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文檔簡(jiǎn)介
專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】
【新高考專用】
?熱點(diǎn)題型歸納
【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】.................................................................3
【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】............................................................4
【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】............................................................4
【題型4三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】.....................................................................5
【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】..........................................................5
【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】..............................................................6
【題型7三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】............................................6
【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】........................................................................7
【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】..........................................................8
?考情分析
1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析
(1)能畫(huà)出三角函數(shù)的圖
象2023年新課標(biāo)I卷:第15題,
⑵了解三角函數(shù)的周期5分三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱
性、奇偶性、最大(?。?023年天津卷:第6題,5分點(diǎn)內(nèi)容,其中三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱
值2024年新課標(biāo)I卷:第7題,性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高
(3)借助圖象理解正弦函5分考考察的重心.從近幾年的高考情況來(lái)
2024年新課標(biāo)II卷:第9題,看,比較注重對(duì)三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之
數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2出上
6分間的邏輯關(guān)系的考查,試題多以選擇題、
的性質(zhì)及正切函數(shù)在2024年全國(guó)甲卷(文數(shù)):填空題的形式呈現(xiàn),難度中等或偏下.
(一f上的性質(zhì)第13題,5分
?知識(shí)梳理
【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】
1.三角函數(shù)的定義域的求解思路
求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組),解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.
2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)的幾種類型:
⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函數(shù)化為尸4sin(ox+p)+c的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可先設(shè)sinx=/,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最值);
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx士cosx)+c的三角函數(shù),可先設(shè)尸sinx士cosx,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最
值).
【知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、奇偶性的求解思路】
1.三角函數(shù)周期的一般求法
(1)公式法;
(2)不能用公式求函數(shù)的周期時(shí),可考慮用圖象法或定義法求周期.
2.三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解策略
(1)對(duì)于可化為外)=/sin(5+°)(或於)=/cos(s+p))形式的函數(shù),如果求段)的對(duì)稱軸,只需令
■7T
a)x+(p=y+ATI(A:GZ)(或令69%+夕=析(左€Z)),求x即可;如果求/(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令
、7T
0x+p=加(左CZ)(或令0x+°=,+E(任Z)),求x即可.
(2)對(duì)于可化為/(x)=/tan(0x+9)形式的函數(shù),如果求/(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令a>x+<p=?~
(任Z)),求x即可.
3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法
三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外,還可以借助其圖象與性質(zhì),在y=/sin(ox+o)中代入x=0,
若尸0則為奇函數(shù),若y為最大或最小值則為偶函數(shù).
■JT
若產(chǎn)/sin(ox+9)為奇函數(shù),貝!I夕=析(左CZ);若尸Zsin@x+p)為偶函數(shù),則9=,+版(46Z).
【知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的解題策略】
1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法
求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先化簡(jiǎn)成尸4sin(ox+p)形式,再求y=Nsin(ox+p)的單調(diào)區(qū)間,
只需把cox+<p看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,注意要先把o化為正數(shù).
2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路
對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問(wèn)題,首先,明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間的子集,其次,要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而利用它們之間的關(guān)系可求解,另外,若是選
擇題,利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.
【方法技巧與總結(jié)】
1.對(duì)稱性與周期性
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是;個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)
稱軸之間的距離是;個(gè)周期.
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是g個(gè)周期.
2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
TT
⑴若尸4sin(s:+9)為偶函數(shù),則(p=k7i+5(左CZ);若為奇函數(shù),則夕=左兀(任Z).
7T
(2)若〉=4COS(S+9)為偶函數(shù),貝I9=E/EZ);若為奇函數(shù),則9=左乃+1(左EZ).
(3)若^=4@11(公什夕)為奇函數(shù),貝!J9=左兀(左EZ).
?舉一反三
【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】
【例1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/0)=3"皿2力+2-,)在區(qū)間[-311,3可上的圖象可能是()
A.2B.3C.4D.6
【變式1-2](2024?山東?一模)函數(shù)/(幻=邕焉小,貝如=/(%)的部分圖象大致形狀是()
A.B.
斗斗
C.D.
【變式1-31(2023?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(%)=於+e—久,g(%)=sim?,下圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖
像()
A./(%)+5(%)-2B./⑶―久久)+2
C.f(x),g(x)D.需
【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】
【例2】(2024?廣東湛江?二模)函數(shù)f(x)=4sin(5x-3在[。,當(dāng)上的值域?yàn)椋ǎ?/p>
A.[—2,2]B.[—2,4]C.[—2A/3^,4]D.[—2V^,2]
【變式2-1](2024?河南鄭州一模)已知函數(shù)f(x)=2sin(3xT(3>0)在陪]上的值域?yàn)閇-1,2],貝必的
取值范圍為()
A-[Q]B.g,|]C,[|,i]D,[|,1]
【變式2-2](2024?安徽安慶?二模)己知函數(shù)/⑴=2cos2(ox+sin2o)x-l(a>>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)值,0)對(duì)稱,
且外幻在(0,9)上沒(méi)有最小值,則3的值為()
A.-B.C.-|D.-
【變式2-3](2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)已知函數(shù)/(X)=Xsin(?jx+(p}(A>0,3>0,\<p\<的最大值為2,
其圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為宏且/(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)對(duì)稱,則/(%)在區(qū)間上的最
小值為()
A.-V3B.-1C.-2D.0
【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】
【例3】(2024全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/0)=3訥(3刀+5+1,則下列結(jié)論不正確的是()
A./(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)解,1)對(duì)稱
B.若/(x+t)是偶函數(shù),貝ijt=^+^ez
C.久久)在區(qū)間[o圖上的值域?yàn)閲?guó)圖
D./(X)的圖象關(guān)于直線x=J寸稱
【變式3-1](2024?貴州黔南?二模)若函數(shù)f(x)=cos(x冶+/為偶函數(shù),則⑴的值可以是()
,5TTc4n——11
A.—oB.-5C.ITD.Tz
【變式3-2](2024?甘肅隴南?一模)下列函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為乂=5+々11上€2的是()
A./(x)=sin(%—三)B./O)=cos(x+§)
C./(%)=sin(2%-,D./(x)=cos(2x+T"l
3
【變式3-3](2024?廣東佛山?二模)已知函數(shù)/(無(wú))=5也(3%+軟3>0)在6毛]有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),且/偌
)=/O,則“久)圖象的一條對(duì)稱軸是(
A7冗nHEC13n15TT
A?久=五B.“fC.久=工D.%=—
【題型4三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】
【例4】(2024?天津?一模)下列函數(shù)中,
A./(%)=sin|x|B./(%)=|sin2x|
C./(%)=cos|%|D./(%)=|cos2x|
【變式4?1】(2023?湖南長(zhǎng)沙?一模)已知函數(shù)/(%)=sin(3%(1<3<2),若存在%i,%26R,當(dāng)
1%1—X2|=2n時(shí),/(%1)=/(%2)=。,則函數(shù)/(%)的最小正周期為()
.211
A.—B.TC.2冗D.4n
【變式4-2](2024?安徽馬鞍山?三模)記函數(shù)f(x)=sin(3x+J)(3>0)的最小正周期為T,若
</(%)<|/(^)|,則3=()
c10c
A-TB-T-ID-i
ab
105
【變式](?內(nèi)蒙古赤峰?三模)定義運(yùn)算如果cd=ad—be,/(%)=
4-320232sin?%+w)
(3〉0,0<中<3),0滿足等式V^sinp=cosg,函數(shù)/(%)在(0弓)單調(diào)遞增,則3取最大值時(shí),函數(shù)/(久)的最
小正周期為()
Tl
A.3irB.nC.2D.2JI
【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】
【例5】(2024?青海?模擬預(yù)測(cè))下列區(qū)間中,函數(shù)/(x)=3sin(x+取單調(diào)遞增的區(qū)間是()
A.您)B-(分)
C0片)D.(11,271)
【變式5-1](2023?陜西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sin(2x+Q)在無(wú)=?處取得到最大值,則/(x)的一個(gè)單
調(diào)遞增區(qū)間是()
從(,冷)B.1令C.居詈)D,停會(huì)
【變式5-2](2023?貴州?模擬預(yù)測(cè))已知a=sinl,b=sin-,c=sin2,則()
A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b
【變式5-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=$也9一%)應(yīng)(%)=(:05(%-。則使得/(g(%))和9(/(%))
都單調(diào)遞增的一個(gè)區(qū)間是()
【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】
[例6](2023?天津?二模)若函數(shù)f(x)=2sin(3x+g(3>0)在區(qū)間⑶上具有單調(diào)性,則3的最大值
是()
A.1B.2C.3D.4
【變式6-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)萬(wàn)支)=411(3%+3(3>0)的周期為7,且滿足T>2m若函
數(shù)f(x)在區(qū)間0不單調(diào),則3的取值范圍是()
A-(|,1)B.g,l)
C(|,1)D,電1)
【變式6-2](2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=2sin(3x+0)(3>0,陽(yáng)<]),/(%)</(x)+f
得-x)=0,/⑴在&患)上單調(diào),則3的最大值為().
A.3B.5C.6D.7
【變式6-3](2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))定義min{a,6}={吃羽設(shè)函數(shù)f(x)=min{sin3x,cos3x}(3>0),可
以使/⑶在(|笑)上單調(diào)遞減的3的值為()
A.[|,|]B.[2,3]C.[|,2]D.[3,4]
【題型7三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】
【例7】(2024?河南新鄉(xiāng)?三模)已知函數(shù)/(%)=cos(tox+9)(0<o)<10,0<(p<n)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是
4,0),點(diǎn)B(o,亨)在/(久)的圖象上,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()
A./(x)=cos(2x+JB.直線x=等是/'(%)圖象的一條對(duì)稱軸
C.f(久)在導(dǎo)用上單調(diào)遞減D.1+方是奇函數(shù)
【變式7-1](2024?天津?模擬預(yù)測(cè))已知/'(%)=sinQox+0)(&)>0,|勿<以為偶函數(shù),g(x)=sin
(3X+9),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()
①
②若g(x)的最小正周期為3TT,則3=|;
③若gQ)在區(qū)間(。刀)上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn),則3的取值范圍為尊引;
④若9。=孚,則3的最小值為2.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【變式7-2](2024?河北唐山?一模)已知函數(shù)/(%)=|sin3%|+COS3%?>0)的最小正周期為兀,則()
A./㈤在[-睛]單調(diào)遞增B.停,0)是/⑺的一個(gè)對(duì)稱中心
C./Q)在的值域?yàn)椋?,向D.尤='是/Q)的一條對(duì)稱軸
1
【變式7-3](2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)f(x)=cosx-黑,現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論:
①/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)g,0)對(duì)稱;
②函數(shù)九0)=|/(x)|的最小正周期為2n;
③函數(shù)g(x)=2f⑺+|〃X)|在(0()上單調(diào)遞減;
④對(duì)于函數(shù)g(x)=2/(%)+|/(x)|,v%e(o,^),31^(%)I=g。+n).
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為()
A.①②B.①③C.①③④D.②③④
【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】
【例8】(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(X)=3cos?x+d)(3<0,—方<卬<])的最小正周期為m
在區(qū)間(一?)上單調(diào)遞減,且在區(qū)間(05)上存在零點(diǎn),則0的取值范圍是()
A-(兄)B.修冶]C.配)D.(。局
【變式8-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sin(2兀3乂)(3>0)在區(qū)間(0,2)上單調(diào),且在區(qū)間[0,18]
上有5個(gè)零點(diǎn),則3的取值范圍為()
【變式8-2](2024?全國(guó)?一模)已知函數(shù)f(x)=sin(3久+^(3>0)在區(qū)間品]上恰有3個(gè)零點(diǎn),則3的取
值范圍是()
A.[|即”4,引B.9山管用
C4當(dāng)乂5另D.合,5]u得潦)
【變式8-3](2023?四川雅安?一模)已知函數(shù)/(%)=2cos(a%+0)(3>0且一5<8<]),設(shè)T為函數(shù)/(%)
的最小正周期,/6)=-1,若"%)在區(qū)間[0,1]有且只有三個(gè)零點(diǎn),則3的取值范圍是()
A.號(hào)用B.他,引)C.陰D.修,陰
【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
【例9】(2024?上海金山?二模)已知函數(shù)y=/(%),記/(%)=sin(3%+g),co>0,0<(p<n,%GR.
(1)若函數(shù)y=/(%)的最小正周期為n,當(dāng)f。)=1時(shí),求3和9的值;
(2)若3=1,0=也函數(shù)y=產(chǎn)(%)-有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【變式9-1](2023?北京海淀?三模)已知函數(shù)中)=2sin(s+D+爪—同3>0).在下列條件①、條件②、
條件③這三個(gè)條件中,選擇可以確定3和爪值的兩個(gè)條件作為已知.
⑴求f⑵的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0川上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的最大值.
條件①:/(0)=2;條件②:/(%)最大值與最小值之和為0;條件③:/(X)最小正周期為n.
【變式9-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=-2852汽+2$也%+3如t為常數(shù).
(1)證明:/(%)的圖象關(guān)于直線X=5對(duì)稱.
(2)設(shè)/(久)在卜,苧)上有兩個(gè)零點(diǎn)nn.
(i)求力的取值范圍;
(ii)證明:m+n<Y-
【變式9-3](23-24高一下?江蘇鹽城?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=2sin(2a%+勺+1.
(1)若f(%l)</(%)1%1-%2lmin=/求f(%)的對(duì)稱中心;
(2)已知0<3<5,函數(shù)/(%)圖象向右平移/個(gè)單位,得到函數(shù)9(%)的圖象,%=三是g(%)的一個(gè)零點(diǎn),若函數(shù)
9(%)在[孫九](6刀ER且租<九)上恰好有10個(gè)零點(diǎn),求九一瓶的最小值;
(3)已知函數(shù)九(%)=acos(2%-》—2a+3(a>0),在第(2)問(wèn)條件下,若對(duì)任意%存在%2c[。我
使得=g(%2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
?過(guò)關(guān)測(cè)試
一、單選題
1.(2024?福建泉州?一模)已知函數(shù)/(久)的周期為m且在區(qū)間(也以內(nèi)單調(diào)遞增,則/Q)可能是()
A./(%)=5也(無(wú)一勺B./(%)=cos(^x-1)
C./(x)=sin(2x-D./(x)=cos(2久一勺
2.(2024?江西九江?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=(er—e,)cosx的部分圖象大致是()
3.(2024?浙江紹興?三模)已知函數(shù)/(%)=sin(x+<cp<0)的圖象關(guān)于點(diǎn)信,0)對(duì)稱若當(dāng)久e[m,^]
時(shí),的最小值是-1,則小的最大值是()
A.——6B——12Jr—12rU),~6~
4.(2024?廣東汕頭?三模)已知4,B,C是直線y=7H與函數(shù)/(%)=2sin(a%+w)(6)>0,0<(P<Tt)的
圖象的三個(gè)交點(diǎn),如圖所示.其中,點(diǎn)4(0,偽,B,。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為%1處,若久2rL則()
A.(p=^B.f(^)=-V2
C./(%)的圖象關(guān)于mo)中心對(duì)稱D./(乃在[0,芻上單調(diào)遞減
5.(2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%)=Zsin(3%+w)(4>0,3>0,冶V9<]),且%聲=亨是函
數(shù)了=/(%)相鄰的兩個(gè)零點(diǎn),v%eR/(%)<3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
A.A=3B.0)=2
c.0=YD-=’(“工)
6.(2024?天津?yàn)I海新?三模)已知函數(shù)/(x)=sin(2x-。關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法:
⑴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)解,。)中心對(duì)稱
(2)函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于直線欠=弋對(duì)稱
(3)函數(shù)/(%)在區(qū)間(―n,n)內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)
(4)函數(shù)/(為在區(qū)間[-,0]上單調(diào)遞增
以上四個(gè)說(shuō)法中,正確的個(gè)數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
7.(2024?青海海南?二模)已知函數(shù)/(x)=cos(3x—2,3>0,xeR,且/(a)=—=0.若|a—0|的最小
值為小則/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為()
A.[―|+ktr,+fcTr],fcGZB.[―|+2/CTI,+2A:Tt],fcGZ
C.+kn,||+fcTij.fcGZD.[―+2/CTT,||+2/cTr],fcGZ
8.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/O)=sin(3x+q3>0)在區(qū)間(0噂)上只有1個(gè)零點(diǎn),且當(dāng)萬(wàn)€
(一手力時(shí),單調(diào)遞增,則3的取值范圍是()
A.@,21B.@,1|C.Q,l]D.G,2]
二、多選題
9.(2024?吉林?二模)巴知函數(shù)/1(%)=。皿3%+0)(4>0,3>0,0<9<1)部分圖象如圖所示,則()
A.(P=2
B.函數(shù)/(%)在(工()上單調(diào)遞減
C.方程/(%)=1的解集為{%|%=kn-^,kez]
D.6=-搟是函數(shù)丫=/(%+。)是奇函數(shù)的充分不必要條件
10.(202+湖南長(zhǎng)沙―三模)已知函數(shù)/(久)=7^也(3%+9,3>0,則下列說(shuō)法正確的是()
A./(x)的最大值為2
B.函數(shù)/'(%)的圖象關(guān)于直線x+伙keZ)對(duì)稱
C.不等式/(久)>|的解集為(等,歿產(chǎn))(kGZ)
D.若f(x)在區(qū)間[冶⑶上單調(diào)遞增,則3的取值范圍是(0,(|
11.(2024?貴州貴陽(yáng)?二模)函數(shù)/(%)=/tan(3%+9)(3>0,0<9<ii)的部分圖象如圖所示,則()
B.在[oj上的值域?yàn)椋èD8,-舊]U[V3,+8)
C.函數(shù)y=|/Q)|的圖象關(guān)于直線“爭(zhēng)寸稱
D.若函數(shù)'=,(初+4/。)在區(qū)間(—等5)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)2的取值范圍是[—1,1]
三、填空題
12.(2024?河北衡水?三模)已知x=]是函數(shù)/(無(wú))=5①(311支+9)(0<9<4的一條對(duì)稱軸,/(x)在區(qū)間
>0)內(nèi)恰好存在3個(gè)對(duì)稱中心,貝亞的取值范圍為.
13.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(%)=23(3久+斗-1(3>0)在(0,71)上恰有兩個(gè)零點(diǎn),則3的取
值范圍為.
14.(2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/'(久)=5也(2%+9)@>0)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(20),且/'(久)
在(0,少上單調(diào)遞增,則R的最小值為.
四、解答題
15.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=sin%-V^cos%.
⑴求fQ)的值,
(2)求函數(shù)y=f(x)?sin%的單調(diào)遞增區(qū)間.
16.(2023?廣東佛山一模)已知函數(shù)八尤)=5也(3%+9)在區(qū)間9詈)上單調(diào),其中3為正整數(shù),|如<?
且肉=-府).
(1)求y=/(久)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心;
⑵若慮)=容求,
17.(2024?廣東佛山?一模)記T為函數(shù)/(%)=sin3x+w)的最小正周期,其中3>0,0<RVIT,且/(0)=
字,直線X=劫為曲線y=/⑺的對(duì)稱軸.
(1)求處
(2)若/(X)在區(qū)間m,2m上的值域?yàn)椋?1,勢(shì)求f⑺的解析式.
18.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(%)=2sin(3X+0)(3>0,|初
⑴若/(%)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4停,0),B&,2),且點(diǎn)B恰好是PX)的圖象中距離點(diǎn)4最近的最高點(diǎn),試求/(尤)的解
析式;
(2)若f(0)=-1,且/(x)在管,IT)上單調(diào),在(0,引上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求3的取值范圍.
19.(2023?北京通州?三模)已知函數(shù)久久)=sin(s:+底)(3>0,阿<,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③
這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件,使/(X)的解析式唯一確定.
(1)求/(X)的解析式:
(2)設(shè)函數(shù)以久)=f(x)+/(%+J,求9(x)在區(qū)間上的最大值.
條件①:/(%)為奇函數(shù):
條件②:久久)圖像上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為最
條件③:/(%)圖像的一條對(duì)稱軸為%=今
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】
【新高考專用】
?熱點(diǎn)題型歸納
【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】.................................................................3
【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】............................................................5
【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】............................................................7
【題型4三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】.....................................................................9
【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】.........................................................11
【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】.............................................................13
【題型7三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】...........................................16
【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】.......................................................................19
【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.........................................................21
?考情分析
1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析
(1)能畫(huà)出三角函數(shù)的圖
象2023年新課標(biāo)I卷:第15題,
⑵了解三角函數(shù)的周期5分三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱
性、奇偶性、最大(小)2023年天津卷:第6題,5分點(diǎn)內(nèi)容,其中三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱
值2024年新課標(biāo)I卷:第7題,性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高
(3)借助圖象理解正弦函5分考考察的重心.從近幾年的高考情況來(lái)
2024年新課標(biāo)II卷:第9題,看,比較注重對(duì)三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之
數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2出上
6分間的邏輯關(guān)系的考查,試題多以選擇題、
的性質(zhì)及正切函數(shù)在2024年全國(guó)甲卷(文數(shù)):填空題的形式呈現(xiàn),難度中等或偏下.
(一f上的性質(zhì)第13題,5分
?知識(shí)梳理
【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】
1.三角函數(shù)的定義域的求解思路
求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組),解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.
2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)的幾種類型:
⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函數(shù)化為尸4sin(ox+p)+c的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可先設(shè)sinx=/,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最值);
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx士cosx)+c的三角函數(shù),可先設(shè)尸sinx士cosx,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最
值).
【知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、奇偶性的求解思路】
1.三角函數(shù)周期的一般求法
(1)公式法;
(2)不能用公式求函數(shù)的周期時(shí),可考慮用圖象法或定義法求周期.
2.三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解策略
(1)對(duì)于可化為外)=/sin(5+°)(或於)=/cos(s+p))形式的函數(shù),如果求段)的對(duì)稱軸,只需令
■7T
a)x+(p=y+ATI(A:GZ)(或令69%+夕=析(左€Z)),求x即可;如果求/(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令
、7T
0x+p=加(左CZ)(或令0x+°=,+E(任Z)),求x即可.
(2)對(duì)于可化為/(x)=/tan(0x+9)形式的函數(shù),如果求/(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令a>x+<p=?~
(任Z)),求x即可.
3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法
三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外,還可以借助其圖象與性質(zhì),在y=/sin(ox+o)中代入x=0,
若尸0則為奇函數(shù),若y為最大或最小值則為偶函數(shù).
■JT
若產(chǎn)/sin(ox+9)為奇函數(shù),貝!I夕=析(左CZ);若尸Zsin@x+p)為偶函數(shù),則9=,+版(46Z).
【知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的解題策略】
1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法
求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先化簡(jiǎn)成尸4sin(ox+p)形式,再求y=Nsin(ox+p)的單調(diào)區(qū)間,
只需把cox+<p看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,注意要先把o化為正數(shù).
2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路
對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問(wèn)題,首先,明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間的子集,其次,要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而利用它們之間的關(guān)系可求解,另外,若是選
擇題,利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.
【方法技巧與總結(jié)】
1.對(duì)稱性與周期性
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是;個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)
稱軸之間的距離是;個(gè)周期.
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是g個(gè)周期.
2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
TT
⑴若尸4sin(s:+9)為偶函數(shù),則(p=k7i+5(左CZ);若為奇函數(shù),則夕=左兀(任Z).
7T
(2)若〉=4COS(S+9)為偶函數(shù),貝I9=E/EZ);若為奇函數(shù),則9=左乃+1(左EZ).
(3)若^=4@11(公什夕)為奇函數(shù),貝!J9=左兀(左EZ).
?舉一反三
【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】
【例1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/0)=3"皿2力+2-,)在區(qū)間[-311,3可上的圖象可能是()
【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)/(0)>0判斷即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且
/(-%)=cos(-x)-ln(2-x+2X)=cosx-ln(2-x+2X)=/(%),
所以久久)為偶函數(shù),其函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故排除A,C.
因?yàn)?'(())=ln2>0,故排除B.
故選:D.
【變式1-1](2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=cosx與y=lg|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()
A.2B.3C.4D.6
【解題思路】在同一坐標(biāo)系中,作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解答過(guò)程】函數(shù)y=cosx與y=lg|x|都是偶函數(shù),其中COS2TT=COS4TT=1,lg4it>IglO=1>lg2ir,
在同一坐標(biāo)系中,作出函數(shù)y=cosx與y=lg|%]的圖象,如下圖,
如
尸1g團(tuán)y=cosxI
]/7、、——?x^~\?
■4兀兀、2兀77tz4兀攵
由圖可知,兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.
故選:D.
【變式1-2](2024?山東?一模)函數(shù)/(久)=度辭上,則y=/O)的部分圖象大致形狀是()
OxO/x
C.D.
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及xe(o,9時(shí)函數(shù)值的正負(fù),通過(guò)排除法得答案.
【解答過(guò)程】函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,
-xx
rf、(e-l)sin(-x)(e-l)sinxf
f(一切=-—=鏟+1=f(x),
即函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),排除BD;
當(dāng)xe(03)時(shí),/(£)=三等上〉0,排除C.
故選:A.
【變式1-3](2023?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(%)=/+0一為,g(%)=sin%,下圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖
B.f(x)-g(x)+2
c.f(%),gO)D,嚶
【解題思路】利用奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷.
【解答過(guò)程】對(duì)于/(%)=1+e—:但定義域?yàn)镽,滿足/(—%)=er+e%=/(%),為偶函數(shù).
同理可得:g(%)=sin%為奇函數(shù).
t己九(%)=/(%)+g(%)-2,貝!=f(-%)+g(-%)_2=f{x}-g(x)-2
所以九(一%)Wh(%)且h(-%)H所以/(久)+9(%)-2為非奇非偶函數(shù);
同理可證:/(X)—g(x)+2為非奇非偶函數(shù);/(X)?g(x)和需為奇函數(shù).
由圖可知,圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù),且0<f(l)<l.
顯然選項(xiàng)A,B對(duì)應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù),故排除;
對(duì)C:y-/(x)-g(x)=(ex+e-x)sinx,為奇函數(shù).
當(dāng)x=l時(shí),(e+1)sinl>(e+1)sin^>(e+1)ex^>^>1,故錯(cuò)誤;
對(duì)D,、=得=/箸,為奇函數(shù)一
sinl
當(dāng)%=1時(shí),?藥<1.故正確.
故選:D.
【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】
【例2】(2024?廣東湛江?二模)函數(shù)f(x)=4sin(5x-》在[上的值域?yàn)?)
A.[—2,2]B.[-2,4]C.[-2A/3^,4]D.[-2V3^,2]
【解題思路】先求得5x-W的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì),即可容易求得結(jié)果.
【解答過(guò)程】因?yàn)閤e[o,=],所以5x—然[一,4所以sin(5x—?)€昌,1],
故/(久)=45也(5乂一0在[0*]上的值域?yàn)閇一2,4].
故選:B.
【變式2-1](2024?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(幻=25也(3尤—伙3>0)在[0,4上的值域?yàn)閇—1,2],則3的
取值范圍為()
A*,2]B.[i,|]C,[|,i]D,[|,1]
【解題思路】根據(jù)題意可得-法再利用值域可限定三梟-群n+也解得3的取值范圍
明I1
[解答過(guò)程]由久e[o4及3>0可得e[一況3一1,
根據(jù)其值域?yàn)閇—1,2],且2sin(—》=—1,
由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得與《3—三TT+也
即可得:線4,解得於
故選:B.
【變式2-2](2024?安徽安慶?二模)已知函數(shù)=2cos2?+sin2s:-1?>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)g,0)對(duì)稱,
且八支)在(0()上沒(méi)有最小值,則3的值為()
A.-B.-C.-D.—
【解題思路】先化簡(jiǎn)解析式,根據(jù)對(duì)稱性可得3=2k-1■,/CeZ,再結(jié)合最小值點(diǎn)即可求解.
【解答過(guò)程】/(x)=2COS2OJX+sin2tox—1=cos2o)x+sin2o>x=V2sin^2a)x+;)
因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)值,0)對(duì)稱,
所以fG)=缶皿惇+:)=。,
故子+3eZ,即3=2k—eZ,
當(dāng)23X+A苫+2/CTT,即%=-蕓+詈加62時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,
因?yàn)閒(x)在僅W)上沒(méi)有最小值,
所以葛冶,即
由3=2k—JW?解得kW故k=l,得3=*
Zo1OZ
故選:B.
【變式2-3](2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)已知函數(shù)/(%)=/sin(3%+9)(人>0,3>0,\(p\<勺的最大值為2,
其圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離為且/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)對(duì)稱,則/(x)在區(qū)間[o,4上的最
小值為()
A.~y/3B.-1C.-2D.0
【解題思路】利用題目條件求出/(%)的解析式,然后討論/(久)在[。,才上的單調(diào)性即可.
【解答過(guò)程】由條件知4=2,2=*sin(-"3+@)=0,
從而4=3=2,sin(@—1)=0,
所以⑴一]=kn,kGZ,即0=GZ,
又因?yàn)閨伊|<p故左=0,0=1
這說(shuō)明/(x)=2sin(2x+(),該函數(shù)在[o*]上遞增,在上遞減.
又f(0)=1/弓)=-1,所以f(x)在區(qū)間[o,1上的最小值為一1.
故選:B.
【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問(wèn)題】
【例3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=3sin(3x+5+L則下列結(jié)論不正確的是()
A./(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(署,1)對(duì)稱
B.若久久+t)是偶函數(shù),則t=^+/,kez
c.不)在區(qū)間[。局上的值域?yàn)閲?guó),|]
D./(X)的圖象關(guān)于直線光=成寸稱
【解題思路】代入驗(yàn)證法判斷函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸,進(jìn)而判斷選項(xiàng)AD;求得f的值判斷選
項(xiàng)B;求得f(x)在區(qū)間[0,汗上的值域判斷選項(xiàng)C.
【解答過(guò)程】對(duì)于A:/g)=3sin(3x§+^)+1=1,
則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(M,l)對(duì)稱,故A正確.
對(duì)于B
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