2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：講復(fù)數(shù)（分層訓(xùn)練）（學(xué)生版+解析）

第05講復(fù)數(shù)（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2024下?廣東?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（3+2i）（2-2i）=（）

A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i

2.（2024下?重慶?高三重慶八中校考開學(xué)考試）若復(fù)數(shù)z=/+i（a—1+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)

a=Q）

A.1B.-1C.±1D.0

3.（2024?吉林延邊?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=3+5i（i是虛數(shù)單位），則目=（）

A.V15B.4C.V17D.5

4.（2024上,山東青島,高三統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)z=a+i（?eR,i為虛數(shù)單位），彳是z的共

轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)，若（z+l）（2+l）=l,則”（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2024下?山東?高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)

z=-l+i,z-az=-6+6i（a,Z?eR）,則6=（）

A.-5B.-4C.-3D.-1

6.（2024下?云南紅河?高二開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z滿足（2-i）z=2,

則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7

7.（2024?山西晉城?統(tǒng)考一模）設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,-2）,則一:在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

Z+1

的點(diǎn)為（）

8.（2024下?江西?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)2=°+歷（a,6eR）.且|2-i-z|=l,則會(huì)

的取值范圍為（）

7

二、多選題

9.（2024上?河南南陽?高三統(tǒng)考期末）設(shè)復(fù)數(shù)z=-工-且i的共輾復(fù)數(shù)為般則下列結(jié)論正

22

確的有（）

_2〃..2〃z1

A.z=cos----Fisin——B.r=一

33z22

C.1=1D.z2+z2=2

10.（2024上?山東日照,高三統(tǒng)考期末）設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有

A.若zcR,貝!Jz=zB.若ZZR，貝1JzeR

C.若（l+i）z=l—i,則同=1D.若z2+l=0,則z=i

三、填空題

11.（2024下?廣東深圳?高三深圳中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)awR,若復(fù)數(shù)（a-2i）（2+i）在復(fù)

平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則a=.

12.（2024上?全國?高三統(tǒng)考競賽）設(shè)z=（2+i）2-（l+2i）2,則|z+8i|=.

四、解答題

13.（2024上?北京房山?高二統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z=l-2i.

⑴求|z|；

z

（2）若Z[=F;，求Z；

3+41

⑶若IZ2I二底且ZZ2是純虛數(shù)，求Z2.

7

14.（2024?全國?高一假期作業(yè)）已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和「均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.

2-1

⑴求復(fù)數(shù)z和|z|；

17

（2）若4=彳+--——?在第四象限，求機(jī)的取值范圍.

m—\m+2

第05講復(fù)數(shù)（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2024下?廣東?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（3+2i）（2-2i）=（）

A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.

【詳解】（3+2i）（2-2i）=6-6i+4i-4i2=10-2i.

故選：D

2.（2024下?重慶?高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）若復(fù)數(shù)z=°2+i（a-1+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)

a—（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的定義及乘法法則計(jì)算即可.

【詳解】由2="+i（a-l+i）=〃-l+（a—l）i,

根據(jù)題意可知卜二1二°n。=-1.

—1W0

故選：B

3.（2024?吉林延邊?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=3+5i（i是虛數(shù)單位），則歸=（）

A.V15B.4C.V17D.5

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再利用模長公式計(jì)算即可.

/、3+5i（3+5i）（l-i）

【詳解】因?yàn)椋╨+i）z=3+5i,所以2=丁一J:/=4+i,

所以忖="2+F=JT7.

故選:c.

4.（2024上?山東青島?高三統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)z=a+i（tzeR,i為虛數(shù)單位），N是z的共

輾復(fù)數(shù)，若（Z+1）信+1）=1,貝ija=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由共軌復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閦=a+i,所以彳=a—i,

(z+l)(5+l)=(a+l+i)(a+l-i)=(a+l)2+1=1,

解得a=-l,

故選：B.

5.(2024下?山東?高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知復(fù)數(shù)

z=—l+i,z—az=—6+歷(a,Z?wR),則/?=()

A.-5B.-4C.-3D.-1

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件得到方程組，求出答案.

【詳解】(―1+i)—a(—1—i)=—6+歷，故a—l+(l+a)i=—6+歷，

fci—1=—6[a=-5

所以,解得，

[l+a=6也=一4

故選：B

6.(2024下?云南紅河?高二開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試)已知復(fù)數(shù)z滿足(2-i)z=2,

則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則得到z=q」，得到z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.

2_2（2+i）_4+2i_4+2i

【詳解】2^i-（2-i）（2+i）4-i2-5

42

故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為二'二，位于第一象限.

故選：A

7

7.(2024?山西晉城?統(tǒng)考一模)設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-2),則一:在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

Z+1

的點(diǎn)為()

C.

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡二即可求解.

Z+1

【詳解】依題意得z=l-2%，

由z_l+2i_(l+2i)(H-i)_-l+3i_13.

所以---------=-----------=------=---1—1,

z+i1-i(l-i)(l+i)222

則上在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

Z+1722)

故選：C

8.(2024下?江西?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知復(fù)數(shù)z=a+歷(a,beR).且|2-i-W=l,則

的取值范圍為()

-3-73-3+73

1-61+73

4'4

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得到復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以(2,-1)為圓心,

1為半徑的圓C,得到圓的方程(〃-2)2+3+1)2=1,再由號(hào)=組+1,結(jié)合組的幾何

意義為過圓C上的點(diǎn)與定點(diǎn)A的直線/的斜率K利用直線與圓的位置關(guān)系，列出不等式，

即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)z滿足|2-i-z|=l,即為|z-2+i|=l,

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z(a,。)的軌跡是以(2,-1)為圓心，1

為半徑的圓C,即圓C:(。-2)2+S+l)2=l,

a+1a+1

又由q的幾何意義為過圓C上的點(diǎn)與定點(diǎn)的直線/的斜率鼠

直線/的方程為左+1=0,

\3k+2\

由題意可知，圓心C到直線/的距離即

+1

解得土3V左W二2±且，即土立

<b-l<-3+73

Q+14

又由"3=曰+1,可得上34*＜上叵

故選：C.

【分析】利用共輾復(fù)數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的除

法化簡復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷C選項(xiàng)；解方程z?+1=0,可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若zeR,則z=z，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若Z?￡R,不妨取z=i,則Z2=-1ER，但zeR,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若(l+i)z=l-i,則2=上=,、=-i,故忖=1,C對(duì)；

1+1+

對(duì)于D選項(xiàng)，若z2+l=0,則/=-!,解得z=±i,D錯(cuò).

故選：AC.

三、填空題

11.(2024下?廣東深圳?高三深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試)設(shè)aeR,若復(fù)數(shù)(a-2i)(2+i)在復(fù)

平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則。=.

【答案】-1

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】(a-2i)(2+i)=2a+oi-4i+2=2a+2+(o-4)i,

復(fù)數(shù)(a-2i)(2+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2a+2,a-4),

所以2a+2=0,解得：a=—l.

故答案為：-1.

12.(2024上?全國?高三統(tǒng)考競賽)設(shè)z=(2+i)2-(l+2i)2,則|z+8i|=.

【答案】10

【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算以及模的運(yùn)算公式即可求解.

【詳解】由題意z=(2+i)2-(l+2i)2=(3+4i)-(-3+4i)=6,所以

|z+8i|=|6+8i|=736+64=10.

故答案為：10.

四、解答題

13.(2024上?北京房山?高二統(tǒng)考期末)已知復(fù)數(shù)z=l-2i.

(1)求|z|；

…Z

(2)右Z]=--,求Z]；

3+41

(3)^|Z2|=A/5,且ZZ2是純虛數(shù)，求Z2.

【答案】⑴出

⑶Z2=2-i或Z2=-2+7

【分析】(1)根據(jù)模的計(jì)算公式直接求解;

(2)利用復(fù)數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算；

(3)設(shè)4="+從，根據(jù)條件列方程求解即可.

【詳解】(1)|Z|=#+(-2)2=非;

z_l-2i_(l-2i)(34i)_3-4i-6i+8i?_-5-10i12.

------1.

(2)4=--22

3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)-3-(4i)2555'

(3)i§：z2=a+bi,

22

則|z2|=\la+b=A/5，所以a?+/=5①

zz-,=(1—2i)(a+/?i)=(a+2b)+(b—2a)i,

因?yàn)閦z?是純虛數(shù)，所以。+2b=0力一2。片0②

。二2CL=-2

由①②聯(lián)立，解得6一或

b=l.

所以z?=2-i或z?=-2+i.

7

14.(2024?全國?高一假期作業(yè))已知z為復(fù)數(shù)，z+2i和「均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.

2-1

⑴求復(fù)數(shù)z和團(tuán)；

17

(2)若4：-一二i在第四象限，求機(jī)的取值范圍.

m-1m+2

【答案】⑴z=4-2i;|z|=2A/5

⑵/

【分析】(1)設(shè)2=。+歷(°力?11),依據(jù)題設(shè)，建立方程求出。力，即可求得Z,再求其模;

4m-3八

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