浙江省麗水、湖州、衢州市2025年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

浙江省麗水、湖州、衢州市2025年高三模擬考試（三模）數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

x-y>Q

1.已知x,V滿足約束條件x+y?2,則z=2x+y的最大值為

y>0

A.1B.2C.3D.4

2.已知復(fù)數(shù)z滿足目=1,則|Z+2T］的最大值為（）

A.2+3B.1+75C.2+6D.6

3.如圖是二次函數(shù)/（x）=x2-bx+a的部分圖象，則函數(shù)8（%）=。111%+/（幻的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

C.(1,2)D.(2,3)

4.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國(guó)CP/（居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)），同比上漲4.5%,C77上漲的主要因素是

豬肉價(jià)格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響C"上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月。7一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該

圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

教育文化和

娛樂(lè)8.5%

A.CP/一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住

B.C尸/一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過(guò)50%

C.豬肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%

51E.

5.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足?一班=彳炮”，其中星等為

2七2

磔的星的亮度為反(?=1,2).已知太陽(yáng)的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()

A.1010JB.10.1C.IglO.lD.10-10J

6.已知集合4=卜卜=lgsinx+Jg-x?],貝/(x)=cos2x+2sinx,xwA的值域?yàn)?)

「，31人3]"1]U

」」」

12121212)

7.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S“，且4=0,%=-3,則邑=()

A.9B.12C.-15D.-1E

8.已知點(diǎn)A(WM),網(wǎng)打^^是函數(shù)八司二3^+匕/的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且y=/(x)在點(diǎn)

石;%2"(石；2)處的切線與直線平行，貝1()

A.a=0,5為任意非零實(shí)數(shù)B.b=0,"為任意非零實(shí)數(shù)

C.a、〃均為任意實(shí)數(shù)D.不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b

9.已知拋物線C：必=4y的焦點(diǎn)為口，過(guò)點(diǎn)口的直線/交拋物線。于a,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在第一象限，若弦AB

的長(zhǎng)為W25'則b|AF=()

A.2或工B.3或工C.4或工D.5或1

2345

3

10.已知。，b,C分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a=l,4csinA=3(:osC,AABC的面積為一，則c=()

2

A.2A/2B.4C.5D.3亞

22

11.已知雙曲線，—方=l(a〉0,6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)],過(guò)工作一條直線與雙曲線右支交于4B兩

點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn),若。=Y+四郎|=5,2,則該雙曲線的離心率為()

A.史B.巫C.

V15NA/10

2233

2

12.已知雙曲線二->2=1的一條漸近線方程是y=則雙曲線的離心率為()

a-3

A.BB.逅C,D.正

3323

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在三棱錐P-A8C中，AB=5,BC=3,C4=4,三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為60。，三棱錐的內(nèi)切球的表面

積為.

14.已知實(shí)數(shù)x、y滿足1,且可行域表示的區(qū)域?yàn)槿切?，則實(shí)數(shù)〃？的取值范圍為,若目標(biāo)函數(shù)

x+y<m

z=x—y的最小值為-I,則實(shí)數(shù)加等于.

15.已知F是拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)F作直線與C相交于RQ兩點(diǎn)，且。在第一象限,若2而=匝，

則直線PQ的斜率是.

16.集合A={(x,y)料+|y|=a,a>0},3={(x,y)忡|+1=忖+|山，若4口8是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的

集合，則下列說(shuō)法正確的為

①。的值可以為2；

②。的值可以為J5;

③a的值可以為2+后；

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在正三棱柱A3C—4與￡中，AB=AAl^2,E,歹分別為AB,反。1的中點(diǎn).

(1)求證：與E//平面ACN；

(2)求平面CEB1與平面ACF所成二面角(銳角)的余弦值.

18.（12分）已知函數(shù)/O）=lnx—ox+a,其中a>0.

（1）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）求證：ex+sinx>xlnx+l.

1"

X=——y

1+t

19.（12分）在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C的參數(shù)方程為（/為參數(shù)）.點(diǎn)p（%o，%）在曲線C上，點(diǎn)。（犯〃）

2t

m=2XQ

滿足

n=#>y。

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，r軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡&的極坐標(biāo)方程;

7rli

（2）點(diǎn)A,3分別是曲線G上第一象限，第二象限上兩點(diǎn)，且滿足NAO3=Q,求為1+面產(chǎn)的值?

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+l|-2|x-a|,a>0.

（1）當(dāng)。=1時(shí),求不等式/。）>1的解集;

（2）若/（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求。的取值范圍.

21.（12分）已知橢圓G：W+==l（〃>b〉O）,上頂點(diǎn)為8（0,1）,離心率為走，直線/：>=區(qū)—2交y軸于。點(diǎn),

/b22

交橢圓于P,。兩點(diǎn)，直線BP,3Q分別交x軸于點(diǎn)M,N.

（I）求橢圓G的方程;

(II)求證：S&BOM'S/SBCN為定值?

x=1+2coscc

22.（10分）在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為：\廠（&為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正

y=，3+2sina

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且長(zhǎng)度單位相同.

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;

(

(2)若直線/：x=tc,os"pa為參數(shù))被圓c截得的弦長(zhǎng)為2gr-，求直線/的傾斜角.

y=tsin0

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，

2=2工+丫等價(jià)于丁=一2%+2,作直線y=—2x,向上平移，

易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)z最大，所以z?1ax=2x2+0=4,故選D.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法.

2.B

【解析】

設(shè)z=a+bi,a,beR,\z+2-i\=^(?+2)2+(Z?-1)2>利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.

【詳解】

^,z=a+bi,a,b&R,由已知，a2+b2=1^所以點(diǎn)(a,切在單位圓上，

而|z+2-i|=|(a+2)+(6-l)i|=^(?+2)2+(/?-1)2，J(a+2)2+(6-1)2表示點(diǎn)(a,b)

到(—2,1)的距離，故|z+2—心J(—2y+F+1=1+石.

故選：B.

本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值,其實(shí)本題可以利用不等式|z+2-，區(qū)|z|+12-i|來(lái)解決.

3.B

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸得出力范圍，y軸截距，求出。的范圍，判斷g(x)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)，即可求出結(jié)論.

【詳解】

,**/W^-bx+a,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,

b

二次函數(shù)的對(duì)稱軸為％=5，。</(。)=〃<1,

1b

—<x=—<1,*.*/'(%)=2x-b,

所以g(x)=〃lnx+/'(x)=〃lnx+2x—b在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(])—6^1n—+1—/?<0,g(l)=〃lnl+2—/?〉0,

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是

故選:B.

本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷C

食品占19.9%,再看第二個(gè)圖，分清2.5%是在CP/一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CP/

一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.

【詳解】

A.CP/一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的，故正確.

B.CP/一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過(guò)50%,故正確.

C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在C/7一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯(cuò)誤.

故選：D

本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

由題意得到關(guān)于用,反的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.

【詳解】

5,E,

兩顆星的星等與亮度滿足利一叫=彳炒J,令冽2=-1.45,叫=-26.7,

2匕2

?F101

1gmW?（根2一嗎）=W（一L45+26.7）=10.1,曾=1O.

故選A.

本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.

6.A

【解析】

先求出集合4=(0,3],化簡(jiǎn)/(%)=—2sin2無(wú)+2sinx+l，令siiu=/e(0』，得g”)=—2/+2/+1由二次函數(shù)的性

質(zhì)即可得值域.

【詳解】

[sinx>0/1/\/I

由J2n0<%<3,得A=(0,3],/(%)=852%+25]!1%=—201112%+25111￥+1，令0111^=%,,??1￡(0,31,

.?.?e(O,l],所以得g?)=—2/+2/+1,在[o，；]上遞增，在gj上遞減，==|，所以

33

g(')e^2,即/(x)的值域?yàn)?,-

故選A

本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題

7.A

【解析】

由§8=。，。3=—3可得,d以及“9，而S9=叢+%，代入即可得到答案.

【詳解】

4+2d——3,

4=-7,

設(shè)公差為d,則《8x7解得

8q+2d=。,d=2,

CI9=+8d=9,所以S9=Sg+dg—9.

故選：A.

本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

求得了(%)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)可得。=0,b為任意非零實(shí)數(shù).

【詳解】

、

%+%2玉+x

依題意/⑺=2,+2bx,y=在點(diǎn)2處的切線與直線A8平行，即有

2

+Z?(xt+%2)

石+尤2馬—玉

2,

2

aa

二"西+々），所以，由于對(duì)任意和馬上式都成立，可得a=0，人為非

零實(shí)數(shù).

故選：A

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

9.C

【解析】

先根據(jù)弦長(zhǎng)求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出M刊，忸巴.

【詳解】

則^邳=熱=烹=字,

設(shè)直線的傾斜角為氏

16o193

所以cos20。：一,tan2^=-----——1=一,即tan6=±—,

25COS26>164

33

所以直線/的方程為y=±—x+1.當(dāng)直線/的方程為丁=—九+1,

44

x2=

4y\AF\

所以4-0

聯(lián)立《3，解得石=-1和々=4,3=4；

y=—x+l0-(-1)

4

3AF1AF\1

同理'當(dāng)直線"的方程為y=-—+L綜上,.西=4或屋選C.

BF4

本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)問(wèn)題一般是利用弦長(zhǎng)公式來(lái)處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般考慮拋物

線的定義.

10.D

【解析】

一3413

由正弦定理可知4csinA=4asinC=3cosC,從而可求出sinC=—,cosC=1.通過(guò)又8c=—absinC二一可求出

422

b=5,結(jié)合余弦定理即可求出c的值.

【詳解】

解：,/4csinA=3cosC,即4csinA=3acosC

/.4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.

34

-.?sin2C+cos2C=l，貝iJsinC=g,cosC=g.

1133

/.S=—absinC=—xlxZ?x-=—,解得6=5.

SAARBC2252

c2=a?+b?—2ctbcosC=1+5?-2xlx5x—=18,/.0=3y

故選:D.

本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過(guò)

正弦定理結(jié)合已知條件，得到角C的正弦值余弦值.

11.B

【解析】

由題可知|O4|=c=g|G閭，4A8=90。，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得|四|=|4閭+2a,對(duì)RMA畢有

|叫『+|期2=網(wǎng)「，

即（卜閭+242+（卜閭+3勾2=（5a『，解得〔A閭=a,再對(duì)RtZ\A￡鳥，由勾股定理可得/+（34=（2°丫，化簡(jiǎn)

即可求解

【詳解】

如圖，因?yàn)殁疃鷟=5a,所以忸閭=5a—2a=3a.因?yàn)閨OA|=c=g忸閭所以/耳4瑪=90。.

在43中，1ABl2=忸瑞，即閭+2a『+（k閭+34=（5aJ,

得,閭=4，則|AfJ=a+2a=3a在RtZ\A耳工中，由/+（34）?=（2c）2得6=￡=4^.

故選：B

本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題

12.D

【解析】

222

雙曲線的漸近線方程是y=±1x,所以工=1，即。=百力=1,C=a+Z，=4，即c=2，e=-=1V3,

aa3a3

故選D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4萬(wàn)

13.----

3

【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個(gè)面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為反，"是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑廠=1.三個(gè)側(cè)面與底面所

成的角均為60°,AR43，&PBC,APAC的高PD=PE=PF=2，PH=5設(shè)內(nèi)

切球的半徑為R,(g(3+4+5)x2+gx3x4)xR=3xgxgx3x4xG=63

:.R力,內(nèi)切球表面積S=4?R?=生.

33

4-71

故答案為：.

3

本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.

14.m>2m-5

【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到

結(jié)論.

【詳解】

作出可行域如圖，

則要為三角形需滿足3(1,1)在直線=m下方，即1+1<772,m>2；

目標(biāo)函數(shù)可視為y=x-z,貝口為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù)，

該直線截距最大在過(guò)點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)Zmin=-1,

直線Q4：y=x+l,與AB：y=2x—1的交點(diǎn)為4(2,3),

該點(diǎn)也在直線AC：*+丁=加上，故機(jī)=2+3=5,

故答案為：m>2；m=5.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法，屬

于基礎(chǔ)題.

15.2拒

【解析】

作出準(zhǔn)線，過(guò)P,Q作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用平面幾何

知識(shí)計(jì)算出直線的斜率.

【詳解】

設(shè)/是準(zhǔn)線，過(guò)尸作于以，過(guò)。作QN_L/于N,過(guò)尸作PHLQV于"，如圖,

則|尸閭=|「耳，|沙|=依司，?.?2麗=聞，.?.|。叫=2|尸耳，

：.\QH\=\NH\^\PM\=\PF\,\PH\=^(3|PF|)2-|PF|2=2s/2\PF\，

\PH\

：.tanZHQF=―=27r2,直線PQ斜率為2夜.

\QH\

故答案為：2后.

解題關(guān)鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)

16.②③

【解析】

根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況，計(jì)算AC：y=(V2-l)x,得到—1),C(A/2+1,1),得到答案.

【詳解】

如圖所示：根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況,

集合3：xy+l^x+y,故=即x=］或y=l,

集合A：x+y=a,AC8是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，

故AC所在的直線的傾斜角為22.5。，左AC=tan22.5°=0—1，故AC：y=(a-l)x,

解得A(1,0—1),止匕時(shí)q=C(V2+1,1),止匕時(shí)。=血+2.

本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，利用對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)證明見詳解；(2)US.

19

【解析】

(1)取AC中點(diǎn)為通過(guò)證明府〃B|E,進(jìn)而證明線面平行；

(2)取中點(diǎn)為。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.

【詳解】

(1)證明：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)石加，F(xiàn)M,如下圖所示：

在AABC中，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，

2

又歹為4G的中點(diǎn)，B.CJ/BC,

:.BF//BC,且用尸=：5。，

:.EM//ByF,且EM=B/,

四邊形EA〃閏為平行四邊形，

又Mbu平面ACN,8￡仁平面ACT,

，4E//平面ACE,即證.

(2)取中點(diǎn)。，連結(jié)AO,OF,則AOL3C,平面ABC,

以。為原點(diǎn)，分別以08,AO,OF為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則A,—60),3(1,0,0),C(-l,0,0),E；，一苧，。，F(xiàn)(0,0,2),4(1,0,2)

I'7

CE=|，一￥，°,而=(1。2),04=(1,-73,0),國(guó)=(2,0,2)

設(shè)平面CEB1的一個(gè)法向量沅=(x,yz),

m-CE=Q6x_y=0

則<—.，貝卜

mCB,=0x+z=0

令x=l.則沅=(1,一1),

(Jil'}

同理得平面ACN的一個(gè)法向量為為=l,2{-,--,

[32)

則cos(玩，和性奇g=冬5’

|n||m|19

故平面CEB1與平面ACN所成二面角(銳角)的余弦值為叵5.

19

本題考查由線線平行推證線面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，屬綜合中檔題.

18.(1)。=1時(shí)，/Xx)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)。>0且awl時(shí)，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)見解析

【解析】

⑴利用/(%)的導(dǎo)函數(shù)，求得/(%)的最大值的表達(dá)式，對(duì)。進(jìn)行分類討論，由此判斷出了(%)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)由lnx<x-l,得到％lnx+lW%2-x+i和,構(gòu)造函數(shù)無(wú)(%)=e%+sin九—一十九一1,利用導(dǎo)數(shù)證得

/z(x)>0,即有ex+sinx>x2—x+1，從而證得e尤+sinx>x2—x+l>xlnx+1，即ex+sinx>xlnx+L

【詳解】

,1—77V*

(1)?.?/(x)=------(6Z>0,X>0),

.?.當(dāng)xe(0-)時(shí)，/(x)>0,當(dāng)尤e(±+8)時(shí)，/(x)<0,/(x)在(0-)上遞增，在(士+⑹上遞減，

aQaa

/(x)<f(-)=-lna+a-l.

a

令g(x)=—lnx+x—l=—(lnx—_x+l),g(x)在(0,1)上遞減，在上遞增，

g(x)>g(l)=0,,―lna+a—120,當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)取等號(hào).

①a=l時(shí)，/(x)有一個(gè)零點(diǎn)；

②a>l時(shí)，-e(0,l),/(-)=-lntz+?--e(0,l),/f-K-ln?+?-l>0,/(l)=0,/(^)=-4<0,此時(shí)/(x)

aaa\a)ee

有兩個(gè)零點(diǎn)；

③0<a<l時(shí)，->l,/(-)=-ln?+?-l>0,/(l)=0,/(^)=-21niz--+a,令

aaaa

(p{x}=-21nx--+x(x>1),cp(x)=——口->0,/.(p{x}在(0,1)上遞增,

xx

夕(x)<0(1)=0,/(^-)=-21ntz--+a<0,此時(shí)/(無(wú))有兩個(gè)零點(diǎn);

aa

綜上：々=1時(shí)，/（%）有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)〃>0且awl時(shí)，/（%）有兩個(gè)零點(diǎn);

(2)由(1)可知：--％+1,%工j1

令/1(%)=/+5畝%-％2+%-1,/1'(％)=/+<：0$%-2%+1?以一2%+1+?)$%>0,二〃(%)在(0,+8)上遞增,

A(x)>//(0)=0,+sinx>x2-x+1>xlnx+1.

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)

化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

7

19.(1)3P2cos之9+4夕?sin?夕=121一兀<0<兀)；(2)—

【解析】

（1）由已知，曲線。的參數(shù)方程消去r后，要注意x的范圍，再利用普通方程與極坐標(biāo)方程的互化公式運(yùn)算即可;

2

23cos1a+'

,由（）可得二=3cos24+4sin4+4sin2+

⑵設(shè)A(Q,6Q,40,4+511

12hfl

Pipi12

相加即可得到證明.

【詳解】

(1-t2、22

22It

(1)x+y=+I=1,

U+已1+7

]_產(chǎn)

???一-€(-1,11,???xw—1,Ax2+/=l(x—1),

1+/2I」

m

22

m=2x0mn八、

由題可知：<n<n——十—=l(mw-2),

n=n43

y。飛

G：3p2cos20+^p1sin20-12(-7U<0<7i).

12

（2）因?yàn)橄?=

3cos26^+4sin20

設(shè)A（%a）,,Pi，*+yj，

22

1_3cos+4sin0l

hP?-----------------r172------------------12

11117

--------j--------———?------——

222

|OA||OB|A古12-

本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.

【解析】

試題分析：

(I)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為｛x||<x<2

2929

(II)由題意可得面積函數(shù)為為§(。+1)一，求解不等式§(。+1)一>6可得實(shí)數(shù)4的取值范圍為(2,+8)

試題解析：

(/)當(dāng)0=1時(shí)，/(力〉1化為K+l|—2|x—1]—1>0,

當(dāng)xW—1時(shí)，不等式化為x—4>0,無(wú)解；

當(dāng)—1<%<1時(shí)，不等式化為3x—2>0,解得2<x<l；

3

當(dāng)xNl時(shí)，不等式化為—x+2〉0,解得lWx<2.

所以/(x)>l的解集為卜||■<x<21.

x—1—2Q,x<—1,

(〃)由題設(shè)可得，=<3x+l-2a,-l<,x<a,

-x+\+2a,x>a,

2a-l

所以函數(shù)的圖像與X軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為B(2a+l,0),c(a,a+l),

2/\2

AABC的面積為+1).

由題設(shè)得g(a+l)2>6,故a>2.

所以。的取值范圍為(2,內(nèi))

f1

21.（I）y+/=l；（II）S.M?S甌N=3,證明見解析?

【解析】

（I）根據(jù)題意列出關(guān)于。，b,c的方程組，解出。，b,。的值，即可得到橢圓G的方程;

y1一1x

（II）設(shè)點(diǎn)尸（七，％）,點(diǎn)。（/，%），易求直線8?的方程為：y-i=-一%,令y=o得，j=一，同理可得

七1-%

I]3x,x

S^o^CN=-xlx||x-x3x||=-x|---,-I,聯(lián)立直線/與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入上式，化

2249—3左(X+x2)+kxxx2

簡(jiǎn)即可得到S*SgcN=；.

【詳解】

%=1

a=-\/2

c_42

（I）解：由題意可知:解得＜b=l

a2

c=