廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若集合A={x|xWl},B={x|lnx<l},貝”(重4)八8=()

A.(0,1)B.(0,e)C.(l,e)D.(e,+oo)

2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布若尸(X<0)+P(X<3)=《，則尸(2<X<3)=

()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

3.若函數(shù)=在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[—2,0)B.(―co,—2]C.(—8,0)D.[2,+8)

4.已知：sin(a+0=m，tana=3tanp,則sin(a—R)=()

m“m「mm

At.—B.——C.—D.——

4422

5.在菱形ABCD中，^\AB-7S\=\AB\,且而在旗上的投影向量為九而，則八()

A_1R1cV2口&

2222

6.已知函數(shù)〃x)=x(x+a)2在x=l處有極小值，則實(shí)數(shù)。=()

A.3B.-3C.1D.-1

7.將半徑為R的鐵球磨制成一個(gè)圓柱體零件，則可能制作的圓柱體零件的側(cè)面積的最大值

為()

22

A.TIRB.2成2C.2扃玄D.4nR

22

8.設(shè)雙曲線C:=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,耳，過工的直線與C的右支交

ab

于M,N兩點(diǎn),記心與的內(nèi)切圓半徑分別為小公若6%=9/,則C的離心率

為()

A.72B.GC.3D.4

二、多選題

9.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)镽,若〃x)=〃2r),則()

A."0)=0B.“X)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C./(x)=-/(^+4)D.的一個(gè)周期為4

10.已知等比數(shù)列｛凡｝的公比為4,前〃項(xiàng)和為S,，若H=-l,且\/”曠,見+2>4，則()

A.〃2>。B.0<^<1C.〃〃+1D.S<-----

nq-1

11.設(shè)復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,任意復(fù)數(shù)Z都有三角形式：r(cos，+isine),其中r

為復(fù)數(shù)z的模，6是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，射線OZ為終邊的角(也被稱為z的輻角).

若4=Mcose+isina),z2=(cos^+isin夕)，則zl-z2-qu[cos(?+/?)+isin(?+/?)].從0,

1,由中隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù)字分別作為一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，如此重復(fù)操作〃次，可

得到〃個(gè)復(fù)數(shù)：4/2一?,2”,記丫，="2?.馬.()

A.不存在〃，使得區(qū)|=2024

B.若(Xi).，為實(shí)數(shù)，則X1的輻角可能為J

0

C.區(qū)區(qū)4的概率為"

D.(X)為整數(shù)的概率為j

O

三、填空題

12.已知圓/+y=4與拋物線丁=2/(？>0)的準(zhǔn)線交于A,3兩點(diǎn)，若|AB|=26,貝|

P=.

13.若函數(shù)/(x)=sin(8-：]與g(x)=sin(0x+：j在區(qū)間(o，|J上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)0

的取值范圍為.

14.已知正方體的棱長為I,若在該正方體的棱上恰有4個(gè)點(diǎn)滿足

\MI^+\MC^=d,則〃的取值范圍為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.設(shè)VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且bcosC+csin3=a.

(1)求角8的大小，

(2)若A8邊上的高為:，求cosC.

4

7T

16.如圖，在三棱錐中，平面ABC_L平面BCD,ZBCD=ZBDC=-,尸為棱AC

6

的中點(diǎn)，點(diǎn)。在棱CO上，PQ±BC,且。。=2QC.

⑴證明：平面3CD；

(2)若求平面CP。與平面的夾角的余弦值.

17.已知函數(shù)/(%)=1+。88%在*=0處的切線方程為〉=尤+2.

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

⑵探究“尤)在區(qū)間，費(fèi)，+s］內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

22

18.已知橢圓C:?+}=1的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)42在C上，且標(biāo)=力麗(幾＞。).當(dāng)＞1=1時(shí)，

|AB|=3.

(1)求C的方程；

API

(2)已知異于尸的動(dòng)點(diǎn)P,使得帚=人

(i)若A,B,尸三點(diǎn)共線，證明：點(diǎn)尸在定直線上：

3

(ii)若A,B,P三點(diǎn)不共線，且a=丁求AAB尸面積的最大值.

19.對于任意正整數(shù)〃，進(jìn)行如下操作：若〃為偶數(shù)，則對〃不斷地除以2,直到得到一個(gè)

奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為?！埃蝗簟槠鏀?shù)，則對%+1不斷地除以2,直到得出一個(gè)奇數(shù)，記這

個(gè)奇數(shù)為巴.若4,=1,則稱正整數(shù)”為“理想數(shù)”.

⑴求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；

(2)已知冊=小一9.求m的值;

⑶將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列出｝，記也｝的前〃項(xiàng)和為3,

證明：

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CACCBDBDADBC

題號11

答案ACD

1.C

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解集合B,再利用交集和補(bǔ)集的性質(zhì)求解即可.

【詳解】令lnx<l,解得xe(O,e),即8={x[0<x<e},而44={尤|%>1},

所以@A)cB={x|l<尤<e},故低A)c3=(l,e),即C正確.

故選：C

2.A

【分析】由條件結(jié)合正態(tài)密度曲線的對稱性可得P(X<0)=P(X>2),結(jié)合條件可求

P(2<X<3).

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(l,4),

所以隨機(jī)變量X的均值〃=1,

所以隨機(jī)變量X的密度曲線關(guān)于x=l對稱，

所以P(X<0)=P(X>2),

又尸(X<0)+P(X<3)=[，

所以尸(X>2)+尸(X<2)+尸(2<X<3)=*,

因?yàn)槭?X>2)+尸(XW2)=l,

所以P(2<X<3)=0.1,

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法可得參數(shù)范圍.

【詳解】由函數(shù)/⑴二已各的定義域?yàn)閊^^2的+8)，

設(shè)/=———，貝Uy=e'

x-m

又y=e，單調(diào)遞增，

答案第1頁，共16頁

當(dāng)根=0時(shí)，，=0,/（x）=e°=1,無單調(diào)性，不成立;

當(dāng)根v0時(shí)，t=—^―在［-oo,m）和（M,+8）上單調(diào)遞增,

x-m

=e。在（―，間和（私+8）上單調(diào)遞增,

所以（2,+。）口根,+8）,則mV2,即機(jī)＜0；

當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，一在（t,祖）和（m,+e）上單調(diào)遞減,

x—m

即/（同=已言在（一8，加）和（私+8）上單調(diào)遞減，不成立；

綜上所述機(jī)＜0,

故選：C.

4.C

【分析】利用兩角和正弦公式和同角關(guān)系化簡條件求sinacos/?,cosasin",再結(jié)合兩角差

正弦公式求結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閟in（a+0=根，

所以sinacos/+cosasin/7=m,

因?yàn)閠ana=3tan/7,

??sinasinB

所以----二3-------,

cosacosp

7171

故sinacos夕=3sin#cosc,+—+—,keZ,

22

所以sinacosP=—,cosasmJ3=—

449

所以sin（a—分）=sinacos/?-cosasin^=—.

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量減法可得=再利用投影向量的意義求出人

【詳解】由|而-而|=|兩，得|麗卜|同，而A5CO是菱形，則△ABD是正三角形，

于是NBA。/,AD-AB=\AD\\AB\cos-=-\AB\1,

332

因此而在通上的投影向量為空當(dāng)荏=：通，所以2=1.

|AB|22

答案第2頁，共16頁

故選：B

6.D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)建立方程求解參數(shù)，再結(jié)合題意進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)?(*)=尤(％+P)2,所以/(力=式*2+2依+。2)=丁+262+品：，

所以1f(力=3%2+4^+。2,而函數(shù)〃尤)=x(x+a)2在x=l處有極小值，

所以/'(1)=0,故3+4“+/=0,解得4=-1或。L-3,

當(dāng)?shù)?-3時(shí)，(x)=3f—12x+9,

令尸(x)<Oxe(X3),令尸(x)>0,xey,l)U(3,+oo),

故此時(shí)“X)在(F,1),(3,+?)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

此時(shí)/(x)在尤=1處有極大值，不符合題意，排除，

當(dāng)％=-1時(shí)，/,(x)=3x2-4x+l,

令廣(久)<0,xe(1,l),令[(x)>0,xe(-00,j)u(l,+co),

故此時(shí)f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，在([I)上單調(diào)遞減，

此時(shí)/(X)在x=l處有極小值，符合題意，故D正確.

故選：D

7.B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，高為人，由圓柱體零件的側(cè)面積最大可得圓柱體內(nèi)接于球,

由此確定『，R,〃的關(guān)系，再求圓柱的側(cè)面積表達(dá)式并利用基本不等式求其最值.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為「，高為心

由圓柱體零件的側(cè)面積最大可得圓柱體內(nèi)接于球，此時(shí)圓柱的軸的中點(diǎn)為球的球心，

所以產(chǎn)+gj=R2,

由基本不等式可得產(chǎn)+f|J>2T.|=r/2,

當(dāng)且僅當(dāng)廠=孝〃，/=同時(shí)等號成立，

所以泌SR?,

答案第3頁，共16頁

由圓柱的側(cè)面積公式可得，圓柱的側(cè)面積5=2兀泌，

所以SW2TIR2,當(dāng)且僅當(dāng)R=r=夜n時(shí)等號成立，

所以可能制作的圓柱體零件的側(cè)面積的最大值為2兀斤.

故選：B.

8.D

【分析】根據(jù)給定條件，探討△西工與月"的內(nèi)心a，儀的橫坐標(biāo)的關(guān)系，再結(jié)合角平

分線的性質(zhì)及直角三角形射影定理列式計(jì)算即得.

【詳解】設(shè)耳(—0),4(*0),其中。2=〃+/，

設(shè)△M/例與的內(nèi)心a，。2的橫坐標(biāo)分別為%,9,

過。I分別作阿、MF八百鳥的垂線，垂足分別為R、S、T,

則|肱?|=|那|、忸/=國刀、\F2S\^\F2T\,

又眼耳日”|=(|四?|+阿(|MS|+陷|)=|附-陷|=|用-院|=2a,

且后耳閆巧|+|叫|=2c,則甌=a+c,T(a,O),于是再=a,同理尤2=“，

因此點(diǎn)。1、。2在直線x=a上，又月?平分N4尸，項(xiàng)％平分/叫。，

ZPF2Q=TI,則\OJ\-\OJ\=\TF^,

而|叫|=c-a,|血力=石,|。2刀=」，

則桃=(C—a)~,即9a2=(c—a)、解得c=4a,

所以雙曲線的離心率e=￡=4.

【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法:

答案第4頁，共16頁

①定義法：通過已知條件列出方程組，求得凡C得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程

求解；

③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

9.AD

【分析】由奇函數(shù)可得/(。)=0,再根據(jù)函數(shù)的周期性與對稱性分別判斷.

【詳解】由函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，則/(O)=O,A選項(xiàng)正確；

又〃x)=〃2—力，即〃x+l)=/(lr),則函數(shù)關(guān)于直線尤=1對稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由〃x)=/(2—x)可知/(2—x)=/(4+x),

即〃x)=〃4+x),函數(shù)〃%)的一個(gè)周期為4,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；

故選：AD.

10.BC

【分析】首先排除公比的特殊情況，結(jié)合給定條件解出公比范圍，利用等比數(shù)列的性質(zhì)逐個(gè)

分析即可.

【詳解】Sl=al=-1,4+2對恒成立，

則％-qn+1>勺qn-ln-qn+l>-qn-xn/一(才一1)<0恒成立，

貝1)4>0,q2T<0,故o<q<i,故B對；

A：a2=-q<0,故A錯(cuò)；

1

C：an+l-an=-q"+q"=q"'(1-^)>0=>an+l>an,故C對；

D：由臬二井-領(lǐng)工上+魯二〉々，故D錯(cuò).

1-qr-qq-\1-qq-1

故選：BC.

11.ACD

【分析】對于A,三個(gè)數(shù)中作為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，則其模長可能為1,6,2,易知2024不

能拆分成這三個(gè)數(shù)的乘積;對于B,由題可知(區(qū)戶”即為如必為實(shí)數(shù)，舉由一個(gè)例子，即可判

答案第5頁，共16頁

斷B選項(xiàng)；對于C,由氏|=々/巧/（4,貝I]的值值為U,1,1;

6;1,1,6,2;1,1,2,2;1,1,1,出;1,1,1,2,據(jù)此可以求出概率；對于D,若（X,J為整數(shù)，則

X’的輻角可以為0,￡,無（3個(gè)3加1個(gè)0）,據(jù)此求出概率.

【詳解】由0』,出中任意選兩個(gè)不同數(shù)字分別作為實(shí)部和虛部，

則模長「可能值為1,6,2

對于A,若區(qū)|=2024,則=2024=23.253,

由253不是2與3的整數(shù)倍，

故不存在"，使區(qū)|=2024，故A對；

對于B,若（XJ2024為實(shí)數(shù)，則的輻角為2E或|+2kK,keZ，故B錯(cuò)；

對于C,由|X/=石/巧W4,

則小公小〃的取值為1,1,1,1;1,1,>/3;1,1,2;1,1,2,2;1,1,1,1,1,1,2.

故P（|X卜4）=1+C；+C"；：C；+C；+C：審=1|,故C對；

1T

對于D,當(dāng)r=1時(shí)，則輻角為?；蛉f；

當(dāng)r=6時(shí)，則輻角為?；虿?/p>

當(dāng)r=2時(shí)，則輻角為￡或g

3o

若（X4）2為整數(shù)，則X4的輻角可以為0弓,無（3個(gè);加1個(gè)0）

33

故2二行=7,故D對；

28

故選：ACD.

12.2

【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，直線與圓相交弦長公式可得P.

【詳解】由拋物線丁=2座（°>0）的準(zhǔn)線為/:x=-光，

圓/+/=4的圓心為。僅,0）,半徑廠=2,

則圓心。到準(zhǔn)線/的距離d=與，

2

答案第6頁，共16頁

則|A8|=2〃-/=2,4一?=2看,

解得P=2,

故答案為：2.

【分析】確定。>0,根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出。的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性求出。

的范圍可得答案.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，〃x)=sin［-不具備單調(diào)性，

當(dāng)&<0時(shí)，/(x)=sin(0x-：J=-sin(_0x+：］,

若在區(qū)間［。胃］上單調(diào)遞增，則在>=sin's+在區(qū)間［日上單調(diào)遞減,

可得/一8+9一年+5因?yàn)槭瑂m,在序3上是單調(diào)遞增的，

所以y=sin3在&上不可能單調(diào)遞減，所以。<0不成立,

于是①〉0.

若函數(shù)〃x)=sin,x-m在區(qū)間04上單調(diào)遞增，則

24(keZ),°

neo兀兀3

-------------<2fai+—co<4k+—

242〔2

若函數(shù)g(x)=sin(w+：J在區(qū)間04上單調(diào)遞增，則

249,8

7169兀兀-1

----F—<2fai+—0V4k+一

242〔2

因?yàn)棰?gt;0,所以k=0時(shí)，

綜上所述,0<°wg.

故答案為：［ol.

14.

【分析】分別討論當(dāng)Af在正方體各個(gè)棱上時(shí)d的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)M的個(gè)數(shù)求交集即可.

【詳解】

答案第7頁，共16頁

Di

|C?

4

D.

A

當(dāng)M在48、CQ上時(shí)由BCJA5、BC,1C,Dt,即怛d叫+|嶼|4|G同+|明|，即

de["l+可

當(dāng)“在A瓦、C￡＞上時(shí)ABMG為等腰三角形，BC”R,即

5

|5B1|+|B1C1|<|Affi|+|MC1|<|4G|+|4i|-即de[2,2&]；

當(dāng)M在AA|、AA、AD,上時(shí)d的取值范圍均一致，當(dāng)M在AA上時(shí)，繞AA翻折,

使平面ABCR與平面AgGA在同一平面內(nèi),

則忸匕閆加8|+阿￡同4閉+|46],即de74+272,272

又Af在每條棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所在位置與d的值一一對應(yīng)，

又1+百＞“+2血，

所以若滿足條件的M點(diǎn)恰有4個(gè)，則de[2,J4+2忘),

故答案為：[2,“+2-).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義，分類討論在不同棱上d的范圍.

7T

15.(1)-；

4

⑵-當(dāng)

【分析】(1)根據(jù)內(nèi)角和公式，兩角和正弦公式和正弦定理可得a=AosC+ccosB,結(jié)合條

件可得sinB=cos3,由此可求8；

答案第8頁，共16頁

（2）過點(diǎn)。作邊A5上的高CO,結(jié)合（1）及所給條件解直角三角形△ACO,々CD求BC,

AC,再利用余弦定理求cosC.

【詳解】（1）在VABC中，A=7i—（B+C）,

/.sinA=sin^jc—（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB

由正弦定理：號=名=，片，

sinAsinBsinC

由sinA=sinBcosC+sinCcosB可得a=ZTCOSC+ccosB,

又由題意知"bcosC+csinB,sinB=cosB,且BE（0工）

（2）在VABC中過點(diǎn)C作邊AB的高CO,交邊AB與D,

由題意可知CD=二，且△BCD和AACD都是直角三角形.

JTC

因?yàn)?=:，所以△BCD是等腰直角三角形，所以8￡>=cr>=：,

3

所以A￡>=AB-8。=—c,

由勾股定理，BC2=BD2+CD2,AC2=AD2+CD2,

解得3C=^c,AC=-c,

44

M,7,2_2

在VABC中，由余弦定理得：cosC=^―

MY

--------C

2.%網(wǎng)

44

BD

16.（1）證明見解析

【分析】（1）依據(jù)題意證明直線與兩個(gè)平面的交線垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)求解即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法求解即可.

【詳解】（1）如圖，取棱CD靠近。的三等分點(diǎn)R,

答案第9頁，共16頁

連結(jié)AR,BA,則。是CR的中點(diǎn)，

因?yàn)镻為棱AC的中點(diǎn)，所以尸。是△ACR的中位線,

所以PQ/4?,因?yàn)槭琎L3C,所以BCL4?,

JT

設(shè)BC=?a,因?yàn)閆BCD=ZBOC=—,

6

所以8￡>=耳，作BHLCD,連接8R,

BR2+BC2=CR2,BC±BR.

又AT?c8R=R,AR,3Ru面ABH,

.?.3C_L平面ASR,因?yàn)锳Bu面ABH,所以BCJ_AB.

又由平面ABC_L平面38,平面ABCp平面88=3。，

平面BCD得證.

(2)由(1)知，AB1BC,AB±BR.以3為原點(diǎn)，

成的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-町，z.

令42=3。=石,;.C（石,0,0）,A（0,0,不）,R（O,1,O）,Q^,1,0

\7

設(shè)平面CPQ的法向量為%=(x,y,z),

答案第10頁，共16頁

-AC=0,V3x-V3z=0,

則______即＜令z=L可得.=（L名」）.

Y\?AR=0,y-V3z=0,

連接8Q,此時(shí)20=6，QD=2,由余弦定理得3。=1,

所以BQ2+BO2=QD2,所以BQL3Z),

因?yàn)锳B_L平面88,所以BQ_LAB,

因?yàn)锳B,30u面ABD,ABQBD=B,

所以BQ1■面ABD,故平面ABD的一個(gè)法向量為而=

22

7

|々?聞J3岳

設(shè)平面CP。和平面AB。的夾角為8,則cos*"

聞網(wǎng)V55

二.平面CPQ和平面ABD夾角的余弦值為叵

5

17.⑴a=l

-3K

⑵“X）在區(qū)間，+8有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),理由見解析.

2

【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合斜率可解;

(2)f(x)=+cosx,f(x)=ex-sinx,令g(x)=/'(x),g'(x)=e，-cosx,運(yùn)用g'(x)的正

負(fù)判定了'（X）的單調(diào)性，再運(yùn)用廣⑺的正負(fù)得到了⑺單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可解.

【詳解】（1）由題可知T（x）=e'-asinx,

由x=0處的切線方程為y=x+2,.?收=/'(O)=e°=l,

把點(diǎn)(0,2)代入得e°+acosO=2,.\a=l.

(2)由(1)可知f(%)=e"+cosx,「./*'(x)=e，-sinx,

答案第11頁，共16頁

令g⑺=/'(x),g'(x)=_co&x,

當(dāng)時(shí)，g，a)>。，則8⑴在區(qū)間卜與尸]上單調(diào)遞增.

/Q\_3K

glY)=e2_]<0,g(_7i)=eF〉0,

.??由零點(diǎn)存在定理可知，存在不￡(/，-",使得<?(%)=。，即e*o=sin%o,

二當(dāng)時(shí)，尸(x)<0,則小)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(%,-兀)時(shí)，/(x)>0,則/(X)在區(qū)間(飛,-兀)上單調(diào)遞增，

又=e2+cos^-^^>0,/(-7i)=e-,t-l<0,

二由零點(diǎn)存在定理可知〃x)在區(qū)間(-亨，-”上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)xe[-7T,0)時(shí)，f'(x)=e*-sinx>0；

當(dāng)xe[0,+oo)時(shí)，(x)=er-sinx>e°-1>0：

\/(x)在區(qū)間[-兀,y)上單調(diào)遞增.

又兀)=eF_l<0,〃0)=e°+l>0,

二由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一零點(diǎn)9目-71,0),使得/(X2)=O,

綜上可得，/(無)在區(qū)間J有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

22

18.(1)土X+匕V=1

43

24

⑵(i)證明見解析；(ii)y

【分析】(1)根據(jù)已知列式求出6,即可得出橢圓方程；

(2)(i)聯(lián)立方程組結(jié)合向量關(guān)系計(jì)算得出點(diǎn)在的直線方程；(ii)先根據(jù)弦長公式求出|AB|

再應(yīng)用圓的方程求出高的最大值即可.

【詳解】(1)當(dāng)4=1時(shí)，由對稱性可知ABIx軸，

IAB|=24W=匕2=3,

22

.?.C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

43

(2)(i)(方法一)???點(diǎn)尸異于點(diǎn)尸,r/Nl,

答案第12頁，共16頁

設(shè)力（久1，、1）,8（久2，丫2），直線AB的方程為％=啊+1，

22

聯(lián)立方程?+（=1,得（3加2+4）尸+6"9一9=。,

6m9

%+%=一，

——3m92--+--4-X1%2=---3--m-52--+--4--

%]+AX-1+/L,

由左=彳而可知2

/+2%=°，

???4民尸三點(diǎn)共線，且?="2＞。且彳/1）,

點(diǎn)尸在線段AB的延長線或反向延長線上，

則麗=2而，設(shè)P（x,y）,則無=與學(xué)，

1—A

石+X?

由必+幾％=0，則%=一上，代入上式得尤=—4一=

%1+Ax+%

%

,尤=4%+%乂=。孫+1）%+（妝2+1）%=2〃明%+（%+%）

M+%M+%%+%

61tlQ

把％+%=-丁*，%%=—-T，代入上式得尤=4,命題得證?

3m+43m+4

（方法二）??,點(diǎn)尸異于點(diǎn)￡，彳十1,

Xy+=1+4

設(shè)力（久1，%）,8（久2，丫2），由通=2而可知

>1+4%=°，

???4民尸三點(diǎn)共線，且碗=〃4＞。且彳/1）,

點(diǎn)尸在線段AB的延長線或反向延長線上，PA=^PB，設(shè)P（x,y）,則》=三年

1—/I

/一死_(玉一％%2)(1+丸)_(%一「%2)(芭+4%2)

1-2—(1-2)(1+2)-1-22

將①式減去②式，得“—黃+'―2%2=1—%,

43

即(%+1%)(%-&2)+(X+%%)(%-4%)=1Z2

、43—'

則（玉+2%2）（玉_丸%2）=4（1—%）,

答案第13頁，共16頁

，點(diǎn)尸在定直線％=4上，命題得證.

38

3玉+產(chǎn)=二，

(ii)當(dāng)4=y時(shí)，由(i)可知＜

3

X+二%=。，

38

玉+產(chǎn)二不_8

解得

x2=0,

_8

不妨設(shè)A在第一象限，則將*=3代入C的方程,

9=°

???網(wǎng)】［|-。川竽+可弋，

州+6

則直線AB的方程為y=G——(x-O)-若，即'=石(工-1),

--0

5

設(shè)P(x,y)(yw石(x-1)),由瞳=彳可知卜_|：+卜—半］=?+(y+后，

為圓心，3為半徑的圓上，且不在直線y=^(x-l)上,

:，岑在直線AB上，

(22J

:.^PAB面積的最大值為|x^x3=y.

答案第14頁，共16頁

19.(1)2和5為兩個(gè)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”

(2)加的值為12或18

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)“理想數(shù)”概念，結(jié)合列舉法可解;

(2)分析題意知道冊=