專題06零點問題（4月）（期中復習熱點題型）（人教A版2019）

專題06零點問題一、單選題1．函數(shù)（，且）有兩個零點，則a的取值范圍為A． B．C． D．【試題來源】山西省2021屆高三一?！敬鸢浮緽【分析】令，將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個交點，結(jié)合圖象確定正確選項．【解析】，得，即．由題意知函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個交點．當時，草圖如下，顯然有兩交點．當時，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個交點時，注意到互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，可知函數(shù)圖象與直線相切，設(shè)切點橫坐標，則，解得綜上，a的取值范圍為．故選B．2．函數(shù)的零點個數(shù)為A． B．C． D．【試題來源】云南省州硯山縣20202021學年高一上學期期末【答案】A【分析】利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，結(jié)合單調(diào)性與最小值，即可求解．【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，且，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點．故選A．3．定義在上的函數(shù)滿足，，若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)A．沒有零點 B．有且僅有1個零點C．至少有2個零點 D．可能有無數(shù)個零點【試題來源】2021屆江西省八所重點中學高三4月聯(lián)考【答案】B【分析】依據(jù)題意可知函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，然后簡單判斷即可．【解析】由題可知，函數(shù)關(guān)于直線對稱，又，當時，；當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由，所以，根據(jù)對稱性可知根據(jù)零點存在性定理可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個零點，故選B.4．已知函數(shù)，若有2個零點，則的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】超級全能生”2021屆高三全國卷地區(qū)1月聯(lián)考丙卷（B）【答案】C【分析】根據(jù)零點的定義，結(jié)合基本不等式、導數(shù)運用轉(zhuǎn)化法進行求解即可．【解析】可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，由基本不等式得，當且僅當時，取到最小值0．設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當時，取到最大值．若有2個零點，則與有兩個交點，此時，解得，故選C5．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學二輪復習題型專練（新高考專用）【答案】B【分析】等價轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)只有一個根，然后利用導數(shù)求得在區(qū)間的單調(diào)性，最后簡單計算可得結(jié)果．【解析】由題可知等價于在區(qū)間內(nèi)只有一個根即在區(qū)間內(nèi)只有一個根，令，令，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，，所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以有，即，故選B．【名師點睛】（1）等價轉(zhuǎn)為在區(qū)間內(nèi)只有一個根；（2）構(gòu)造函數(shù)；（3）利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)；（4）得出結(jié)果．6．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】江西省南昌市新建區(qū)第一中學20202021學年高二上學期期末考試【答案】C【分析】函數(shù)的導函數(shù)，對進行分析可知，利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，可知當時，函數(shù)在R上單調(diào)，不可能有兩個零點；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)有兩個零點，只需的最小值小于零即可，由此即可求出結(jié)果．【解析】函數(shù)的導函數(shù)．當時，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點；當時，令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．令，則．當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以，所以的最小值為，函數(shù)有兩個零點．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故選C7．若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】湖南省益陽市桃江縣第一中學20202021學年高二下學期入學考試【答案】A【分析】設(shè)，則函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有交點，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出．【解析】設(shè)，定義域為，則，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，且所以當時，，遞減；當時，，遞增，所以所以，即．故選A．8．若函數(shù)存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為A． B．C． D．【試題來源】廣西河池市20202021學年高二上學期期末【答案】D【分析】由題意得，令，求的取值范圍可得答案．【解析】由，則，令，則，當?shù)?，單調(diào)遞增，當?shù)茫瑔握{(diào)遞減，所以，，當趨向于正無窮大時，也趨向于正無窮大，所以函數(shù)存在零點，則．故選D．【名師點睛】本題考查函數(shù)零點問題．解題方法是把零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點個數(shù)，由圖象觀察所需條件求得結(jié)論．考查了分析問題、解決問題的能力．9．已知函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)是A． B．C． D．【試題來源】黑龍江省大慶市2021屆高三第一次教學質(zhì)量檢測（一模）【答案】B【解析】，，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，且當時，，令得或，所以有兩個解，有三個解，所以函數(shù)零點的個數(shù)是5個，故選B．【名師點睛】該題考查的是有關(guān)利用導數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)的問題，解題方法如下：（1）對函數(shù)求導，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，并確定函數(shù)圖象的變化趨勢；（2）求函數(shù)零點，就是令函數(shù)等于零，方程的根，求解二次方程，得到函數(shù)值的取值；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，確定其零點個數(shù)．10．已知函數(shù)．若函數(shù)有三個零點，則A．， B．，C．， D．，【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）【答案】B【分析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，要使函數(shù)有三個零點，則必定有兩個正實數(shù)根，即可求出參數(shù)的取值范圍，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到，即可判斷的范圍；【解析】因為，所以，要使函數(shù)有三個零點，則必定有兩個正實數(shù)根，即，，所以解得，此時，，令，解得或，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，令，解得或，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值；因為當時，；當時，，要使函數(shù)函數(shù)有三個零點，則，，即，且，因為，所以，，所以，，所以，又，所以，故選B．11．已知函數(shù)()有唯一的零點，則A． B．C． D．【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學全真模擬卷（新課標Ⅲ卷）【答案】A【分析】利用函數(shù)的零點以及方程的根的關(guān)系，通過函數(shù)的導數(shù)，二次導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的零點判定定理，推出結(jié)果即可．【解析】函數(shù)，則，可得，恒大于0，是增函數(shù)，令，則，有唯一解時，，代入可得，由于是增函數(shù)，，所以時，．故選．12．已知曲線：在處的切線與曲線：在處的切線平行，令，則在上A．有唯一零點 B．有兩個零點C．沒有零點 D．不確定【試題來源】寧夏固原市第五中學2021屆高三年級期末考試【答案】A【分析】先對函數(shù)和求導，根據(jù)兩曲線在處的切線平行，由導數(shù)的幾何意義求出，得到函數(shù)，對其求導，利用導數(shù)的方法判定單調(diào)性，確定其在上的最值，即可確定函數(shù)零點個數(shù)．【解析】因為，所以，又，所以，由題設(shè)知，，即，所以，則，所以，，令，，則，當時，，即函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，即函數(shù)單調(diào)遞增；所以在上的最小值為，所以，則，所以在上單調(diào)遞增，且．在上有唯一零點，故選A．【名師點睛】利用導數(shù)的方法判定函數(shù)零點個數(shù)時，一般需要先對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)極值和最值，即可確定函數(shù)零點個數(shù)．（有時也需要利用數(shù)形結(jié)合的方法進行判斷）13．已知函數(shù)，下列選項正確的是A．奇函數(shù)，在上有零點 B．奇函數(shù)，在上無零點C．偶函數(shù)，在上有零點 D．偶函數(shù)，在上無零點【試題來源】2021年高考二輪復習講練測（）【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除選項AB，再通過導數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在區(qū)間上有無零點．【解析】，函數(shù)的定義域為，且故為偶函數(shù)，故排除AB；，令，即，解得當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，所以，當時，取得極小值，且，而，，所以函數(shù)在上無零點．故選D14．已知．是函數(shù)()在上的兩個零點，則．滿足A． B．C． D．【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學全真模擬卷（新課標Ⅱ卷）【答案】B【分析】由題意可得，設(shè)，（），則由可得，要比較其與1的大小，構(gòu)造函數(shù)()，利用導數(shù)求得其最大值，可得，進而可證得結(jié)論【解析】由題意可知，，故，即，設(shè)，，則，，所以，由得，所以，令()，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，即，所以，所以，所以，故選B．二、多選題1．已知函數(shù)，，則A．1是函數(shù)的極值點 B．當時，函數(shù)取得最小值C．當時，函數(shù)存在2個零點 D．當時，函數(shù)存在2個零點【試題來源】江蘇省南通市海門市第一中學20202021學年高二上學期期末【答案】AD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可判斷AB的正誤，根據(jù)零點存在定理和最值的符號可判斷CD的正誤．【解析】，令可得，當時，；當時，，故為的極大值點，故A正確．又在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故當時，函數(shù)取得最大值，故B錯誤．當時，，又，而，故且，令，則，故在上為減函數(shù)，故，由零點存在定理及的單調(diào)性可得有兩個不同的零點，故D正確．而當時，當時，恒成立，故在最多有一個零點，故C錯誤．故選AD2．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的有A．在上是增函數(shù) B．存在唯一極小值點C．在上有一個零點 D．在上有兩個零點【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)求得與，再根據(jù)在恒成立，確定在上單調(diào)遞增，及，且存在唯一實數(shù)，使，從而判斷A，B選項正確；再據(jù)此判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷零點個數(shù)．【解析】由已知得，，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又時，且存在唯一實數(shù)，使，即，所以在上是增函數(shù)，且存在唯一極小值點，故A，B選項正確．且在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，，，所以在上有兩個零點，故D選項正確，C選項錯誤．故選ABD．3．知函數(shù)，則下述結(jié)論中正確的是A．若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點B．若在有且僅有個零點，則在上單調(diào)遞增C．若在有且僅有個零點，則的范是D．若的圖象關(guān)于對稱，且在單調(diào)，則的最大值為【試題來源】廣東省汕頭市2021屆高三一模【答案】ACD【分析】令，由，可得出，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可判斷A選項正誤；根據(jù)已知條件求出的取值范圍，可判斷C選項正誤；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項的正誤；利用正弦型函數(shù)的對稱性與單調(diào)性可判斷D選項的正誤．【解析】令，由，可得出，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：對于A選項，若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點，A選項正確；對于C選項，若在有且僅有個零點，則，解得，C選項正確；對于B選項，若，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B選項錯誤；對于D選項，若的圖象關(guān)于對稱，則，．，，，．當時，，當時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意，D選項正確．故選ACD．【名師點睛】求較為復雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．4．已知函數(shù)對于任意，均滿足．當時，若函數(shù)，下列結(jié)論正確的為A．若，則恰有兩個零點B．若，則有三個零點C．若，則恰有四個零點D．不存在使得恰有四個零點【試題來源】山東省日照市2021屆高三下學期一?！敬鸢浮緼BC【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，求出直線與曲線相切以及直線過點時對應的實數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤．【解析】由可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．令，即，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：令，則函數(shù)的零點個數(shù)為函數(shù)、的圖象的交點個數(shù)，的定義域為，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖象恒過定點，當函數(shù)的圖象過點時，有，解得．過點作函數(shù)的圖象的切線，設(shè)切點為，對函數(shù)求導得，所以，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，切線過點，所以，，解得，則切線斜率為，即當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切．若函數(shù)恰有兩個零點，由圖可得或，A選項正確；若函數(shù)恰有三個零點，由圖可得，B選項正確；若函數(shù)恰有四個零點，由圖可得，C選項正確，D選項錯誤．故選ABC．5．已知函數(shù)，，其中，則下列說法中正確的是A．若只有一個零點，則B．若只有一個零點，則恒成立C．若只有兩個零點，則D．若有且只有一個極值點，則恒成立【試題來源】湖北?。˙4聯(lián)考新高考調(diào)研）部分省級示范性重點中學20202021學年高三上學期統(tǒng)一質(zhì)量檢測【答案】ABD【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則．當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增．所以．，且．，則．當時，，，由零點存在定理可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點，所以，當時，函數(shù)在區(qū)間上至少有兩個零點，所以，當函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點時，．對于A選項，當時，．，則，，，，由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上至少有一個極值點，令，可得，當時，，由，可得，解得，所以，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個極值點．作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有且只有一個交點，記該交點的橫坐標為，當時，，此時；當時，，此時．所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以，，又．若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，則．，則，所以，，解得，A選項正確；對于B選項，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點時，由A選項可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．，，所以，對任意的，，B正確；對于C選項，取，則，，則，令，可得或，可得或，解得或．所以，當時，函數(shù)有兩個零點，C選項錯誤；對于D選項，當時，若，則，且，當時，令，可得出，至少可得出或，即函數(shù)在區(qū)間上至少有兩個極值點，不合乎題意，所以，．下面證明：當時，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，，即．分以下三種情況來證明恒成立．，可得，，由可得出，所以，．則．①當時，，則，，即成立；②當時，，則；③當時，，．綜上所述，當函數(shù)只有一個極值點時，恒成立．故選ABD．三、填空題1．已知函數(shù)，，若函數(shù)只有唯一零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學經(jīng)典小題考前必刷集合【答案】【分析】首先令，得，畫出函數(shù)與的圖象，再根據(jù)圖象求解即可．【解析】令，得，則當時，令，所以，則在單調(diào)遞減，所以函數(shù)與的圖象，由圖象可知，當，即時，圖象有1個交點，即存在1個零點．故答案為2．函數(shù)的零點個數(shù)為________．【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練【答案】1【解析】因為，所以單調(diào)遞增，因為，所以有且僅有1個零點．故答案為13．已知函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為________．【試題來源】2021屆高三高考數(shù)學適應性測試仿真系列卷四（江蘇等八省新高考地區(qū)專用）【答案】3【分析】首先分別求出函數(shù)在和的單調(diào)性和最值，從而得到函數(shù)的圖象，在根據(jù)函數(shù)的圖象與的交點個數(shù)即可得到答案．【解析】因為的零點個數(shù)與圖象的交點個數(shù)，當時，，所以，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，因為當時，，且，所以時，；當時，，所以，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，又當時，，當時，，所以時，，作出的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知有個交點，所以有個零點，故答案為34．已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是________．【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學全真模擬卷（新課標Ⅲ卷）【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有三個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍．【解析】構(gòu)造，，有三個零點即與有三個交點，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，即，即，解得．故答案為．【名師點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，關(guān)鍵點是將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有三個交點，同時也考查了導數(shù)的應用，屬于中等題．5．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則的取值范圍為________．【試題來源】百師聯(lián)盟20202021學年高三下學期開年摸底聯(lián)考考試卷（全國Ⅰ卷）【答案】【分析】對函數(shù)求導，對參數(shù)進行討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及零點存在的條件，列出不等式組求得結(jié)果．【解析】，（1）當時，在區(qū)間內(nèi)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，只要滿足；，無解；（2）當時，，①若，即時，在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；只要，所以令，當時，恒成立，所以．②當或時，在上單調(diào)，且，所以函數(shù)在上沒有零點；故答案為．6．若函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍為________．【試題來源】河南省駐馬店市20202021學年高一上學期期末數(shù)學理試題【答案】【分析】令得，構(gòu)造函數(shù)并求值域可得答案．【解析】由，則，令，因為在上都遞減，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且，可得．故答案為．【名師點睛】本題考查由函數(shù)零點求參數(shù)問題，解答時要先將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程有根的問題，進而分離參數(shù)，再運用函數(shù)思想將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象的性質(zhì)和最大最小值的問題，考查了分析問題解決問題的能力．7．定義在的函數(shù)滿足，則的零點是________．【試題來源】東北三省三校（哈師大附中東北師大附中遼寧省實驗中學）20202021學年高三下學期第一次聯(lián)合模擬考試【答案】【分析】構(gòu)建函數(shù)，依據(jù)條件可知，進一步可得，最后令可得結(jié)果．【解析】令，則，又，所以，則函數(shù)為常函數(shù)，又，所以，令，所以，故答案為【名師點睛】解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)，并通過題干可知函數(shù)，以便得到函數(shù)的解析式．8．設(shè)函數(shù)的零點為、、…，表示不超過的最大整數(shù)，有下述四個結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②函數(shù)與有相同零點；③函數(shù)有且僅有一個零點，且；④函數(shù)有且僅有兩個零點，且．其中所有正確結(jié)論的序號是________．【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學全真模擬卷（新課標Ⅱ卷）【答案】①②④【分析】對①，對函數(shù)求導和，從而判斷得函數(shù)在上單調(diào)遞增；對②，可直接判斷出函數(shù)與在上有相同零點；對③和④，對函數(shù)求導可判斷出在和上單調(diào)遞增，再利用零點存在定理判斷出函數(shù)在和上存在零點．【解析】，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①正確；顯然不是零點，令，則在上，與有相同零點，故②正確；在上，，所以在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，而，，所以存在，使，又，，所以存在的，使，所以在上只有兩個零點、，也即在上只有兩個零點為、，且，故③錯誤，④正確．故答案為①②④．【名師點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點；（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)之間的等式，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．9．已知函數(shù)存在4個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學經(jīng)典小題考前必刷集合【答案】【分析】令可得出，令，，利用導數(shù)分析函數(shù)與的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出與函數(shù)的兩個交點的橫坐標在區(qū)間內(nèi)，進而可求得實數(shù)的取值范圍．【解析】令，可得，令，，，令，可得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即．當時，．所以，函數(shù)的定義域為，，令，由于，解得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即，若使得函數(shù)存在個零點，則直線與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，設(shè)交點的橫坐標分別為、，作出函數(shù)的圖如下圖所示：由圖象可知，，作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖象可知，當時，即當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故答案為．10．已知函數(shù)存在個零點，則實數(shù)的取值范圍是________．【試題來源】江西宜春市2021屆高三上學期數(shù)學期末試題【答案】【分析】令可得出，令，，利用導數(shù)分析函數(shù)與的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出與函數(shù)的兩個交點的橫坐標在區(qū)間內(nèi)，進而可求得實數(shù)的取值范圍．【解析】令，可得，令，，，令，可得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即．當時，．所以，函數(shù)的定義域為，，令，由于，解得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即，若使得函數(shù)存在個零點，則直線與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，設(shè)交點的橫坐標分別為、，作出函數(shù)的圖如下圖所示：由圖象可知，．作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖象可知，當時，即當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故答案為．四、雙空題1．已知函數(shù)，令，當時，有，則________；若函數(shù)恰好有4個零點，則實數(shù)k的值為________．【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪小題專練（新高考）【答案】【分析】當時，根據(jù)函數(shù)的解析式，列出方程，即可求得的值，再由為函數(shù)的一個零點，則當時，得到，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，結(jié)合圖象，即可求解．【解析】由，可得當時，恒成立，所以；當時，，可化簡得，則或；由為函數(shù)的一個零點，當時，令，則，令，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，要使得函數(shù)恰好有4個零點，等價于函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，要使得函數(shù)恰好有4個零點，則．故答案為.2．已知實數(shù)且，為定義在上的函數(shù)，則至多有________個零點；若僅有個零點，則實數(shù)的取值范圍為________．【試題來源】2021年浙江省新高考測評卷數(shù)學（第五模擬）【答案】【分析】令（，且），可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論．【解析】令（，且），可得，等式兩邊取自然對數(shù)得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則．當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減．所以，，且當時，，如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象至多有兩個交點，所以，函數(shù)至多有個零點．若函數(shù)只有一個零點，則或，解得或．故答案為；．3．已知函數(shù)，則方程的實根的個數(shù)為________；若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是________．【試題來源】江蘇省南通市如東縣20202021學年高三上學期期末【答案】3【分析】用導數(shù)求出在的時單調(diào)性，極值，確定函數(shù)的變化趨勢，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)圖象，方程的的解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖象與直線的交點個數(shù)，由此分析可得．【解析】由得，時，，遞增，時，，遞減，時，取得極大值，時，，所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是，，且時，，時，，作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，由圖可知直線與函數(shù)的圖象，在時無交點，或時有一個交點，或時有兩個交點，時，有三個交點．因為，所以直線與的圖象有三個交點，方程有三個實根，易知有兩個解，，由得，由得，當時，函數(shù)至多有兩個零點，不合題意時，函數(shù)有三個零點，，函數(shù)有兩個零點，不合題意，時，有一個解，由題意要有兩解，所以或，所以或，綜上，函數(shù)有三個零點，則取值范圍是．【名師點睛】本題考查方程解的個數(shù)，函數(shù)零點個數(shù)問題，解題方法是數(shù)形結(jié)合思想，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象與直線，由它們交點個數(shù)得出結(jié)論．4．已知函數(shù)，當時，函數(shù)的零點的個數(shù)為________個；若在上有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為________．【試題來源】江蘇省蘇州中學20202021學年高二下學期3月月考【答案】1【解析】（1），，則令，則或，所以當或時，函數(shù)為增函數(shù)，當時，函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)在處取極大值，時取到極小值，因為，，所以在上只有一個零點，且為函數(shù)的唯一零點；令，則在上有且僅有兩個不同的零點，令即，顯然，所以，令，只要與的圖象在有且僅有個交點，，因為，所以當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，所以，即，可得所以．故答案為1；五、解答題1．已知函數(shù)，，．（1）若，證明：當時，；（2）討論在上零點的個數(shù)．【試題來源】2021年高考數(shù)學解答題挑戰(zhàn)滿分專項訓練（新高考地區(qū)專用）【答案】（1）證明見解析；（2）當時，在上有1個零點；當時，在上有2個零點．【分析】（1）作差，令，利用導數(shù)證明當，有即可；（2）對于，求出，對a討論，利用零點存在定理討論零點個數(shù)．【解析】（1）令，所以當時，，，所以．所以在上單調(diào)遞增．當，有，所以在上恒成立．（2）．所以，設(shè)，，①當時，因為，所以，而，所以，即恒成立，所以零點個數(shù)為1個．②當時，，所以在上遞增，而，所以，所以在上遞增，因為，所以是唯一零點，此時零點個數(shù)為1個．③當時，，所以在上遞增，而，，所以存在，有，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，而，，因為圖象是連續(xù)不間斷的，由零點存在性定理知，在上有唯一零點，因為也是零點，所以在上有2個零點．綜上：當時，在上有1個零點；當時，在上有2個零點．【名師點睛】（1）利用導數(shù)證明不等式的解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，解題關(guān)鍵是如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)；（2）研究函數(shù)零點(方程有根)的常用方法：①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；②分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；③數(shù)形結(jié)合法：研究單調(diào)性，利用零點存在定理判斷．2．已知在有零點．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：．【試題來源】中學生標準學術(shù)能力診斷性測試2021年3月測試（一卷）試卷【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）利用導數(shù)進行分類討論，結(jié)合零點的定義和函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可；（2）結(jié)合（1），構(gòu)建新函數(shù)利用導數(shù)進行證明即可．【解析】（1），①當時，在時恒成立，在上遞增，，不符合題意，②當時，，當時，；當時，，在上遞增，在上遞減，，當時，，滿足題意；③當時，在時恒成立，在上遞減，，不符合題意．綜上所述，的取值范圍是．（2）由（1）知，，要證明，只要證明設(shè)，，，，即另一方面：要證明，只要證明，即證明，即證，設(shè)，，則，所以當時，，即，所以成立．3．設(shè)函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．【試題來源】2021年高考數(shù)學解答題挑戰(zhàn)滿分專項訓練（新高考地區(qū)專用）【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值，無極大值；（2）證明見解析．【分析】（1）求函數(shù)導數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性即可得極值；（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為，由得，討論和時端點的函數(shù)值即可得證．【解析】（1），令得(舍負)，列表如下：0↘極小值↗綜上：的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值為，無極大值；（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為．因為存在零點，所以，從而．當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點．當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個零點．綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．4．已知函數(shù)，．（1）當時，證明：；（2）若在只有一個零點，求．【試題來源】2021年高考數(shù)學解答題挑戰(zhàn)滿分專項訓練（新高考地區(qū)專用）【答案】（1）證明見解析；（2）2【分析】（1）當時，，其定義域為，利用導函數(shù)可求得在上的單調(diào)性，進而可證明；（2）若或，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可證明函數(shù)