2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)（新高考）

考點(diǎn)鞏固卷11復(fù)數(shù)（五大考點(diǎn)）

考點(diǎn)01：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系

考點(diǎn)02:復(fù)數(shù)模及幾何意義

復(fù)數(shù)考點(diǎn)03:復(fù)數(shù)相等的充要條件

考點(diǎn)04:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算

考點(diǎn)05:在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

孱需力技巧及考點(diǎn)利心

考點(diǎn)01:復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系

復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系

按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)

平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng).

復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即

復(fù)數(shù)z=a+4＜復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a,b）

這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)

對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù).

設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a,6）表示復(fù)數(shù)2=。+4?（a,6eR）,向量反由點(diǎn)ZQ6）唯一確定;

反過來，點(diǎn)Z（a,多也可以由向量應(yīng)唯一確定.

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量應(yīng)所成的集合是一一對應(yīng)的，即

復(fù)數(shù)z=a+bi<一一對應(yīng)>平面向量0Z

1.當(dāng)1（后<2時(shí)，復(fù)數(shù)后（-2+i）+（4-i）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)參數(shù)范圍分別判斷實(shí)部和虛部范圍進(jìn)而判斷點(diǎn)的象限即可.

【詳解】因?yàn)閬V-2+i）+（4-i）=-2左+4+（左一l）i,且1〈左<2,

所以-2米+4>0,左一1>0,

則復(fù)數(shù)M-2+i）+（4-i）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)（-2左+4,左-1）位于第一象限.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)4=罟的實(shí)部為a0=i（2+i）的虛部為人則z=a+（6+l）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)

的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的除法得到4,從而得到實(shí)部。的值，由復(fù)數(shù)的乘法得到Z2,從而得到虛部

b的值，從而得到z,得到對應(yīng)的點(diǎn)，得到所在象限.

［詳解］二?二=l+2i,Z2=i（2+i）=-l+2i,所以q=l,6=2,所以z=l+3i,

1-11-11+1

其在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為（1,3）,位于第一象限.

故選：A.

3.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z（3+i）=3+i2024,其中i為虛數(shù)單位，則Z的共朝復(fù)數(shù)彳的虛部為（）

2.22i2

A.—1B.—C.—D.—

5555

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則化簡求出Z,再由共輾復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的概念，即可得到

所求.

【詳解】Vz（3+i）=3+i2024,i2020=（I2）1012=（-1）*=1,

2

??.z的共輾復(fù)數(shù)彳的虛部為w，

故選：D.

4.虛數(shù)z滿足z2+（3-i）z+2-i=0,則z的虛部為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得（。+2）（。+1）=6伍-1）①，6（2a+3）=a+l②，即可將選項(xiàng)中的

值代入驗(yàn)證.或者利用因式分解求解。

【詳解】解法一：設(shè)復(fù)數(shù)z="+6i,（a,6eR）,

貝!](a+6i)~+(3—i)(a+歷)+2—i=0,化簡得+3a+b+2)+(2ab+36—a—l)i=O,

/-+3a+6+2=0

即(Q+2)(Q+1)=b僅一1)①，6(2〃+3)=Q+1②

lab+3b-a-1=0

此時(shí)，對于選項(xiàng)中的值，代入：

若6=1,貝!]〃二一2,符合要求，

4

若b=-1,由②得。=-],但不符合①，故舍去，

若6=2,由②得。=-1，但不符合①，故舍去，

若b=-2,由②得。=-（，但不符合①，故舍去,

綜上可得6=1

故選：A

解法二：由z?+（3-i）z+2-i=0可得z2+3z+2=i（z+l）,

故（2+1）（2+2）=1（2+1）=＞（2+1）（2+2—。=0,故z=—1或z=—2+i,

由于z為虛數(shù)，故z=-2+i,

故虛部為1,

故選：A

5.復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2024-i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

2025.202520232023.

A.--------1B.---------C.------D.------1

2222

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z即可得復(fù)數(shù)z的虛部.

「平即、小.2024-i（2024-i）（l-i）2023-2025i20232025.

【詳解】由題z="T=（］+2--2—「---T，

故復(fù)數(shù)Z的虛部為-2等025.

故選：B.

6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4=1-&*2=-3+41對應(yīng)的向量為方,礪，其中。是原點(diǎn)，則下列說

法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)4的虛部為-2iB.復(fù)數(shù)I對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

C.當(dāng)。=-4時(shí)，復(fù)數(shù)a+z1為純虛數(shù)D.向量益對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-&

【答案】BC

【分析】選項(xiàng)A,利用復(fù)數(shù)的定義可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷出選

項(xiàng)B和D的正誤；選項(xiàng)C,利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可判斷出選項(xiàng)C的正誤.

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)?|=l-2i,所以復(fù)數(shù)4的虛部為一2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對于選項(xiàng)B,因?yàn)榭?1-萬，所以I=l+2i,故復(fù)數(shù)I對應(yīng)的點(diǎn)為（L2）,在第一象限，所以

選項(xiàng)B正確，

對于選項(xiàng)C,因?yàn)閦2=-3+4i,X?=-4,所以a+z2F=-4+（-3+4i）i3=-4+3i-4i2=3i,

故選項(xiàng)C正確,

對于選項(xiàng)D,因?yàn)榱?(1,-2),礪=(-3,4),所以次=礪-刀=(-4,6),

得到向量罰對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-4+6i,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：BC.

7.若復(fù)數(shù)Z滿足：Z(l-i)=i2025(其中i是虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為彳，則下列說法

正確的是()

111

A.z的虛部是一/B.z=+

C.\z\=—D.z-z=-

1122

【答案】CD

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可作出判斷.

［詳解］由Z(l—i)=i2°25=j得：Z=~*~=Ki：」

i十用于'rav'田1-i(l-i)(l+i)222

所以z的虛部是故A是錯(cuò)誤的；

由2=-；i,故B是錯(cuò)誤的；

由n=_'+1i=Jp+J，故C是正確的；

1122V442

由z-7=|z『=g,故D是正確的；

故選：CD.

8.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=ll+2i,則()

A.z的虛部為一4B.F=-3+4i

C.z+3為純虛數(shù)D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

【答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡復(fù)數(shù)為z=3-4i,結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

,.ll+2i(ll+2i)(l-2i)

【詳解】由復(fù)數(shù)(l+2i)z=ll+2i,可得z=J。+2。(：_邛=3_41,

對于A中，由z=3-4i的虛部為-4,所以A正確；

對于B中，由z=3-4i,可得］=3+4i，所以B不正確；

對于C中，由z=3-4i,可得z+3=6-4i不是純虛數(shù)，所以C錯(cuò)誤；

對于D中，由z=3-4i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z(3,-4)位于第四象限，所以D正確.

故選：AD.

9.若z=i3+i%貝ij()

A.|z|=2

B.的虛部為8

1i-8j

'1+z665

D.l-z，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

【答案】BC

【分析】根據(jù)化簡復(fù)數(shù)得z=l-i,即可由模長公式求解A,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方可得z6=8i,

根據(jù)虛部的概念即可求解B,根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解C,根據(jù)復(fù)數(shù)l-z6=l-8i對應(yīng)

的點(diǎn)為即可求解D.

【詳解】z=i3+i16=-i+(i4)4=l-i,故忖=&，A錯(cuò)誤.

66233

z=(1-i)=[(1-i)J=(-2i)=-8i=8i,B正確.

]_l-8i_l-8i

1+z6-(l+8i)(l-8i)-~65-*,正確，

l-z6=l-8i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(L-8)位于第四象限，D錯(cuò)誤.

故選：BC

z

10.復(fù)數(shù)z=3—4i,則丁一的虛部為.

【答案】-裝/22

【分析】由復(fù)數(shù)的除法化簡，再由復(fù)數(shù)虛部的定義得解.

z3-4i(3-4i)(2-i)211.H

【詳解】復(fù)數(shù)z=3-4i,則；==，：=丁W1,此復(fù)數(shù)的虛部為—三.

2+12+1(2+i)(2-i)555

故答案為：——

考點(diǎn)02:復(fù)數(shù)模及幾何意義

|復(fù)數(shù)z=a+初一一』L-＞復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)

復(fù)數(shù)z=a+加^平面向量反

11.已知復(fù)數(shù)z=aS+l)-“i(aeR),則下列選項(xiàng)正確的是().

A.若z為純虛數(shù)，則a=0或-1

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則ae(T,O)

C.若a=2,貝旭=2退

D.若a=-2,貝!j彳=2-2i

【答案】BD

【分析】根據(jù)純虛數(shù)特征求參判斷A選項(xiàng)；根據(jù)復(fù)數(shù)的象限判斷實(shí)部虛部范圍解不等式判

斷B選項(xiàng)，應(yīng)用模長公式計(jì)算判斷C選項(xiàng)，應(yīng)用共輾復(fù)數(shù)判斷D選項(xiàng).

【詳解】若z為純虛數(shù)，貝I八)，所以〃=-1,故A不正確；

[awO

若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則+所以ae(-l,o),故B正確；

[-a>0

若a=2,則z=6-2i,所以忖=:6?+(-2)2=2麗,故C不正確；

若。=-2,則z=2+2i,所以彳=2-2i,故D正確.

故選：BD.

12.已知復(fù)數(shù)z】=-2+ai,z?=a-4i(aeR),則下列說法正確的是()

A.㈤B.存在實(shí)數(shù)。，使得ZK為實(shí)數(shù)

C.若4+z?為純虛數(shù)，貝!]a=2D.(zl+z2f-\zt+z2|-

【答案】AC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長計(jì)算判斷A選項(xiàng)，應(yīng)用實(shí)數(shù)和純虛數(shù)定義判斷B,C選項(xiàng)，根據(jù)模

長及乘方運(yùn)算判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)棰?J(-2)2+/=+4,憶|=J(-4)2+。2=J/+16,所以匕1vz21，A正確；

2222

因?yàn)槠?=(-2+a-i)(a-4i)=-2a+8i+ai-4oi=2a+(a+8)i,a=-8無實(shí)數(shù)解,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

因?yàn)閆+z2=a-2+a-4i為純虛數(shù)，貝并即。=2,C選項(xiàng)正確；

一[a—4w0

當(dāng)a=0時(shí),馬=-2,Z2=一4i/[+z2=-2-4i,

貝lj(4+Z2『=4+16i-16=-12+16i/Zi+Z2:=^(-2)2+(-4)2=20,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

13.已知Zi,z^eC,且復(fù)平面內(nèi)Z1對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則下面說法正確的有()

人?司里

B.若奪2=0,則Z],z?中至少有1個(gè)是0

C.滿足1+2i|42的點(diǎn)Z形成的圖形的面積為2兀

D.若,|=1,則z；+4+3的最小值為1

【答案】ABD

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)Z]=〃+bi,Z2=c+diM,Ac,d￡R),對于A,分別計(jì)算二，五即可；對于

Z24

[ac-bd=0.

B,根據(jù)2逐2=0可得<八即可判斷；對于C,由IZ]-1+2i區(qū)2可得(〃—1)+(b+2)<4

[act+bc=O

即可判斷；對于D,由匕|=1得/+b2=i,并計(jì)算z；+二+3=-4/+5即可計(jì)算最小值.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)Z]=a+bi,Z2=c+4i,(a,b,c,deR),

4_a-bi_(a—bi)(c-di)_ac-bd-{ad+bc)i

對于A,z=a-bi則

{f22

z2c+di(c+di)(c-di)c+d

Ifac-bd^~(-ad-beY_^(ac-bd)++be)_'a2+1

所以五vU2+t/2Jc2+d2Jc2+d2ylc2+d2

Z2

故A正確;

對于B,若2逐2=(Q+歷)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i=0,

[ac-bd=0[ac=bd

貝叫…八，即<J八，貝!或。加2=—h建，

[aa+bc=O[aa=-be

則。=6=0或c=d=0,則z-Z2中至少有1個(gè)是0,故B正確;

對于C,IZ]-1+2i|=|°-1+3+2)i|=J("l)2+3+2)2<2,

所以(0-1)2+(6+2)244,所以點(diǎn)Z形成的圖形面積為4兀，故C錯(cuò)誤;

對于D,因?yàn)閨句|=1,所以a2+〃=i,

且z；=(a+歷了=a2-b2+2abi,

所以z；-l——+3=“2—/+2abiH----------F3

加“iz；a2-b2+2abi

a2-b2-2abi

=a~-b~+2abi++3

(a2-b2+2abi)(a2-b2-2abi)

=a2-b2+2abi+L”2a4,+3=2(a2-Z>2)+3

(a2-b2)2+4a2b2

=-4b2+5,且0V6V1

所以-4/+521,

1

所以47+二+3最小值為1,故D正確.

故選：ABD.

14.已知復(fù)數(shù)2=正些，貝IJ（）

2-V2i

A.Z的實(shí)部為X22

B.z的虛部為一§

6

c*4

D.亍在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

【答案】AC

【分析】復(fù)數(shù)除法化簡的z,再根據(jù)復(fù)數(shù)Z的實(shí)部、虛部、模和共輾復(fù)數(shù)的幾何意義判斷各

個(gè)選項(xiàng);

（應(yīng)+i）（2+0i）正

所以的實(shí)部為"，虛部為故

【詳解】由題意得z=^~法—廿=?+1i,zA

（2-V2i）（2+V2i）6363

正確B錯(cuò)誤;

rvi2

，彳在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)--位于第四象限.故C正確D錯(cuò)

6

故選：AC.

15.已知復(fù)數(shù)則下列命題中正確的是（）

A.若㈤="|,則Z2=±Z]

B.Zj,z2=Zj,z2

C.若Z?=Z],則㈤=團(tuán)

D.若[Z]+Z2|=匕「Z2I，則2涇=0

【答案】BC

【分析】舉反例排除AD,設(shè)4=。+及/2=。+力(。也0/€區(qū))，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求

模長的公式判斷BC,從而得解.

【詳解】A選項(xiàng)，令句=1/2=/則團(tuán)=%|=1,但不滿足Z2=±Z],A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，=a+b\,z2=c+d\{a,b,c,deR),貝Ij4,Z2=(ac-6d)+(ad+6c)i,

z；-z2=(ac-bd)-(ad+6c)i,Z].z?=(a-6i)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc^i,:.z{-z2=zx-z2,B

正確；

C選項(xiàng),設(shè)％=a+歷(a,6eR),則z?=a-6i,則R=㈤=J'+從,㈤=㈤,C正確；

D選項(xiàng)，令4=1/2=i,則卜+22|=卜-22|=3,但不滿足2必2=0,口錯(cuò)誤.

故選：BC.

16.已知z是復(fù)數(shù)，I是其共軌復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是()

A.z2=|z|2

B.若z=(l-2i『，則復(fù)平面內(nèi)1對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.若0=1,則的最大值為忘+1

D.若l-3i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0MqeR)的一個(gè)根，貝l]q=10

【答案】BCD

【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式計(jì)算判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；求出復(fù)數(shù)I判斷

C；利用復(fù)數(shù)相等求出9判斷D.

【詳解】對于A,設(shè)z="+〃(“,6eR),則|z『=q2+//2=g+6i『+2々歷，誹「,

A錯(cuò)誤；

對于B,z=(l-2i)2=-3-4i,z=-3+4i,則復(fù)平面內(nèi)I對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B正確；

對于C,由目=1知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，可看

作該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)的距離，則距離最大值為亞+1，c正確；

對于D,依題意，(1-3i)2+2(1-3i)+q=0,整理得(夕+q_8)+<-3p_6)i=0,

[p+q-8=0

而°,qeR,因此〈,解得p=-2,q=10,D正確.

[-3p-6=0

故選：BCD

17.若復(fù)數(shù)4芻是方程/-2》+5=0的兩根，則()

A.Z]/2虛部不同B.ZI/2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對

稱

C.1^1=75D.與旦在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象

限

【答案】ABC

【分析】利用一元二次方程的虛根是共輾，并加以計(jì)算，就可以判斷各選項(xiàng).

2+4i

【詳解】由方程J?-2X+5=0的求根公式可得：z1=—=l+2i,z2=l-2i,

故A正確；

由4/2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,2),(1,-2),顯然關(guān)于實(shí)軸對稱，故B正確；

由㈤=|1+2R=指，故C正確；

z,+z,22(2+i)4+2i42.

由于一=丁=￡它對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故D錯(cuò)誤；

2-12-1+555

故選：ABC.

18.已知復(fù)數(shù)Ze滿足|z|-4i|=|z「5i|,卜2T+2i|=2(i為虛數(shù)單位)，三,三是方程

2Y+3"+/_a=o(aeR)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，則下列結(jié)論正確的是()

A.區(qū)-司的最小值為gB.匕2-旬的最小值為4

C.當(dāng)0<a<1時(shí)，則H+民|=互箸D.當(dāng)-8<°<0時(shí)，則圖+網(wǎng)=12(/_冷

【答案】AD

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面內(nèi)畫出點(diǎn)Z-Z?的軌跡方程，可判斷AB選項(xiàng)；

復(fù)數(shù)范圍解一元二次方程，討論判別式△>0,A<0分別求解，用根與系數(shù)的關(guān)系化簡求值,

在去掉絕對值號(hào)時(shí)又需進(jìn)一步對a的取值進(jìn)行分類討論，進(jìn)而可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】設(shè)在復(fù)平面內(nèi)4,z2的對應(yīng)點(diǎn)分別為4(4必),心優(yōu),％),

由|z「4i|=憶一5i|得必=|,所以Z1在直線V=|上.

由"-l+2i|=2得每一1)2+(%+2)2=4,所以Z?在圓尸:(x-l)2+(y+2)2=4上.

如圖所示：

II9—

對于A："-即表示復(fù)平面內(nèi)圓P上的點(diǎn)Z2到直線了=-5上點(diǎn)Z1的距離，

所以的最小值為-4-13=；,故A正確；

9

對于B：忤一句|表示復(fù)平面內(nèi)圓尸上的點(diǎn)Z?到直線y=］上點(diǎn)Z］的距離，

QQ

所以"-zj的最小值為:-0=',故B錯(cuò)誤；

對于CD：因?yàn)橛?，馬是方程2—+3辦+〃—Q=o(tzGR)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根,

*23Qa2-a

丹以再

1+x2=-,Xj-x2=---.

若4=9/_8/+8〃20,即〃20或。4一8,此時(shí)XJ/ER，

“2—Q)+(Q3

???當(dāng)Q21或4V—8時(shí)，|xj+|x|=-Q

22

當(dāng)0<〃<1時(shí)，歸|+民|=，故C錯(cuò)誤;

若A=9Q2_8Q2+8Q<0,即—8<Q<0,止匕時(shí)，玉為一對共物虛根,

a1-a,故D正確.

故選：AD.

19.已知復(fù)數(shù)4=3-2i,(l+i)-z2=l-3i,則()

A.z2=-l-2iB.z「2z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象

限

C.|z,+Z2|=2|Z2|D.zz為純虛數(shù)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可得Z2=T-2i,即可判斷A,根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算以及幾何意

義可判斷B,根據(jù)模長公式可判斷C,根據(jù)乘法運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)定義可判斷D.

,、(l-3i)(l-i)-2-4i

【詳解】(1+1)<2=1-31=2?=■---=一1一21,故A正確，

U+1JU-1)2

Z1-2z2=3-2i-2(-l-2i)=5+2i,對應(yīng)的點(diǎn)為(5,2),故B正確，

22

zt+z2=2-4i,;.|zl+z2|=商+(-4)2=2y[5,2\z2\=2^(-1)+(-2)=2#>,故卜+z2|=2|z2|,

C正確，

2

z1-z2=(3-2i)(-l-2i)=-3-6i+2i+4i=-7-4i,不為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤，

故選：ABC

20.設(shè)句，Z2為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是().

A.|zj=zfB.|ziz2|=|zi||z2|

C.若Z]=Zz，則㈤=㈤D.若Zi+Z?是實(shí)數(shù)，則Z]-Z2為純虛數(shù)

【答案】BC

【分析】對于AD：舉反例說明即可；對于B：根據(jù)乘法運(yùn)算結(jié)合模長公式分析判斷；對于

C：根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義結(jié)合模長公式分析判斷.

【詳解】設(shè)Z]=a+6i,z2=c+di,a,b,c,deR,

對于選項(xiàng)A：例如4=-i,貝值『=1廳=一1,兩者不相等，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)榭?=(a+歷)(c+di)=(ac-6d)+(ad+6c)i,且閡=十七，㈤=+屋,

則I"?|二｛(ac-bd)。+(ad+)c)2=y/a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=^a2+^2)(c2+^2)，

即上匐=|前Z2I，故B正確；

對于選項(xiàng)C：若Z2=z=a-bi,則閡=J.。+62,%|=Ja?+(-by=<6+b。,

所以故C正確；

對于選項(xiàng)D：例如Z|=Zz=l是實(shí)數(shù)，則Z|-Z2=0也為實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

考點(diǎn)03:復(fù)數(shù)相等的充要條件

復(fù)數(shù)相等的充要條件

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)

數(shù)相等.即：

\a=c

如果仇c,deR,那么a+質(zhì)=c+成=〈

[b=d

特另！]地：a+bi=0<^>a=b=0.

(1)一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.

根據(jù)復(fù)數(shù)。+歷與c+由相等的定義，可知在a=c,6=d兩式中，只要有一個(gè)不成立，

那么就有a+bi^c+di(a9b,c,deR).

(2)一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就

可以比較大??；也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小.

21.設(shè)z=a+6i,其中a,6eR,若i(a+i)=b-2i,則彳=()

A.-1-2.1B.-l+2iC.-2-iD.-2+i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，再根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的的形式，即可求解.

【詳解】因?yàn)閕(a+i)=b—2i,所以一l+ai=b-2i,所以。=一2,6=-1,

所以z=—2—i,故亍=—2+i.

故選：D

22.設(shè)(a+2i)i=b—3i(a/￡R),其中i為虛數(shù)單位，則〃+6=()

A.-5B.-1C.1D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求解即得.

【詳解】由（a+2i）i=6-3i,得一2+ai=b-3i,而a,6eR,因此a=-3,6=-2,

所以a+6=-5.

故選：A

23.已知復(fù)數(shù)Z],Z?的模長為1,且Zi+Z2="2，則w+z?的值是（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】A

【分析】設(shè)句="+歷(a,6eR),z?=c+di(c,deR),分別計(jì)算完,Z[，Z[Z]，Z[Z[，111

Z1+z2=z/2可得一=H—==1,即可求得〃+c=l,b+d=0,即可求解Z1+Z2.

Z2Z2Z\Z\

【詳解】設(shè)Zi=a+bi(a,beR),z2=c+di^c^deR),

貝|JZi二Q-bi,z2=c-di,

所以Z4=(a+bi)(a-bi)=/+Z)2=1,

z2z2=(c+di)(c-di)=/+/=1，

22

因?yàn)樨癑=+小=1,|z2|=yjc+d=1,所以/+/二],02+/=],

11GW

因?yàn)閆1+Z2=2/2，所以一+—="所以一=+上=1,

Z2Z1Z2Z244

即Zi+Z2=1,所以a_6i+c_di=(a+c)_(b+d)i=l,

所以Q+C=1,b+d=0,

所以Z]+Z2=a+bi+c+di=(Q+c)+(b+d)i=l.

故選：A.

24.已知復(fù)數(shù)句=加+(4-加2)i/2=2cos6+(X+3sine)i,(m,4ewR),且4=z2,則幾的取

值范圍是()

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)相等可得和三角函數(shù)的平方關(guān)系可得2=Jsin。-2,再根據(jù)正弦

I8J16

函數(shù)的取值范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)可得2的取值范圍.

【詳解】復(fù)數(shù)馬=機(jī)+(4-加2)i/2=2cos6+(4+3sine)i,(加M&cR),且弓=z2,

[m=2cos^..(9

所以cc.八，貝！)X=4—4cos<9—3sine=4sin6—3sine=4sin。——---

[4一加2z=X+3sin<918j16

3Q

因?yàn)?eR,所以sin。e[-1,1],當(dāng)sine=j時(shí)，4nm=一2，當(dāng)4=T時(shí)，4mx=7

o16

E「91

所以2的取值范圍是-;7,7.

_16_

故選：B.

25.已知下列命題正確的是()

A.卜/=(zj2

B?目母

C.若40=0,則z”Z2至少有1個(gè)為0

D.若4/2是兩個(gè)虛數(shù)，Z1+z2eR,zrz2eR,則為/?為共軌復(fù)數(shù)

【答案】BCD

【分析】對于A：舉反例說明即可；對于B：根據(jù)除法運(yùn)算結(jié)合共軌復(fù)數(shù)概念分析判斷；對

于C：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法結(jié)合復(fù)數(shù)相等分析判斷；對于D：根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)

概念分析判斷.

[詳解】z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dGR,

對于選項(xiàng)A：例如4=i,則匕『=i,(zj2=_1,

顯然匕/w(zj2,故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)閆2WO,

4_a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbc-ad.

2222

人z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d'

ac+bdbe-ad.

—;-------z-l

c2+d2c+d

又因?yàn)閆]=。一加/2=。-di,

可得2=a-b\_+_ac+bdbe-ad.

2222

Z2c-di(c-di)(c+di)c+dc+d

所以[2]=2,故B正確;

VZ1)Z2

對于選項(xiàng)C：因?yàn)閆]-z?=(a+bi)(c+di)=(ac-6d)+(ad+6c)i=0,

\ac-bd=0

可得，,解得a=b=O或c=d=O,

\aa+be=n0

即向=0或Z2=0,所以Z”Z2至少有1個(gè)為0,故C正確；

對于選項(xiàng)D：若az?是兩個(gè)虛數(shù)，貝那20,"/0,

因?yàn)閆]+z2=(a+c)+(6+d)ieR,則6+d=0,即6=-",

又因?yàn)閆],Z2=(a+Z?i)(c+tZi)=(ac-M)+(atZ+6c)ieR,

則ad+6c=0,即ad-de=0,可得a=c,

所以Z|=c-di=W，即Z|/2為共軌復(fù)數(shù)，故D正確；

故選：BCD.

26.若z=r-2k+ki(keR),則下列結(jié)論正確的是()

A.若，為實(shí)數(shù)，則上=0

B.若zi=l+3i,貝!|左=3

C.若z+T=-2,則|2|=也

D.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，貝蛛＞3

【答案】AC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、共輾復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)的乘除法

運(yùn)算逐個(gè)選項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】若z為實(shí)數(shù)，則虛部為0,即左=0,故A正確；

會(huì).一才mu1+篁(1+汕&?

右21=1+31,則z=^—=——=3-1,

11

［k2-2k=3

則7?，解得左=-1,故B錯(cuò)誤；

［左=一1

若z+7=-2,貝！］2仰一2」)=一2,解得左=1,

則z=-1+i,|z|=Jl+1=^2，故C正確；

若Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則一產(chǎn)＞。,

［左〉0

解得上＞2,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

27.已知i是虛數(shù)單位，則下列說法正確的有()

A.a+i(aeR)是關(guān)于x的方程/-4x+5=0的一個(gè)根，貝！!。=3

B.“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi(a,b^R)是純虛數(shù)”的必要不充分條件

C.若復(fù)數(shù)z=a+i(aeR),且同=2,貝卜=6

D.若復(fù)數(shù)z滿足2z+W=3-2i,則復(fù)數(shù)的虛部為-2

【答案】BD

【分析】將“+i代入方程，化簡后利用復(fù)數(shù)相等列式求解即可判斷A；根據(jù)純虛數(shù)的定義

及充分性和必要性得定義即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算求出。，即可判斷C；設(shè)復(fù)數(shù)

z=a+歷(a,6eA),根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的條件即可求出復(fù)數(shù)z,即可判斷D.

【詳解】對于A,因?yàn)閍+i(aeR)是關(guān)于x的方程/-以+5=0的一個(gè)根，所以

(a+i)~-4(a+i)+5=0,

2、［a—2=0

即(0-2)一+(2。-4?=0,所以.「八，解得。=2,故A錯(cuò)誤；

對于B,當(dāng)。=0時(shí)，若6=0,復(fù)數(shù)a+bi=0是實(shí)數(shù)，不是虛數(shù)，更不是純虛數(shù)，故充分性

不成立；

當(dāng)。+歷(a,6eR)是純虛數(shù)，貝1］。=0且640,故必要性成立，故B正確；

對于C,若復(fù)數(shù)z=a+i(aeR),則忖=病11=2,解得"土百，故C錯(cuò)誤；

對于D,設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6eR),則2z+1=2a+2歷+"歷=3a+歷=3-2i,

所以。=1]=_2,故2=1一2i,所以復(fù)數(shù)的虛部為-2,故D正確.

故選：BD.

28.設(shè)加eR,i為虛數(shù)單位.若集合/={1,2機(jī)+(m-l)i},8={0,1,2},且N=8,則m=

【答案】1

【分析】根據(jù)題意，利用集合的包含關(guān)系，列出方程組，即可求解.

【詳解】由集合/={1,2機(jī)+(機(jī)B={0,1,2},因?yàn)镹gB,

f2/rz—0

當(dāng)2加+(加-l)i=0時(shí)，此時(shí)方程組無解；

m-1=0

127^/=2

當(dāng)2加+(m-l)i=2時(shí)，此時(shí)《,解得機(jī)=1,

m-1=0

綜上可得，實(shí)數(shù)加的值為1.

故答案為：1.

2

29.已知aeR,且ai+——=1,則。=_____.

a+i

【答案】1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算和相等復(fù)數(shù)建立關(guān)于a的方程，解之即可.

.、“5、.2.2(a-i),2a-2i2Q/2Y

【詳解】-+—=-+(—

a1a1+\)

la_

2]

所以,+1,解得。=1.

故答案為：1

30.已知復(fù)數(shù)4/2滿足Z1+2,=3-i,|z2-z"=l,則--例的最大值為____.

【答案】V2+1/1+V2

【分析】設(shè)出句的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等求出4,再借助復(fù)數(shù)的幾何意義求解即得.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)W=a+bi,a,6eR,由4+2[=3-i,得a+歷+2(。一歷)=3-i,

整理得3〃一歷=3-i,于是3a=3,-6=-1,即〃=1,6=1,%=1+1

由匕-句|=1,得復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)22的對應(yīng)點(diǎn)在以表示復(fù)數(shù)4的對應(yīng)點(diǎn)(1,1)為圓心，1為

半徑的圓上，

￡-川表示這個(gè)圓上的點(diǎn)到表示復(fù)數(shù)2i的對應(yīng)點(diǎn)(0.2)的距離,

距離的最大值是7(1-0)2+(1-2)2+1=0+1.

故答案為：V2+1

考點(diǎn)04:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算

設(shè)Z1=a+bi,z2=c+diQa,b,c,deR),我們規(guī)定：

-z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i

z,a+bi(Q+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.

------------------^=^3-------1-------I

2222

z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

(D兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把『換成-1,并且把實(shí)部

與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).

(2)在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以

分母的共朝復(fù)數(shù)(分母實(shí)數(shù)化)，化簡后寫成代數(shù)形式.

31.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=M的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)。的值為()

2-1

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

/7—i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得z=F—的實(shí)部和虛部，解方程即可求得答案.

2-1

r,辛初y小旦而音市徂a_i_(q―i)(2+i)_2u+l+(q2)i,

2-i5

2a+1ci—2

故,解得a=—3,

55

故選：A

2-mi

32.已知=i，m,n￡R),則%=)

l+〃in

1

A.B.C.2D.-2

【答案】A

2—mi

【分析】將"%=i化為2-加i=i(l+〃i),根據(jù)復(fù)數(shù)的相等，求得加=T,〃=-2,求得答案.

1+m

2—mi

【詳解】由下「可得2-〃“川+啕,

BP2-mi=-?+i,故加=-1,〃=一2,

故選：A

33.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=M（aeR）的實(shí)部是虛部的2倍，則。=（

A.—B.-C.—D.；

3322

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，由題意列式，求得答案.

+-i）_Q+11-a.+lgI—。

【詳解】（i+i）（i-i）~~r+^rx所以=,

解得"g,

故選：B.

34.已知i是復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位，且丁=a+歷（a,6eR）,則。+6的值為.

【答案】-5

3-2i

【分析】計(jì)算出乙一，從而求出。，6以及6的值.

1

【詳解】因?yàn)槿?（3-2仇3i+2

-1

所以〃=—2,b=—3,

所以Q+b=—5,

故答案為：-5.

35.已知復(fù)數(shù)4=2+ai（aeR）,Z2=3+i，如果a為純虛數(shù)，那么。=

Z2

【答案】-6

【分析】根據(jù)丸為純虛數(shù)，進(jìn)行化簡，使實(shí)部為0,求出a即可.

Z2

【詳解】解:由題知Z]=2+ai,Z2=3+i,

Z12+qi（2+qi）（3—i）6+q+（3q—2）i

3+i-（3+i）（3-i）-

???4■為純虛數(shù)，

Z2

..6+tz=0,

a=-6.

故答案為:-6