天津市河?xùn)|區(qū)第三十二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中試卷一?單選題1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D.2.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A.6B.5C.4D.3.若向量，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.4.已知雙曲線的上?下焦點(diǎn)分別為是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.5.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓在點(diǎn)處的切線方程為（）A.B.C.D.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（）A.B.C.D.7.已知雙曲線，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)給出下列結(jié)論：①的周期為；②時(shí)取最大值；③的最小值是；④在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；⑤把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖象.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)題（）A.①②B.①③C.①③④D.①②③9.已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上位于第二象限的點(diǎn).直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.二?填空題10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)__________.11.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)__________.12.若直線被圓截得線段的長為，則實(shí)數(shù)的值為__________.13.圓過點(diǎn)，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.14.如圖.在中，分別為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，且.若，則__________，若，則15.在邊長為2的菱形中，，若為的中點(diǎn)，則值為__________；若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，，則的最大值為__________.三?解答題16.中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，.（1）求和的值；（2）求的值.17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，求；（3）若，求.18.在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且為中點(diǎn)，在線段上，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到的距離.19.如圖，在三棱柱中，平面，已知，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.20.已知橢圓的左頂點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn).過點(diǎn)A作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的值.參考答案：題號(hào)123456789答案DCBCABCBA1.D【分析】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解出.【詳解】得到，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.2.C【分析】根據(jù)拋物線的定義求解.【詳解】由題意及拋物線定義，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為6，所以點(diǎn)到軸的距離為.故選：C.3.B【分析】按照投影向量的計(jì)算公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，則向量在向量上的投影向量為：.故選：B4.C【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由雙曲線的定義知，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半焦距為，則由題意可知，即，故，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.5.A【分析】首先求的值，然后求圓心坐標(biāo)，接著求圓心與點(diǎn)連線的斜率，最后求圓在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得：.即，所以，則圓的方程為.對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，所以此圓的圓心：根據(jù)斜率公式，這里，則.因?yàn)閳A的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.已知，所以切線的斜率.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程（這里），可得切線方程為.整理得.故選：A.6.B【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的奇偶性列關(guān)系式求.【詳解】由將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)為，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，所以，又，所以.故選：B.7.C【分析】根據(jù)雙曲線方程，把漸近線表示出來，推出兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用為正三角形，列方程解系數(shù)既可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，不妨取，為正三角形，由對(duì)稱性可知，直線的傾斜角為，則，解得，所以雙曲線的兩條漸近線方程為.故選：C8.B【分析】先由降冪公式與輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式?最值性質(zhì)?單調(diào)性，結(jié)合正弦型函數(shù)圖象變換性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?①因?yàn)?，所以①正確；②因?yàn)?，所以②錯(cuò)誤；③當(dāng)，即時(shí)，取最小值，且最小值是，所以③正確；④當(dāng)時(shí)，由知在區(qū)間內(nèi)并不單調(diào)，故④錯(cuò)誤；⑤把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)，故⑤錯(cuò)誤.故正確的是①③.故選：B.9.A【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線定義和勾股定理解得，計(jì)算出，再次在中利用勾股定理得，最后整理成關(guān)于的齊次方程計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，則，則，解得又因?yàn)?，則A為的中點(diǎn)，所以，則，在直角三角形中，，即，化簡得，將代入上式得，則，化簡得，兩邊同除得，解得或1（舍去），則.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分利用雙曲線定義和勾股定理表示出相關(guān)線段之間關(guān)鍵，最后轉(zhuǎn)化為齊次方程，解出即可.10.【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.11.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：12.【分析】求解圓心到直線的距離，結(jié)合圓的弦長公式求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，圓心到直線的距離.據(jù)題意，得，解得.故答案為：13.【分析】求出線段的中垂線方程，與直線的方程聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)及半徑即可得解.【詳解】線段的中點(diǎn)，直線的斜率為，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，則圓的圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14.；【分析】利用平面向量基本定理求解出及，進(jìn)而利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，則，所以，所以；因?yàn)?，所以，?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于注意到點(diǎn)是的重心，從而利用中位數(shù)定理得到，進(jìn)而利用平面向量的相關(guān)運(yùn)算即可得解.15.；【分析】以對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)求最值.【詳解】由題意，以交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系，因?yàn)榱庑芜呴L為，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)?，又，所以，，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取到最大值為.故答案為：16.（1）；（2）.【分析】（1）先利用平方關(guān)系求出，結(jié)合面積公式和已知可得，然后利用余弦定理可求，利用正弦定理可得的值；（2）先求解，利用倍角公式可得，結(jié)合和角公式可求的值.【詳解】（1）在中，由，可得，的面積為，可得：，可得.又，解得：或（舍去），，，，又，解得；所以；（2）由（1）知：，所以，所以，，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理求解三角形及三角求值問題，倍角公式及和角公式的熟練應(yīng)用是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).17.（1）（2）（3）【分析】（1）由正弦邊化角及三角恒等變換可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求；（2）由正弦角化邊及余弦定理列方程求；（3）由題設(shè)及（1）得，注意A為銳角，應(yīng)用倍角正余弦?差角正弦公式求目標(biāo)式的值.【詳解】（1）由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系得：（2，，顯然，則，又，故；（2）由，則，由①得：②，由①②得：；（3）由正弦定理得：，則，，即，則，故為銳角，，，.18.（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）構(gòu)造平面，由面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得線面平行；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，則，又平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，又平面，故平?（2）根據(jù)題意，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由條件可得，，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）可知，，所以點(diǎn)到的距離為.19.（1）證明見詳解；（2）；（3）存在，或.【分析】（1）證明即可判定線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系研究面面夾角即可；（3）利用空間向量研究線面角即可.【詳解】（1）底面中，已知，由余弦定理得，所以，又平面平面，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）可知三直線兩兩垂直，可以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面與平面的法向量分別為，則有，及，取，取，即，設(shè)平面與平面的夾角為，則；（3）假設(shè)存在，不妨設(shè)，由（2）可知，則，設(shè)與平面所成角為，則，解之得或，即存在符合題意，此時(shí)或.20.（1）（2）【分析】（1）依題意列方程組求解即可；（2）設(shè)直線的方