2023-2024學年陜西省銅川市某中學高一年級下冊期末考試數(shù)學試題+答案解析

2023-2024學年陜西省銅川市第一中學高一下學期期末考試數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數(shù)Z滿足(3-=5,則2=()

43344334

A.-------iB.-------iC.-+-iD.-+-i

55555555

2.已知向量才=(2,m),了=(wz,3)，若定.7=5，則實數(shù)6=()

二4

A.-y/2B.0C.1D.-

O

3.已知直線/的一個方向向量為/=(—2,1"),平面Q的一個法向量為元=(4,—2,—2),若立a,則實數(shù)

力=()

A.-1B.-2C.1D.2

4.已知為兩條不同的直線，以0為兩個不同的平面，貝1()

A.若且。〃6,則。〃0

B,若Q_La,a_L。,則Q〃0

C.若a_L仇aC0=Q,b-La,則b_La

D.若Q,b為異面直線，Q_LQ,Q〃0,則b不垂直于

5.若一組數(shù)據(jù)Qi,。2,。3的平均數(shù)為4,方差為3,那么數(shù)據(jù)2QI+2,2a2+2,2a3+2的平均數(shù)和方差分別是()

A.10,12B.10,14C.4,3D,6,3

6.已知空間向量1=(1,0,3)/=(2,1,0),3=(5,2,z),若其員工共面，則實數(shù)z的值為()

A.0B.1C.2D.3

7.如圖，在△ABC中，已知NACB=120°,將△4BC以NC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為力,以

AC1

8C為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為匕，若％=2-，則石==()

￡>C

1111

A'2B-3。4D，5

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8.已知圓錐的頂點為P,母線長為2,軸截面為△PZB’NAPB=120°,若。為底面圓周上異于N,8的一

7F

點，且二面角P—A?！狟的大小為工，則△P/。的面積為（）

A.4B.2C.2\/2D.273

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.PM2.5是指大氣中空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物.PM2.5的監(jiān)測值是用來評價環(huán)境

空氣質(zhì)量的指標之一.如圖是某地5月1日至10日PM2.5的日均值（單位：〃g/m3）變化的折線圖，則下

列說法正確的是（）

相均值

100

80

60

40

20

o|i2345’6’789日期

A.這10天中PM2.5的日均值的極差為50

B.這10天中PM2.5的日均值的中位數(shù)為43

C.這10天中PM2.5的日均值的平均數(shù)為47.8

D.這10天中PM2.5的日均值的第80百分位數(shù)為69

10.已知Z1,Z2,Z3為復數(shù)，且為#0,則下列說法正確的是（）

A.若2：+2；=0,則句=?2=0B.若2送3=Z2Z3,則Z1=Z2

C.若Z2=百，則|213|=|?2Z3|D.若婢=2表則々=Z2

11.如圖，四邊形/BCD,跖都是邊長為2的正方形，平面48。。，平面/BEEP,0分別是線段

7T

A.PQ//DFB.異面直線NQ,尸尸所成角為己

C.點P到直線DF的距離為遺

D.△0RQ的面積是逐

2

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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知某圓柱的表面積是其下底面面積的4倍，則該圓柱的母線與底面直徑的比為.

13.已知平面。的法向量為方=(2,1,2),點4(0,1,1)為平面。內(nèi)一點，點P(l,0,2)為平面a外一點，則點

P到平面a的距離為.

14.如圖，在棱長為3的正方體4BCD-中，點跖N分別為棱N3,上的點，且⑷W=AN=1,

點尸是正方體ABCD-43G01表面上的一點，若QP〃平面CD.NM，則點尸的軌跡長度為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知平面向量方，了滿足同=2,|引=1,a―2M=舊+引.

⑴若才與8的夾角為仇求cos。的值；

(2)求才在方+了方向上的投影向量的模.

16.(本小題12分)

某公司為了解員工對食堂的滿意程度，隨機抽取了200名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對食堂的滿意

程度進行打分，所得分數(shù)均在性0,100]內(nèi)，將所得數(shù)據(jù)分成6組：

性0,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求。的值，并估計這200名員工所得分數(shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)和中位

數(shù)(精確到0.1)；

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⑵現(xiàn)從［70,80),［80,90)/90,100］這三組中用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取24人，求［70,80)這組中

抽取的人數(shù).

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，4Pl平面P8C,底面/BCD為菱形，且乙43。=60°，E,尸分別為3C,

CD的中點.

(2)已知。為棱8P上一點，且求證：PO||平面Q4F.

18.(本小題12分)

在中，角4。的對邊分別為a,b,c,且acos。+v^asin。=b+c.

⑴求力;

(2)若△ABC為銳角三角形，且b+c=4，^，求。的取值范圍.

19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面N8CZ)是平行四邊形，S.BC=NABC=45°，PABL

平面NBC。，PA=PB=BC.

⑴求證：平面PABJ_平面尸/C；

(2)在棱PC上是否存在點。，使得直線ND與平面8。。所成角的正弦值為零？若存在，求器的值；若

不存在，請說用理由.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

根據(jù)復數(shù)的乘、除法運算即可求解.

【解答】

解：由(3—4初z=5,

彳導?55(3+4z)5(3+的一34

3-4?(3—4,)(3+44)2555,

故選：D.

2.【答案】C

【解析】【分析】由數(shù)量積的坐標表示列方程即可求解.

【詳解】向量N=⑵m),b=(m,3),則才.7=2m+3m=5m=5,解得m=1.

故選：C.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查平面法向量與直線方向向量的定義，屬于基礎題.

根據(jù)線面垂直，可知胃//求，由此可得兩向量坐標之間有倍數(shù)關(guān)系，即可求得答案.

【解答】

解：當江a時，方〃記，所以(一2,1,力)=乂4,一2,—2),\ER

—2=4A]

則<1=—2A,解得A=——,t=1.

t=-2X2

故選：c.

4.【答案】D

【解析】【分析】由平面平行的判定定理可判斷/錯誤，由線面垂直性質(zhì)可判斷8錯誤，利用面面垂直的

性質(zhì)定理可判斷C錯誤；由反證法可得D正確.

【詳解】對于由平面平行的判定定理易知當兩個平面內(nèi)的兩條直線平行時，不能得出兩平面平行，即/

錯誤；

對于3,若則可得a〃?；騛U0,故2錯誤；

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對于C,由面面垂直的性質(zhì)知，兩個平面垂直時，僅當直線在一個平面內(nèi)且與交線垂直時才能確保直線與

另一個平面垂直，

而C中直線6與平面。的關(guān)系不確定，故6與a不一定垂直，故C錯誤；

對于。，若？a/L由條件易得a〃b,與二者異面矛盾，故。正確.

故選：D.

5.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為一組數(shù)據(jù)電,。2,。3的平均數(shù)為4,方差為3,

所以數(shù)據(jù)2%+2,2a2+2,2a3+2平均數(shù)為2x4+2=10,方差為22x3=12.

故選：A

6.【答案】D

【解析】【分析】利用三個向量共面，即可列出方程求出實數(shù)z的值.

【詳解】因為反江工共面，所以存在實數(shù)對(2,夕)，使得工=/日+沙加

即(5,2,z)=x(l,0,3)+y(2,l,0)=(x+2y,y,3x),

x+2y=5,(2=1,

沙=2,解得(沙=2,

{3/=、z=3.

故選：D.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查圓錐的體積，屬于中檔題.

分別過頂點3向?qū)呑鞔咕€，垂足分別為點。，E,設4。=6,BC=a,則。。=1，AD^—b^

22

CE=\a,BE=@a，結(jié)合圓錐的體積公式計算即可.

22

【解答】

解：分別過頂點N,3向?qū)呑鞔咕€，垂足分別為點D,E,如圖所示,

第6頁，共15頁

A

設AC=b，BC=Q，

又/4。8=120。則。。=與，AD=—b^CE=\a,BE=—,

2222

則%=$.,伍+|a)-$，(曰小.|a=，

^2=|^-(gb)2-(a+h)-|TT--h=^ab2，

所以匕=2=2,即=e=1

V2bBCa2,

故選：A.

8.【答案】B

_7T

【解析】【分析】作出輔助線，找到NPHO即為二面角P—A?！狟的平面角，即NPHO=z，并利用勾

股定理求出各邊長，求出三角形面積.

【詳解】由題意得P4=P_B=2,

設底面圓圓心為O,取/C的中點X,連接PH,PO,OH,

則N4P0=/BP。=60°，故0P=1,AO=OB=四，

因為PA=PC,OA=OC,所以PH_LAC，OHVAC,

_7T

故/PH。即為二面角P-AC-6的平面角，即/-PHO=

故OH=OP=1,PH=MOP=的,

2

由勾股定理得24H=HC=\]O?!—OH?=J3—i=，AC=2\/2>

所以△PAC的面積為—AC?PH=-x2\/2x\/2=2

故選：B

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9.【答案】ABD

【解析】【分析】由極差定義可判斷/正確，將數(shù)據(jù)按從小到大排序由中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)定義計

算可得C錯誤，正確.

【詳解】對于/，這10天日均值的最大值為80,最小值為30,所以極差為80-30=50,故N正確；

將10天中PW2.5日均值按從小到大排序為30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,

所以這10天中PM2.5的日均值的中位數(shù)為一41丁+45=43,故8正確；

這10天中產(chǎn)M2.5的日均值的平均數(shù)為

_30+32+34+40+41+45+48+60+78+80,。。,,

x=-------------------------------------------=48.8;故C錯誤；

因為10x0.8=8為整數(shù)，所以這10天中PM2.5的日均值的第80百分位數(shù)為第8個和第9個數(shù)的平均數(shù)，

即為6°；78=69,故。正確.

故選：ABD.

10.【答案】BC

【解析】【分析】易知21=，？2=1時滿足蜻+2；=0可得/錯誤，禾I用復數(shù)的運算法則可判斷3正確，C

正確，易知Z]=1,22=一[+'g，，Z1=Z2=1可得D錯誤.

【詳解】對于4,若Z1=，,Z2=1,則/+z：=,2+12=0,而此時Z浮0,Z2#0,故/錯誤；

對于3,因為21Z3=Z2Z3,所以的⑵一為)=0，又初#0，所以21—3=0，即Z1=Z2,故3正確；

設次=Q+歷,Z3=c+d〃(Q,b,c,dG7?),則3=萬=a—歷，

所以2送3=(Q+bi)(c+di)=(QC-bd)+(ad+bc)i,Z2Z3=(Q-bi)(c+di)=(QC+bd)+(ad-bc)i,

所以\ziz3\=(ac—bd)2+(ad+be)2=\Ja2c2+b2d2+a2d2+62c2，

〔次喇=(QC+bd)?+(ad—be)?=，Q2c2+b2d2+02d2+62c2,所以⑶匐=區(qū)卻,故C正確；

對于。，取Z1=1,Z2=—g+滿足2?=zg=l,而21/22，故。錯誤.

故選：BC.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

第8頁，共15頁

本題考查異面直線所成角，點線、線線距離的向量求法，屬于中檔題.

先利用面面垂直的性質(zhì)推得AD,/尸兩兩垂直，從而建立空間直角坐標系，進而利用向量法逐一分析

判斷各選項即可.

【解答】

解：因為四邊形N5C。，N3訪都是正方形，所以

又平面ABCDA.平面ABEF,平面ABCDH平面ABEF=AB<AFC平面ABEF,

所以平面/BCD,又ADU平面N3CD,貝!J4F_L4D,

所以48,AD,4F兩兩垂直，

以N為坐標原點，AD,AB,4F所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

則4(0,0,0),3(0,2,0),0(2,0,0),E(0,2,2),F(0,0,2),

又尸，。分別是線段8。的中點，所以Q(l,l,0),

所以司=(1,0,—1),方亍=(—2,0,2)=—2司，

又尸0,。尸不共線，所以PQ〃。尸，故/正確；

項=(1,1,0)，P^=設異面直線40,尸尸所成角為。，

福一7N1(%

則cosO=又ee0,-，所以。=可，

AQ\-\PF2\2J3

7T

即異面直線/。，尸尸所成角為可，故8錯誤；

O

__V2

由方=(0,_U),W=(-2,0,2)，得阿|F，

所以點尸到直線。尸的距離為(兩)2—寫母=Y◎，故C正確;

第9頁，共15頁

因為PQ//DF,所以。到。尸的距離即為尸到。咒的距離,

2

所以的面積S=j瓦曰><4=，^故。正確.

故選：ACD.

12.【答案】1：2

【解析】【分析】根據(jù)圓柱的表面積公式計算，再求母線及底面直徑的比.

【詳解】設圓柱的底面半徑為八母線為/,則2仃2+2仃/=4仃2,所以，=「，所以

2r2

故答案為：1：2.

13.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查點面距離的向量求法，屬于基礎題.

利用空間向量計算點面距離即可.

【解答】

解：由題意得助=(1,—1,1),

故點P到平面。的距離d=區(qū)里=1=1，

hl3

故答案為：1.

14.【答案】2，1^+2班

【解析】【分析】根據(jù)條件分別在棱4耳,5口取點反?，證明ECi〃平面CANM,同理FG〃平面

CDiNM,進而可得平面FEG〃平面。從而尸點在正方體表面上運動所形成的軌跡為△GEB,

進一步即可得解.

【詳解】在棱4耳上取一點E,使得4E=1,連接GE,EM,如圖所示，易得EM〃CCi，EM=CCX,

所以四邊形EMCCi是平行四邊形，所以MC//EC1，又刊Cu平面CAN”,

EGC平面CDJVA/,所以EQ〃平面CDiNAf.

在棱BBi上取一點尸，使得BF=1，連接月V,FE,FG，

如圖所示.同理可得F。//平面。

又FCinECi=Ci，U平面FECi，所以平面平面。

所以尸點在正方體表面上運動所形成的軌跡為△GEF.

因為正方體48。。-481。山1的棱長為3,所以EG=FCi=\/32+22=V13>

第10頁，共15頁

EF=，22+22=272，

所以點P的軌跡長度為EQ+FCi+EF=2>/13+2\/2.

故答案為：2，擊+2班.

15.【答案】⑴

因為國一2了|=|力+引,

所以方2_4方.了+472=/+2/.7+了之,

因為E=2,E=l,所以記?號=g,

。了1

所以cos0=

⑵

因為|才+了『=才2+2^.了+12=6，所以同+5=瓜

?（才+下）|_|記2+才.了|_3\/6

所以向量才在記+了方向上的投影向量的模為：I?X

|/|.|/+了||^+T|4

【解析】⑴根據(jù)國-2用=國+用兩邊同時平方化簡可得言?方=［，再根據(jù)向量的夾角公式計算即

可；

(2)先求出|a+b\,再利用向量數(shù)量積的幾何意義即可求得結(jié)果；

16.【答案】⑴

由題意知(0.005+0.010+0.025+0.035+a+0.010)x10=1,

解得a=0.015.

第11頁，共15頁

估計這200名員工所得分數(shù)的平均數(shù)

亍=45x0.05+55x0.1+65x0.25+75x0.35+85x0.15+95x0.1=72.5.

[40,70)的頻率為(0.005+0.010+0.025)x10=0.4,

[40,80)的頻率為(0.005+0.010+0.025+0.035)x10=0.75,

所以中位數(shù)落在區(qū)間[70,80),設中位數(shù)為加，所以(0.005+0.010+0.025)x10+(m-70)x0.035=0.5,

解得m772.9,即估計這200名員工所得分數(shù)的中位數(shù)為729

⑵

[70,80)的人數(shù)：0.035x10x200=70,[80,90)的人數(shù)：0.015x10x200=30,

[90,100]的人數(shù)：0.010x10x200=20,

70

所以[70,80)這組中抽取的人數(shù)為：24x=14.

【解析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求得參數(shù)。，結(jié)合平均數(shù)公式直接計算即可;

(2)算出各個區(qū)間的人數(shù)，用總抽取人數(shù)乘以抽樣比即可.

17.【答案】(1)

證明：如圖，連接4。.

因為底面A8CD為菱形，且NABC=60°,

所以△48。為正三角形，AD\\BC,

因為￡為5C的中點，所以BCLL4E.

又因為平面尸5C,8。。平面尸2C,所以BCLLAP.

因為APn4E=4,AP,4石。平面4尸￡,所以平面P4E.

因為PEU平面NPE,所以BC1PE,

因為4Q田。，所以PEL4D

⑵

證明：連接8。交/尸于點跖連接QM.

第12頁，共15頁

因為4B||CD,所以△/MBs△F&LD,

.DMDF1

m^BM=BA=2'

所以黑=：，又PQ斗B,

UJD6o

PQ^DM^l

PBDB3-

所以在△APO中，PD\\QM.

又因為QMU平面。NRPDg平面勿凡

所以PQ|平面QAF.

【解析】(1)連接NG由題意可得△48。為正三角形，則BCLAE，再由AP_L平面P3C,得BCLAP,

所以由線面垂直的判定定理得6C_L平面尸/￡,貝IJBC1PE，再由A0|田。，可證得結(jié)論；

⑵連接2。交/尸于點M,連接0”,則可得△AMBsAFWO,則曾吳，所以結(jié)合已知可得

UID3

廚=繆=：,所以P0IQM,再利用線面平行的判定定理可結(jié)論.

rijDID3

18.【答案】⑴

因為acosC+V^asinC=b+c，

由正弦定理得sin4cos。+\/3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sin。，

=sin4cosc+cosAsinC+sinC,

所以V3sinAsinC-cosAsinC=sinC，

因為Ce(07),所以sin。/)，

所以sinA-cos4=1，即2sin(4——=1,

所以sin(4—：)=；,因為4e(0,7r),

g、I7r47r57r口口47T_7T

所以一/一/</，即=

6660b

“7T

可得4=示

O

⑵

由正弦定理得二三=T'

smAsmBsmC

a6+c且4=[b+c=4\/3,

sinAsinB+sinCo

第13頁，共15頁

(b+c)sinA66

所以“二

sinB+sinC.c.(2穴~~~v^31

smB+sinI———BsinB+cosB+-sinB

62通

\/3sin(B+3

sin+

7T27r7T7T7T

因為△ABC為銳角三角形，0<8<5,0<。=石—8〈萬，所以

z<5zoz

所以3+3《彳)即sin(8+3e(享1

可得ae[2遍,4),

即a的取值范圍為[2，9,4).

7T

【解析】(1)由正弦定理可得通sinA_cos4=1，再利用輔助角公式可得▲=可；

O

2^3k.

(2)利用正弦定理可得.=/吟,再由I<3J并利用三角函數(shù)單調(diào)性可求得a的取值范圍.

smIB+—I02

19.【答案】⑴

證明：在△48。中，BC=&B，乙43。=45°，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos45°=AB2，所以AC2+AB2=BC2>即AB1AC.

因為平面PA