有界；

若選擇②，將集合8中的元素按從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列｛為｝為等比數(shù)列，

其通項(xiàng)公式為“=9n,/1GN*,

設(shè)“=￡匕尚=￡%舌，",

、11

顯然Cn+1_%=喃Z=產(chǎn)工>0，

所以數(shù)列％=￡上1瓦，，iCN*單調(diào)遞增，

_,11111111111

其中彳I=E=8X9t+9ITW1*環(huán)，%=￡匕行〈月2匕產(chǎn)=可(1+7+乒+

1

…+尹)，

%=￡匕有/x不一白(1-給〈白

19

所以數(shù)列%=￡上1瓦，，正N*有界.

【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了集合的交集運(yùn)算，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列

的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，還考查了數(shù)列單調(diào)性的定義的應(yīng)用，屬于難題.

3.（2024?回憶版）已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為品，且4%=3而+4.

(1)求｛久｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勾=(-y,求數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和為Tn.

【考點(diǎn)】錯(cuò)位相減法.

【專題】整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由已知和與項(xiàng)的遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；

(2)先求出bn,然后結(jié)合錯(cuò)位相減求和即可求解.

【解答】解：(1)因?yàn)?s〃=3久+4,

所以4Si+i=3cin+i+4,

兩式相減可得4an+i=3a”+i-3a”,

即an+i=-3an,又因?yàn)?si=3m+4,

所以“1=4,故數(shù)列｛m｝是首項(xiàng)為4,公比為-3的等比數(shù)列，

所以an=4?(-3嚴(yán)-1；

n-1n-1

(2)bn=(-l)nan=4n-3,

所以〃=4(l-30+2-31+3-32+-+n-3n-1),

37^=4(1-31+2-32+3?33+…+7”3"),

nnn

兩式相減可得：-2Tn=4(1+31+32+…+-n-3)=4(1-3-n-3)=(2-4w)3"-2,

所以7；=(2n-l)3n+l.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和與項(xiàng)的遞推關(guān)系及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，還考查了錯(cuò)位相減求和方法

的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.(2024?濟(jì)南二模)已知數(shù)列｛而｝，｛"z｝中，m=4,61=-2,｛?｝是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列｛即+為｝

是公比為2的等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和%.

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.

【專題】綜合題；整體思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)先根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出數(shù)列｛外｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式計(jì)算出數(shù)列｛斯+加｝的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)根據(jù)數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)運(yùn)用分組求和法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算

出前〃項(xiàng)和Tn.

【解答】解：(1)由題意，可得。"=4+(“-1)X1=n+3,

故a”=〃+3,"6N*,

:數(shù)列{加+為}是公比為2的等比數(shù)列，且幻+61=4-2=2,

an+bn=2?2"-1=2",

nn

：.bn=2-an=2-n-3,n￡N*.

(2)由題意及(1),可得6n=2?！?n+3),

則Tn=bl+b2+b3+"+bn

=(21-4)+(22-5)+(23-6)+-+[2n-(〃+3)]

=(21+22+23+-+2,!)-[4+5+6+-+(w+3)]

_2(1—2，(n+7)n

=1-22-

=7n+i

i22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本運(yùn)算，以及數(shù)列求和問題，分組求和法，等差數(shù)列和等比

數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

5.(2024?朝陽(yáng)區(qū)一模)若有窮自然數(shù)數(shù)列A：ai,碘，…，斯(”、2)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱A為瓦

數(shù)列：

①袱》加辦{m+或-1,ai+ak-2,…，ak-1+ai}(左=2,3,…，n),其中，max{x\,xi,…，xs}表示x\,

XI,Xs,這S個(gè)數(shù)中最大的數(shù)；

②akWmin{ai+ak-1,ai+ak-2>…，ak-i+tzi}+l(k=2,3,…，n),其中，機(jī)ax{xi,xi,尤s}表示xi,

XI,Xs,這S個(gè)數(shù)中最小的數(shù).

(I)判斷A：2,4,6,7,10是否為85數(shù)列，說明理由；

(II)若A:ai,02,???,。6是比數(shù)列，且41,02,43成等比數(shù)列，求46；

(III)證明：對(duì)任意8"數(shù)列A：ai,°2,…，(心2),存在實(shí)數(shù)人,使得袱=因1](%=1,2,…，ri').([x]

表示不超過x的最大整數(shù))

【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)不是，理由見解析；(2)恁=8；(3)證明見解析.

【分析】(1)直接根據(jù)35數(shù)列的定義驗(yàn)證；

(2)根據(jù)86數(shù)列的定義先列式求出r72,。3,進(jìn)而可求出。4,as,46;

(3)先說明歷數(shù)列滿足結(jié)論，然后假設(shè)存在自然數(shù)t>2,存在&數(shù)列使得結(jié)論不成立，設(shè)這樣的t

的最小值為犯，即存在8%數(shù)列A：ai,ai,atQ,對(duì)任意實(shí)數(shù)入，存在kE{l,2,…，加，使得ak

#代人］,通過&數(shù)列的定義推出矛盾，進(jìn)而達(dá)到證明結(jié)論的目的.

【解答】解：(I)A：2,4,6,7,10不是55數(shù)列.理由如下：

因?yàn)?1+43=8,42+42=8,

所以相辦〃2+。2}=8.

但〃4=7<8,所以A不滿足性質(zhì)①，故不是85數(shù)列.

(II)根據(jù)比數(shù)列的定義，可知A:a\,42,…，46滿足：

〃2=。1+〃1或42=〃l+m+l,。3=〃1+。2或。3=。1+"2+1,

a2

(1)若。2=。1+。1,因?yàn)镼I,O1,〃3成等比數(shù)列，所以。3=二=4。1，

又因?yàn)?1W0,所以〃3W〃l+〃2,

當(dāng)〃3=〃1+〃2+1時(shí)，由〃3=3ai+l=4m得m=l,

22

(2)若〃2=。1+。1+1,因?yàn)?1,。2,43成等比數(shù)列，所以的=—=，

當(dāng)〃3=〃1+〃2時(shí)，由的=3al+1=(2%+1)得的=3本店,

Q］Z

與m是自然數(shù)矛盾，舍去；

當(dāng)〃3=〃1+〃2+1時(shí)，由=3al+2=31+1)得〃1=-1,

與m是自然數(shù)矛盾，舍去；

所以〃1=1,42=2,03=4,

由〃1+〃3=5,〃2+〃2=4,以及根QX{〃l+〃3,42+42}加〃2+42}+1,

可知5W3W5,所以3=5,

由〃1+。4=。2+。3=6,以及機(jī)辦〃2+。3}加{。1+〃4,〃2+。3}+1,

可知6WQ5W7,

由7W〃1+〃5W8,。2+。4=7,。3+。3=8,

以及加〃%{41+45,〃2+的的+的}加〃2+〃4,〃3+的}+1,

可知8W46W8,所以46=8;

(III)證明：當(dāng)〃=2時(shí)，根據(jù)比數(shù)列的定義，可知〃2=2〃1或〃2=241+1

若〃2=2〃1,取入=〃1+0.1>0,則41=［入］,。2=［2入］,結(jié)論成立.

若。2=2。1+1,取入=〃1+0.5>0,則。1=囚，〃2=［2入］,結(jié)論成立.

假設(shè)存在自然數(shù)f>2,存在&數(shù)列使得結(jié)論不成立，設(shè)這樣的r的最小值為犯,

即存在%數(shù)列A：ai,“2…，atg,對(duì)任意實(shí)數(shù)入，存在比｛1,2,…，犯｝,使得圓#kA］.

根據(jù)假設(shè)，數(shù)列A的前犯-1項(xiàng)m,ar-,生廠］組成的數(shù)列是一個(gè)以。_1數(shù)列，

從而存在實(shí)數(shù)0,使得以=［印］U=l,2,to-1).

所以(k=l,2,to-1),

??CLkClfc+1

即,<尸七一也=1,2,-,t-1),

K.K.0

令L=7YICLX{CL^f,…，.01},U=YTliTl{ci^+L~-,…，-z—},則LWR<U

乙LQ_L乙vQ.L

令L*=max{L,善},U*=min{U,則/XL*,ifWU

r0r0

(1)若L*=^,根據(jù)。的定義，存在小{1,2,ro-1},使得U=

r0u

又一°—<L<U=——,

t0-uu

川/*=%<%-u+au+l=ato-u+Mn+Dau+l=

、tg-tg(tg—U)+lZIL

且乙*=生<綽N，所以￡*<U*

r0r0

(2)若L*=L根據(jù)L的定義，存在任{1,2,to-1},使得L=亨，*=L<UW生0-1+1

t0-l

川/*_/一⑷.+(%T+1)_田+%-/+1

叫-L-T<Z+(TO_O--—Wy

且Z*=L<U,所以L*<U*

所以Z_WL*<U*WU

令0，則LWL*<g<U*WU

即max{ai，錚，…，<f3'<min{a1+1,也牡，…，叱+\

zrozr0

所以小‘<哈

(k=L2,…，t0)

所以ak<k^'<a/d-l(Z=l,2,￡o),

即以=［郊'］(左=L2,…，￡o),與假設(shè)矛盾.

綜上，結(jié)論成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的綜合問題，考查反證法，屬于難題.

6.(2024?株洲模擬)各項(xiàng)都為整數(shù)的數(shù)列｛久｝滿足及=-2,s=4,前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起

依次成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛。行的通項(xiàng)公式;

(2)求出所有的正整數(shù)相，使得麗+即+1+即+2=ClmClm+1Clm+2.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

n—4,n<4

【答案】⑴a=

n2n-5,n>5

(2)m=l,或m=3.

【分析】(l)由題意設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d,d為整數(shù)，表示出〃5,〃6,利用〃5,〃6,47成等比數(shù)列，

求出d,推出〃W6時(shí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，〃25數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)驗(yàn)證正整數(shù)機(jī)=1,2,3,4,時(shí)，等式加+而+1+〃加+2=。加即+1即+2是否成立，加25時(shí)，驗(yàn)證等式

的左邊的值與右側(cè)的值是否相同即可，得到結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d,d為整數(shù)，則45=-2+3%期=-2+4以d為整數(shù)，

又45,46,。7成等比數(shù)列，

???(4d-2)2=4(3d-2),解得d=l,

當(dāng)〃W4時(shí),dn=n—4,

由此45=1,46=2,數(shù)列從第5項(xiàng)起構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

n5

當(dāng)〃25時(shí)，an=2,

n—4/n<4

故通項(xiàng)公式為冊(cè)=

.271-5/n>5

(2)由(1)知數(shù)列｛斯｝為：-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,…

當(dāng)m=l時(shí)等式成立，即-3-2-1=-6=(-3)(-2)(-1),等式成立；

當(dāng)m=3時(shí)等式成立，即-1+0+1=0,等式成立；

當(dāng)m=2、4時(shí)等式不成立；

m533m-12

當(dāng)根三5時(shí),即am+am+1-^-am+2=2~(2-1)，ClmClm+1Clm+2=2.

??CLm~^Clm+1+〃旭+2WClmClm+1Clm+2?

故所求的m=1，或根=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的函數(shù)的特征，注意數(shù)列的前提條件的

應(yīng)用，注意驗(yàn)證法在解題中的應(yīng)用，注意分類討論的思想，是中檔題.

7.(2024?浙江模擬)一般地，〃元有序?qū)崝?shù)對(duì)(m,。2,…，劭)稱為〃維向量.對(duì)于兩個(gè)〃維向量。=(%,

―>

…，。九)，b=⑸,b2,???/bn)定義：兩點(diǎn)間距離d=

J(瓦―41)2+⑸—a2)2+-+(“—,

利用“維向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計(jì)學(xué)問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計(jì)算

向量與每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離為，與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離辦最近就歸為哪類.某公司對(duì)應(yīng)聘員工的不同方面

能力進(jìn)行測(cè)試，得到業(yè)務(wù)能力分值(小)、管理能力分值(。2)、計(jì)算機(jī)能力分值(03)、溝通能力分值

(04)(分值/CN*,ie{l,2,3,4}代表要求度，1分最低，5分最高)并形成測(cè)試報(bào)告.不同崗位

的具體要求見下表：

岡LLJ位I」業(yè)務(wù)能力分值管理能力分值計(jì)算機(jī)能力分值溝通能力分值合計(jì)分值

(〃1)(。2)(〃3)(〃4)

會(huì)計(jì)(1)215412

業(yè)務(wù)員(2)523515

后勤(3)235313

管理員(4)454417

對(duì)應(yīng)聘者的能力報(bào)告進(jìn)行四維距離計(jì)算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對(duì)應(yīng)四維向量

—>

0=a2,a3,aQ的四個(gè)坐標(biāo).

(1)將這四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；

(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個(gè)崗位的擬合距離的平方嫌均小于20的應(yīng)聘者才能被

招錄.

⑺小剛測(cè)試報(bào)告上的四種能力分值為0=(4,3,2,5),將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個(gè)點(diǎn)，將

四種職業(yè)1、2、3、4的分值要求看成樣本點(diǎn)，分析小剛最適合哪個(gè)崗位；

⑺小明已經(jīng)被該公司招錄，其測(cè)試報(bào)告經(jīng)公司計(jì)算得到四種職業(yè)1、2、3、4的推薦率(p)分別為

141397r72

―/—77(P="2”2'”2)，試求小明的各項(xiàng)能力分值?

43434343n送+夠+送+福，

【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為16；

(2)小剛最適合業(yè)務(wù)員崗位；

(3)小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為2,4,3,5.

【分析】(1)將合計(jì)分值從小到大排列，再利用百分位數(shù)的求法，即可求出結(jié)果；

(2)(/)根據(jù)條件，先求出各個(gè)崗位的樣本點(diǎn)，再根據(jù)題設(shè)定義即可求出結(jié)果；

(z'z)先根據(jù)條件得到或eN*(ne{l,2,3,4})的相關(guān)方程組，利用四+必+堵+或V80,出6

N*(ne{1,2,3,4)),得到所=14,共=13,退=9,或=7,再根據(jù)題設(shè)列出方程，利用(a-2)

伐=2,d=l

~+(6-l)2+(c-5)2+(d-4)2-[(q-2)2+(6-3)2+(c-5)'+(d-3)2]=5,得出{6=3,d=3,

(b=4,d=5

再對(duì)三種情況分析討論，即可求出結(jié)果.

【解答】解：(1)將四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到數(shù)據(jù)12,13,15,17,

15+17

又i=初=4X0.75=3,所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為^―=16.

⑵(力由圖表知，會(huì)計(jì)崗位的樣本點(diǎn)為良=(2,L5,4),貝蟠=(2-鏟+(1-3>+(5-2/+

(4—5)2=18,

―>

業(yè)務(wù)員崗位的樣本點(diǎn)為為=(5，2,3,5),則彩=(5—4>+(2—3)2+(3—2>+(5—5)2=3,

―>

后勤崗位的樣本點(diǎn)為03=(2,3,5,3,),則底=(2—4)2+(3—3)2+(5—2)2+(3—5)2=17,

管理員崗位的樣本點(diǎn)為良=(4,5,4,4),貝崛=(4—4)2+(5—37+(4—2)2+(4—5)2=9,

所以d2<d4<d3<di,故小剛最適合業(yè)務(wù)員崗位；

141397M

(n)四種職業(yè)1、2、3、4的推薦率(P)分別為n，—,—,—,且Pn=F--2^1--

43434343嫉+d升溫+djv

詢2_14

d-^+d2^^~d-^+d^2-43

嫁_13

2=43

所以《

,2又WO￡口，2,3,4))均小于20,

______13_9

d-^+d^^d-^+d^2=43

_7

=

、d]+d2+d3+d4243

所以及+dl+dl+dl<80,且感GN*(nG[1,2,3,4}),故可得到西=14,退=13,退=9,或=7,

設(shè)小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為a,b,c,d,且a,b,

c,deN*,b,c,dW5,

依題有(a-2)2+(b-l)2+(c-5)2+(d-4)2=蛋=14①，

(a-5)2+(b—2/+(c-3)2+(d-5)2=啰=13②，

(a-2)2+(b—3)2+(c-5)2+(d-3產(chǎn)=送=9③，

(a-4)2+(b—5)2+(c-4)2+(d—4尸=周=7④，

由①-③得，(a-2)2+<ib-1)2+(c-5)2+(d-4)2-[(a-2)2+(b-3)2+(c-5)2+(d-3)

2]=14-9=5,

(b=2,d=1

整理得2b-d=3,故有｛力=3,d=3三組正整數(shù)解，

(b=4,d=5

對(duì)于第一組解，代入④式有(a-4)2+9+(c-4)2+9=7,不成立；

對(duì)于第二組解，代入①式有(?-2)2+(…)2=4,解得｛，二;或［二；，代入②④式均不成立；

fa=2

對(duì)于第三組解，代入②式有(a-5)2+(c-3)2=9,解得『=京代入①②③④均成立，故1=。，

1c=3Ic=3

(d=5

故小明業(yè)務(wù)能力分值、管理能力分值、計(jì)算機(jī)能力分值、溝通能力分值分別為2,4,3,5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力，屬于難題.

8.(2024?重慶模擬)已知在數(shù)列｛而｝中，oi=l,an+1=.

(1)求證：數(shù)列｛；｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛z.+1｝的前〃項(xiàng)和S”.

an

11

(2)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=--------，bcosC+ccosB=-24cosA,

an+l0九

求AABC面積的最大值.

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.

【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；解三角形；邏輯推

理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)證明見解答，s尸方3；

V3

(2)——.

3

【分析】(1)結(jié)合已知遞推關(guān)系，兩邊取倒數(shù)，然后由等差數(shù)列的定義即可證明;

(2)先由(1)求出°,然后結(jié)合正弦定理，和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求A,再由余弦定理及基本不等式

可求6c的范圍，最后由三角形面積公式可求.

071

【解答】證明：(1)因?yàn)閿?shù)列｛。行中，。1=1,an+1=

l+2an

所以

,,1l+2a1

故----=------n-=—+2,

an+lanan

r11

即----——=2,

an+lan

所以數(shù)列｛上｝是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

an

1

則—=1+2(n-1)=2n-1,

an

11,11、

ClnCln+1=-<xZQ］」、-Q'\一)，

(2n-l)(2九+1)22n-l2n+l

11111111

則S〃=(1-亍+亍-己+…+5----4—5~工T)=5(1-5~7T)=9~n工T；

23352n—12n+l22n+l2n+l

11

解：(2)在△ABC中，a=—-------=2,

an+lan

因?yàn)閎cosC+ccosB=-2〃cosA,

所以sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA,

即sin(B+C)=-2sinAcosA=sinA,

因?yàn)閟inA>0,

1

所以cosA=—2?

由A為三角形內(nèi)角得，A=等，

由余弦定理得，/=4=Z)2+c2—2bccos^-=/?2+C2+/?C^3/?C,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，

…4

所以bc<可，

△ABC面積S=IbcsinA=^-bc<字，即面積的最大值為

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義，裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，還考查了正弦

定理，和差角公式，余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.(2024?鞍山模擬)設(shè)數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和為S”已知2%=斯+1-2〃+i+l("6N*),且破=5.

(1)證明：｛患+1｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)加=log33+2"),若對(duì)于任意的〃6N*,不等式氏(1+/7)-人(如+2")-6<0恒成立，求實(shí)

數(shù))的取值范圍；

(3)高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用他名字定義的函

數(shù)稱為高斯函數(shù)次龍)=印,其中國(guó)表示不超過x的最大整數(shù)，如［2.3］=2,［-1.9］=-2,設(shè)“=［四要］,

數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和為求及024除以16的余數(shù).

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式；數(shù)列與不等式的綜合.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)證明見解析，=3"-2%

⑵導(dǎo)2+8）；

（3）8.

n+1

【分析】（1）由已知得2SnT=an—2n+l,2Sn^an+i-2+l,兩式相減得an+i=3廝+2",進(jìn)一步

33

可得｛翁+1｝是首項(xiàng)為5,公比為5的等比數(shù)列，即可求解；

（2）由（1）可知bn=n,不等式即可化為4〉濃；?一6恒成立,設(shè)%=*獷6,貝I]可得Dn+1一Dn=

2（皓2）,進(jìn)一步可得外<D3=制可求解；

3九3n3

（3）由（1）可知％=,一；+/]=*],然后通過二項(xiàng)式定理可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，7=[工]+->

3n3n1

當(dāng)n為偶奇數(shù)時(shí)，—=[―]+再利用分組求和及二項(xiàng)式展開式可求得720