2025廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.（5分）設(shè)全集U=R,集合/={鄧？-X-2>0},3=3x21},則（Cu/）C3=（）

A.[1,2]B.（1,2]C.（2,+8）D.[1,2）

2.（5分）馬戲表演中，小猴子模仿人類做引體向上運(yùn)動的節(jié)目深受觀眾的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著

單杠并處于平衡狀態(tài)時(shí)，每只胳膊的拉力大小為50N,此時(shí)兩只胳膊的夾角為60°,試估算小猴子的

體重約為（）

參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10m/s2,V3~1.732.

A.9.2kgB.7.5kgC.8.7kgD.6.5kg

3.（5分）在△4BC中，“C=*”是“sin2/+sin2B=l”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

4.（5分）某班級數(shù)學(xué)課上教師隨機(jī)的從學(xué)生甲、乙、丙、丁中選擇一名學(xué)生回答問題，據(jù)了解，甲、乙、

丙、丁答對該題的概率分別為0.8,0,6,0.4,0.2,則在此題答錯(cuò)的情況下，由乙回答此題的概率是

（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

5.（5分）某公司研發(fā)新產(chǎn)品的投入x（單位：百萬元）與該產(chǎn)品的收益y（單位：百萬元）的5組統(tǒng)計(jì)數(shù)

據(jù)如表所示：

X568912

y1620252836

由表中數(shù)據(jù)求得投入金額x與收益y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=取+2.6,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.x與y有正相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（8,25）

C.b=2.4

D.當(dāng)x=9時(shí)，殘差為0.2

第1頁（共20頁）

6.（5分）記數(shù)列｛利｝,｛加｝的前幾項(xiàng)和分別為Tn,若｛劭｝是等差數(shù)列，且S6=S5+25=90,anbnan+i

=1,則為0=（）

281040

A.-B.-C.—D.—

45454141

7.（5分）如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為尸1，/2,且2n+尸2=12,半徑為4的球與圓臺的上、下底面

及每條母線均相切，則圓臺的側(cè)面積為（）

A.36nB.64nC.72KD.100K

+4%4-5xV0

一，若存在實(shí)數(shù)XI，X2,X3且2VX3，使得了（XI）=f（%2）

Inx,x>0

=f（X3），則Xl/（xi）+X2f（X2）+X3f（X3）的最大值為（）

A.3e3-12B.3/-20C.5e5-12D.5e5-20

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

—>—>

（多選）9.（6分）己知拋物線C-=8y的焦點(diǎn)為R直線y=fcc+2與拋物線。交于兩點(diǎn)，且MF=4FN,

\MN\=9,貝以的取值可以為（）

11

A.-B.-C.2D.3

32

（多選）10.（6分）某校計(jì)劃安排五位老師（包含甲、乙）擔(dān)任周一至周四的值班工作，每天都有老師值

班，且每人最多值班一天，則下列說法正確的是（）

A.若周一必須安排兩位老師，則不同的安排方法共有60種

B.若甲、乙均值班且必須排在同一天值班，則不同的安排方法共有48種

C.若五位老師都值班一天，則不同的安排方法共有240種

D.若每天恰有一位老師值班，且如果甲乙均值班，則甲必須在乙之前值班的不同的安排方法共有84

種

（多選）11.（6分）如圖，在棱長為1的正方體/BCD-481clDi中，M,N,尸分別是Cim，CiC,AiA

的中點(diǎn)，則（）

第2頁（共20頁）

A.MN//A1B

B.平面截正方體所得的截面為等腰梯形

Vio

C.異面直線〃乂與。1尸所成角的余弦值為《一

D.A\DLBM

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

cos(2%+?)—cos(2x一冬)

（5分）已知s譏（％+看）=孚

12.則中拳

13.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足|z-3|+|z+3|=10,則目的最小值為.

14.（5分）已知/G）,g（x）是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且/G）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，滿足/（x）

2

+g（x）=a/+x+2,若對任意的1<XI<X2<2,都有些以迎以>一3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

Xl-%2

是.

三、填空題：本題共5小題，每小題13分，共15分。

15.（13分）記△/2C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c—b=2cs譏23

（I）試判斷△NBC的形狀；

（II）若c=l,求△/BC周長的最大值.

16.（15分）籃球運(yùn)動深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》SFSN全國超級聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將

于4月13日正式打響，于6月30日結(jié)束，共進(jìn)行13站比賽.

（1）為了解喜愛籃球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計(jì)部門在某地隨機(jī)抽取了男性和女性各100名進(jìn)行調(diào)

查，得到2X2列聯(lián)表如下：

喜愛籃球運(yùn)動不喜愛籃球運(yùn)動合計(jì)

男性6040100

女性2080100

合計(jì)80120200

第3頁（共20頁）

依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動與性別有關(guān)？

（2）某?；@球隊(duì)的甲、乙、丙、丁四名球員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球

者都等可能將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲

第〃次觸球的概率為則Pi=l.

（力證明：數(shù)列｛「n-*｝是等比數(shù)列；

（拓）判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.

2

2_n(<ad—bc')

X~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)。

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.(15分)如圖,在四棱錐尸-ABCD中,5。_LPC,/ABC=60°,四邊形ABCD是菱形，PB=yflAB=0PA,

—>—>

E是棱尸。上的動點(diǎn)，且PE=1PD.

（1）證明：E4_L平面N8CD.

（2）是否存在實(shí)數(shù)入，使得平面為3與平面/CE所成銳二面角的余弦值是雪？若存在，求出入的值;

19

若不存在，請說明理由.

18.（17分）已知點(diǎn)尸（2,0）,直線/：x=l,動圓尸與直線/相切，交線段尸尸于點(diǎn)且|可=四|尸網(wǎng).

（I）求圓心P的軌跡方程，并說明是什么曲線；

3TTT-?

（II）過點(diǎn)/且傾斜角大于7的直線/'與夕軸交于點(diǎn)與尸的軌跡相交于兩點(diǎn)M1，跖,且FM=AFM1=

T11

"M2（入，蚱R）,求入+u的值及；+一的取值范圍.

A?

19.（17分）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期,

為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對于函數(shù)f（x）=］（x>0）,/（x）在區(qū)間［。，切上的圖像

連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分「便是由直線x=a,x=b,y=0和曲線y=!所圍成的區(qū)域（稱為

第4頁（共20頁）

曲邊梯形尸)的面積，根據(jù)微積分基本定理可得C^dx=lnb-Ina,因?yàn)榍吿菪蜰BQP的面積小

aX

于梯形NBQP的面積，即S曲邊梯形梯形/30P,代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式:產(chǎn)二

Lna—lnb

2

ab

a—ba+b

(1)請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：;——:

lna—lnb2

(2)已知函數(shù)/(x)—ax2+bx+xlnx,其中。，Z7GR.

(/)證明：對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)XI,X2,曲線y=/(x)在(xi,/(xi))和(X2,fg)處的切

線均不重合；

(zz)當(dāng)6=-1時(shí)，若不等式/(x)22sin(x-1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

第5頁(共20頁)

2025廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.（5分）設(shè)全集U=R,集合4={x,2-X-2>0},B={x\x^l},貝！]（CiM）A5=（）

A.[1,2]B.（1,2]C.（2,+8）D.[1,2）

【解答】解：^A={x\x2-x-2>0]={x\x>2x<-1},

則Cu/={x|-1WXW2},

因此（CuN）C8={x|-l〈xW2}n{x|x》l}={x|l〈xW2},

即（Cu/）C2=[l,2].

故選：A.

2.（5分）馬戲表演中，小猴子模仿人類做引體向上運(yùn)動的節(jié)目深受觀眾的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著

單杠并處于平衡狀態(tài)時(shí)，每只胳膊的拉力大小為50N,此時(shí)兩只胳膊的夾角為60°,試估算小猴子的

體重約為（）

參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10m/s2,V3=1.732.

A.9.2kgB.7.5kgC.8.7kgD.6.5kg

【解答】解：作出小猴的受力示意圖如圖所示，

由題意，|。川=\0B\=50,NAOB=6Q°,

作平行四邊形OACB,則04cB是菱形，

—>—>TT—>_

則。C=0A+OB,\0C\=2\OA\sin60°=50V3,

—>—>

所以|0G|=\0C\=50V3,

?,,,，八工,50V350X1.732

因此小猴的體重約為----=———x8.7(kg).

g10

第6頁(共20頁)

故選：c.

3.（5分）在△A8C中，“C=*”是“sin2/+sin23=l”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：在△/BC中，當(dāng)C=5時(shí)，

則A+B=J

故sin2^+sin2B=sin2A+sin21]—A）=sin2^4+cos2^4=1,故充分性成立，

當(dāng)N=120°,3=30°,滿足sin2/+sin2g=l,但CK皆故必要性不成立，

綜上所述，在A/BC中，“C=*”是“sin2/+sin22=l”的充分不必要條件.

故選：A.

4.（5分）某班級數(shù)學(xué)課上教師隨機(jī)的從學(xué)生甲、乙、丙、丁中選擇一名學(xué)生回答問題，據(jù)了解，甲、乙、

丙、丁答對該題的概率分別為0.8,0.6,0.4,0.2,則在此題答錯(cuò)的情況下，由乙回答此題的概率是

（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【解答】解：甲、乙、丙、丁答對該題的概率分別為0.8,0.6,0.4,0.2,

則甲、乙、丙、丁答錯(cuò)該題的概率分別為0.2,0.4,0.6,0.8,

1

此題答錯(cuò)的概率為IX（0.2+0.4+0.6+0.8）=0.5,

—x0.4

故在此題答錯(cuò)的情況下，由乙回答此題的概率是弓丁=0.2.

0.1

故選：B.

5.（5分）某公司研發(fā)新產(chǎn)品的投入x（單位：百萬元）與該產(chǎn)品的收益＞（單位：百萬元）的5組統(tǒng)計(jì)數(shù)

據(jù)如表所示：

X568912

y1620252836

由表中數(shù)據(jù)求得投入金額x與收益＞滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=取+2.6,則下列結(jié)論中不正確的是（）

第7頁（共20頁）

A.x與y有正相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（8,25）

C.6=2.4

D.當(dāng)x=9時(shí)，殘差為0.2

【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可知，隨著x的增大，y也隨著增大，故無與>有正相關(guān)關(guān)系，故/正確;

_1_1

x=1x（5+6+8+9+12）=8,y=jx（16+20+25+28+36）=25,

故回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（8,25）,故8正確；

經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=to+2.6,

貝U86+2.6=25,解得b=2.8,故C錯(cuò)誤；

由。選項(xiàng)可知，y=2.8%+2.6,

當(dāng)x=9時(shí)，殘差為28-(2.8X9+2.6)=0.2,故。正確.

故選：C.

6.(5分)記數(shù)列｛即｝,｛6“｝的前〃項(xiàng)和分別為S”，Tn,若｛斯｝是等差數(shù)列，且$6=55+25=90,anbnan+\

=1,則710=()

281040

A.—B.—C.—D.—

45454141

【解答】解：因?yàn)椋矗堑炔顢?shù)列，可設(shè)公差為力

由S6=S5+25=90,

+--Q--d=90

可得5X4,

(5%+受4=65

解得：｛%;，

所以劭=5+(〃-1)4=477+1,

11111

再由即為即+i=1得：*=病匚=(4n+l)(4n+5)=4.(而:一硒石)’

又?jǐn)?shù)列｛6〃｝的前n項(xiàng)和為Tn,

則r?=Z7i+fe+...+^=1[(1-+(|-^)+...+(4^1-4^5)]=1(|-4^5^

所以一表)="x|=看.

故選：A.

第8頁（共20頁）

7.（5分）如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為尸1，尸2,且2/1+以=12,半徑為4的球與圓臺的上、下底面

及每條母線均相切，則圓臺的側(cè)面積為（）

A.36nB.64nC.72KD.IOOTT

【解答】解：如圖所示，作出軸截面，

01，。2分別為上下底面圓的圓心，M為側(cè)面切點(diǎn)，。為內(nèi)切球球心,

則。為。1。2的中點(diǎn)，

OMLAB,OO\=OM=4,0102=8,O\A=MA=nfChB=MB=r2,

因?yàn)?打+尸2=12,所以井2=12-2尸1,

則AB=MA+MB=ri+ri=12-r\

過點(diǎn)力作4GLO25,垂足為G,

貝I」BG=n-n=12-3尸i,

在RtA^^G中，由勾股定理得NG2+5G2=/B2,

即82+（12-3q）2=（12-q）2,解得尸1=2或n=4,

因?yàn)槭?<井2,所以尸1=2,r2=8,故45=10,

所以圓臺的側(cè)面積為nXIOX（2+8）=100K.

故選：D.

%2+4%+5/%<0

8.（5分）已知函數(shù)/（%）=若存在實(shí)數(shù)XI，XI，X3且X1<X2〈X3，使得/（xi）=f（X2）

Inx,x>0

=f（%3），則（XI）+X2f（X2）+X3f（X3）的最大值為（）

A.3e3-12B.3/-20C.5e5-12D.5e5-20

【解答】解：作出/（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

第9頁（共20頁）

若存在實(shí)數(shù)XI，X2,X3，且％1<X2〈X3，使得/（X1）=/（X2）=/（%3），

因?yàn)閥=/+4x+5的圖象關(guān)于直線I=-2對稱，

所以X1+X2=-4,

所以（xi）+x^f（X2）+x礦（X3）=（X1+X2+X3）f（X3）=（X3-4）f（X3）=（X3-4）blX3,

由圖可知，IV/（X3）W5,所以eV%34e5.

設(shè)g（x）=（x-4）Inx,xE（e,e5］,所以g（x）=Inx+1

易知g'（x）在（e,e5］上單調(diào)遞增,

4一一.

又9（6）=2—己〉0,所以當(dāng)（e,e5r］時(shí)，g'（x）>0,

所以g（x）在（e,e5］上單調(diào)遞增，

所以gOOma久=^（e5）=（e5-4）/ne5=5e5-20.

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

—>—>

（多選）9.（6分）已知拋物線。：/=匕的焦點(diǎn)為產(chǎn)，直線>=而+2與拋物線。交于兩點(diǎn)，且MF=4FN,

\MN\=9,則入的取值可以為（）

11

A.-B.-C.2D.3

32

【解答】解：根據(jù)題意，拋物線C：f=8y的焦點(diǎn)為（0,2）,可得直線>=履+2過拋物線C，=匕

的焦點(diǎn)，

因?yàn)閨MV|=9,即|MF|+|印=9,

1121

又由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，可得+■=-=

\MF\|FN|p2

聯(lián)立方程組,可得喘后或喘腎,

第10頁（共20頁）

TT1

又因?yàn)镸F=1FN,所以入=*或2.

故選：BC.

（多選）10.（6分）某校計(jì)劃安排五位老師（包含甲、乙）擔(dān)任周一至周四的值班工作，每天都有老師值

班，且每人最多值班一天，則下列說法正確的是（）

A.若周一必須安排兩位老師，則不同的安排方法共有60種

B.若甲、乙均值班且必須排在同一天值班，則不同的安排方法共有48種

C.若五位老師都值班一天，則不同的安排方法共有240種

D.若每天恰有一位老師值班，且如果甲乙均值班，則甲必須在乙之前值班的不同的安排方法共有84

【解答】解：對于/,周一必須安排兩位老師，從5位老師中取兩位周一值班，余下3位全排列，不同

的安排方法有髭質(zhì)=60種,故N正確；

對于3,甲、乙均值班且在同一天，與余下3位一起的4個(gè)元素全排列，不同的安排方法共有用=24

種，故8錯(cuò)誤；

對于C,五位老師都值班一天，則有兩位老師在同一天值班，不同的安排方法有心用=240種，故C

正確；

對于。，顯然甲乙至少有一位值班，如果甲乙都值班，除甲乙外還有兩位老師各值班一天，

1

甲必須在乙之前值班的不同安排方法有；或力：=36種，

甲乙之一值班，不同的安排方法有禺用=48,所以不同的安排方法共有36+48=84種，故。正確.

故選：ACD.

（多選）11.（6分）如圖，在棱長為1的正方體/BCD-481cl。中，M,N,尸分別是CiDi,CiC,AiA

的中點(diǎn)，則（）

A.MN//AiB

B.平面/iMN截正方體所得的截面為等腰梯形

第11頁（共20頁）

C.異面直線血W與。I尸所成角的余弦值為一丁

D.A\DLBM

【解答】解：對于/,在正方體中，因?yàn)镹分別為CLDI,CIC中點(diǎn),

所以aW〃AC,在正方體中，A\B//D\C,所以MN〃/1，因此/正確;

對于8,因?yàn)閨Ma|=|NB|=字，MN//A1B,MN=%B,所以四邊形//MW為等腰梯形,

即平面小兒W截正方體所得截面為等腰梯形，因此8正確；

對于C,因?yàn)椤癗〃0C,所以異面直線"N與。1尸所成角即為直線DC與。1P所成角,

設(shè)所成角為e,則cose瑞常yP=（劣2徐,陟=需因此c不正確;

對于。，由NLD_L/DI,A1DLAB,ADiP\AB=A,AD\,A8u平面因止匕4D_L平面NBCYDi,

又BAfc平面48clDi，所以/bD_L3M,因此。正確.

第12頁（共20頁）

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

cos(2%+/)—cos(2x—$

12.(5分)已知sin(x+看)=冬則

-6V3_.

cos(2x+^)sinxcosx

..Tt

cos(2x-{~)—cos(2x-)—2sin2xsin^—4sinxcosxsin^

【解答】解:

cos(2x+^)sinxcosxcos(2x+^)sinxcosxcos(2x+^)sinxcosx

—4sin5—4sin5-4義堂廣

=___2_=____2_=__L.=_反

cos(2%+奇)1—2s譏2(%+卷)|0

故答案為：-68.

13.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足|2-3|+卜+3|=10,則|z|的最小值為4.

【解答】解：設(shè)z=x4”且％,昨R,又匕-3出z+3]=10,

所以J(%—3)2+y2-|_+3)2+y2=10,

即點(diǎn)(x,y)到兩定點(diǎn)(3,0),(-3,0)的距離之和為10,

所以點(diǎn)(x,>)在以(3,0),(-3,0)為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓上，

由|z|二J%2+y2表示橢圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離,故其最小值為短半軸力=Va2-c2=V52-32=4.

故答案為：4.

14.(5分)已知/G),g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，滿足/(x)

+g(x)=ax2+x+2,若對任意的1<犯<&<2,都有正立迎步〉-3成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—[—

Xi-%2

3,、

4'+°°)一?

【解答】解：因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，滿足/(x)+g(x)=ax2+x+2,

可得/(-x)+g(-%)=~f(x)+g(%)=ax2-x+2,

口/口+9(%)=。必+%+25,日/、,c

聯(lián)乂萬程組八/、八J、2一解得g(%)=〃f+2,

(—/(%)+g(x)—a%—%+2

又因?yàn)閷θ我獾?<XI<X2<2,都有9(")一?！?)>_3成立，

Xi-%2

第13頁(共20頁)

所以g(xi)-g(X2)<-3%1+3X2,所以g(xi)+3x1<g(X2)+3x2成立，

構(gòu)造〃(x)=g(x)+3X=QX2+3X+2,

所以由上述過程可得〃(x)=af+3x+2在在(1,2)單調(diào)遞增，

(力右。<0,則對稱軸％o=-之2,解得一五工。<0；

(而)若q=0,h(x)=3x+2在(1,2)單調(diào)遞增，滿足題意；

(應(yīng))若〃>0,則對稱軸&=一五41恒成立；

綜上可得，a2-會即實(shí)數(shù)。的取值范圍為+oo).

故答案為：［寸，+8).

三、填空題：本題共5小題，每小題13分，共15分。

15.(13分)記△NBC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c—b=2cs譏2今

(I)試判斷△NBC的形狀；

(II)若c=l,求△/BC周長的最大值.

【解答】解：(I)因?yàn)閏—=2cs譏21得s譏2決爰，

1—cosAc—bh

可得---；---=——，即cos/=

22cc

i<2ir2_/72卜

由余弦定理得丁=即。2+y=02,

2bcc

可得c=￡,所以是直角三角形；

(II)由(I)知，直角三角形45。中，6z=siiU,b=cosA,

所以周長為1+sinA+cosA=1+V2sin(7l+4),XG(0/

所以當(dāng)A=寸，即△NBC為等腰直角三角形，周長有最大值為迎+1.

16.(15分)籃球運(yùn)動深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》SFSN全國超級聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將

于4月13日正式打響，于6月30日結(jié)束，共進(jìn)行13站比賽.

(1)為了解喜愛籃球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計(jì)部門在某地隨機(jī)抽取了男性和女性各100名進(jìn)行調(diào)

查，得到2義2列聯(lián)表如下：

喜愛籃球運(yùn)動不喜愛籃球運(yùn)動合計(jì)

男性6040100

第14頁(共20頁)

女性2080100

合計(jì)80120200

依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動與性別有關(guān)？

（2）某?；@球隊(duì)的甲、乙、丙、丁四名球員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球

者都等可能將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲

第〃次觸球的概率為丹，則P=l.

（力證明：數(shù)列入-芬是等比數(shù)列；

（/7）判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.

2

2_n(ad—be)

X—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【解答】解：（1）假設(shè)Ho：喜愛籃球運(yùn)動與性別獨(dú)立，即喜愛籃球運(yùn)動與性別無關(guān).

2200x（60x80-20x40）2100

X=100x1前裝0X120—=—>10828=%o.ooi，

依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷為不成立，

故能認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動與性別有關(guān)，從此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.

（2）證明：（力第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能將球傳給另外三個(gè)人中的任何一

人，

111

則P"=Pn_i-0+（1-P吁1）?3=-3^-1+3，

所以Pn=一號（尸71T_.）；

一1?

又匕

131

所以｛Pn-/｝是以I為首項(xiàng)，-寺為公比的等比數(shù)列.

211

（"）由⑺,P"=*（=/t+?

2324

所以P24=X?（—1）+|<|>P25=1-（-1）+|>1-

所以甲是第25次觸球者的概率大.

17.（15分）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，BDLPC,ZABC=60°,四邊形N5CD是菱形,PB=6AB=立PA,

—>—>

E是棱尸。上的動點(diǎn)，且PE="D.

第15頁（共20頁）

(1)證明：B4_L平面48CZX

2V19

⑵是否存在實(shí)數(shù)入，使得平面研與平面這所成銳二面角的余弦值是若存在，求出入的值;

【解答】解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅?8C。是菱形，所以

因?yàn)锽D_LPC,AC,PCu平面F4C,且/CAPC=C,

所以8O_L平面為C.因?yàn)閍u平面aC,所以

因?yàn)镻B=&4B=V2PX,所以PB2=AB2+PA2,所以

因?yàn)?5,8￡>u平面/8C。，且4BCBD=B,所以為，平面/BCD

(2)取棱CD的中點(diǎn)尸，連接/尸,易證48,AF,/P兩兩垂直，故以《為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.

設(shè)/3=2,則/(0,0,0),C(l,V3,0),D(-1,V3,0),P(0,0,2),

—?

故力C=(1,V3,0),PD=(-1,V3,-2),4P=(0,0,2).

—>—>—>

因?yàn)镻E=4PD,所以PE=(—;I,V3A,一2/1),則余=兄+玲=(一九V3A,2—24).

n-AC=%+V3y=0

設(shè)平面/CE的法向量為￡=0，y,z),則

n?AE=—Ax+V3Ay+(2—2A)z=0

令光=遍，得n=(B,—1/

第16頁(共20頁)

平面的一個(gè)法向量為茄=（0,1,0）.

設(shè)平面以3與平面/CE所成的銳二面角為仇則cos?=|cos而，茄）|=衛(wèi)雪=1.=尊，

\n\\m\3超19

整理得3人之+2入-1=0,解得2=■或入=-1（舍去）.

12V19

故存在實(shí)數(shù)4=最使得平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值是一二〕.

319

18.（17分）已知點(diǎn)9（2,0）,直線/：x=],動圓尸與直線/相切，交線段尸打于點(diǎn)M,且1Pp=魚|耽.

（I）求圓心P的軌跡方程，并說明是什么曲線；

37r——

（II）過點(diǎn)歹且傾斜角大于7的直線/'與y軸交于點(diǎn)M,與尸的軌跡相交于兩點(diǎn)M1，跖,且FM=4FM1=

T11

11FM（入，neR）,求入+u的值及；+一的取值范圍.

2A?

【解答】解：（I）設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,圓尸的半徑為％4為P到直線/的距離，貝ljd=r,

根據(jù)題意，動點(diǎn)尸的軌跡就是點(diǎn)的集合，

A={\PF\=V2\PM]}={|PF|=V2d},

J(x-2尸+y2=V2|x-1|,

比2y2

整理得(x-2)2+y2=2(x-1)2,即萬——=1?

所以，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長、虛軸長均為2或的等軸雙曲線.

(II)設(shè)直線I'：x=my+2,

3TT

..,傾斜角大于下，???冽E(-8,-1),

4

2

設(shè)A/1(XI，>1),M2(X2，J2)，M(0,——),

_zi-1

聯(lián)立’22一工得Cm2-1)y2+4my+2=0(m2-1>0),

(x=my+2

第17頁（共20頁）

A=16冽2-8（冽2-i）=8（m2+l）>0

2.—4m

y/2=乃+丫2=E'

麗=（比1-2,yj,京2=3-2,y2）,嬴=（一2,一）

?/FM=AFMr=fiFM2,

"~m==〃、2，

_Q—4m

c22-22-2（%+丫2）v藤=

A=-----，林=-----，A+jtz=------------=----------=---------=4,4

my1^mymy771yly2'm

22m2-l

—4m2c

.1,1_M（yi+y2）__2M2_2

A/z—2—2m2—1m2—1

1

由加E（-8,-1）,得6（0,+oo）,

mz-l

11

???；+一的取值范圍是（2,+8）.

A[1

19.（17分）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期,

為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對于函數(shù)/（久）=/（久＞0）,/（X）在區(qū)間［。，切上的圖像

連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分C便是由直線x=a,x=6,y=0和曲線y所圍成的區(qū)域（稱為

曲邊梯形尸）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得《^dx=lnb-Ina,因?yàn)榍吿菪蜰BQP的面積小

于梯形N3QP的面積，即S曲邊梯形/2。尸＜5梯形/20P,代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式:產(chǎn)二