高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：空間向量的應(yīng)用大題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【五大題型】解析版

專(zhuān)題1.7空間向量的應(yīng)用大題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【五大題型】

【人教A版(2019)]

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題型一N用空間向量研究直線(xiàn)、平面的平行

1.(2324高二上.湖南株洲.期中)如圖，己知在正方體43(；￡)-4%的。1中，M,N,P分別是A%,BD,

BiC的中點(diǎn).證明:

(1)MN〃平面CCiAD；

⑵平面MNP〃平面CRDiD.

【解題思路】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)正方體性質(zhì)可知瓦5為平面CC15D的一個(gè)法向量，然后證明

MN1瓦I即可得證；

(2)證明a也是平面MNP的一個(gè)法向量即可.

【解答過(guò)程】⑴證明：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,西的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,貝M(2,0,0),C(0,2,0),￡>(0,0,0),N(1,1,0),P(l,2,l).

zA

由正方體的性質(zhì)，知4。，平面CCiAD,

所以市=(2,0,0)為平面CC14。的一個(gè)法向量.

由于麗=(0,1,-1),

則麗-04=0x2+1x0+(-1)x0=0,

所以而1DA.

又MNC平面CGDiD,

所以MN〃平面CG/O.

(2)證明：因?yàn)橥撸?(2,0,0)為平面CG%。的一個(gè)法向量，

由于麗=(0,2,0),=(0,1,-1),

則陛.叵=0,

(MN3=0

即a=(2,0,0)也是平面MNP的一個(gè)法向量，

所以平面MNP〃平面CC/iD.

2.(2024高三.全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架48CD,ABEF的邊長(zhǎng)都是1,且

它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線(xiàn)力C和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相

等，記CM=BN=a(0<a<e).求證：MN〃平面BCE

建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求證.

【解答過(guò)程】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

y

貝必(1,0,0),C(0,0,l),F(l,l,0),F(0,l,0)，

???CM=BN=a,島0,1—卷)，N建花0).

顯然平面BCE的一個(gè)法向量為例=(1,0,0),

而而=(0,卷焉—1),

'：~MN-~BA=0,MNC平面BCE,...MN//平面BCE.

3.(2024?陜西安康.模擬預(yù)測(cè))如圖，已知多面體是由正四棱錐以BC。與正方體ABC。組合而

成的，且丸=梟8.

(1)求證：PC〃平面4DC/1；

(2)若AB=3,求四棱錐P-ADQBi的體積.

【解題思路】(1)建立空間直角坐標(biāo)系證明線(xiàn)面平行即可；

(2)根據(jù)線(xiàn)面垂直結(jié)合錐體體積公式計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】(1)如圖以點(diǎn)兒為原點(diǎn)，為x軸力1%為y軸44為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)力B=2a,則PC=^-AB=百見(jiàn)過(guò)P作PP1平面4BCD.P-4BCD是正四棱錐點(diǎn)心是正方形4BCD的中

心，

因?yàn)閜(72=PP2+Cp2tpC=痘a,CP1=y[2a,所以PP1=a,

—>

C(2a,2a,2d),P{a,a,3a),PC=(—a,—a,a)

設(shè)平面/OGBi法向量為1=(xfyfz),

/(0,0,2a),0(0,2a,2a),Cr(2a,2a,0),

—?—>

AD=(2a,0,0),/Ci=(2a,2a,-2a),

f2ax=0

\2ax+2ay—2az=0'

儼=0

可得，y=1,

Z=1

TTT

所以ri=(O,l,l),n-PC=O-a+a=O,PC不在平面ADC/i內(nèi),所以PC〃平面

(2)因?yàn)?8=3,所以C%=3Vx

因?yàn)镻C〃平面ADCiB],所以Vp_4DCiBi=^C-ADC1B1,

因?yàn)槊?CrD,AD1CD^AD^DC^=D,ADu平面aDGBQGu平面20C/1,所以皿1平面4。6九

XX

0-4。(;祖=%-ADCiBi=|^ADCrBr=(''X3X3A/2X3=9.

4.(2024高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))如圖，在三棱柱2BC-41B1G中，BBr，平面ABC,D,E分別為棱AB,B?

的中點(diǎn)，BC=2,AB=2V3,&Ci=4.證明：DE/ZnACC^.

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)證得DE〃平面4CC1公

【解答過(guò)程】在三棱柱ABC-Z/C中，8為1平面Z8C,BC=2,AB=2?4聲=4.

所以2C=&Ci=4,貝柄。2=432+8。2,貝l|4B_L8C,則如下圖，

以B為原點(diǎn)，BC,BA,BB］為居y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)BBi=h,貝1|4(0,2g,0),5(0,0,0),C(2,0,0),

①(0,2g,h),Bi(0,0,h),G(2,0,h),D(0,V3,0),E(1,0,h),

所以屁=(1,一舊,/1),AC=(2,-2V3,0),痂=(0,0,h),

設(shè)平面aCCMi的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

所以p4C-n=2x—2V3y=0

令y=1,則久=y/3,z=0,即記=(yj3f1,0),

(AAr-n=hz=0

所以瓦.元=(1,-V3,h)■(A/3,1,0)=V3-V3+0=0,得而1n,

又DEC平面力CCi力廠(chǎng)所以DE//平面力

5.(2324高二下.浙江.期末)如圖幾何體為圓臺(tái)一部分，上下底面分別為半徑為1,2的扇形，％。=0B,

體積為等.

⑴求4B;

(2)劣弧48上是否存在M使。2〃平面猜想并證明.

【解題思路】(1)設(shè)N&D&=N40B=a,由扇形的面積公式分別表示出上底的面積S「下底的面積S2,

再代入體積公式即可得。=詈，在A(yíng)40B中由余弦定理求解即可；

(2)過(guò)。作0B的垂線(xiàn)交劣弧4B于N,以。所在的直線(xiàn)分別為x,y,z軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空

間向量證明即可.

【解答過(guò)程】(1)解：由題意可知A。=。8=2,設(shè)乙4道/=乙4。8=a,

設(shè)上底的面積為S],下底的面積為S2，

則S1=|xlxlxa=pS2=|x2x2xa=2a,

所以U=/Si+同豆+S2)?DO】1+2a)?2=告=詈，解得a=字

在△力。B中由余弦定理可得AB?=0A2+OB2-20A-OB-coszXOB=12,

所以4B=2V3；

(2)不存在，證明如下：

證明：過(guò)。作。B的垂線(xiàn)交劣弧48于N,

由(1)可知乙40B=空，所以N20N=E,

36

以0N,08,0A所在的直線(xiàn)分別為x,y,z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系,

則4(舊,一1,0)，Di(0,0,2),(0,1,2),0(0,0,0),

設(shè)時(shí)(285￡,25皿￡,0)(—2<￡<-),

62’

則西=(0,1,2),AD1=(-V3,l,2),AM=(2cos)?-V3,2sin/?+1,0),

設(shè)平面的法向量為元=(x,y,z),

由1元?ADr-0可得1-顯x+y+2z=0

In-AM=0'寸l(2cos/?-V3)x+(2sin/?+l)y=0)

因?yàn)橐?<0<E，所以2sin￡+l力0,

62

取x=2sin0+1,則有元=(2sinj8+1,V3—2cos/?,V3sin)ff+cos;?),

如果。B]〃平面a/”,則有兩?元=0,

即—2cos/?+2(V3sin/?+cos/3')=V3+2V3sin^=0,

即2sin0+1=0,矛盾，所以。&〃平面AD】“不成立，

故劣弧AB上不存在M使。4//平面ADiM.

6.(2324高二上?全國(guó)?課后作業(yè))在正方體ABC。-&B1GD1中，若名為4也]中點(diǎn)，。2為中點(diǎn).

求證:

⑴BO"%。?；

(2?。1〃平面力。。1；

(3)平面力CD1〃平面B&Q.

【解題思路】(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，市，虎，西的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐

標(biāo)系，求出初，瓦石的坐標(biāo)，利用西//。而即可證明；

(2)求出平面ACD/的法向量元，及直線(xiàn)的方向向量的］從而得到元，麗］即可證明；

(3)可以利用力1的〃平面4CD1，及B。1/平面AC%,利用面面平行的判定定理證明，也可以求出兩個(gè)平面

的法向量，利用法向量平行來(lái)證明面面平行.

【解答過(guò)程】(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，市，瓦，西的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐

標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.

依題意知：5(1,1,0),。1弓［,1)，01(0,0,1),02(|,|,0),

=碇=共,-1),

；.B。］——￡)］。2，

初〃心。2,即8。1〃。1。2.

(2)設(shè)平面ACD/的法向量為元=Q,y,z),

V4(1,0,0),C(0,l,0),=(0,0,1),

：.AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),

由［三更=?可得，f-x+y=o即｛=>

［n-ADr=0I—%+z=0Lz—x

令x=l,則y=l,z=l,.*.n=(1,1,1),

又BO1=(—±-5，1),

...元?西=-1x1+(-|)xl+lxl=0,.?.元1皿,

又平面4皿，.?.3。1〃平面4皿

(3)證法一(0,1,1),

=(-1,1,0),xxc=(-1,1,0),

—AC,C.AC//ArCr,

又4cu平面AC%,41clC平面2C￡)i，

.?.4G〃平面AC%,

又由(2)知BO1〃平面A。5,而&CiCBO1=。「

且4clu平面B&C],BO】u平面B&G，

平面2C￡)1〃平面BAG.

證法二設(shè)平面B41C］的法向量為日=(x,y,z),

u-A^=oBJ-x+y=

---,即｛11,c

Xy+z=0

u-B0r=0[-2~2

令X=1,得y=l,z=1,.*.u=(1,1,1),

由(2)知平面AC。/的一個(gè)法向量記=(1,1,1),

??TL—Uy??九

平面力CD1〃平面B&Cr

題型二I用空間向量研究直線(xiàn)、平面的垂直

7.(2324高二上?廣東廣州?階段練習(xí))如圖，在正方體力BCD-力iBiGDi中，E,尸分別是BB>D/i的中

(1)求證：EF1DA1；

(2)求證：DAr_L平面ABC1

【解題思路】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究空間位置關(guān)系即可.

>

y

【解答過(guò)程】(1)

如圖所示，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,

則E(2,2,l),F(l,l,2),4i(2,0,2),所以麗=(-1,一1,1),西=(2,0,2),

有麗?西=-1x2+(-1)x0+lx2=0=EFl￡Mi；

(2)由(1)知四=(0,2,0),園<=(一2,0,2),設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為元=Q,y,z),

則伊亞=0=,2y=0

(n-SCi-0I—2x+2z=。

令x=1=>y=0,z=1,即元=(1,0,1),

又西=(2,0,2),顯然西=2元，

故D4_L平面4BG.

8.(2324高二上.天津?期中)如圖，在四棱錐P-力BCD中，底面A8CD是正方形，P41底面力BCD,E是PC的

中點(diǎn)，已知=2,PA=2.

(1)求證：AE1PD；

(2)求證：平面PBD上平面PAC.

【解題思路】(1)以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利

用向量法證明4E1PD.

(2)運(yùn)用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可證得P41BD,進(jìn)而運(yùn)用線(xiàn)面垂直的判定定理可證得BD，平面B4C,進(jìn)而

可證得面面垂直.

【解答過(guò)程】(1)以A為原點(diǎn)，AB,AD,4P所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示,

則8(2,0,0),C(2,2,0)，。(020),P(0,0,2),￡(1,1,1),

所以荏=(1,1,1),PD=(0,2,-2),

所以族?麗=2—2=0,所以4EJ.PD.

(2)連接BD,AC,如圖所示，

因?yàn)镻41面4BCD,BDc^ABCD,所以P41BD,

又因?yàn)樗倪呅?8co為正方形，所以BD14C,

又因?yàn)?CCAP=4AC.4Pu面PAC,所以BDl面/3",

又因?yàn)锽Ou面P8D,所以平面1平面P4C.

9.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中，PA1平面力BCD,PA=AB=2,

BC=4,E是P。的中點(diǎn).

求證：平面PCD1平面P2D.

【解題思路】由題意可得力4P兩兩垂直，所以以4為原點(diǎn)，以力B,4D,4P所在的直線(xiàn)分別為%,y,z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可.

【解答過(guò)程】證明：因?yàn)镻4_L平面4BCD,u平面2BCD,

所以PA1AB,PA1AD,

因?yàn)樗倪呅?BCD為矩形，所以4B14D,

所以4B,4D,4P兩兩垂直，所以以4為原點(diǎn)，以4B,4D,4P所在的直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示

貝必(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),￡(0,2,1),P(0,0,2).

所以荏=(2,0,0),ZD=(0,4,0),AP=(0,0,2),CD=(-2,0,0),AE=(0,2,1),XC=(2,4,0),

所以而?布=(-2)x0+0x4+0x0=。，即COLAD,

所以麗-AP=(-2)XO+OXO+OX2=0,即CD1AP,

又4DCtAP=A,AD,APu平面PAD,

所以CD_L平面PAD,

又CDu平面PCD,所以平面PC。1平面PAD.

10.(2324高三上?廣東?期末)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-EFGH中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱

錐M-BCGF繞直線(xiàn)CG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0<a<n)后，得到四棱錐-B'CGF'.

⑴若a=]求證：平面MBF1平面M?。；

(2)是否存在a,使得直線(xiàn)1平面M8C,若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解題思路】(1)當(dāng)。=:時(shí)，推導(dǎo)出二面角"-為直角，結(jié)合面面垂直的定義可證得結(jié)論成立;

(2)假設(shè)存在a,使得直線(xiàn)M'F'，平面M8C,以C為原點(diǎn)，分別以荏、DC.德的方向分別為x、y、z軸的

正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面MBC的法向量沅，將祈7的坐標(biāo)用a的表達(dá)式表示，設(shè)麗聲=2萬(wàn)，

可得出關(guān)于4、a的方程組，解之可得出結(jié)論.

【解答過(guò)程】(1)證明：若a=；,則平面DCGH、平面CB'F，G為同一個(gè)平面.

連接BH、BF',則M是中點(diǎn)，M'是BF'中點(diǎn)，

所以平面MBF與平面BFHD重合，平面與平面BFOB，重合,

由正方體性質(zhì)可知BF平面

因?yàn)镠F、FF'u平面EFF'H,所以，BF1HF,BF1FF',

NHF。為二面角H一BF—F'的平面角，

因?yàn)镠G=FG,AHGF=貝此HFG=匕同理可得NF'FG=±

244

所以=所以，平面MBF_L平面M'B'F'

(2)解：假設(shè)存在a,使得直線(xiàn)M2,1平面M8C,

以C為原點(diǎn)，分別以方、DC,葡的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則”0,0,0)、8(2,0,0)、M(l,-l,l),故礪=(2,0,0)、CM=(1,-1,1),

設(shè)平面M8C的法向量為萬(wàn)=(x,y,z),貝”萬(wàn)'CM二j—y+z=0,

Im-CB=2x=0

取y=1,得記=(0,LI)是平面MBC的一個(gè)法向量，

取CG的中點(diǎn)P,BF的中點(diǎn)Q,連接PQ、PM,則P(O,O,1),

因?yàn)閨MG|=|MC|=J/+(_12+#=百,貝!JPMICG,同理可知，PM'1CG,

因?yàn)锽Q"CP,BQ=CP,BQ1BC,則四邊形BCPQ為矩形，所以，PQ_LCG,

于是NMPM，是二面角M-CG-M'的平面角，

NMPQ是二面角M—CG—Q的平面角，

NQPM，是二面角Q-CG—M'的平面角.于是NMPM'=a,

因?yàn)閮?(1,—1,0)，所=(2,。,0),cosNMPQ=^i=￡=￥，

因?yàn)?<4MPQ<TT,則NMPQ=；,所以匕QPM，=a-%

因?yàn)槭琈_LCG,PMr1CG,PMC\PMr=P,PM、PM'u平面MPM',

所以，且|M，P|=|MP|=企，

故M'(V^cos(a—，V^sin(a—,1),同理F'(2COSQ,2sina,2),

所以M'F'=(2cosa—V2cos(a—,2sina—V2sin(a—,1),

因?yàn)?cosa—V2cos-：)=2cosa—V2cosacos—V^sinasin；=cosa—sina,

2sina—V2sin(a-；)=2sina—&sinacos；+&cosasin；=cosa+sina,

所以M'F'=(cosa—sina,cosa+sina,1),

若直線(xiàn)ATP1平面MBC,而是平面M8C的一個(gè)法向量，則MN；〃記,

[cosa—sina=0

即存在4GR,使得=Am,則cosa+sina=A，

1=2

因?yàn)?+A2=(cosa-sina)2+(cosa+sina)2=2,可得"=2,

'cosa—sina=0

故方程組cosa+sina=A無(wú)解,

、1=A

所以不存在a6(0,11),使得直線(xiàn)M'P，平面MBC.

11.(2324高二下?江蘇?課后作業(yè))如圖，在三棱錐尸一ABC中，AB=AC,。為5C的中點(diǎn)，PO_L平面A3C,

垂足。落在線(xiàn)段A。上.已知5C=8,尸0=4,AO=3,OD=2.

p

L..----7C

R

⑴證明:AP±BC;

⑵若點(diǎn)M是線(xiàn)段AP上一點(diǎn)，且AM=3,試證明AM,平面BMC

【解題思路】（1）建系，利用空間向量證明線(xiàn)性垂直；

（2）利用空間向量證明線(xiàn)面垂直.

【解答過(guò)程】（1）由題意知AOLBC,如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以過(guò)。點(diǎn)且平行于BC的直線(xiàn)為x軸，OD,0P所在直線(xiàn)分別為y軸,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一孫Z.

則4(0,-3,0),B(4,2,0),C(—4,2,0),P(0,0,4)，

可得荏=(4,5,0),AP=(0,3,4)屈=(-8,0,0),

'：APBC=0x(-8)+3x0+4x0=0

：.APIBC,BPAPLBC.

(2)由(1)可得網(wǎng)=M02+32+42=5,

是AP上一點(diǎn)，且AM=3,

.??宿=|?=(0,建),

可得=AM-AB=(—4,——,—,CM=BM-BC=(4,——,—,

(n?BM=—4a——b+—c=：0

設(shè)平面BMC的法向量為記=(a,b,c),貝W,JJ

n-CM=4a-—b+-c=0

I55

令6=1,則a=O,c=(,即元=

顯然彳而=:元，故彳而〃匯

；.AM_L平面BMC.

12.(2024高二上?江蘇?專(zhuān)題練習(xí))如圖，正方形AOEE所在平面和等腰梯形2BCD所在的平面互相垂直,

已知BC=4,AB=AD=2.

(2)在線(xiàn)段BE上是否存在一點(diǎn)P,使得平面P2C，平面BCEF?若存在，求出器的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

PE

由.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面憶48,再由其性質(zhì)定理即可證明；

(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

證明：平面4DEF_L平面，平面40EF(\ABCDAD,

AF1AD,AFu平面2DEF,：.AF1平面力BCD.

'：ACu平面48CD,：.AF1AC,

過(guò)A作AH1BC于H,

則BH=1,AH=V3,CW=3,

：.AC=2>/3,：.AB2+AC2=BC2,：.AC1AB.

'：ABOAF=A,力B,力Fu平面F4B,

：.AC1平面凡4B.

平面FAB,：.AC1BF.

(2)

Zk

存在.理由：由（1）知，4尸,48,4。兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，法，無(wú)，赤的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4xyz,

則4（0,0,0）,8（2,0,0）,C（0,2V3,0）,￡（-1,V3,2）,

假設(shè)在線(xiàn)段BE上存在一點(diǎn)P滿(mǎn)足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B,E重合，

設(shè)置=九貝!U>0,

由前=.，可求得「（羽，魯，言）?

設(shè)平面B4C的一個(gè)法向量為沆=（x,y,z）,則記，而，沆，前,

由"=（工，魯，裳）了=（。，2/。），

f—*

m-AP=2--A-x4-V-3A-y4--2-A-z八

可得1+A1+A1+A=Q,

m?AC=2y/3y=0

[k/令x=L貝吆=等，所以記=（1。等）為平面B4C的一個(gè)法向量.

即

Z一~2XX

XBC=(-2,2A/3,0),BE=(-3,73,2),

設(shè)平面BC所的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

n-BC=-2x+2V3y=0_曰r-

則T一L，可得％=Z=遮y,

n?BE=-3x+V3y+2z=0

所以元=為平面BCEF的一個(gè)法向量.

當(dāng)沅?元=1+==0,即4=2時(shí)，平面P4C，平面BCEF,故存在滿(mǎn)足題意的尸,

2.A3

此唬=1.

題型三人利用空間向量研究距離問(wèn)題

13.（2324高二上?山東青島?期末）在正四棱柱ZBCD—Z/iCiDi中，A&=2ZB=4,點(diǎn)E在線(xiàn)段上,

且西>=4而，點(diǎn)F為BD中點(diǎn).

C,

⑴求點(diǎn)到直線(xiàn)EF的距離;

⑵求證：ArC1面8DE.

【解題思路】(1)依題建系，求得相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的空間向量計(jì)算公式即可求

得；

(2)由⑴中所建的系求出碇，礪，礪的坐標(biāo)，分別計(jì)算得到碇?麗=0和費(fèi)?歷=0,由線(xiàn)線(xiàn)垂直

推出線(xiàn)面垂直.

【解答過(guò)程】(1)

如圖，以。為原點(diǎn)，以瓦5,虎，西分別為久,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

??,正四棱柱4BCD-41邑。1。1，441=2AB=4,鬲=4怎，尸為8。中點(diǎn)，

???Dt(0,0,4),E(0,2,l),F(l,l,0),ED；=(0,-2,3),EF=

T2

則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：

DiEFd=EDr-I3-(3=等

(2)由(1)可得C(0,2,0),8(2,2,0),4(2,0,4),

則碇=(—2,2,—4),麗=(2,2,0),屁=(0,2,1),

由碇-05=-2x24-2x2=0可得&C1DB,

又由碇-DE=2x2+(-4)x1=?？傻?]C1DE,

又DBCiDE=D,

故4c1面BDE.

14.(2324高一下?天津南開(kāi)?期末)如圖，在四棱柱力BCD中，側(cè)棱4〃，平面ABC，AB"CD,

ABLAD,AD=CD=1,4%=4B=2,E為棱A4的中點(diǎn)，M為棱CE的中點(diǎn).

⑴證明：BC1QF；

(2)求異面直線(xiàn)與A。所成角的余弦值；

(3)求點(diǎn)的到平面BMB1的距離.

【解題思路】(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即

得.

(2)求出異面直線(xiàn)BM與2D的方向向量，由向量的夾角公式即可得解.

(3)求出平面BMB1的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即得.

【解答過(guò)程】(1)由力力11底面4BCD,u平面4BCD,LAD.AA^LAB,

而即直線(xiàn)兩兩垂直，

以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)42441，4B分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則4(0,0,0),B(0,0,2),￡>(1,0,0),C(l,0,l),^(1,2,1),劣(0,2,2),F(0,l,0),

西=(1,1,1),BC=(1,0,-1),

顯然屁?而=1x1-1x1=0,即前1居，所以8cle1E.

⑵BM=(j,j,-j),x5=(1,0,0),cos(BM,AD)=黯=總].([(量=察'

所以異面直線(xiàn)BM與4D所成角的余弦值為答.

(3)BM==(020)，葩=(-1,0,1),

n?BBi=2y=0

設(shè)平面BMa的法向量元=(x,y,z),則八,令z=l,得元=(3,0,1),

n-BM^x+^y-\z=0

所以點(diǎn)G到平面BUB1的距離d=庠p=島=誓.

15.(2324高一下?廣西?階段練習(xí))如圖，在二棱柱4BC-4遇停1中，側(cè)棱垂直于底面，&F分別是3。,公6

的中點(diǎn)，ANBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，A4i=2A8.

⑴證明：BC1&E；

(2)求點(diǎn)C到平面4EF的距離.

【解題思路】(1)由等邊三角形三線(xiàn)合一可得BC_LAE,再由側(cè)棱垂直于底面8CJ.可得BC1面414E即

可得出結(jié)論；

(2)可由等體積法VFYCE=計(jì)算即可得出.

【解答過(guò)程】(1)法一:???△4BC是等邊三角形，且E是BC中點(diǎn)BC

A±A1[SABC,BCu面ABCBC1A±A

■：AEu面&4E,A±Au面S.AEnArA=A：.BC1面44E

vArEu面力MEBC1ArE

法二：取BiG的中點(diǎn)G,貝IJEG1面ABC,可知EG、EA,EC兩兩垂直，

如圖以EC為x軸,E4為y軸,EG為z軸，則E(0,0,0),4式0,但4),5(-1,0,0),C(l,0,0)；

所以就=(2,0,0),西=(0,V3,4),則BC?EAr=0,即8C1EAr=>BC1EA1；

(2)法一：由題可知：VF_ACE=*-CE?A4i="5x乎x22x4=筌

在△2EF中，AE=V3,AF=V17；

取BiG中點(diǎn)G,在RtAEGF中，EF=VGF2+GE2=Vl2+42=V17,

4E邊上的高為J17-

1、，V650V195

???ScLAEF=5*三X，3=二一；

設(shè)點(diǎn)C到平面4EF的距離為h,則VFTCE=VC-AEF=沁SAAEF=言，

解得h=誓，即點(diǎn)C到平面4EF的距離為警.

6565

法二：/l(O,V3,O),F(|,f,4),E4=(0,V3,0),EF=(|,y,4),

ft_nV3y=0

設(shè)面ZEF的法向量為元=(%,y,z),絲二°ni聒n元=(一8。1)；

In-EF=0-x+—y+4z=0

I122J

設(shè)點(diǎn)C到面4EF的距離為d,麗=(-1,0,0),d=噂=-=f-=誓

故點(diǎn)C到平面4EF的距離為喀I

65

16.（2324高二下.江蘇常州.階段練習(xí)）如圖，正方體ABCD—a/iGA的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)。到平面4D1E的距離為d；

⑵求BG到平面4。亞的距離.

【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)。到平面力OiE的距離為d即可；

（2）利用法向量的來(lái)證明線(xiàn)面平行，將BG到平面的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離即可.

【解答過(guò)程】（1）以D為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為居y,z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),￡＞式0,0,2),E(2,2,1),

所以荏=(0,2,1),AD[=(-2,0,2),

設(shè)平面力DiE的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

則1五?AD1——2.x+2z—0

In-AE=2y+z=0

令z=2=x=2,y——1,

所以平面所的法向量為元=(2,-1,2),又西=(0,0,2),

所以點(diǎn)D到平面4/E的距離d=恒祟==:

(2)由(1)可得平面力的法向量為元=(2,-1,2),

VB(2,2,0),G(0,2,2),：.~BC[=(-2,0,2),

BC、,TI=2義(—2)+(—1)x0+2x2=0,

BC]1n,

...BC/平面皿E,

所以BQ到平面AQE的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面4。亞的距離，

由荏=(0,2,0),

所以BG到平面4D1E的距離為d1=嚅=總有=|,

17.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知正方體4BCD-&&的￡?1的棱長(zhǎng)為1,E為久的中點(diǎn)，求下列問(wèn)題：

(1)求異面直線(xiàn)D/與4E的距離；

⑵求/到平面4BE的距離；

⑶求DiC到平面&BE的距離；

(4)求平面4DB與平面ACa的距離.

【解題思路】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線(xiàn)距離的向量公式求解即可；

(2)求出平面&BE的法向量，利用點(diǎn)到平面距離的向量公式求解即可；

(3)利用直線(xiàn)到平面距離的向量公式求解即可；

(4)求出平面4DB、平面D1C4的一個(gè)法向量，可得平面&DB〃平面ACB1，轉(zhuǎn)化為4點(diǎn)到平面。住當(dāng)?shù)?/p>

距離，利用點(diǎn)兒到平面4CB1的距離向量求法即可求解.

【解答過(guò)程】(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0)、4(1,0,0)、B(1,1,0)>C(0,1,0),4(1,0,1)、Bi(1,1,1)>

6(0,1,1)、01(0,0,1)、E(0,pl).

所以砧=(一14,0),用=(1,1,—1),

設(shè)元=(x,y,z)是與a/,瓦^(guò)都垂直的向量,

n-AE-0即(_x+|y=o,即y=2x

則r令x=1得元=(1,2,3),

n-D1B=0{.x+y—z=01z=3x

選4E與BA的兩點(diǎn)向量為瓦彳=(1,0,0),

得&E與BA的距離d=叵勰=矗=等

(2)市=設(shè)沆=(a,4c)為平面&BE的法向量，貝4沅,絲=°,

[m-ArB=0

即卜a+Q=O,即16=汽令。=1得沆=(1,2,2),

選點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫?BE兩點(diǎn)向量為瓦瓦=(0,1,0),

由公式得：點(diǎn)當(dāng)?shù)狡矫?/E的距離d=|窄/|=|.

(3)由(2)可知：平面&BE的法向量可設(shè)萬(wàn)=(1,2,2),

設(shè)D1C與平面的兩點(diǎn)向量為取7=(1,0,0),

故直線(xiàn)。停到平面4BE的距離d=窄列=

(4)西=(1,0,1),OB=(1,1,0),D^C=(0,l,-l),KiBi=(1,1,0),

設(shè)方=(x1,y1,z1)>=(%2，y2，Z2)分別為平面408、平面。停當(dāng)?shù)囊粋€(gè)法向量，

所以122"%i+zi°,令%]=],可得y1=一I,=一1,所以元=(1,—1,一1),

IDB,%=%1+y1=0

?一丫2Z2—0,令亞=1,可得=一1*2=-1,所以底=(1,一1,一1),

?電=%2+、2=0

所以元=底，所以平面平面

可得4點(diǎn)到平面AC4的距離即為所求，OX=(1,0,0),

所以41點(diǎn)到平面A5的距離為|瓦磯cos瓦否同=窄臺(tái)=專(zhuān)=當(dāng)，

故平面&DB與平面DiCBi的距離為日.

18.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))如圖所示的空間幾何體是以4D為軸的:圓柱與以ABCD為軸截面的半圓柱拼

接而成，其中4。為半圓柱的母線(xiàn)，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn).

(1)求證：平面BDF_L平面BCG；

(2)當(dāng)4B=4,平面BDF與平面48G夾角的余弦值為等時(shí)，求點(diǎn)E到直線(xiàn)8G的距離.

【解題思路】(1)過(guò)G作GH〃8C交弧48上一點(diǎn)，連結(jié)由NFBH=Z.ABF+^ABH=可得FB1

BH,進(jìn)而由線(xiàn)面垂直的判定定理證明BF1平面BCG,從而由面面垂直的判定定理即可得證；

(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a,利用向量法求平面BDF與平面4BG夾角的余弦值，而列

方程求出a的值，從而向量法可求點(diǎn)E到直線(xiàn)BG的距離.

【解答過(guò)程】(1)過(guò)G作GH〃BC交弧28上一點(diǎn)，連結(jié)如圖所示：

則“為弧AB的中點(diǎn)，貝且GH=BC,

所以四邊形HBCG為平行四邊形，所以HB〃CG.

由題意可知，AF1AB,RtAABF為等腰直角三角形，則N4BF=:

4

因?yàn)镚為弧4B的中點(diǎn)，所以AH1BH,AH=BH,

則Rt△4BH為等腰直角三角形，則NABH=%

4

所以NFBH=A4BF+A4BH=]則

因?yàn)镠B//GC,貝ljFB_LCG,又BCLBF,

又因?yàn)锽C、CGu面BCG,BCCtCG=C

所以BF1平面BCG,因?yàn)锽Fu面BDF,

所以平面BDF_L平面BCG.

(2)由題意知，兩兩垂直，所以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則4(0,0,0),F(4,0,0),B(0,4,0),￡)(0,0,a),G(-2,2,a),

BD=(0,-4,a),~BF=(4,-4,0),AB=(0,4,0),庶=(-2,2,a),BG=(-2,-2,a),

設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為溫=(xi，yi，z。，

則國(guó)黑U,叫普丁嘉令%=L

(九1,=0I-—%—uva/

設(shè)平面/BG的一個(gè)法向量為元2=(%2，丫2*2)，

眄速=0[4y2=0令,而=(1,0,2),

忘?4G=01一2犯+2y2+az2=0\aJ

設(shè)平面BDF與平面4BG的夾角為0

V15

cosd=|cos(n7，n^)|=腎腎解得a=4（負(fù)舍），

5

所以G(-2,2,4),B(0,4,0),E(4,0,4),

貝廊=(-2,-2,4),=(4,-4,4)

4V21

3

所以點(diǎn)E到直線(xiàn)BG的距離為等.

題型四利用空間向量研究空間角

19.（2324高二下.甘肅酒泉.期中）四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，^DAB=60°,對(duì)角線(xiàn)2C與

BD相交于點(diǎn)。，P。！底面4BCD,PB與底面力BCD所成的角為60。，E是PB的中點(diǎn).

p

(1)證明：OE〃平面PAD；

(2)求DE與P4所成角的正弦值.

【解題思路】(1)連接。E,即可說(shuō)明EO//PD,即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由線(xiàn)面角求出P。，再利用空間向量法計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】(1)連接。E,因?yàn)?8CD為菱形，對(duì)角線(xiàn)4C與BD相交于點(diǎn)。，所以。為8。的中點(diǎn)，

又E是PB的中點(diǎn)，

貝(JEO//PD,且E。仁平面PHD,PDu平面P4D,

所以E0〃平面PAD.

(2)因?yàn)?BCD為菱形，所以AC1BD,又P。1底面4BCD,

則PO,OC,OB兩兩互相垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)。B,OC,OP分別為%軸、y軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖，

在Rt△AOB^OA=<AB2-OB2=V3,

因?yàn)镻。！底面ABC。，所以PB與底面4BCD,所成的角為NPB。=60。,

所以P。=OB-tan60°=V3,

則4(0-V3,0),B(1,0,0),0(—1,0,0),P(0,0,V3)

又E是PB的中點(diǎn)，則E(1,O，F(xiàn))，

于是屁=仔0片)，=(O,V3,V3),

設(shè)屁與標(biāo)的夾角為仇則有8SO=V2

4'

所以sin。=V1—cos2^=——，

4

所以異面直線(xiàn)DE與24所成角的正弦值為零.

4

20.(2324高一下?天津紅橋?期末)如圖，在四棱柱4BCD中，己知側(cè)棱441底面48CD,

側(cè)面4BB141是正方形，AB】與AiB交于點(diǎn)。，AB1BC,AB//CD.AB=2,BC=CD=1.

(1)求證:AO〃平面COG；

(2)求直線(xiàn)。6與平面4B1C所成角的正弦值.

【解題思路】(1)根據(jù)線(xiàn)面平行的判斷定理，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行，即可證明線(xiàn)面

平行；

(2)根據(jù)垂直關(guān)系，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量法求線(xiàn)面角的

正弦值.

【解答過(guò)程】(1)取CG的中點(diǎn)M,4B的中點(diǎn)N,連結(jié)。N,0M,CN,

因?yàn)?V//DC,且4V=OC=1,所以四邊形4NC。是平行四邊形，

所以AD〃CN,

因?yàn)辄c(diǎn)。,N分別是AB1,48的中點(diǎn)，所以。N〃88i〃CG,

且。N=CM=1,所以四邊形。MCN是平行四邊形，

所以CN〃0M,

所以。且力DC平面COG，OMu平面COG，

所以力?！ㄆ矫鍯OG

(2)因?yàn)?平面ABC。，BCu平面ABC。,

所以4A】1BC,且4B1BC,AA1C\AB=A,且u平面4BCD,

所以8C_L平面4幽4,S.AB1BB1

如圖，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以瓦I西，就為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

4(2,0,0),當(dāng)(0,2,0),C(0,0,l),0(1,1,0),^(0,2,1),

福=(-2,2,0),AC=(-2,0,1),西=(-1,1,1)

設(shè)平面a/C的法向量為元=(尤,y,z),

貝《￡,/二：,即｛之；?二J1,令％=1,則y=l,z=2,

所以平面4B1C的法向量為元=(1,1,2),

設(shè)直線(xiàn)OQ與平面AB4所成角為8,

則sine=|cos(西，剛=|偶高卜忌=今

所以直線(xiàn)。6與平面4B1C所成角的正弦值為日.

21.(2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè))如圖1,在五邊形力BCDE中，AB=BD,AD1DC,瓦4=E￡＞且瓦41￡7),

將ATIE。沿4。折成圖2,使得EB=4B,尸為4E的中點(diǎn).

E

E

(1)證明：BF〃平面ECD；

(2)若EB與平面力BCD所成的角為30。，求二面角4-EB-。的正弦值.

【解題思路】(1)取4D的中點(diǎn)G,連接BG,FG,從而證明BG〃平面ECD,FG〃平面ECD,即可得到平面

BFG〃平面ECD,即可得證.

(2)推導(dǎo)出4E1平面BFG,BG1平面E40,平面EAD_L平面連接EG,以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB,GD,

GE所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角4-EB-D的正弦值.

【解答過(guò)程】(1)取4。的中點(diǎn)G,連接BG,FG,

,;AB=BD,G為4。的中點(diǎn)，BG1AD,

5LAD1DC,BG//CD.

又BGC平面ECO,CDu平面EC。，BG〃平面ECD.

???F為4E的中點(diǎn)，F(xiàn)G//ED.

又FG仁平面EC。，EDu平面EC。，.-.FG〃平面ECD,

又BGClFG=G,BG,FGu平面8FG,平面BFG〃平面ECD,

又BFu平面BFG,BF//^ECD.

(2)-EALED,由(1)知