2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】原卷版+解析版_第1頁(yè)
2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】原卷版+解析版_第2頁(yè)
2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】原卷版+解析版_第3頁(yè)
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2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】原卷版+解析版_第5頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】.................................................................3

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】............................................................4

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】............................................................4

【題型4三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】.....................................................................5

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】..........................................................5

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】..............................................................6

【題型7三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】............................................6

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】........................................................................7

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】..........................................................8

?考情分析

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)能畫(huà)出三角函數(shù)的圖

象2023年新課標(biāo)I卷:第15題,

⑵了解三角函數(shù)的周期5分三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱

性、奇偶性、最大(?。?023年天津卷:第6題,5分點(diǎn)內(nèi)容,其中三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱

值2024年新課標(biāo)I卷:第7題,性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高

(3)借助圖象理解正弦函5分考考察的重心.從近幾年的高考情況來(lái)

2024年新課標(biāo)II卷:第9題,看,比較注重對(duì)三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之

數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2出上

6分間的邏輯關(guān)系的考查,試題多以選擇題、

的性質(zhì)及正切函數(shù)在2024年全國(guó)甲卷(文數(shù)):填空題的形式呈現(xiàn),難度中等或偏下.

(一f上的性質(zhì)第13題,5分

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】

1.三角函數(shù)的定義域的求解思路

求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組),解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)的幾種類型:

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函數(shù)化為尸4sin(ox+p)+c的形式,再求值域(最值);

(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可先設(shè)sinx=/,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最值);

(3)形如y=asinxcosx+b(sinx士cosx)+c的三角函數(shù),可先設(shè)尸sinx士cosx,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最

值).

【知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、奇偶性的求解思路】

1.三角函數(shù)周期的一般求法

(1)公式法;

(2)不能用公式求函數(shù)的周期時(shí),可考慮用圖象法或定義法求周期.

2.三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解策略

(1)對(duì)于可化為外)=/sin(5+°)(或於)=/cos(s+p))形式的函數(shù),如果求段)的對(duì)稱軸,只需令

■7T

a)x+(p=y+ATI(A:GZ)(或令69%+夕=析(左€Z)),求x即可;如果求/(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令

、7T

0x+p=加(左CZ)(或令0x+°=,+E(任Z)),求x即可.

(2)對(duì)于可化為/(x)=/tan(0x+9)形式的函數(shù),如果求/(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令a>x+<p=?~

(任Z)),求x即可.

3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外,還可以借助其圖象與性質(zhì),在y=/sin(ox+o)中代入x=0,

若尸0則為奇函數(shù),若y為最大或最小值則為偶函數(shù).

■JT

若產(chǎn)/sin(ox+9)為奇函數(shù),貝!I夕=析(左CZ);若尸Zsin@x+p)為偶函數(shù),則9=,+版(46Z).

【知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的解題策略】

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法

求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先化簡(jiǎn)成尸4sin(ox+p)形式,再求y=Nsin(ox+p)的單調(diào)區(qū)間,

只需把cox+<p看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,注意要先把o化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路

對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問(wèn)題,首先,明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間的子集,其次,要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而利用它們之間的關(guān)系可求解,另外,若是選

擇題,利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.

【方法技巧與總結(jié)】

1.對(duì)稱性與周期性

(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是;個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)

稱軸之間的距離是;個(gè)周期.

(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是g個(gè)周期.

2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

TT

⑴若尸4sin(s:+9)為偶函數(shù),則(p=k7i+5(左CZ);若為奇函數(shù),則夕=左兀(任Z).

7T

(2)若〉=4COS(S+9)為偶函數(shù),貝I9=E/EZ);若為奇函數(shù),則9=左乃+1(左EZ).

(3)若^=4@11(公什夕)為奇函數(shù),貝!J9=左兀(左EZ).

?舉一反三

【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】

【例1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/0)=3"皿2力+2-,)在區(qū)間[-311,3可上的圖象可能是()

A.2B.3C.4D.6

【變式1-2](2024?山東?一模)函數(shù)/(幻=邕焉小,貝如=/(%)的部分圖象大致形狀是()

A.B.

斗斗

C.D.

【變式1-31(2023?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(%)=於+e—久,g(%)=sim?,下圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖

像()

A./(%)+5(%)-2B./⑶―久久)+2

C.f(x),g(x)D.需

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】

【例2】(2024?廣東湛江?二模)函數(shù)f(x)=4sin(5x-3在[。,當(dāng)上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[—2,2]B.[—2,4]C.[—2A/3^,4]D.[—2V^,2]

【變式2-1](2024?河南鄭州一模)已知函數(shù)f(x)=2sin(3xT(3>0)在陪]上的值域?yàn)閇-1,2],貝必的

取值范圍為()

A-[Q]B.g,|]C,[|,i]D,[|,1]

【變式2-2](2024?安徽安慶?二模)己知函數(shù)/⑴=2cos2(ox+sin2o)x-l(a>>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)值,0)對(duì)稱,

且外幻在(0,9)上沒(méi)有最小值,則3的值為()

A.-B.C.-|D.-

【變式2-3](2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)已知函數(shù)/(X)=Xsin(?jx+(p}(A>0,3>0,\<p\<的最大值為2,

其圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為宏且/(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)對(duì)稱,則/(%)在區(qū)間上的最

小值為()

A.-V3B.-1C.-2D.0

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】

【例3】(2024全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/0)=3訥(3刀+5+1,則下列結(jié)論不正確的是()

A./(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)解,1)對(duì)稱

B.若/(x+t)是偶函數(shù),貝ijt=^+^ez

C.久久)在區(qū)間[o圖上的值域?yàn)閲?guó)圖

D./(X)的圖象關(guān)于直線x=J寸稱

【變式3-1](2024?貴州黔南?二模)若函數(shù)f(x)=cos(x冶+/為偶函數(shù),則⑴的值可以是()

,5TTc4n——11

A.—oB.-5C.ITD.Tz

【變式3-2](2024?甘肅隴南?一模)下列函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為乂=5+々11上€2的是()

A./(x)=sin(%—三)B./O)=cos(x+§)

C./(%)=sin(2%-,D./(x)=cos(2x+T"l

3

【變式3-3](2024?廣東佛山?二模)已知函數(shù)/(無(wú))=5也(3%+軟3>0)在6毛]有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),且/偌

)=/O,則“久)圖象的一條對(duì)稱軸是(

A7冗nHEC13n15TT

A?久=五B.“fC.久=工D.%=—

【題型4三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】

【例4】(2024?天津?一模)下列函數(shù)中,

A./(%)=sin|x|B./(%)=|sin2x|

C./(%)=cos|%|D./(%)=|cos2x|

【變式4?1】(2023?湖南長(zhǎng)沙?一模)已知函數(shù)/(%)=sin(3%(1<3<2),若存在%i,%26R,當(dāng)

1%1—X2|=2n時(shí),/(%1)=/(%2)=。,則函數(shù)/(%)的最小正周期為()

.211

A.—B.TC.2冗D.4n

【變式4-2](2024?安徽馬鞍山?三模)記函數(shù)f(x)=sin(3x+J)(3>0)的最小正周期為T,若

</(%)<|/(^)|,則3=()

c10c

A-TB-T-ID-i

ab

105

【變式](?內(nèi)蒙古赤峰?三模)定義運(yùn)算如果cd=ad—be,/(%)=

4-320232sin?%+w)

(3〉0,0<中<3),0滿足等式V^sinp=cosg,函數(shù)/(%)在(0弓)單調(diào)遞增,則3取最大值時(shí),函數(shù)/(久)的最

小正周期為()

Tl

A.3irB.nC.2D.2JI

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】

【例5】(2024?青海?模擬預(yù)測(cè))下列區(qū)間中,函數(shù)/(x)=3sin(x+取單調(diào)遞增的區(qū)間是()

A.您)B-(分)

C0片)D.(11,271)

【變式5-1](2023?陜西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sin(2x+Q)在無(wú)=?處取得到最大值,則/(x)的一個(gè)單

調(diào)遞增區(qū)間是()

從(,冷)B.1令C.居詈)D,停會(huì)

【變式5-2](2023?貴州?模擬預(yù)測(cè))已知a=sinl,b=sin-,c=sin2,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式5-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=$也9一%)應(yīng)(%)=(:05(%-。則使得/(g(%))和9(/(%))

都單調(diào)遞增的一個(gè)區(qū)間是()

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】

[例6](2023?天津?二模)若函數(shù)f(x)=2sin(3x+g(3>0)在區(qū)間⑶上具有單調(diào)性,則3的最大值

是()

A.1B.2C.3D.4

【變式6-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)萬(wàn)支)=411(3%+3(3>0)的周期為7,且滿足T>2m若函

數(shù)f(x)在區(qū)間0不單調(diào),則3的取值范圍是()

A-(|,1)B.g,l)

C(|,1)D,電1)

【變式6-2](2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=2sin(3x+0)(3>0,陽(yáng)<]),/(%)</(x)+f

得-x)=0,/⑴在&患)上單調(diào),則3的最大值為().

A.3B.5C.6D.7

【變式6-3](2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))定義min{a,6}={吃羽設(shè)函數(shù)f(x)=min{sin3x,cos3x}(3>0),可

以使/⑶在(|笑)上單調(diào)遞減的3的值為()

A.[|,|]B.[2,3]C.[|,2]D.[3,4]

【題型7三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】

【例7】(2024?河南新鄉(xiāng)?三模)已知函數(shù)/(%)=cos(tox+9)(0<o)<10,0<(p<n)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是

4,0),點(diǎn)B(o,亨)在/(久)的圖象上,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A./(x)=cos(2x+JB.直線x=等是/'(%)圖象的一條對(duì)稱軸

C.f(久)在導(dǎo)用上單調(diào)遞減D.1+方是奇函數(shù)

【變式7-1](2024?天津?模擬預(yù)測(cè))已知/'(%)=sinQox+0)(&)>0,|勿<以為偶函數(shù),g(x)=sin

(3X+9),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()

②若g(x)的最小正周期為3TT,則3=|;

③若gQ)在區(qū)間(。刀)上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn),則3的取值范圍為尊引;

④若9。=孚,則3的最小值為2.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式7-2](2024?河北唐山?一模)已知函數(shù)/(%)=|sin3%|+COS3%?>0)的最小正周期為兀,則()

A./㈤在[-睛]單調(diào)遞增B.停,0)是/⑺的一個(gè)對(duì)稱中心

C./Q)在的值域?yàn)椋?,向D.尤='是/Q)的一條對(duì)稱軸

1

【變式7-3](2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)f(x)=cosx-黑,現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論:

①/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)g,0)對(duì)稱;

②函數(shù)九0)=|/(x)|的最小正周期為2n;

③函數(shù)g(x)=2f⑺+|〃X)|在(0()上單調(diào)遞減;

④對(duì)于函數(shù)g(x)=2/(%)+|/(x)|,v%e(o,^),31^(%)I=g。+n).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為()

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】

【例8】(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(X)=3cos?x+d)(3<0,—方<卬<])的最小正周期為m

在區(qū)間(一?)上單調(diào)遞減,且在區(qū)間(05)上存在零點(diǎn),則0的取值范圍是()

A-(兄)B.修冶]C.配)D.(。局

【變式8-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sin(2兀3乂)(3>0)在區(qū)間(0,2)上單調(diào),且在區(qū)間[0,18]

上有5個(gè)零點(diǎn),則3的取值范圍為()

【變式8-2](2024?全國(guó)?一模)已知函數(shù)f(x)=sin(3久+^(3>0)在區(qū)間品]上恰有3個(gè)零點(diǎn),則3的取

值范圍是()

A.[|即”4,引B.9山管用

C4當(dāng)乂5另D.合,5]u得潦)

【變式8-3](2023?四川雅安?一模)已知函數(shù)/(%)=2cos(a%+0)(3>0且一5<8<]),設(shè)T為函數(shù)/(%)

的最小正周期,/6)=-1,若"%)在區(qū)間[0,1]有且只有三個(gè)零點(diǎn),則3的取值范圍是()

A.號(hào)用B.他,引)C.陰D.修,陰

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例9】(2024?上海金山?二模)已知函數(shù)y=/(%),記/(%)=sin(3%+g),co>0,0<(p<n,%GR.

(1)若函數(shù)y=/(%)的最小正周期為n,當(dāng)f。)=1時(shí),求3和9的值;

(2)若3=1,0=也函數(shù)y=產(chǎn)(%)-有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式9-1](2023?北京海淀?三模)已知函數(shù)中)=2sin(s+D+爪—同3>0).在下列條件①、條件②、

條件③這三個(gè)條件中,選擇可以確定3和爪值的兩個(gè)條件作為已知.

⑴求f⑵的值;

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0川上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的最大值.

條件①:/(0)=2;條件②:/(%)最大值與最小值之和為0;條件③:/(X)最小正周期為n.

【變式9-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=-2852汽+2$也%+3如t為常數(shù).

(1)證明:/(%)的圖象關(guān)于直線X=5對(duì)稱.

(2)設(shè)/(久)在卜,苧)上有兩個(gè)零點(diǎn)nn.

(i)求力的取值范圍;

(ii)證明:m+n<Y-

【變式9-3](23-24高一下?江蘇鹽城?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=2sin(2a%+勺+1.

(1)若f(%l)</(%)1%1-%2lmin=/求f(%)的對(duì)稱中心;

(2)已知0<3<5,函數(shù)/(%)圖象向右平移/個(gè)單位,得到函數(shù)9(%)的圖象,%=三是g(%)的一個(gè)零點(diǎn),若函數(shù)

9(%)在[孫九](6刀ER且租<九)上恰好有10個(gè)零點(diǎn),求九一瓶的最小值;

(3)已知函數(shù)九(%)=acos(2%-》—2a+3(a>0),在第(2)問(wèn)條件下,若對(duì)任意%存在%2c[。我

使得=g(%2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024?福建泉州?一模)已知函數(shù)/(久)的周期為m且在區(qū)間(也以內(nèi)單調(diào)遞增,則/Q)可能是()

A./(%)=5也(無(wú)一勺B./(%)=cos(^x-1)

C./(x)=sin(2x-D./(x)=cos(2久一勺

2.(2024?江西九江?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=(er—e,)cosx的部分圖象大致是()

3.(2024?浙江紹興?三模)已知函數(shù)/(%)=sin(x+<cp<0)的圖象關(guān)于點(diǎn)信,0)對(duì)稱若當(dāng)久e[m,^]

時(shí),的最小值是-1,則小的最大值是()

A.——6B——12Jr—12rU),~6~

4.(2024?廣東汕頭?三模)已知4,B,C是直線y=7H與函數(shù)/(%)=2sin(a%+w)(6)>0,0<(P<Tt)的

圖象的三個(gè)交點(diǎn),如圖所示.其中,點(diǎn)4(0,偽,B,。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為%1處,若久2rL則()

A.(p=^B.f(^)=-V2

C./(%)的圖象關(guān)于mo)中心對(duì)稱D./(乃在[0,芻上單調(diào)遞減

5.(2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%)=Zsin(3%+w)(4>0,3>0,冶V9<]),且%聲=亨是函

數(shù)了=/(%)相鄰的兩個(gè)零點(diǎn),v%eR/(%)<3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.A=3B.0)=2

c.0=YD-=’(“工)

6.(2024?天津?yàn)I海新?三模)已知函數(shù)/(x)=sin(2x-。關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法:

⑴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)解,。)中心對(duì)稱

(2)函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于直線欠=弋對(duì)稱

(3)函數(shù)/(%)在區(qū)間(―n,n)內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)

(4)函數(shù)/(為在區(qū)間[-,0]上單調(diào)遞增

以上四個(gè)說(shuō)法中,正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

7.(2024?青海海南?二模)已知函數(shù)/(x)=cos(3x—2,3>0,xeR,且/(a)=—=0.若|a—0|的最小

值為小則/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.[―|+ktr,+fcTr],fcGZB.[―|+2/CTI,+2A:Tt],fcGZ

C.+kn,||+fcTij.fcGZD.[―+2/CTT,||+2/cTr],fcGZ

8.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/O)=sin(3x+q3>0)在區(qū)間(0噂)上只有1個(gè)零點(diǎn),且當(dāng)萬(wàn)€

(一手力時(shí),單調(diào)遞增,則3的取值范圍是()

A.@,21B.@,1|C.Q,l]D.G,2]

二、多選題

9.(2024?吉林?二模)巴知函數(shù)/1(%)=。皿3%+0)(4>0,3>0,0<9<1)部分圖象如圖所示,則()

A.(P=2

B.函數(shù)/(%)在(工()上單調(diào)遞減

C.方程/(%)=1的解集為{%|%=kn-^,kez]

D.6=-搟是函數(shù)丫=/(%+。)是奇函數(shù)的充分不必要條件

10.(202+湖南長(zhǎng)沙―三模)已知函數(shù)/(久)=7^也(3%+9,3>0,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)的最大值為2

B.函數(shù)/'(%)的圖象關(guān)于直線x+伙keZ)對(duì)稱

C.不等式/(久)>|的解集為(等,歿產(chǎn))(kGZ)

D.若f(x)在區(qū)間[冶⑶上單調(diào)遞增,則3的取值范圍是(0,(|

11.(2024?貴州貴陽(yáng)?二模)函數(shù)/(%)=/tan(3%+9)(3>0,0<9<ii)的部分圖象如圖所示,則()

B.在[oj上的值域?yàn)椋èD8,-舊]U[V3,+8)

C.函數(shù)y=|/Q)|的圖象關(guān)于直線“爭(zhēng)寸稱

D.若函數(shù)'=,(初+4/。)在區(qū)間(—等5)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)2的取值范圍是[—1,1]

三、填空題

12.(2024?河北衡水?三模)已知x=]是函數(shù)/(無(wú))=5①(311支+9)(0<9<4的一條對(duì)稱軸,/(x)在區(qū)間

>0)內(nèi)恰好存在3個(gè)對(duì)稱中心,貝亞的取值范圍為.

13.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(%)=23(3久+斗-1(3>0)在(0,71)上恰有兩個(gè)零點(diǎn),則3的取

值范圍為.

14.(2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/'(久)=5也(2%+9)@>0)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(20),且/'(久)

在(0,少上單調(diào)遞增,則R的最小值為.

四、解答題

15.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=sin%-V^cos%.

⑴求fQ)的值,

(2)求函數(shù)y=f(x)?sin%的單調(diào)遞增區(qū)間.

16.(2023?廣東佛山一模)已知函數(shù)八尤)=5也(3%+9)在區(qū)間9詈)上單調(diào),其中3為正整數(shù),|如<?

且肉=-府).

(1)求y=/(久)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心;

⑵若慮)=容求,

17.(2024?廣東佛山?一模)記T為函數(shù)/(%)=sin3x+w)的最小正周期,其中3>0,0<RVIT,且/(0)=

字,直線X=劫為曲線y=/⑺的對(duì)稱軸.

(1)求處

(2)若/(X)在區(qū)間m,2m上的值域?yàn)椋?1,勢(shì)求f⑺的解析式.

18.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(%)=2sin(3X+0)(3>0,|初

⑴若/(%)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4停,0),B&,2),且點(diǎn)B恰好是PX)的圖象中距離點(diǎn)4最近的最高點(diǎn),試求/(尤)的解

析式;

(2)若f(0)=-1,且/(x)在管,IT)上單調(diào),在(0,引上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求3的取值范圍.

19.(2023?北京通州?三模)已知函數(shù)久久)=sin(s:+底)(3>0,阿<,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③

這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件,使/(X)的解析式唯一確定.

(1)求/(X)的解析式:

(2)設(shè)函數(shù)以久)=f(x)+/(%+J,求9(x)在區(qū)間上的最大值.

條件①:/(%)為奇函數(shù):

條件②:久久)圖像上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為最

條件③:/(%)圖像的一條對(duì)稱軸為%=今

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】.................................................................3

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】............................................................5

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】............................................................7

【題型4三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】.....................................................................9

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】.........................................................11

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】.............................................................13

【題型7三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】...........................................16

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】.......................................................................19

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.........................................................21

?考情分析

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)能畫(huà)出三角函數(shù)的圖

象2023年新課標(biāo)I卷:第15題,

⑵了解三角函數(shù)的周期5分三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱

性、奇偶性、最大(小)2023年天津卷:第6題,5分點(diǎn)內(nèi)容,其中三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱

值2024年新課標(biāo)I卷:第7題,性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高

(3)借助圖象理解正弦函5分考考察的重心.從近幾年的高考情況來(lái)

2024年新課標(biāo)II卷:第9題,看,比較注重對(duì)三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之

數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2出上

6分間的邏輯關(guān)系的考查,試題多以選擇題、

的性質(zhì)及正切函數(shù)在2024年全國(guó)甲卷(文數(shù)):填空題的形式呈現(xiàn),難度中等或偏下.

(一f上的性質(zhì)第13題,5分

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】

1.三角函數(shù)的定義域的求解思路

求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組),解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)的幾種類型:

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函數(shù)化為尸4sin(ox+p)+c的形式,再求值域(最值);

(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可先設(shè)sinx=/,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最值);

(3)形如y=asinxcosx+b(sinx士cosx)+c的三角函數(shù),可先設(shè)尸sinx士cosx,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最

值).

【知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、奇偶性的求解思路】

1.三角函數(shù)周期的一般求法

(1)公式法;

(2)不能用公式求函數(shù)的周期時(shí),可考慮用圖象法或定義法求周期.

2.三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解策略

(1)對(duì)于可化為外)=/sin(5+°)(或於)=/cos(s+p))形式的函數(shù),如果求段)的對(duì)稱軸,只需令

■7T

a)x+(p=y+ATI(A:GZ)(或令69%+夕=析(左€Z)),求x即可;如果求/(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令

、7T

0x+p=加(左CZ)(或令0x+°=,+E(任Z)),求x即可.

(2)對(duì)于可化為/(x)=/tan(0x+9)形式的函數(shù),如果求/(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令a>x+<p=?~

(任Z)),求x即可.

3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外,還可以借助其圖象與性質(zhì),在y=/sin(ox+o)中代入x=0,

若尸0則為奇函數(shù),若y為最大或最小值則為偶函數(shù).

■JT

若產(chǎn)/sin(ox+9)為奇函數(shù),貝!I夕=析(左CZ);若尸Zsin@x+p)為偶函數(shù),則9=,+版(46Z).

【知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的解題策略】

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法

求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先化簡(jiǎn)成尸4sin(ox+p)形式,再求y=Nsin(ox+p)的單調(diào)區(qū)間,

只需把cox+<p看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,注意要先把o化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路

對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問(wèn)題,首先,明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間的子集,其次,要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而利用它們之間的關(guān)系可求解,另外,若是選

擇題,利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.

【方法技巧與總結(jié)】

1.對(duì)稱性與周期性

(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是;個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)

稱軸之間的距離是;個(gè)周期.

(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是g個(gè)周期.

2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

TT

⑴若尸4sin(s:+9)為偶函數(shù),則(p=k7i+5(左CZ);若為奇函數(shù),則夕=左兀(任Z).

7T

(2)若〉=4COS(S+9)為偶函數(shù),貝I9=E/EZ);若為奇函數(shù),則9=左乃+1(左EZ).

(3)若^=4@11(公什夕)為奇函數(shù),貝!J9=左兀(左EZ).

?舉一反三

【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】

【例1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/0)=3"皿2力+2-,)在區(qū)間[-311,3可上的圖象可能是()

【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)/(0)>0判斷即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且

/(-%)=cos(-x)-ln(2-x+2X)=cosx-ln(2-x+2X)=/(%),

所以久久)為偶函數(shù),其函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故排除A,C.

因?yàn)?'(())=ln2>0,故排除B.

故選:D.

【變式1-1](2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=cosx與y=lg|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

【解題思路】在同一坐標(biāo)系中,作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解答過(guò)程】函數(shù)y=cosx與y=lg|x|都是偶函數(shù),其中COS2TT=COS4TT=1,lg4it>IglO=1>lg2ir,

在同一坐標(biāo)系中,作出函數(shù)y=cosx與y=lg|%]的圖象,如下圖,

尸1g團(tuán)y=cosxI

]/7、、——?x^~\?

■4兀兀、2兀77tz4兀攵

由圖可知,兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

故選:D.

【變式1-2](2024?山東?一模)函數(shù)/(久)=度辭上,則y=/O)的部分圖象大致形狀是()

OxO/x

C.D.

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及xe(o,9時(shí)函數(shù)值的正負(fù),通過(guò)排除法得答案.

【解答過(guò)程】函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,

-xx

rf、(e-l)sin(-x)(e-l)sinxf

f(一切=-—=鏟+1=f(x),

即函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),排除BD;

當(dāng)xe(03)時(shí),/(£)=三等上〉0,排除C.

故選:A.

【變式1-3](2023?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(%)=/+0一為,g(%)=sin%,下圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖

B.f(x)-g(x)+2

c.f(%),gO)D,嚶

【解題思路】利用奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于/(%)=1+e—:但定義域?yàn)镽,滿足/(—%)=er+e%=/(%),為偶函數(shù).

同理可得:g(%)=sin%為奇函數(shù).

t己九(%)=/(%)+g(%)-2,貝!=f(-%)+g(-%)_2=f{x}-g(x)-2

所以九(一%)Wh(%)且h(-%)H所以/(久)+9(%)-2為非奇非偶函數(shù);

同理可證:/(X)—g(x)+2為非奇非偶函數(shù);/(X)?g(x)和需為奇函數(shù).

由圖可知,圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù),且0<f(l)<l.

顯然選項(xiàng)A,B對(duì)應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù),故排除;

對(duì)C:y-/(x)-g(x)=(ex+e-x)sinx,為奇函數(shù).

當(dāng)x=l時(shí),(e+1)sinl>(e+1)sin^>(e+1)ex^>^>1,故錯(cuò)誤;

對(duì)D,、=得=/箸,為奇函數(shù)一

sinl

當(dāng)%=1時(shí),?藥<1.故正確.

故選:D.

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】

【例2】(2024?廣東湛江?二模)函數(shù)f(x)=4sin(5x-》在[上的值域?yàn)?)

A.[—2,2]B.[-2,4]C.[-2A/3^,4]D.[-2V3^,2]

【解題思路】先求得5x-W的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì),即可容易求得結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)閤e[o,=],所以5x—然[一,4所以sin(5x—?)€昌,1],

故/(久)=45也(5乂一0在[0*]上的值域?yàn)閇一2,4].

故選:B.

【變式2-1](2024?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(幻=25也(3尤—伙3>0)在[0,4上的值域?yàn)閇—1,2],則3的

取值范圍為()

A*,2]B.[i,|]C,[|,i]D,[|,1]

【解題思路】根據(jù)題意可得-法再利用值域可限定三梟-群n+也解得3的取值范圍

明I1

[解答過(guò)程]由久e[o4及3>0可得e[一況3一1,

根據(jù)其值域?yàn)閇—1,2],且2sin(—》=—1,

由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得與《3—三TT+也

即可得:線4,解得於

故選:B.

【變式2-2](2024?安徽安慶?二模)已知函數(shù)=2cos2?+sin2s:-1?>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)g,0)對(duì)稱,

且八支)在(0()上沒(méi)有最小值,則3的值為()

A.-B.-C.-D.—

【解題思路】先化簡(jiǎn)解析式,根據(jù)對(duì)稱性可得3=2k-1■,/CeZ,再結(jié)合最小值點(diǎn)即可求解.

【解答過(guò)程】/(x)=2COS2OJX+sin2tox—1=cos2o)x+sin2o>x=V2sin^2a)x+;)

因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)值,0)對(duì)稱,

所以fG)=缶皿惇+:)=。,

故子+3eZ,即3=2k—eZ,

當(dāng)23X+A苫+2/CTT,即%=-蕓+詈加62時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,

因?yàn)閒(x)在僅W)上沒(méi)有最小值,

所以葛冶,即

由3=2k—JW?解得kW故k=l,得3=*

Zo1OZ

故選:B.

【變式2-3](2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)已知函數(shù)/(%)=/sin(3%+9)(人>0,3>0,\(p\<勺的最大值為2,

其圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為且/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)對(duì)稱,則/(x)在區(qū)間[o,4上的最

小值為()

A.~y/3B.-1C.-2D.0

【解題思路】利用題目條件求出/(%)的解析式,然后討論/(久)在[。,才上的單調(diào)性即可.

【解答過(guò)程】由條件知4=2,2=*sin(-"3+@)=0,

從而4=3=2,sin(@—1)=0,

所以⑴一]=kn,kGZ,即0=GZ,

又因?yàn)閨伊|<p故左=0,0=1

這說(shuō)明/(x)=2sin(2x+(),該函數(shù)在[o*]上遞增,在上遞減.

又f(0)=1/弓)=-1,所以f(x)在區(qū)間[o,1上的最小值為一1.

故選:B.

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】

【例3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=3sin(3x+5+L則下列結(jié)論不正確的是()

A./(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(署,1)對(duì)稱

B.若久久+t)是偶函數(shù),則t=^+/,kez

c.不)在區(qū)間[。局上的值域?yàn)閲?guó),|]

D./(X)的圖象關(guān)于直線光=成寸稱

【解題思路】代入驗(yàn)證法判斷函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸,進(jìn)而判斷選項(xiàng)AD;求得f的值判斷選

項(xiàng)B;求得f(x)在區(qū)間[0,汗上的值域判斷選項(xiàng)C.

【解答過(guò)程】對(duì)于A:/g)=3sin(3x§+^)+1=1,

則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(M,l)對(duì)稱,故A正確.

對(duì)于B

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