2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之解答題：空間向量與立體幾何（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：空間向量與立體幾何

（10題）

一.解答題（共10小題）

1.（2024?渾南區(qū)校級模擬）如圖，直線尸。垂直于梯形ABC。所在的平面，ZADC^ZBAD^90°,F為

線段抬的中點，PD=V2,AB=AD=^CD=1,四邊形PACE為矩形.

（1）求證：AC〃平面。跖；

（2）求直線AE與平面BCP所成角的正弦值.

2.（2024?邵陽三模）如圖，在四棱臺A181GO1-ABCD中，四邊形ABCZ）是邊長為4的菱形，ZABC=

60°,AiAX^FffiABCD,AAi=Ai?=2.

（1）證明：AiC±ABi；

（2）求二面角Ai-CDi-Bi的正弦值.

3.（2024?新華區(qū)校級一模）在直角梯形A3。中，AD//BC,BC=2AD=2AB=20,NABC=90°,如

圖（1）.把△43。沿8。翻折，使得平面A8O_L平面BCD

（I）求證：CD1AB；

BN

（II）在線段BC上是否存在點N,使得AN與平面AC。所成角為60。？若存在，求出工的值；若不

存在，說明理由.

A

圖⑴圖(2)

4.(2024?西安模擬)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，PD=PC=CB=BA==2,AD//CB,ZCPD

=ZABC=90°,平面PC￡)_L平面ABC。，E為PO中點.

(1)求證：尸。_1面尸。人；

T—*___y/5

(2)點。在棱以上，設(shè)PQ=4P4(0<2Vl),若二面角P-CD-Q余弦值為w，求入.

5.(2024?銅川一模)如圖，四棱錐P-ABC。的底面A2CD是邊長為2段的菱形，ZABC=60°,AP^AB,

尸8=4,平面平面A8CD,E,P分別為CD,尸8的中點.

(1)證明：CD_L平面B4E；

(2)求點A到平面PEF的距離.

6.(2024?浙江模擬)如圖，斜三棱柱ABC-ALBIQ的底面是直角三角形，/AC8=90°,點81在底面

A8C內(nèi)的射影恰好是8C的中點，且BC=CA=2.

(I)求證：平面ACCiAi_L平面31cleB；

(II)若斜棱柱的高為百，求平面與平面A81Q夾角的余弦值.

Bi.A,

7.(2024?門頭溝區(qū)一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，R1_L平面ABC。，AB±AD,AD//BC,BC=^AD,

PA=AB=2,E為棱尸。的中點.

(1)求證：EC〃平面E4&

(2)當(dāng)尸C=3時，求直線PC與平面BCE所成角的正弦值.

8.(2024?湖北模擬)如圖，A￡_L平面ABC。，E,尸在平面ABC。的同側(cè)，AE//DF,AD//BC,AD1AB,

1

AD=AB=^BC=1.

(1)若3,E,F,C四點在同一平面內(nèi)，求線段環(huán)的長；

(2)若。尸=2AE,平面加印與平面8CF的夾角為30°,求線段AE的長.

9.(2024?射洪市模擬)如圖，四棱錐尸-ABCZ)中，PA=PD,PALPD,底面ABC。中，AD//BC,A。：

2PC=2BC=4CD,ZADC=6Q°,E是線段AP上一點，設(shè)族=4訪.

(1)若入=1,求證：BE〃平面PCZ)；

(2)是否存在點E,使直線3E與平面外。所成角為30°,若存在，求出入；若不存在，請說明理由.

P

E

A；(一yD

BC

10.(2024?重慶模擬)如圖，在四棱錐E-A8CQ中，EC_L平面ABC。，AB//DC,△ACD為等邊三角形,

OC=2AB=2,CB="，點尸為棱BE上的動點.

(1)證明：￡>C_L平面BCE；

(2)當(dāng)二面角AC-B的大小為45°時，求線段CF的長度.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：空間向量與立體幾何

（10題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2024?渾南區(qū)校級模擬）如圖，直線垂直于梯形4BCD所在的平面，ZADC=ZBAD=90°,F為

線段用的中點，PD=V2,AB=AD=2CD=1'四邊形PDCE為矩形.

（1）求證：AC〃平面OEF；

（2）求直線AE與平面8cp所成角的正弦值.

AB

【考點】空間向量法求解直線與平面所成的角；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（1）證明見解析；

3近

（2）-----.

14

【分析】（1）根據(jù)題意易得AC〃FG,再利用線面平行的判定定理，即可證明；

-?

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCP的法向量及力E,利用線面角的向量法，向量夾角公式，即

可求解.

【解答】解：（1）證明：設(shè)CPCZ）E=G,連接FG,

因為四邊形POCE為矩形，所以G為PC中點，

又F為膽中點，貝IJAC〃尸G,又尸Gu平面。EF,ACC平面。EF,

所以AC〃平面DEF；

—>—>—>

（2）以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,DP的正方向分別為x,y,z軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:

*y

則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,&),E(0,2,&),

所以品=(-1,L0),CP=(0,-2,V2),AE=(-1,2,V2),

設(shè)平面BCP的法向量為￡=(x,y,z),

則⑹屋r+y=0取G=Q,-必，

CP?n——2y+V2z=0

TT廠

設(shè)直線AE與平面BCP所成角為。，所以S譏8=坐斗=萼.

\AE\-\n\14

所以直線AE與平面BCP所成角的正弦值為處.

14

【點評】本題考查線面平行的證明，向量法求解線面角問題，屬中檔題.

2.(2024?邵陽三模)如圖，在四棱臺A18C1D1-ABC。中，四邊形ABC。是邊長為4的菱形，ZABC=

60°,4A_L平面ABCDAAi=AiDi=2.

(1)證明：AiCXABi；

(2)求二面角Ai-CDi-Bi的正弦值.

D

【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(1)證明見解析；

V13

(2)-----.

13

【分析】(1)根據(jù)給定條件，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理

即得.

(2)求出平面AiCOi和平面BiCOi的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.

【解答】解：(1)證明：因為菱形A8CD中，ZABC=60°,

所以△ABC是正三角形，

在平面ABC。內(nèi)過4作4'_18。，由AiA_L平面ABCD,

得直線Ar,AD,A4i兩兩垂直，

以點A為原點，直線Ar,AD,AAi分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),C(2V3,2,0),4式0,0,2),。式0,2,2),B式色,-1,2),

-?—>—>—>

所以&C=(2遮，2,一2),AB1=(V3,-1,2),CD1=(-273,0,2),七心=(0,2,0),

=(-V3,3,0),

所以4C-ABr=2V3xV3+2x(-1)-2x2=0,

—>—>

所以41。1481，所以AiCLLABi.

(2)設(shè)平面AiCZh的法向量￡二(%,y,z),

/->Tf—

EintCD】=—2v3x+2z=0加~,八二、

則-/，取zi=(zl,0,V3),

n-A1D1=2y=0

設(shè)平面BCD的法向量益=(a,b,c),

(TT.—

m?CD】=—2v3a+2c=0.-r-.

則niII/,=(zV3,1,3),

.n-B1D1=—y/3a+3b=0

設(shè)二面角Ai-CDi-Bi的大小為0,

則|cos8|=\cos(m,n)\=獸魯==籌，

|m||n|VloxzV15

所以二面角Ai-CD!-Bi的正弦值為sin。=1-(萼尸=%.

,IvlS，J

【點評】本題考查線線垂直的證明，二面角的求解，屬中檔題.

3.(2024?新華區(qū)校級一模)在直角梯形ABC。中，AD//BC,BC=2AD=2AB=242,ZABC=90°,如

圖(1).把△A3。沿2。翻折，使得平面A2Z)_L平面BCD

(I)求證：CD±AB；

BN

(II)在線段BC上是否存在點M使得AN與平面AC。所成角為60。？若存在，求出「的值；若不

BC

存在，說明理由.

圖⑴圖(2)

【考點】直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(I)由題意求解直角三角形可得CDLBD,再由面面垂直的性質(zhì)可得C￡)_L平面ABD,進一

步得至ljCD±AB；

(II)由8,平面AB。，得CDLBD.以點。為原點，所在的直線為x軸，。。所在直線為y軸，

過點D作垂直平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

求出A,B,C,。的坐標(biāo).得到小、G的坐標(biāo).求出平面AC。的一個法向量，假設(shè)存在點N,使得

AN與平面AC。所成角為60°,設(shè)BN=ABC,0W入W1,得到4N的坐標(biāo).結(jié)合AN與平面AC。所成角

為60°列式求得人值得答案.

【解答】解：(I)證明：'JAD//BC,BC=2AD=2AB=2近,ABLBC,

：.AD^AB=V2,BD=y/AB2+AD2=2,

又/DBC=/ADB=45。,.,.CD=卜+(2物2—2x2x2&cos450=2,

：.BD2+AC2^BC2,則CDLBD.

又平面ABD_L平面BCD,平面ABOC平面BCD=BD,

：.CZ)_L平面ABD,又ABu平面ABD,

：.CD1AB-,

(II)解：：CD_L平面ABD：.CD±BD.

以點。為原點，所在的直線為x軸，OC所在直線為y軸，過點。作垂直平面80的直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

如圖.由己知，得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0).

：.CD=(0,-2,0),AD=(-1,0,-1).

'TT

設(shè)平面ACD的法向量為裝=(x,y,z),則=-2>=°,

n'AD=-x—z=0

令x=l,得平面AC。的一個法向量為￡=(1,0,-1).

假設(shè)存在點N,使得AN與平面AC￡)所成角為60°,

—>—>—>

設(shè)BN=4BC,?！慈隬1,則N(2-2入，2入，0),AN=(1-24,24,-1).

T—L

：.sin6。。=&理=I*24+11=李，

\n\\AN\J(1-2A)2+(2A)2+(-1)2XV2

可得8人2+2入-1=0,解得2='或4=-義(舍去).

綜上所述，在線段BC上存在點N,使得AN與平面AC。所成角為60°,

【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，訓(xùn)練了利用空間向量求線面角，是中檔

題.

1

4.(2024?西安模擬)如圖，在四棱錐P-ABC。中，PD=PC=CB=BA=^AD=2,AD//CB,ZCPD

=NABC=90°,平面尸C￡)_L平面ABC。，E為尸。中點.

(1)求證：「。_1面PCA；

f-*y/~5

(2)點。在棱上，設(shè)PQ="4(0<2Vl),若二面角尸-CD-。余弦值為g,求入.

p

D3--------------1

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直.

【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(1)證明見解答；

(2)2=^.

【分析】(1)依題意可證CD_LAC,由面面垂直的性質(zhì)得到AC1?平面PCD,即可得到PO_LAC,再由

PCLPD,即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.

【解答】(1)證明：由題意：BC=AB=2,ZABC-90°,

：.AC=y/AB2+BC2=2V2,同理CD=2V2,

又A￡)=4,CD1+AC1AD1,

：.CD±AC,

又平面PC￡)_L平面ABCD,平面PCDC平面ABCD=CD,ACu平面ABCD,

；.AC_L平面PC。，POu平面PC。，

：.PD.LAC,

又尸C_LP。且尸Cu面尸CA,ACc?PCA,PCHAC=C,

.'.PDXffiPCA；

(2)解：以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

ACD=(2V2,0,0),CP=(V2,0,V2),PA=(-V2,2五,一必,

由PQ=2Pa(0<a<l),有CQ=CP+4P2=(a(1—2),2夜九V2(l-A)),

令1=(x,y,z)是平面CD。的一個法向量，

n-CD=0=0

則TT

ji-CQ=0—A)%+2V2Ay+V^(l—A)z=o'

令y=l,有?i=(O,1,a—1)，

取面尸CD的一個法向量拓=(0,1,0),

則|cos<n，m>\=I?叫=

|n||m|52

【點評】本題考查線面垂直的判定，考查二面角的求法，屬難題.

5.(2024?銅川一模)如圖，四棱錐尸-ABC。的底面A3C0是邊長為2魚的菱形，ZABC=60°,AP^AB,

尸3=4,平面B43_L平面ABC。，E,尸分別為C。，尸5的中點.

(1)證明：CD_L平面PAE-,

(2)求點4到平面PEF的距離.

【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(1)證明見解析；

2V15

(2)-------.

5

【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，再由線面垂直的判定定理求證;

(2)利用等體積法求出點到平面的距離即可.

【解答】解：(1),:AP=AB=2五,PB=4,

.?.AP2+AB2=PB2,:.AP±AB.

:平面E4BJ_平面ABCZ),且交線為AB,APu平面出B,

；.AP_L平面AB。，

：C￡)u平面ABCD,J.APLCD.

連接AC,AF,如圖所示：

因為四邊形ABC。是邊長為2&的菱形，ZABC=60°,

所以△AC。為等邊三角形.

又因為E為C￡)的中點，所以CDLAE,

又APCAE=A,APu平面出E,AEu平面E4E,

所以CZ)_L平面PAE.

(2)設(shè)點A到平面PEF的距離為九則以一PEF=VE一出尸，

因為AB〃CD,所以AE_LA8,又由(1)知AE_LAP,

XAPAAB=A,APu平面以8,ABu平面以8,所以AEJ_平面物8,

又PFu平面B48,AFu平面B48,所以AE_LPF,AE±AF,

又AF==2,AE=2V2Xsin600=V6,

又由PF_L4E,PFLAF,AEPiAF^A,AFu平面AEB,AEu平面AER

所以P5_L平面AEF,且PF=2,FE=y/AE2+AF2=V10,

er-11cl??,11??.?.?,AFxAE2XA/62-715

所以-x-PFxFExh=-x-xPFx4FxAE,即Hn力=—=-7==—5―,

3232FE同5

所以點A到平面PEF的距離為竺^

【點評】本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了點到平面的距離計算問題，是中檔題.

6.(2024?浙江模擬)如圖，斜三棱柱ABC-A1B1Q的底面是直角三角形，/AC8=90°,點81在底面

ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點，且BC=CA=2.

(I)求證：平面ACCiAi_L平面BCCB；

(II)若斜棱柱的高為百，求平面ABB1與平面AB1C1夾角的余弦值.

Bi.A,

【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(I)證明見解析；

(II)平面ABB1與平面AB1C1夾角的余弦值為*

【分析】(I)取8C的中點連接利用點81在底面內(nèi)的射影恰好是BC的中點，證明

AC,結(jié)合ACL8C,由線面垂直的判定定理證明AC,平面81cle8,根據(jù)面面垂直的判定定理證明即

可；

(II)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面

和平面A81C1的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】解：(/)證明：取BC中點為連接

1/B1在底面內(nèi)的射影恰好是中點，

ABC,又：ACu平面ABC,

.,.BiMLAC,

又4cB=90°,

：.AC±BC,

BCu平面BiCiCB,B\MC\BC=M,

；.AC_L平面81cle8,

又：ACu平面ACCMi,

平面ACGAi_L平面BiCiCB；

(〃)以C為坐標(biāo)原點，CA所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

由BC=CA=2,

可得4(2,0,0),B(0,2,0),M(0,1,0),Bi(0,1,V3),Q(0,-1,V3),

即有血=T—>

2,1,A/3),AB=(-2,2,0),B?=(0,2,0),

設(shè)平面的法向量為￡=(x,y,z),

JTL

即有展"1=0,則有『y+y+fz=0,令2=后可得尸產(chǎn)3,

ln-AB=0(-2x+2y=°

所以:=(3,3,V3),

設(shè)平面ABiCi的法向量為藍=(a,b,c),

'TT

即有M?空1=0,則有2a甘+存=0,令。=g，可得6=0,c=2,

.m-BiG=0(-2匕=0

所以蔡=(V3,0,2),

所以有Icos<nm>\-1葡-|3x、+3x0+―x2|__遞

期以印'『向麗—V9+9+3XV3+0+4-V21xV7

由兩平面夾角定義可知平面ABB1與平面ABiCi夾角為銳角，

5

故平面48"與平面A8心夾角的余弦值為3

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的應(yīng)用,

二面角的應(yīng)用，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化

為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.

1

7.(2024?門頭溝區(qū)一模)如圖，在四棱錐P-A8CZ)中，B4_L平面48CD,AB±AD,AD//BC,BC=^AD,

B4=AB=2,E為棱尸。的中點.

(1)求證：EC〃平面出8；

(2)當(dāng)PC=3時，求直線PC與平面BCE所成角的正弦值.

p

BC

【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（1）證明見解析；（2）竺.

15

【分析】（1）取出中點為M,證明EC〃及/即可由線線平行證明線面平行；

（2）過尸作平面8CE的垂線，結(jié)合幾何特點求得PN,再求線面角的正弦值即可.

【解答】解：⑴證明：取抬中點為M,連接ME,MB,如下圖所示：

在△抬。中，因為M,E分別為抬，尸。的中點，

1

HME//AD,ME=^AD,

i

又4D||BC,BC=2AD>

極ME〃BC,ME=BC,則四邊形“BCE為平行四邊形，EC//MB,

XMBc.^PAB,PAB,

故EC〃面PAB.

（2）過點P作延長線的垂線，垂足為M連接NC,如下圖所示:

p

BC

由（1）可知，EC//BM,

故平面BCE也即平面NMBCE,

因為BC//AD,

貝I」BC±AB,

ABCD,BCc?ABCD,

^BCLPA,

y,PAr>AB=A,PA,ABc?PAB,

故8<?_1面PAB,

又PNu面抬8,貝|PN_L3C,又PNLBN,

BSBN=B,BC,BNu面BCE,

故PALL面BCE,

則ZPCN即為PC與平面BCE的夾角，

在△ABM中，因為AB=2,AM=^PA=1,

2R

則BM=VXS2+XM2=V5,sinZAMB=譽，

1

在△PMN中，因為PM=jPX=1,ZAMB=ZPMN,

貝（JPN=sin/PMNxPM=等，

2y/S

又PC=3,sin/PCN=要=考=組,

?V5

即直線PC與平面BCE所成角的正弦值為丁.

15

【點評】本題考查空間線面位置關(guān)系以及線面角的求法，屬于中檔題.

8.（2024?湖北模擬）如圖，AE_L平面4BC。，E,尸在平面A8C。的同側(cè)，AE//DF,AD//BC,ADLAB,

1

AD=AB=^BC=1.

(1)若B,E,F,C四點在同一平面內(nèi)，求線段所的長;

⑵若DF=2AE,平面8跖與平面8CE的夾角為30°,求線段AE的長.

【考點】二面角的平面角及求法；點、線、面間的距離計算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

1

【答案】(1)1;(2)

【分析】(1)由線面平行的判定定理、性質(zhì)定理得四邊形AOEE是平行四邊形，由此能求出線段跖的

長；

(2)以A為坐標(biāo)原點，分別以A3,AD,AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利

用向量法能求出線段AE的長.

【解答】解：(1)'."AD//BC,BCu平面BCEF,ADC平面8CEF,

〃平面BCEF,

'JAE//DF,：.A,E,F,。四點共面，

VAD//5??BCEF,A￡)u平面平面BCEPCl平面

：.AD//EF,y.AE//DF,四邊形AOFE是平行四邊形，

；.EF=DC=1.

(2)以A為坐標(biāo)原點，分別以AB,AD,AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)E(0,0,入)，F(xiàn)(0,1,2入)，B(1,0,0),C(1,2,0),

BE=(-1,0,a)，BF=(-1,1,2入)，BC=(0,2,0),

設(shè)茄=(x,y,z)是平面的一個法向量，

^\m-BE=-x+Az=O,MXz=1(得薪=(入，-入，口，

m-BF=—%+y+2Az=0

設(shè)臣=(a,b,c)是平面BFC的一個法向量，

LT

^\n-BC=2b=0,取c=i,得管=(2)，0,1),

(九.BF=—a+b+2Ac=0

~~》2I—

依題意|cos<m,n>\=-呼凹=------即jll=怖

17nH幾Iri--------2-222

JAZ+(-A)2+1-J(2A)Z+02+1

解得％=：.AE=

【點評】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)、四點共面、向量法、二面角等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,

是中檔題.

9.(2024?射洪市模擬)如圖，四棱錐尸-ABC。中，PA=PD,PA±PD,底面ABC。中，AD//BC,A。：

2PC=2BC=4CD,ZADC=60°,E是線段A尸上一點，設(shè)族=4詬.

(1)若入=1,求證：BE〃平面PCD；

(2)是否存在點￡,使直線BE與平面所成角為30°,若存在，求出入；若不存在，請說明理由.

【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理.

【答案】(1)證明見解析；

3

(2)存在，入=3或9理由見解析.

【分析】(1)取尸。中點R證明8E〃CR由線線平行證得線面平行；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量解決線面角問題.

【解答】解：(1)證明：取尸。中點尸，連接尸C,如圖所示，

TT1

,：AE=EP,為AP中點，EF//AD,B.EF=^AD.

1

,CBC//AD,BC/AD,

：.EF//BC^EF=BC,???得四邊形EFC8為平行四邊形,

J.BE//CF,BEC平面PCD,CFu平面PC。,

故BE〃平面PCD.

(2)取AQ中點。，以。為原點，平面ABC。內(nèi)過。點垂直于。。的直線為x軸，

過。點垂直平面A8CA的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：。-孫z,

設(shè)BC=1,P(x,y,z),VZADC=60°,

：.A(0,-2,0),B(孚，0),C得,I，0),D(0,2,0),AD=(0,4,0).

加『=/+(y+2)2+Z2=8,|PO|2=X2+/+Z2=4,|PC|2=(x-^)2+(y-|)2+z2=4,

解得：x=V3,y=0,z=l,

0,1),：.AP=(V3,2,1),

—>—>

設(shè)ZE=tap=(V5t,23t),ZG[0,1],

又耘=(亨，I，0),：.BE=AE-AB(V3t-,2t-|,t),

JT

設(shè)平面PAD的法向量為1=(久，y,z),丁,°,

n-AP=V3x+2y+z=0

令x=-1,解得y=0,z=V3,An=(-1,0,V3),

由直線BE與平面所成角為30°,

可得|cos<h,BE>\=cos(90°-30°)=|〔?==)

2j(V3t-^)2+(2t-|)2+t2

整理得：32?-36r+9=0,

解得t=[或t=)AE=tAP=--EP,

【點評】本題考查線面平行的判定和線面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題.

10.（2024?重慶模擬）如圖，在四棱錐E-A8C。中，￡C±￥ffiABCD,AB//DC,△ACD為等邊三角形,

DC=2AB=2,CB=CE,點F為棱BE上的動點.

(1)證明：￡>C_L平面BCE；

(2)當(dāng)二面角尸-AC-8的大小為45°時，求線段CF的長度.

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(1)證明過程請見解答；(2)手.

【分析】(1)先結(jié)合余弦定理與勾股定理證明BC±AB,從而知BC±DC,再由EC，平面ABCD,得

ECLDC,然后利用線面垂直的判定定理，即可得證；

(2)過點F作FG//EC,交于G,過點G作GHLAC于H,連接FH,根據(jù)三垂線定理，可知/

GHF=45。，再利用△3CE是等腰直角三角形，找等量關(guān)系，求解即可.

【解答】(1)證明：因為△AC。為等邊三角形，DC=2,

所以AC=2,ZACD=6Q°,

因為AB〃Z)C,

所以/8AC=NAG9=60°,

在△ABC中，由余弦定理知，BC2=AB2+AC2-2AB'ACcosZBAC^1+4-2X1X2x1=3,

所以BC2+AB2^AC2,即BC±AB,

所以BC_L￡)C,

因為EC_L平面ABCZ),ABCD,所以EC_LDC,

又8CCEC=C,BC、ECu平面BCE,

所以。C_L平面BCE.

(2)解：過點尸作FG〃EC,交BC于G,過點G作GHLAC于H連接也，

因為EC_L平面ABC。，所以尸G_L平面AB。，

所以/G族就是二面角尸-AC-2的平面角，即NGH尸=45°,

所以GH=GF,

設(shè)GH=GF=t,

由（1）知，在RtZxABC中，AC=2AB,

所以/AC8=30°=ZHCG,

在RtACHG中，CG=2GH=2t,所以BG=BC-CG=V3-It,

因為CE_LCB,CB=CE,

所以△BCE是等腰直角三角形，

所以/CBE=45°,所以8G=GP=f,

所以舊—2f=f,即仁孚，

所以CF=7CG2+誨=J（竽尸+（苧尸=孚.

【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)定理，二面角的定義與求法是

解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

考點卡片

1.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

【知識點的認識】

空間兩條直線的位置關(guān)系：

位置關(guān)系共面情況公共點個數(shù)圖不

相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個

平行直線在同一平面內(nèi)無

異面直線不同時在任何一個平無

面內(nèi)

Z^7

2.直線與平面平行

【知識點的認識】

1、直線與平面平行的判定定理：

如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.用符號表示為：若。仁式,

bua,a//b,貝!Ja//a.

2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直

線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行.即由線線平行得到線面平行.

1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.

用符號表示為：若a〃a,au0,aA^>=b,貝!Ja〃氏

2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：

已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行.即由線面平行=線線平

行.

由線面平行今線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行.

正確的結(jié)論是：a//a,若bucc,則b與a的關(guān)系是：異面或平行.即平面a內(nèi)的直線分成兩大類，一類與

。平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條.

3.直線與平面垂直

【知識點的認識】

直線與平面垂直：

如果一條直線/和一個平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線I和平面a互相垂直，記作Z±a,

其中/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面.

直線與平面垂直的判定：

(1)定義法：對于直線/和平面a,垂直于a內(nèi)的任一條直線.

(2)判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

(3)判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

直線與平面垂直的性質(zhì)：

①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.符號表示為：G±a,b±a^a//b

②由定義可知：a_La,bca^a-Lb.

4.平面與平面垂直

【知識點的認識】

平面與平面垂直的判定：

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

平面與平面垂直的性質(zhì)：

性質(zhì)定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.

性質(zhì)定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).

性質(zhì)定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.

性質(zhì)定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直.

5.直線與平面所成的角

【知識點的認識】

1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：

(1)直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；

(2)直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；

(3)直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°.

7T71

顯然，斜線和平面所成角的范圍是(0,-)；直線和平面所成的角的范圍為[0,-].

2、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題(空間問題)是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為

兩條相交直線的度量問題(平面問題)來解決的.具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的

環(huán)節(jié)：

(1)作--作出斜線與射影所成的角；

(2)證--論證所作(或找到的)角就是要求的角；

(3)算--常用解三角形的方法(通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形)求

出角.

(4)答--回答求解問題.

在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用.在直線與

平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想.

3、斜線和平面所成角的最小性：

斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是

斜線在平面上的射影.在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選

中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)

過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角.對于已知的斜線來說這個角是唯一確定的，它的大小反映

了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”.根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線

和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角.

用空間向量直線與平面所成角的求法：

(1)傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過

解直角三角形求得.

(2)向量求法：設(shè)直線/的方向向量為工平面的法向量為二直線與平面所成的角為0,3與京的夾角為(p,

則有sin0=