基于學(xué)生提出問題能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)寫作探究

摘要：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力乃教育的重中之重，然而學(xué)生能在課堂上提出問題，對(duì)師生雙方來說都是挑戰(zhàn)。為此，教師可通過數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)應(yīng)用、解題欣賞、學(xué)習(xí)心得等四個(gè)方面數(shù)學(xué)寫作培養(yǎng)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)寫作；提出問題；高中數(shù)學(xué)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確，要提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。由于提出問題對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維有獨(dú)特價(jià)值，因此，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力受到了教育工作者的廣泛關(guān)注。提出問題，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)對(duì)問題進(jìn)行進(jìn)一步的數(shù)學(xué)抽象，并在特定的邏輯線索和數(shù)學(xué)關(guān)系中，將問題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來。學(xué)生要進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)交流，其中一個(gè)有力工具就是數(shù)學(xué)寫作。毛光壽、陳重陽(yáng)認(rèn)為數(shù)學(xué)作文是指學(xué)生通過對(duì)自己數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反芻、回味、整合、理解和領(lǐng)悟，進(jìn)而再加工、再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造［1］。數(shù)學(xué)寫作有別于課堂教學(xué)，它可以不受空間與時(shí)間的限制，為學(xué)生提供更加自由的探究、想象和創(chuàng)新平臺(tái)。寫作過程其實(shí)就是學(xué)生思維動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程。學(xué)生圍繞一個(gè)寫作主題，在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)上聯(lián)結(jié)新知識(shí)、新信息，經(jīng)過思考，不斷梳理、更新、整合、完善，進(jìn)而建立更廣泛深刻的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而解決新問題或提出新問題、總結(jié)新知識(shí)。有研究表明，學(xué)生在數(shù)學(xué)寫作過程中能夠?qū)W會(huì)自主學(xué)習(xí)，能夠獨(dú)立思考、查閱文獻(xiàn)、搜集信息、歸納概括，進(jìn)而發(fā)展敢于發(fā)現(xiàn)、提出問題等能力［2］?；诖?，本研究從數(shù)學(xué)寫作視角探究培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力的策略。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，將數(shù)學(xué)寫作分為數(shù)學(xué)文化寫作、數(shù)學(xué)應(yīng)用寫作、解題欣賞寫作以及學(xué)習(xí)心得寫作等四大類，下面從這四個(gè)方面具體論述如何借助數(shù)學(xué)寫作提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。一、數(shù)學(xué)文化類寫作數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)［3］。它不僅是數(shù)學(xué)本身的文化內(nèi)涵，還是數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化的融合，從而成為人們生活中不可或缺的一部分。2019年人教版普通高中數(shù)學(xué)教材開設(shè)的文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作欄目中，就有不少關(guān)于數(shù)學(xué)文化的題材，如“函數(shù)的形成與發(fā)展”“對(duì)數(shù)概念的形成與發(fā)展”“幾何學(xué)的發(fā)展”等。給定寫作主題，能夠讓學(xué)生有目的、有方向地寫作，但同時(shí)也產(chǎn)生了一個(gè)問題——如果每次數(shù)學(xué)寫作都告訴學(xué)生寫什么，那么學(xué)生又走上了一味地去解決別人提出的問題的老路，難以提高發(fā)現(xiàn)問題的能力。在平時(shí)學(xué)習(xí)課本上的知識(shí)時(shí)，少有學(xué)生問為什么要學(xué)習(xí)數(shù)列、正弦定理這樣的知識(shí)，而研究的過程卻能告訴學(xué)生為什么要走這條路、這條路還有哪些地方?jīng)]人去過，說不定在探索的過程中還有意外的收獲，這是學(xué)生僅通過課堂學(xué)習(xí)達(dá)不到的。丘成桐先生曾說：“近40年來，中國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展很快，但還是不滿意，最大的問題是人們解決問題，不是自己提出問題。”因此，筆者在組織拔尖學(xué)生開展數(shù)學(xué)文化類的寫作訓(xùn)練時(shí)，從給定主題的數(shù)學(xué)文化類寫作與自主選題的數(shù)學(xué)文化類寫作兩方面入手。關(guān)于自主選題的數(shù)學(xué)文化類寫作，通過結(jié)合學(xué)生已有的數(shù)學(xué)寫作情況，筆者歸納出幾種選題思路。第一種是從課本選題。例如，陳同學(xué)在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的知識(shí)時(shí)，受到課本中“函數(shù)的形成與發(fā)展”數(shù)學(xué)寫作的啟發(fā)，自己提出一個(gè)研究的方向——復(fù)數(shù)的形成與發(fā)展，接著通過查閱書籍與上網(wǎng)搜索相關(guān)資料，弄清楚復(fù)數(shù)的來龍去脈，將其寫成一篇文章，并錄制視頻，在課上展示，得到了教師和其他同學(xué)的一致好評(píng)，這節(jié)課也被評(píng)為“一師一優(yōu)課”的優(yōu)秀案例。以下是作文片段。復(fù)數(shù)由實(shí)踐的需要而產(chǎn)生，隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，又在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)中不斷得到應(yīng)用，成為被廣泛使用的一種數(shù)學(xué)工具。然而歷史上引進(jìn)虛數(shù)，把實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)可不是件容易的事，足足經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的三百年，經(jīng)過眾多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得虛數(shù)揭去了神秘的、不可思議的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目。請(qǐng)同學(xué)們通過查閱書籍、上網(wǎng)等方式了解復(fù)數(shù)的發(fā)展歷程及其廣泛應(yīng)用，并用文獻(xiàn)綜述的方式形成讀書報(bào)告，在班上分享交流。第二種是從習(xí)題選題。鄭同學(xué)在做題時(shí)遇到了好幾道以《九章算術(shù)》為背景的數(shù)列題，于是他利用課外時(shí)間整理了《九章算術(shù)》中關(guān)于數(shù)列的題目，撰寫了一篇題為《〈九章算術(shù)〉中數(shù)列題鑒賞》的文章，在班級(jí)中廣泛傳閱。第三種是從數(shù)學(xué)游戲中選題。曾同學(xué)的數(shù)學(xué)寫作來源于“漢諾塔游戲”。他挖掘了“漢諾塔游戲”中蘊(yùn)含的遞推數(shù)列問題，由于他對(duì)編程很感興趣，由遞推數(shù)列聯(lián)想到編程中的遞歸思想，將“漢諾塔游戲”進(jìn)行了編程。以下是作文片段。在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師組織我們玩“漢諾塔游戲”。這個(gè)游戲我小時(shí)候也玩過，不過當(dāng)時(shí)挪動(dòng)的環(huán)片比較少，自己多嘗試幾次就可以完成任務(wù)。而老師要求我們挪動(dòng)64片環(huán)片，單靠嘗試摸索估計(jì)要耗費(fèi)很長(zhǎng)時(shí)間。數(shù)學(xué)老師曾經(jīng)說過：研究復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以從簡(jiǎn)單的情況入手，由特殊到一般。于是我先從最簡(jiǎn)單的1片入手，然后研究2片、3片、4片……得到以下表格。[圓盤個(gè)數(shù)挪移次數(shù)挪移規(guī)律1挪移規(guī)律21111231[×2+1]2[×2-1]373[×2+1]2[×2×2-1]4157[×2+1]2[×2×2×2-1]53115[×2+1]2[×2×2×2×2-1]…………]從表格中發(fā)現(xiàn)每一次挪動(dòng)環(huán)片都與上一次挪動(dòng)環(huán)片有聯(lián)系，類似于我們剛學(xué)不久的遞推數(shù)列。假設(shè)移動(dòng)n片環(huán)片所需要的最小移動(dòng)次數(shù)為an，滿足遞推關(guān)系a1=1，an=2an-1+1（n≥2）。這里滲透著一種遞歸的思想，其算法歸結(jié)如下……二、數(shù)學(xué)應(yīng)用類寫作蔡金發(fā)教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)問題提出應(yīng)該是支持教師和學(xué)生的具體活動(dòng)，使他們能夠根據(jù)特定的情境（即問題背景或情境）形成或重新形成數(shù)學(xué)問題或任務(wù)。筆者在實(shí)際教學(xué)中按照“閱讀材料，提出問題”“篩選問題，達(dá)成共識(shí)”“數(shù)學(xué)建模，解決問題”“歸納總結(jié)，拓展延伸”等四個(gè)步驟指導(dǎo)學(xué)生開展指向問題提出能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用類寫作。下面以測(cè)量距離問題（平面）的數(shù)學(xué)寫作為例展開說明。（一）閱讀材料，提出問題教師在上寫作課前，布置學(xué)生查閱書籍以及上網(wǎng)了解幾何學(xué)中測(cè)量的發(fā)展歷史。課始，教師展示材料：湖南岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一。其地處岳陽(yáng)古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖，下瞰洞庭，前望君山。始建于東漢建安二十年（215年），歷代重修，現(xiàn)存建筑沿襲清朝光緒六年（1880年）重建時(shí)的形制與格局。北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓，邀好友范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世，有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)。接著教師提問：那么，岳陽(yáng)樓有多高呢？并向?qū)W生提出要求：閱讀時(shí)嘗試從不同角度去思考，提出自己的問題并將其寫下來，和同學(xué)交流。以岳陽(yáng)樓的高度為背景引入課題，能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。在自主提問階段，學(xué)生不僅需要理解閱讀材料的字面意思，還需要對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行提煉、挖掘、拓展，這樣才能提出新的問題。正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，每一名學(xué)生看待事物的角度不同，可以提出的問題也不同，從而實(shí)現(xiàn)個(gè)性化學(xué)習(xí)。（二）篩選問題，達(dá)成共識(shí)學(xué)生經(jīng)過思考后提出了各種各樣的問題。為了使學(xué)生的研究更集中、效率更高，教師組織學(xué)生進(jìn)行小組交流討論，每個(gè)小組篩選出兩個(gè)最有價(jià)值的問題。緊接著，各小組派代表上臺(tái)分享本小組的兩個(gè)問題。各小組進(jìn)行角逐，層層篩選，最終整理出以下三個(gè)問題。已知A為岳陽(yáng)樓主體的頂部，B為主體的底部。1.請(qǐng)你畫出岳陽(yáng)樓的平面圖。2.請(qǐng)你利用所學(xué)的三角知識(shí)，利用測(cè)角儀（可測(cè)量仰角與俯角）、米尺（可測(cè)量長(zhǎng)度）、量角器（可測(cè)量平面角度）等工具測(cè)量岳陽(yáng)樓主體的高度，給出必要說明，所使用的字母和符號(hào)均需要解釋說明，并給出計(jì)算公式。3.某學(xué)習(xí)小組利用你的測(cè)量方案進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，并將計(jì)算結(jié)果匯報(bào)給老師，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與該建筑物實(shí)際高度有誤差，請(qǐng)你針對(duì)誤差情況進(jìn)行說明。圖1岳陽(yáng)樓的主體在“閱讀材料，提出問題”環(huán)節(jié)，學(xué)生針對(duì)閱讀材料提出了問題，學(xué)生的思維得到了發(fā)散，他們有很多想法，能提出各種各樣的問題。為了使數(shù)學(xué)問題更集中，教師引導(dǎo)學(xué)生小組內(nèi)部交流探討，剔除與本課題關(guān)系不大的問題，從而使得接下來的研究效率更高，更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)寫作。（三）數(shù)學(xué)建模，解決問題第一種方案：測(cè)量并記錄測(cè)量工具距離地面的高度h；用測(cè)角儀，將一邊對(duì)準(zhǔn)樓的頂部A，計(jì)算并記錄仰角[α]，后退a，再用測(cè)角儀對(duì)準(zhǔn)樓的頂部A測(cè)得仰角[β]，此時(shí)可求樓的高度（如圖2所示）。圖2第一種方案示意圖由圖可知AC=[atanαtanβtanα-tanβ]，故AB=[atanαtanβtanα-tanβ]+h。實(shí)際測(cè)量的各數(shù)據(jù)如表1所示。表1第一種方案測(cè)量所得數(shù)據(jù)[第一次第二次仰角大小67°52°]后退距離為6m，人的“眼高”為1.5m，計(jì)算可得岳陽(yáng)樓的高度約為18.32m，結(jié)果與期望值19—20m相差不大。第二種方案：測(cè)量并記錄測(cè)量工具距離地面的高度h，將平面鏡置于平地E處，人后退至從鏡中能夠看到房頂A的位置，測(cè)量人與鏡子的距離a1；將鏡子后移a至F處，重復(fù)前面的操作，測(cè)量人與鏡子的距離a2，此時(shí)可求樓的高度（如圖3所示）［4］。圖3第二種方案示意圖由相似三角形可得[ha1=ABBE]且[ha2=ABBF]，因此BE=[AB×a1h]，BF=[AB×a2h]，故a=[AB×a2h]-[AB×a1h]即AB=[aha2-a1]。實(shí)際測(cè)量的各數(shù)據(jù)如表2所示。表2第一種方案測(cè)量所得數(shù)據(jù)[第一次第二次人與鏡子的距離/m3.844.91]鏡子的相對(duì)距離為12m，人的“眼高”為1.52m，計(jì)算可得岳陽(yáng)樓的高度約為17.05m，結(jié)果與期望值19—20m相較大。接下來是誤差分析。第一種方案產(chǎn)生誤差的原因是量尺、測(cè)角儀測(cè)量時(shí)讀數(shù)有誤差。減小誤差的方法是幾個(gè)人分別測(cè)量高度及仰角，再取平均值。第二種方案產(chǎn)生誤差是因?yàn)殓R面放置不能保持水平，兩次放鏡子的相對(duì)距離太短；人眼看鏡內(nèi)物像時(shí)，兩次不一定都看準(zhǔn)鏡面上的同一個(gè)點(diǎn)，人體不一定在兩次測(cè)量時(shí)保證高度不變，減少誤差的方法是多測(cè)量幾次，再取平均值。將立體圖形平面化，是解決幾何問題的常用方法；再結(jié)合平面幾何的知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算，在推理中尋找規(guī)律，最終解決問題，提高了學(xué)生解決問題的能力。（四）歸納總結(jié)，拓展延伸將整個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程用文字方式記錄下來，并加以總結(jié)，適當(dāng)拓展。比如教師可以提問：某同學(xué)完成后，提出了新問題“請(qǐng)結(jié)合自己所學(xué)的三角、平面幾何知識(shí)想想，你是否還有其他的測(cè)量計(jì)算方法？”，你的問題又是什么呢？請(qǐng)?zhí)岢鰡栴}后，一起和同學(xué)交流解決。愛因斯坦說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要?！币粋€(gè)好的數(shù)學(xué)問題就好比一把利劍，學(xué)生用它在荊棘遍布的科學(xué)叢林中開辟出一條新的道路，探索出一片新的領(lǐng)域。所以，在數(shù)學(xué)應(yīng)用類寫作的結(jié)尾仍需鼓勵(lì)學(xué)生提出更多的好問題。最后要求學(xué)生整理以上研究過程，將自己的所感所得用文字記錄下來，形成一篇數(shù)學(xué)應(yīng)用類報(bào)告。三、解題欣賞類寫作解題欣賞類的寫作不同于解題，它可以把學(xué)生解題的過程可視化于書面上，一方面通過寫作促進(jìn)學(xué)生再認(rèn)識(shí)、再總結(jié)解題過程，甚至在解題欣賞中靈光一現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)并提出新的問題；另一方面幫助教師評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解水平和潛在能力等，發(fā)現(xiàn)存在問題或困難，這有利于教師調(diào)整完善教學(xué)。呂傳漢、汪秉彝及其團(tuán)隊(duì)針對(duì)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”教學(xué)從理論到實(shí)踐進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究，發(fā)現(xiàn)情境不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，喚起問題意識(shí)、促使學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題［5］。因此，筆者布置解題欣賞類寫作時(shí)，嘗試設(shè)計(jì)一些具體的問題情境（如下所示）。校學(xué)生會(huì)希望調(diào)查學(xué)生對(duì)食堂飲食的意見，你自愿擔(dān)任調(diào)查員，并打算在學(xué)校里抽取12%的同學(xué)作為樣本。（1）怎樣安排抽樣可以提高樣本的代表性？（2）在調(diào)查抽樣中你可能遇到哪些問題？（3）你打算怎么解決這些問題？……教師拋磚引玉，學(xué)生自由發(fā)揮。慢慢地，學(xué)生在寫作的過程中，不僅學(xué)會(huì)解題，還學(xué)會(huì)通過觀察、類比、猜想等，自己提出一些新的問題。比如在解三角形時(shí)，運(yùn)用正弦定理求角度時(shí)會(huì)出現(xiàn)無解、一解甚至兩解的情況，很多學(xué)生分辨不清，為了解決這個(gè)問題，筆者設(shè)計(jì)了以下數(shù)學(xué)寫作練習(xí)。在正弦定理的應(yīng)用過程中，我們碰到有無解、一解、兩解的情況，最終有多少個(gè)解是由題目條件決定的。請(qǐng)同學(xué)們通過列舉三道例題，總結(jié)什么題型會(huì)出現(xiàn)無解、一解、兩解，并進(jìn)一步總結(jié)歸納三角形解的個(gè)數(shù)的決定因素。最后你能結(jié)合以上發(fā)現(xiàn)，對(duì)初中所學(xué)的“SSA不能判定三角形全等”做出解釋嗎？學(xué)生作品片段如下。解的個(gè)數(shù)問題今天，我做了這樣三道題，發(fā)現(xiàn)答案有兩個(gè)解的，有無解的，有唯一解的。這三道題目，它們都是“己知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，求其他邊和角”類型的。以已知a、b、A，解三角形為例。按照一般解題過程，利用正弦定理計(jì)算出另一邊所對(duì)角的正弦值，即[sinB=bsinAa]，由此得出角B，再用三角形的內(nèi)角和定理算出第三個(gè)角，[∠C=180°-][∠B][-][∠A]。接著利用正弦定理算出邊[c=asinCsinA]即可。為什么會(huì)出現(xiàn)三種情況呢？什么情況下出現(xiàn)兩個(gè)解，什么情況下出現(xiàn)唯一解，什么情況又無解呢？決定要素具體是什么呢？由此我拿著三道題去請(qǐng)教老師，在老師點(diǎn)撥下我進(jìn)一步思考得以下結(jié)論。[已知兩邊和一對(duì)角（SSA）]根據(jù)老師提示“抓住三角形的特點(diǎn)”，我查閱了三角形的特點(diǎn)有“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，由此一個(gè)想法閃過：“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”可以驗(yàn)證……從學(xué)生的寫作中可以看出，該生從三個(gè)具體的數(shù)學(xué)例子得到啟發(fā)，探究出了三角形解的個(gè)數(shù)的規(guī)律。更難能可貴的是，在寫作過程中，該生自己提出問題、探究問題、解決問題。整篇文章邏輯嚴(yán)密，很有價(jià)值。四、學(xué)習(xí)心得類寫作學(xué)習(xí)心得類寫作指的是用文字語(yǔ)言將自己的學(xué)習(xí)所得、學(xué)習(xí)所感記錄下來。這類寫作，能夠搭建起學(xué)生與知識(shí)的橋梁，讓學(xué)生與自己的內(nèi)心進(jìn)行一場(chǎng)深度對(duì)話。學(xué)生用文字分享自己對(duì)知識(shí)的