福建省福州某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

福州三中2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三第二次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

命題人：高三數(shù)學(xué)集備組審卷人：高三數(shù)學(xué)集備組

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的班級、準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.第n卷必須用0.5毫米黑色簽字筆書寫作答.若在試題卷上

作答，答案無效.

第I卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知全集U={xeNk<6},集合/={1,2,3},6={2,4,5},則（?））八5二（）

A{0}B.{4,5}C.{2,4,5}D.{0,2,4,5}

2.設(shè)xeR,則“sinx=l"是“cosx=0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.AABC的內(nèi)角N、B、C的對邊分別為°、b、c.已知sin5+sin/（sinC—COSC）=0,a=2,

c=e，則。=

兀?！ㄘ?/p>

A.—B.-C.-D.一

12643

4.已知“BC是邊長為2的等邊三角形，P為平面48c內(nèi)一點(diǎn)，則方?（而+定）的最小值是（）

34

A.—2B.--C.--D.—1

23

5.函數(shù)/（x）在（一叫+8）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若=則滿足-2）<1的x的取值范

圍是.

A.[-2,2]B,[-1,1]C.[0,4]D,[1,3]

6.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角。以O(shè)x為始邊，終邊在第三象限.則（）

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-cosa>tana

第1頁/共4頁

7.在正四棱臺ABCD-4與。12中，AB=4,A｛B｝=2,AA,=^3,若球0與上底面481GA以及棱

都均相切，則球。的表面積為（）

A97iB.1671C.25兀D.36兀

8.已知函數(shù)/（x）=2+lnx,g（x）=aVx,若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=/（x）,y=g（x）圖象

均相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（1,2）D.（l,e）

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題

目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.

9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛4｝,且4〃+1>乙，則（）

A.。3+。7=。4+。6B.a3-a7>a6

C.數(shù)列｛%>“｝是等差數(shù)列D.數(shù)列｛的“｝是等比數(shù)列

10.如圖，在正方體4BCD—4國。12中，M,N,P分別為棱AS】，B?,CQ的中點(diǎn)，則下列結(jié)論

正確的是（）

B.點(diǎn)P與點(diǎn)。到平面的距離相等

C.平面D.MN截正方體ABCD-AXBXCXDX所得截面圖形為等腰梯形

D.平面將正方體48CD-分割成的上、下兩部分的體積之比為7:17

11.已知奇函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,/（2）=2,對于任意的正數(shù)再,々，都有/（石馬）=/（西）+/（》2）-1，

第2頁/共4頁

且x>5時，都有/(x)〉0,則(

B.函數(shù)/(x)在(-℃,+8)內(nèi)單調(diào)遞增

C.對于任意x<0都有/(x)+/

D.不等式In"⑺-2]<0的解集為b(2,4)

I816；

第n卷

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上.

,**,-*-*>——?—?—?—?

12.已知單位向量qJ_色，向量。=4耳一262，6=2,+4，若。_［_6，則頭數(shù)2=.

13.直線2x?sin。+歹=0被圓必+/一20+2=0截得最大弦長為.

14.對于正整數(shù)小設(shè)%是關(guān)于x的方程［-log“+］X"=/+3〃的實(shí)數(shù)根.記%=二，其中［x］表示

x2x?

不超過x的最大整數(shù)，則％=；設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“則J/=—.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為=2,S“=an+l-2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)令％=l+log24，求數(shù)列｛4?〃｝的前〃項(xiàng)和

4s,

16.在V45C中，角48,C的對邊分別為a,"C,A4SC的面積為S,已知---=a~cosB+abcosA.

(1)求角2；

(2)若3=3,Z\4SC的周長為/,求彳的最大值.

22

17.已知橢圓C：=+二=1(。〉6〉0)的右焦點(diǎn)廠在直線》+2>；—1=0上，A,2分別為C的左、右頂

ab

點(diǎn)，且H耳=3忸耳.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

第3頁/共4頁

(2)是否存在過點(diǎn)G(-1,0)的直線/交C于M,N兩點(diǎn)，使得直線8N的斜率之和等于-1?若存

在，求出/的方程；若不存在，請說明理由.

18.如圖，在四棱錐P—ABC。中，/BAD=NCDA=60°，ZABC=90°，AD=4,CD=2,

PB=3,PA=2V6，平面PDC1平面ABCD.

(1)求證：平面尸45_L平面45C。.

(2)求二面角尸—8C—。的余弦值.

(3)G為平面P8C內(nèi)一點(diǎn)，若。G,平面PBC,求3G的長.

19.設(shè)a,b為實(shí)數(shù),且a〉l,函數(shù)/(x)=a工-bx+e?(xeR).

(1)若g(x)=/(x)-a*+lnx,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(2)若對任意b〉2e2,函數(shù)/(x)有兩個不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍；

(3)當(dāng)a=e時，對任意函數(shù)/(x)有兩個不同的零點(diǎn)久l々，(冷＞盯)，證明:

blnbe2

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

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福州三中2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三第二次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

命題人：高三數(shù)學(xué)集備組審卷人：高三數(shù)學(xué)集備組

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的班級、準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.第n卷必須用0.5毫米黑色簽字筆書寫作答.若在試題卷上

作答，答案無效.

第I卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知全集U={xeNk<6},集合/={1,2,3},6={2,4,5},則(?))八5二()

A.{0}B.{4,5}C.{2,4,5}D.{0,2,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】求出。幺再求(az)c5即可.

【詳解】由題知U={0,123,4,5},[用={0,4,5},

貝|](?.8={4,5}.

故選：B.

2.設(shè)XER,則“sinx=l”是“cosx=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)閟in?x+cos?x=1可得：

當(dāng)sinx=l時，cosx=0,充分性成立；

當(dāng)cosx=0時，sinx=±1,必要性不成立；

所以當(dāng)xGR,sinx=l是cosx=0的充分不必要條件.

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故選：A.

3.A45C的內(nèi)角B、。的對邊分別為b、c,已知5由5+$1114（5山。一（：05。）=0,a=2,

c=VL貝ijc=

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可

詳解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

vsinB+sinA(sinC-cosC)=0,

?,.sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

???cosAsinC+sinAsinC=O,

???sinC#0,

.??cosA=-sinA,

.??tanA=-1,

由正弦定理可得

sinCsinA

csinA.j2x

.,.sinC=---------=2

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦

定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方

第2頁/共23頁

便、簡捷一般來說，當(dāng)條件中同時出現(xiàn)M及〃、/時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余

弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.

4.已知“BC是邊長為2的等邊三角形，P為平面4BC內(nèi)一點(diǎn)，則莎?(而+正)的最小值是()

34

A.—2B.---C.---D.—1

23

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以8c中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則4(0,?5(-1,0),C(l,0),

設(shè)P(x,y),貝U莎=—y),P5=(-l-x,-j),PC=(l-x,-v),

貝"萬+對=2+2/R+(尸奉]]

???當(dāng)x=0,尸整時，取得最小值2x(1)=-|,

故選：B.

5.函數(shù)/(x)在(—叫+8)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若/(1)=-1,則滿足-2)<1的x的取值范

圍是.

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】D

【解析】

【詳解】/(x)是奇函數(shù)，故=—/(1)=1；又/(x)是減函數(shù)，-1</(X-2)<1,

即/⑴K/(x—2)?/(-1)則有—l4x—2<1，解得1W3，故選D.

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6.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角a以。x為始邊，終邊在第三象限.則（）

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-cosa>tana

【答案】C

【解析】

【分析】對A、B：舉出反例即可得；對C、D：借助三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及其值域計算即可得.

【詳解】由題意可得sina<0、cosa<0,tan6K>0,

對A：當(dāng)siny。一時，cosa—>-1,則sina-cosafl,tanaf0,

此時sina-cosa>tana,故A錯誤；

..57tt..5兀5兀八5兀YI,.j,

對B：當(dāng)］二一時，sma-cosa=sm-----cos一=0<tan一二1,故B錯誤；

4444

,2sina,、八

對C、D：sma?cosa=cosa-------=cos2a?tana,由一l<cosa<0,

cosa

故cos2?！辏?,1）,則cos2a，即sincrcosa<tana,

故C正確，D錯誤.

故選：C.

7.在正四棱臺48CD—481GA中，48=4,44=2,44］=JL若球。與上底面44G。以及棱

初,5C,CD,/切均相切，則球。的表面積為（）

A.9nB.167rC.257rD.36兀

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理求解棱臺的高M(jìn)N=1,進(jìn)而根據(jù)相切，由勾股定理求解球半徑氏=g,即可由表面

積公式求解.

［詳解】設(shè)棱臺上下底面的中心為N,M，連接￡>,5,,DB,

則=272,￡>5=472,

所以棱臺的高M(jìn)N=個BF—=J（V3）2-（2V2-V2）2=1,

設(shè)球半徑為R,根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知：球。與上底面相切于N，與棱AB,BC,CD,DA均相

切于各邊中點(diǎn)處,

設(shè)8c中點(diǎn)為E,連接

第4頁/共23頁

5

所以。爐=0拉2+人化2nA2=優(yōu)一]]9+22,解得氏=—,

112

所以球0的表面積為4nR2=25；1，

故選：C

8.已知函數(shù)/(x)=2+lnx,g(x)=aVx,若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=/(x),y=g(x)圖象

均相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(l,e)

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)函數(shù)y=/(x),y=g(x)的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x”2+lnxj,12，“反)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可

得。=——!—,占＞0,即該方程有兩個不同的實(shí)根，則設(shè)〃(》)=-------,x＞0,求導(dǎo)確定其單調(diào)性與

再X

取值情況，即可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】解：設(shè)函數(shù)/(x)=2+lnx上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(92+lnxJ,且再＞0,函數(shù)g(x)=a夜上的切點(diǎn)

坐標(biāo)為12，。后)，且工220,

乂/'(x)=Jg'(x)=E，則公切線的斜率左=：=擊，則。〉0,所以馬=?才，

則公切線方程為y一(2+山石)=’(工一玉)，即)=—x+ln%i+1,

石X]

a=2

代入(%2,qJ^")得：y[^2—X2+In%1+1,則可否=—Xj+In+1,整理得/=-,

\/X]2演4X]

/|]口％+4

若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=/(x),y=g(x)圖象均相切，則方程片=——!—有兩個不同的實(shí)

x\

根,

4

設(shè)〃(x)=41n；+4,x>o,則/⑴工x一(41nx+4)_4hix,令/(x)=0得x=l,

X2X

第5頁/共23頁

當(dāng)xe(0,1)時,丸(x)單調(diào)遞增,xe(l,+oo)時,A,(x)<0,單調(diào)遞減，

又〃(x)=0可得x=L則x70時，A(x)->-co；xf+oo時，〃⑺一0,則函數(shù)〃(%)的大致圖象如

<7>0.

所以*</<4,解得0<。<2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,2).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的公切線、函數(shù)方程與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大.解決本題的關(guān)鍵是，根據(jù)公

切線的幾何意義，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(%,2+111占)，且玉>0,12，。直")，且Xz'O,可得

左=：=公上，即有z=：x3得公切線方程為y=:x+lnxi+l,代入切點(diǎn)卜2,將雙變量方程

4人=工々+111玉+1轉(zhuǎn)化為單變量方程1%=’-。^+111%+1,根據(jù)含參方程進(jìn)行“參變分離”得

石2西4

片=41呻+4,轉(zhuǎn)化為一曲一直問題，即可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

%

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題

目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.

9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛4｝,且%+1>%,則()

A.a3-ba7=a4+a6B.a3-ay>a4-a6

C.數(shù)列他用｝是等差數(shù)列D,數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可以判斷A正確；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可以判斷B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的概

念可判斷C,根據(jù)特例可判斷D.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d(d〉O),

對A,因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，且3+7=4+6,

第6頁/共23頁

則由等差數(shù)列性質(zhì)可得%%=。4+。6，故A正確；

2

對B,a4-a6-a3-a7=（q+3辦（%+54）-（q+2辦（%+6d）=3d>0,

則的,%<%，故B錯誤；

對C,因?yàn)?”+i-4“T=2d,則數(shù)列｛%+1｝是等差數(shù)列，故c正確；

對D,如數(shù)列｛%｝為1,2,3,4,5,6…，顯然數(shù)列｛的"｝不是等比數(shù)列，故D錯誤；

故選：AC.

10.如圖，在正方體4BCD—4gGA中，M,N,P分別為棱BB-Bg,CC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.4。，平面

B.點(diǎn)尸與點(diǎn)。到平面D[MN的距離相等

C.平面D[MN截正方體ABCD-451GA所得截面圖形為等腰梯形

D.平面將正方體48CD-48]G。]分割成的上、下兩部分的體積之比為7:17

【答案】BCD

【解析】

【分析】假設(shè)4C，平面。WW,證得D]N，4G，顯然不成立，即得A錯誤；證明4M,N，2四點(diǎn)

共面，即得截面四邊形，再結(jié)合平行關(guān)系和長度關(guān)系即判斷c正確；利用線面平行的判定定理證明。尸〃

平面即證B正確；計算分割的上面部分棱臺的體積和正方體體積，即得下面部分體積，證得D

正確.

第7頁/共23頁

【詳解】正方體4SCD—45CQ1中，不妨設(shè)棱長為2.

假設(shè)4。，平面AW,則4C，AN,而GCJL底面則GCJLAN,4c與GC相交于

平面ZCC內(nèi)，所以AN,平面ZCC，則￡>]N，4G，顯然不成立，即選項(xiàng)A錯誤；

連接401,AM,由MNHBCJIAD陽,4M,N，2四點(diǎn)共面，即為平面"MV截正方體

4BCD—481GA所得截面圖形，而跖VW4D],D[N=AM=下,故截面圖形為等腰梯形，C正

確；

由40〃4。，40=兒。知四邊形4DPMr是平行四邊形，所以DP//4M,且。尸(/平面，跖V,AMu

平面。WW,故DP〃平面所以點(diǎn)尸與點(diǎn)。到平面的距離相等，選項(xiàng)B正確；

平面。17W將正方體N5CD-分割的上面部分是棱臺,上底面面積為S'=3，

下底面面積為S=2,高ft==2,所以體積匕=§(S+/6M+S^h=—^―+l+2^jx2=—,而正方

717匕7

體體積為%=8,所以分割的下面部分體積匕=8-§=《，所以*=萬，即選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

11.已知奇函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(2)=2,對于任意的正數(shù)七,》2,都有/(西馬)=/(石)+/(%)—1，

且x>g時，都有/(x)〉0,則()

B.函數(shù)/(X)在(-00,+00)內(nèi)單調(diào)遞增

第8頁/共23頁

C.對于任意x<0都有/（x）+/-2

lo（2,4）

D.不等式In[/⑺-2]<0的解集為

816；''

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)已知應(yīng)用賦值法判斷A選項(xiàng)，結(jié)合奇函數(shù)判斷C選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性定義判斷B選項(xiàng)，結(jié)合單

調(diào)性解不等式判斷D選項(xiàng).

【詳解】已知/（石馬）=/（苞）+/（%）-1,令X]=1,%=1，可得/（1）=/（1）+/。）-1，/。）=1，

令石=2,%=3可得/（1）=/（2）+/（￡|—1=1,得/（2）=2,/（￡|=0人選項(xiàng)正確;

奇函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽J（—x）=-/（x），所以/（0）=0,又知了0,

所以函數(shù)/⑺在（-嗎+⑹內(nèi)不是單調(diào)遞增,B選項(xiàng)錯誤;

對于任意的正數(shù)七,馬，都有/（占》2）=/（石）+/（%）一1，

對于任意x<0都有-x>0,〃l）=/（—X）+/2,

又因?yàn)楹瘮?shù)/（x）為奇函數(shù)，可得/（》）+/-2,C選項(xiàng)正確;

對于任意的正數(shù)為,工2e（O，+8）,X2>X],,都有/（2項(xiàng)）=/（xJ+/（2）—l=,

（1、

/（工2）-/（再）=/（工2）-/（2xJ+l,又因?yàn)閤>0/（x）+y2,所以/（2石）+/—=2,

（（\'1'

所以/（工2）-/（再）=/（、2）-2-/--+1=/（、2）+/x2

、2占72%i

JJ

又因?yàn)椤?gt;不，￡>1，言>g所以/>0,所以/（/）—/（石）〉0,

所以函數(shù)/（x）在（0,+。）內(nèi)是單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)/（X）為奇函數(shù)，所以函數(shù)/（X）在（7,0）內(nèi)是單調(diào)

遞增，

不等式ln[/（x）—2]<0,0</（x）-2<l,2</（x）<3

第9頁/共23頁

已知/（西馬）=/（西）+/（》2）一1，

令，西=2,%=2,因?yàn)?⑵=2可得/（4）=〃2）+/（2）_1=3,

函數(shù)/（x）在（0,+e）內(nèi)是單調(diào)遞增，所以2Vx<4,

已知/（斗々）=/（石）+/（》2）—1,令,再=px2=p因?yàn)?=

可得小〔=/〔1+/出T=T'同理/〔」=4m=2

又因?yàn)楹瘮?shù)/（X）為奇函數(shù)，f

又因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在（-8,0）內(nèi)是單調(diào)遞增，所以-L<X<-'

816

不等式ln[/(x)-2]<0的解集為[-7，-77

口（2,4）,D選項(xiàng)正確;

\o16

故選:ACD.

第n卷

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上.

—**——*?—?—>?*”——

12.已知單位向量,_L02,向量a=4,-202，b=2q+e?,若口_16，則實(shí)數(shù)％=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用向量垂直的性質(zhì)即可求解.

2

【詳解】因?yàn)椤闖_g，所以a%=（由一202）?（24+e2j=24e：+（2-4）-e2-2e2=22-2=0

故2=1.

故答案為：1

13.直線2x?sin。+y=0被圓必+/一2島+2=0截得最大弦長為.

【答案】2逝

【解析】

【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理與勾股定理建立關(guān)系即可得到答案.

第10頁/共23頁

【詳解】由已知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為#+3—6）2=3,圓心為（0,逐），半徑r=G，

圓心到直線2x?sin。+歹=0的距離d=/垂=<V3,解得sin26>~,

V4sin2^+16

所以弦長為2，,—/=2、3-------1——，因?yàn)間<4sin2￡+lV5,

\4sin2^+l3

所以1W二.二二<3,所以弦長Hl—/=------1——（0,272］,

23e

4sin2^+lV4sin2^+l

當(dāng)4sin2。+1=5即sin2。=1時，弦長有最大值2行.

故答案為：20.

14.對于正整數(shù)小設(shè)x,是關(guān)于x的方程log".》"=/+3〃的實(shí)數(shù)根.記4=，-,其中［x］表示

xL2xd

不超過X的最大整數(shù)，則％=;設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s”則后>=—.

【答案】①.0（2）.1010

【解析】

【分析】（1）當(dāng)〃=1時，化簡方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到函數(shù)零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而求出結(jié)果.

1

（2）令/=丁，化簡方程，通過構(gòu)造函數(shù)的方法，找到零點(diǎn)的范圍，即/“得范圍，分類討論〃為奇數(shù)

和偶數(shù)時與,求得結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)”=1時，-4-log2x=4,

X

設(shè)/(x)=3-log,x-4單調(diào)遞減，

X

1III1

/(-)=1>0,/(1)=一3<0,所以<西<1,-<—<1

4=[y-]=0

2x1

122

(2)令t“=q—,則方程化為：(2/)+〃log“+i2/“=〃"+3〃

2

令/(x)=(2x>+wlogn+12x-n-3n,則/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增

第11頁/共23頁

嗎)=〃log〃+ln-3n<0；

/(一)=1>0

由零點(diǎn)存在定理可得：*嗚,等)，/(x)=0,

2k-l

當(dāng)n=2k-l(ksN+),tne(,k),an=[tn]=k-l

24+1

當(dāng)〃=2k(keN+),e(k,——),an=[r?]=k

10101010

所以當(dāng)52。2。=2(4—1)+^左=10102,

k=\k=\

V^2020=101。

故答案為：①o；@1010

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)存在定理，數(shù)列求和等基本知識，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理

能力，轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S",為=2,S“=%+]—2.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)令4=l+log2a“，求數(shù)列｛%?〃｝的前〃項(xiàng)和北.

【答案】(1)an=2"

+i

(2)Tn=n-2"

【解析】

【分析】(1)由的關(guān)系分”是否等于1進(jìn)行討論即可求解；

(2)首先得g=4?，=(1+冷-2”,進(jìn)一步結(jié)合錯位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.

【小問1詳解】

ax=2,Sn=an+x-2

當(dāng)〃=1時，％=a2-2,/.a2=4,%=2%,

當(dāng)〃22時，S,T=%-2,兩式相減得%+]=2%(場之2),

%=2%,eN；

第12頁/共23頁

:4=2#0,.,.=2（neN*）,

a.

???數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

?乜=2"

【小問2詳解】

由(1)可知4=l+log24=1+〃，記c“=4“=(1+〃).2",

.-.7；=2-21+3-22+4-23+---+(1+/?)-2",

27；=2-22+3-23+4-24+---+(1+/7)-2"+1,

兩式相減得

22(1-2"-1)

-7；,=4+22+23+---+2n-(l+w)-2n+1=4+—-----^-(1+M)-2"+1=-M-2B+1

1—2

F=3.

4s。

16.在V45C中，角4瓦。的對邊分別為。也的面積為S,已知----=。cosB+abcosZ.

tanB

(1)求角B；

(2)若b=3,z\4BC的周長為/,求了的最大值.

7?

【答案】(1)-

3

⑵心

4

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等變換即可求解；

(2)由余弦定理及三角形的面積公式得'=*(a+c-3)，再由基本不等式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

4s2

因?yàn)?----=aCOS3+Q6COS4,

tan5

1

后|、j4x—acsin5cosB

--------------------------=1cosB+abcosA'

sin6

即2ccosB-acosB+bcosA,

第13頁/共23頁

由正弦定理，得2sinCeos8=sinAcosJ?+sin5cosA=sin(4+8),

因?yàn)?+JB=7T—C,

所以2sinCcos3=sinC,

因?yàn)镃e(O,?),所以sinCHO,所以cosB=；,

又8e(O,?),所以5=(.

【小問2詳解】

由余弦定理，得力2=6/2+c2-2accosB，即9=/+c?一。。，

所以9=(Q+op-3Q0,即ac=1(a+c)2—9

3

1/o

因?yàn)镾=—acsin5=——ac，/=a+c+3,

24

所以S―6ac6［（a+c）2-9_.

I4（Q+C+3）12（Q+C+3）

所以］=*g+c—3），

又acV（"°）（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號），

4

所以9=（a+c/-3ac>?；，）（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時取等號），

所以a+cV6（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時取等號），

所以￡=Y3（a+c—3）<x（6-3^=—（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時取等號），

/1217-12v>4

即g的最大值為走.

I4

22

17.已知橢圓C：=+與=1（口〉6〉0）的右焦點(diǎn)廠在直線x+2y—1=0上，A,2分別為C的左、右頂

ab

點(diǎn)，且|/刊=3忸耳.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在過點(diǎn)G（-1,0）的直線/交C于M,N兩點(diǎn)，使得直線8N的斜率之和等于-1?若存

第14頁/共23頁

在，求出/的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)—+^=1

43

(2)存在，x—y+1—0.

【解析】

【分析】(1)先求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，得出橢圓中的c=l,結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可出答案.

(2)設(shè)直線/的方程為：x=my-l,W(x2,y2),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定

理，由題意左p“+女尸N=-1，將韋達(dá)定理代入可出答案.

【小問1詳解】

設(shè)右焦點(diǎn)尸(c,0),

直線x+2y—1=0與x軸的交點(diǎn)為(1,0),

所以橢圓C右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0),

故在橢圓C中c=l,

由題意|4F|=a+c=3|8F|=3(a-c),結(jié)合c=l,則。=2,

b2-a2-c2=4-1=3，

所以橢圓C的方程為：工+匕=1；

43

【小問2詳解】

當(dāng)直線I的斜率為0時，顯然不滿足條件kPM+kPN=-1,

當(dāng)直線/的傾斜角不為0°時，

設(shè)直線/的方程為：x=JTiy—1,N(%2,y2)，

由2)可得(3/+4)/-6吵-9=0,

3jr+4y~=12''

第15頁/共23頁

由題意△=36m2—4x(3m2+4)x(-9)=144m2+144>0,

r?6m9

則%+%=-2,〃'3V2=一『二，

3m+43m+4

由kpM+kpN=+=必+%=2孫%-3(%+%)

ii1PN1

X]-2x2-2myx-3mj2-3myxy2-3?(^+J2)+9

c-96m

3加2+43加2+4_

2-96m

mx——------3mx——----+9

3加2+43加2+4

由kpM+kpN=—1,即加=1,

故存在滿足條件的直線，直線/的方程為：％-歹+1=0.

18.如圖，在四棱錐P—/BCD中，/BAD=NCDA=60°，ZABC=90°，/。=4,CD=2,

PB=3,PA=2V6，平面PDC1平面ABCD.

(1)求證：平面尸48_L平面45c。.

(2)求二面角尸—BC—。的余弦值.

(3)G為平面尸內(nèi)一點(diǎn)，若。G,平面尸BC,求3G的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)—

3

⑶巫

3

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理先證CO,由面面垂直的性質(zhì)得出尸C,結(jié)合勾股定理及線面垂直的

判定證明BC1平面PAB即可；

(2)法一、利用二面角的定義結(jié)合第一問得出二面角的一個平面角，再由余弦定理計算即可；法二、以2

為中心建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算面面角即可；

(3)法一、利用線線垂直、線面垂直的性質(zhì)與判定作出DGL平面尸,解三角形即可；法二、利用

第16頁/共23頁

（2）的坐標(biāo)系，設(shè)豆不坐標(biāo)結(jié)合空間向量基本定理及空間向量數(shù)量積計算求G點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【小問1詳解】

AC2=42+22-2x4x2cosZCD^=12=^D2-CD2，

則N/C￡>=90。，AC=25NCAD=30。，

??,平面尸CD,平面48CD,ACLCD,平面尸CDPl平面45c￡>=CD,

.?.NC，平面PC。，CPu平面PCD,所以NCLCP,

?..在APNC中，PC7Ap2—AC?=2百，

又ZBAD=60°,ZABC=90°,

：.ZBAC=30°,BC=^3,AB=3,

在/\PBC中：PB2+BC2=PC2,二BCLPB,

又BC上AB,ABcPB=B4B,PBu平面P4B,

BC±平面PAB,且BCu平面ABCD,

■■平面PAB1平面ABCD.

【小問2詳解】

法一、由上可知：BCYAB,BC1PB,則二面角尸—BC—。的一個平面角為NPA4,

在△尸氏4中,由余弦定理知?osZPBA=PB?+4B2-PA2=3?+3?—(2佝=_』；

2PB-AB183

法二、如圖建系：設(shè)z軸與P/交于初,過尸作PELHW與E,

設(shè)=則/四=2指—x，

第17頁/共23頁

/.BM2=（2a-x—9=15+x~—4-y6%，

32+（276）2-32

nMJ+9"

6x12^/6

解之得片李所受

口「PEEMPMIJ23A/2r-

易知=----==T,所以PE=1,EB=EM+MB=-----1--------=2,2,

ABMBMA322

則5（0,0,0）,0（0,括,0）,尸（一1,0,2夜卜

V3v=0

設(shè)。=（x,y,z）為平面P8C的一個法向量，則：＜

-x+=0

令z=l,則x=2拒,y=0，所以萬=（2后,0,1）,

易知，=（0,0,1）是平面ABCD的一個法向量,

設(shè)二面角尸—8C—。的一個平面角為，，貝qcosG，〃J=n-n{_1

同,同

由圖形可知該二面角為鈍角，所以cos9=-,

3

【小問3詳解】

法一：過。作。NL8C,垂足為N,過N作///尸8,

在△尸。C中，過。作。。，尸C,過。作0GJ_PC,0Gn/=G,

因?yàn)?6口。。=0,06,。0匚平面。60,所以尸C1平面。G。,

又。Gu平面。G。，所以尸C_LQG,

而PCn/,尸CJu平面尸,所以。G,平面尸BC,即G為所求.

分別延長48、DC交于R,連接尸滅,

第18頁/共23頁

過。作由(1)易知PR工4C,PRL/‘,/?？?',幺。,/'匚平面48。￡),

.?.尸氏_1平面48。),

2-\/6,設(shè)CQ=x,QD=

,4—/+(x+2⑹2=24,則才=手,