2024年黑龍江省齊齊哈爾市高考數(shù)學三模試卷（附答案解析）

2024年黑龍江省齊齊哈爾市高考數(shù)學三模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）已知集合/=｛稱猶=2,aeN）,若/UN,則所有。的取值構(gòu)成的集合為（）

A.{1,2}B.{1}C.{0,1,2}D.N

2.（5分）復(fù)平面內(nèi)B,C三點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1-32-i,3+z,若四邊形N5CD為平行四邊形,

則點。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.2B.2+zC.1D.1+z

3.（5分）設(shè)尸為拋物線C：歹=小的焦點，若點尸（1,2）在。上，則|尸尸尸（)

5917

A.3B.C-4D.一

28

l—aex

4.（5分）若/(%)=sin》為偶函數(shù)，則

l+ex

A.1B.0C.-1D.2

5.（5分）某同學參加社團面試，已知其第一次通過面試的概率為0.7,第二次面試通過的概率為0.5.若

第一次未通過，仍可進行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗，否則視為面試通過，則該同學通

過面試的概率為（）

A.0.85B.0.7C.0.5D.0.4

6.（5分）設(shè)必為等差數(shù)列｛斯｝的前幾項和，&=2,56=12,則S8=（）

A.8B.10C.16D.20

7.（5分）已知某圓錐的底面半徑長為2,側(cè)面展開圖的面積為等，則該圓錐內(nèi)部最大球的半徑為（）

113

A.-B.-C.1D.—

322

8.（5分）設(shè)xi,X2（xi<X2）為函數(shù)/（x）=3sinx-1在區(qū)間（0,n）的兩個零點，則sin（%2-xi）=（）

V24V212

A.—B.-----C.-D.一

3933

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）已知a,b>0,則使得成立的一個充分條件可以是（）

11

A.—<—B.\a-2|>|Z?-2|

ab

C.a^b-ab2>a-bD.In（tz2+l）>ln（Z?2+l）

第1頁（共16頁）

（多選）10.（6分）已知正方體/歸1。。1-/8。。的棱長為3/在棱//1上，41。=九4/1，Ae[0,1],E

為CCi的中點，則（）

A.當入=0時，/到平面的距離為舊

B.當；1=4時，/E_L平面

C.三棱錐/-PBD的體積不為定值

D.與平面P2D所成角的正弦值的取值范圍是[學，孝]

（多選）H.（6分）在平面直角坐標系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”,

將焦點在坐標軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)45°,即得“斜橢圓"C』+/+中=1,設(shè)尸Go,

jo）在C上，貝1J（）

A.“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為y=x

V6

B.C的離心率為三

/y2

C.旋轉(zhuǎn)前的橢圓標準方程為5++=1

3

八22V3

D.--<y0<—

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（x+?）6的展開式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

13.（5分）在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里的一個非常重要的不動點定理，簡單的講就是對于

滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f（x）,存在一個點猶，使得/（xo）=xo,那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函

數(shù).函數(shù)/（x）=2x-sinx+cosx有個不動點.

14.（5分）已知圓C：（x-3）2+（y-3）2=4,點/（3,5）,點2為圓C上的一個動點（異于點/）,若

點P在以N3為直徑的圓上，則尸到x軸距離的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

1

15.（13分）已知△/8C的內(nèi)角/C的對邊分別為a,b,c,AABC的面積為5a（cs譏C+bsinB-asinA）.

（1）求/；

（2）若a=2,且△/8C的周長為5,設(shè)。為邊8c中點，求ND

16.（15分）如圖，在三棱柱/2C-4121C1中，平面441。。_1平面/2。,/3=/。=2。=441=2,418=傷.

第2頁（共16頁）

(1)證明：ACLA\B-.

(2)求二面角A-CBi-B的正弦值.

17.(15分)已知函數(shù)/(久)=asm芋Deos%。三%三兀),a>0)乂=*為/⑴的極值點.

(1)求a-Inb的最小值；

(2)若關(guān)于％的方程/(%)=1有且僅有兩個實數(shù)解，求。的取值范圍.

18.(17分)已知雙曲線C；苴一卷=1(￡1>0,b>0)的實軸長為2,設(shè)尸為C的右焦點，T為。的左頂

點，過尸的直線交。于N,B兩點,當直線斜率不存在時，△Z48的面積為9.

(1)求。的方程；

(2)當直線48斜率存在且不為0時，連接口，窗分別交直線％=號于尸，0兩點，設(shè)M為線段尸。

的中點，記直線/￡W的斜率分別為由，42,證明：上加2為定值.

12

19.(17分)甲、乙兩同學進行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為5，乙射擊一次命中的概率為

比賽共進行"輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊"次，每次命中得2

分，未命中得0分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，

則得0分，并終止射擊.

(1)設(shè)甲同學在方案一中射擊"輪次總得分為隨機變量的，求E(&o)；

(2)甲、乙同學分別選取方案一、方案二進行比賽，試確定N的最小值，使得當“2N時，甲的總得

分期望大于乙.

第3頁(共16頁)

2024年黑龍江省齊齊哈爾市高考數(shù)學三模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.(5分)己知集合/={x|亦=2,aCN},若NUN,則所有。的取值構(gòu)成的集合為()

A.{1,2}B.{1}C.{0,1,2}D.N

【解答】解：；/={x|ax=2},/UN,

故當/=0時，易求a=0；

9

當/W0時，由久=&CN得，a=l或2.

綜上得：aG{0,1,2}

故選：C.

2.(5分)復(fù)平面內(nèi)N,B,。三點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1-32-i,3+3若四邊形/BCD為平行四邊形,

則點。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

A.2B.2+zC.1D.1+z

【解答】解：由題意知/,B,C三點的坐標為/(1,-1),B(2,-1),C(3,1),

—>—>

設(shè)復(fù)平面內(nèi)點。(x,歹)，則4B=(1,0),DC=(3-x,1-歹)，

又四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，則旗=立貝唱］：二；，解得{；二；則。⑵1).

故選：B.

3.(5分)設(shè)方為拋物線C：?=〃/的焦點，若點尸(1,2)在。上，則|尸尸尸()

5917

A.3B.—C.-D.—

248

【解答】解：依題意，2=aX12,解得。=2,

所以C：久2=，的準線為y=一5所以|叫=2+/=等

故選：D.

1_/7Q%

4.(5分)若/(%)==譏%為偶函數(shù)，則4=()

A.1B.0C.-1D.2

1__Zl/jX

【解答】解：由/(U=1+exsinx,

sinx1

得f(x)==/(一久)=1T號sin(-x),

第4頁(共16頁)

因為/（X）為偶函數(shù)，所以/（-X）=/（X），

l—ae~xl—aex

即二-----sin(-%)="——sinx,

l+e~x''l+ex

l-ae-xa-exl—aex

所以一解得

l+e-xT+e^1+e%a=L

故選：A.

5.（5分）某同學參加社團面試，已知其第一次通過面試的概率為0.7,第二次面試通過的概率為0.5.若

第一次未通過，仍可進行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗，否則視為面試通過，則該同學通

過面試的概率為（）

A.0.85B.0.7C.0.5D.0.4

【解答】解：依題意，第一次面試不通過的概率為0.3,第二面試不通過的概率為0.5,

因此面試失敗的概率為0.3X0.5=0.15,

所以該同學通過面試的概率為1-0.15=0.85.

故選：A.

6.（5分）設(shè)&為等差數(shù)列｛即｝的前〃項和，$2=2,5,6=12,則S8=（）

A.8B.10C.16D.20

【解答】解：依題意，$2=%+=2,56=X6=12,所以。1+°6=4,

CL（i—CLn21

故。6-02=2,所以數(shù)列｛斯｝的公差為，［=仁=.

6—24L

所以S8=毀竺-8=%+：6+1-8=燮X8=20.

故選：D.

7.（5分）已知某圓錐的底面半徑長為2,側(cè)面展開圖的面積為等，則該圓錐內(nèi)部最大球的半徑為（）

113

A.-B.-C.1D.—

322

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)母線長為/,依題意x2兀x2=學，解得I=學，

所以圓錐的高為％=］（學）2-22=

作出圓錐軸截面圖象,

設(shè)圓錐內(nèi)部最大球即與圓錐相切的球的半徑為r,

,一SO1

由于△SO5?/XSCOi,則

OBSB

第5頁（共16頁）

8

rr

可得5=F-,解得r=l?

故選：C.

8.（5分）設(shè)xi,X2（xi<X2）為函數(shù)/（x）=3sinx-1在區(qū)間（0,n）的兩個零點，則sin（X2-xi）=（）

V24V212

A.—B.-----C.-D.一

3933

【解答】解：因為xi,X2E（0,ii）（xi<%2）,sin（K-x）=sinx,

所以xi+%2=m

貝！Jsin（%2-xi）=sin（n-2xi）=sin2xi=2sinxicosxi,

因為s譏％1=可，

所以COS%1=與工

所以sin（%2—=2xx

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）已知〃，*>0,則使得“a>b”成立的一個充分條件可以是（）

11

A.—<—B.\a-2|>|/?-2|

ab

C.a^b-ab2>a-bD.In（tz2+l）>ln（抉+1）

【解答】解：a,b>0,

貝!Jab>0,

11

-<-

ab

則b<a,故A正確；

當〃=1,b=2時，滿足|〃-2|>口-2],但不滿足故5錯誤;

a2b-ab2>a-b,

第6頁（共16頁）

11

則a+w>b+萬，

函數(shù)>=久+]在（0,+8）上不單調(diào)，故C錯誤；

In（a2+l）>ln（廬+1）,

則滔+1>扶+1,即。2>序，

。>0,b>0,

則q>6,故。正確.

故選：AD.

—

（多選）10.（6分）已知正方體/1用。1。1-/2。。的棱長為3,尸在棱/131上，力止="181，A￡[0,1],E

為CO的中點，則（）

A.當入=0時，/到平面尸8。的距離為百

B.當4=*時，/￡_L平面P5D

C.三棱錐/-依。的體積不為定值

D.N3與平面所。所成角的正弦值的取值范圍是[字，芋]

【解答】解：當人=0時尸與小重合，則/-P3D為正三棱錐，BD=3V2,

設(shè)/在平面尸內(nèi)的投影為。，則O為△尸3。的中心，

則OB=1J（3V2）2—（挈）2=V6,

所以AO=[32—（遍）2=q,即當入=0時，點/到平面形。的距離為國，故N正確；

a

由正方體的性質(zhì)可得平面/CCl/i，/Eu平面/CCi/i，所以gn_L4￡,

設(shè)歹為3囪的中點，連接所、AF,則E7LL平面/A814,APu平面48囪/1,所以

當4日時尸為/出的中點，則AABF當ABBiP,

所以NE4B=NPBBi，

又4ABP+乙PBBi=^,所以+=￡,

第7頁（共16頁）

所以N尸_L8尸,

又AFCEF=F,AF,EFu平面/所,

所以平面/￡u平面/￡/,

所以BP_L/E,

BDCBP=B,BD,BPu平面P3D,

所以4E_L平面尸AD,故2正確;

當尸運動時，P到平面的距離保持不變?yōu)?,

_1oo_9

又S/i4BD—]XJXy3—2,

所以匕4-PBD=P-ABD=可義3*2=2,

所以三棱錐4-尸5。的體積為定值，故。錯誤;

由?？芍忮FA-PBD的體積為定值，設(shè)點A到平面PBD的距離為d,AB與平面PBD所成角為仇

所以d=3乙一。皿-27,

S^PBD2sAPBD

顯然當a=0時，4PBD的面積最大為fx（3板）29V3

2

則4n加=國Z—=二^=V3,

乙、APBD2X芋

此時AB與平面PBD所成角正弦值立加=焉=字,

1f-9V2

當入=1時，△PAD的面積最小為5x(342)x3=—.

27_27_372

則加

2sAPBD2x孥2

第8頁（共16頁）

此時AB與平面PBD所成角正弦值sin。=9=子=?，

所以N5與平面尸8。所成角正弦值的取值范圍是［苧，￥］,故。正確.

故選：ABD.

（多選）11.（6分）在平面直角坐標系xQy中，長、短軸所在直線不與坐標軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”,

將焦點在坐標軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)45°,即得“斜橢圓”C爐+中=1,設(shè)尸Go,

jo）在C上，貝1］（）

A.“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為y=x

V6

B.C的禺心率為三

/y2

C.旋轉(zhuǎn)前的橢圓標準方程為5+考=1

3

八2V3「門

D.--<y0<—

【解答】解：易知斜橢圓關(guān)于y=x和歹=-X對稱，

、=%

聯(lián)乂+y2+%y=1，

解得了=I,

聯(lián)+y2+xy=1）

解得了=1>|,

所以c的兩焦點所在直線方程為y=-X,故選項/錯誤；

由選項A可知，y=x與C相交的兩點之間距離等于短軸為2xax=孚，

>=-尤與。相交的兩點之間距離等于長軸為2x&xVI=2a,

所以焦距為21（遮尸一呼）2=竽，

4V3廣

V6

則C的離心率為B=―,故選項B正確；

2V23

因為旋轉(zhuǎn)不改變橢圓的長短軸大小，

%2V2

所以旋轉(zhuǎn)前的橢圓焦點在X軸上，曲線方程為5+三-=1,故選項C正確；

3

因為，+盯+產(chǎn)-i=o,關(guān)于x的方程有解,

第9頁（共16頁）

所以產(chǎn)-4(y2-1)NO,

解得—竽wyw竽，故選項。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(久+§)6的展開式中，/的系數(shù)為16Q.(用數(shù)字作答)

【解答】解：二項式(％+?)6展開式的通項為rr+i=C"6T(?)r=C"6-2『(2y)r(0WrW6且reN),

所以展開式中丁的項為C泳o(2y>=160y3,

所以丁的系數(shù)為160.

故答案為：160.

13.(5分)在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里的一個非常重要的不動點定理，簡單的講就是對于

滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/(x),存在一個點xo,使得/(xo)=xo,那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函

數(shù).函數(shù)f(x)=2x-sinx+cosx有1個不動點.

【解答】解：令/(x)=2x-sinx+cosx=x,即x-sinjr+cosx=0,

由題意可知即求函數(shù)g(x)=x-sinx+cosx的零點個數(shù)，

當％之芻時，5(%)=%-V2sin(x>^-V2>0,此時不存在零點；

當xW-ir時，,g(x)=%-V2sin(x-<-7T+V2<0,此時不存在零點；

當工￡(—兀，5)時，=1—需s譏(％+與)，

.+兀<

令g'(x)>0,m-V2因為XE(—71/2)，解得：xE(-n,0),

si4

SL包

m.+7T->2

令g'(x)VO,4因為％E(—兀，￡),解得：XG(0/5),

所以g(x)在(-m0)上單調(diào)遞增，在(0,￡)上單調(diào)遞減，g(-11)<0,g(0)=1>0,

故g(X)在(-7T,掾)上有且僅有一個零點，

綜上所述，f(x)=2x-sim+cosx僅有一個不動點.

故答案為：1.

14.(5分)已知圓C：(x-3)2+(廠3)2=%點4(3,5),點5為圓。上的一個動點(異于點4),若

11

點尸在以45為直徑的圓上，則尸到％軸距離的最大值為

第10頁(共16頁)

【解答】解：設(shè)5(xo，泗)，則ZB=，(%o—3)2+(y。-5產(chǎn)=2J5—y(),

則N3中點M(嘮，竽)，

當尸在M上方，且尸軸時，P到x軸距離取得最大值,

此時，設(shè)尸到x軸距離為力則4=乒五+竽，

設(shè)1=J5-y()€(0,2],貝Uy()=5—則d=t+!。2匚=?一('2^)'

所以當f=l,即/=4時，d取得最大值日，

11

即P到X軸距離的最大值為萬.

11

故答案為：—.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

1

15.(13分)已知△45C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AABC的面積為5a(cs譏C+bsinB—asinA).

(1)求/；

(2)若〃=2,且△45C的周長為5,設(shè)。為邊5c中點，求4D.

11

【解答】解：(1)依題意，—a(csinC+bsinB—asinA)=—absinC,

所以csinC+bsinB-asirU=6sinC,

由正弦定理可得，2+B-W=bc,

1

由余弦定理，c2+b2-a2=2bccosA,解得cosA=彳

因為Ne(0,n),所以A=*

(2)依題意，b+c=5-a=3,

因為d+爐-bc=(b+c)2-3bc=a2,解得be='l，

因為=4B+AC)，

第11頁(共16頁)

所以啟斗易+的=%也=如*=與1=和

16.(15分)如圖，在三棱柱/8C-48C1中，平面441cleLL平面/8C,/3=/C=8C=44i=2,AiB=V6.

(1)證明：AC±AiB；

(2)求二面角A-CB\-B的正弦值.

【解答】解：(1)證明：取NC的中點。，則30L/C,且8。=百,

C

因為平面441cle平面4BC,且平面441cleD平面4BC=/C,3Ou平面48C,

所以80_L平面44C1C,

因為NiOu平面441clC,

所以8O_LN1O,

所以43=逐，BO=V3,所以&。=百，

因為NO=1,44i=2,所以NO_L/i。，

又因為/O_LB。，A\O^BO=O,AiO,3。＜=平面出。3,

所以NC_L平面408,

又NiBu平面小。瓦

所以NCA&

(2)如圖所示，以。為原點，OA,0B,0/1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系。

_xyz,

第12頁(共T6頁)

可得4(1,0,0),C(一1,0,0),B(0,V3,0),B1(—1,V3,V3),

-?->—?

因為4c=(一2,0,0),CB1=(0,V3,遮),CB=(1,遮,0),

設(shè)平面/C8i的法向量為元=(x,y,z),

E1g，即「子=必得[-2x=0,

則

nr1CBX(江-CBi=0,lV3y+V3z=0,

令>=1,貝IjZ=-1,

所以%=(0/1/-1),

設(shè)平面囪5。的法向量為匯=(租，n,p),

/—?(_?->_

則方”,即了加0,得+丹=0,

(n21CB](n2?CBi=0,VV3n+,3p=0,

令m=W,則〃=-l,2=1，

所以九2=(百，一1，1)，

記二面角A-CB\-B的平面角為a,

因為|cosa|=I)?I=屋q=

顯然sina>0,所以sina=V1—cos2a=Jl—

rrr

所以二面角A-CB\-B的正弦值為一^一.

17.(15分)已知函數(shù)/(%)=asmx￡bcosx(0三%三兀),a>0,乂=物/5)的極值點.

(1)求a-Inb的最小值;

(2)若關(guān)于％的方程/(x)=1有且僅有兩個實數(shù)解，求。的取值范圍.

acosx+bsinx—asinx+bcosx

【解答】解：(1)，

依題意，/(?)=空=0.所以。-6=0,

,e2

所以a-lnb=a-Ina,

第13頁(共16頁)

1,y_1

設(shè)g(x)=x-Inx,則g(%)=1——=

當xW(0,1)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(1,+8)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當x=l時，g(x)取得最小值g(1)=1,

所以。-歷6的最小值為1；

(2)由(1)可知，以x)=如叱尸),

a,sinx—cosx1

令/(x)=1,則--------=一，

exa

?>ni/、sijxxcosxrrt.i7〃、2cosx

設(shè)九(%)=—3—，則九G)=~^，

當％6(0,5)時，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，

當無€(5,兀)時，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

且/i(0)=—1,%(5)=e-2//i(7i)=e-7r,

71

所以ae(e2,e71].

18.(17分)已知雙曲線C；b>0)的實軸長為2,設(shè)尸為C的右焦點，T為。的左頂

點，過尸的直線交。于N,B兩點,當直線斜率不存在時，△Z48的面積為9.

(1)求。的方程；

(2)當直線48斜率存在且不為0時，連接口，窗分別交直線x=稱于尸，0兩點，設(shè)M為線段尸。

的中點，記直線/￡W的斜率分別為由，42,證明：上加2為定值.

【解答】解：(1)依題意，2。=2,解得。=1,

設(shè)。的焦距為2c,則。2-2+戶，

v242

將x=c代入方程靛一京■=1,可得|y|=0，

12b2

所以的面積為:(c+a)x—=9,

解得b=V3,

所以C的方程為久2-。=1；

(2)證明：由方程得7(-1,0),F(2,0),

設(shè)直線48：x=my+2,A(xi,yi),B(X2,y2)>

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x=my+2，

可得2叼

與C的方程聯(lián)立2(3m-1)/+12+9=0,

X-4L

_12g

所以yi+y2=3m2_］，為力=用滔二pA=(12w)2-36(3m2-1)>0,

設(shè)直線T4y=韶(x+1),令x=4,解得y=2(；；；iy所以P?，2(；%))，

同理可得,Q*^U),

/以”二13yl3y2、-32znyiy2+3(yi+y2)

2(2(%i+l)2(久2+D)4TH2yly2+33yl+