廣東深圳某中學2025屆高三年級上冊第一次診斷測試數(shù)學試題+答案

深圳市高級中學2025屆高三第一次診斷考試

、、九

數(shù)學

（本試卷共3頁，19小題，滿分150分。考試用時120分鐘。）2024.10

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

1.已知集合。={-2,-1,0,1,2,3},A={1,2},B={-1,0,1},則1（AU3）=（）

A.{-2,3}B.{-2,2,3}

C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

2.e1,是平面內(nèi)不共線兩向量，已知48=,-左02，CB=2ex+e2,CD=3e1-e2,若A,B,D三

點共線，則上的值是（）

A.-2B.2C.-3D.3

S(~y

3.若a是第三象限角，且sin(a+/?)cos/?-cos(a+/?)sin〃=一百，則tan,的值為()

4.已知函數(shù)的定義域為[―2,2],則函數(shù)=的定義域為（）

A.[-1,3]B.[-3,1]C.[-l,0）U（0,3]D.[-3,0）U（0,1]

5.已知函數(shù)=一〃九一3+4）在[1,+co）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.（—oo,—1]B.（—oo,—1）C.（—oo,2]D.（2,+oo）

6.已知平面向量弓和弓滿足同=2同=2,弓在[上的投影向量為則[在口上的投影向量為

（）

1-11--

A.—e,B.—C.—D.-e、

222422

7.已知關(guān)于x不等式』-2）（以+"?0的解集為（―叫—2]U（1,2],貝卜）

A.c=2

B.點（。,。）在第二象限

C.y=ax?+歷:一2a的最大值為3。

D.關(guān)于x的不等式。好+以一》20的解集為[—2,1]

8.已知?！?,不，%分別是函數(shù)〃x)=xex—a與g(x)=—U廿—a的零點，則一^的最大值為

()

248

A.2B.——C.—-D.——

eee

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.在△ABC中，角A,B,C所對應的邊分別是a,b,c,下列結(jié)論一定成立的有().

A.sin(A+B)=sinC

B.若A>B,則sinA>sinB

C.若aABC為銳角三角形，則siYA+siYBvsiYc

D.若上彳則△ABC是等邊三角形

AnC

COS——cos——cos——

222

10.已知復數(shù)Z1,z2,下列說法正確的是()

A.Zj+z2=Zj+z2B.若Z1-z2>0,貝。Z1〉z2

C.|z1-z2|=|z1|-|z2|D.若z；<0,則Z］為純虛數(shù)

11.若定義在R上的函數(shù)g(x)滿足++—x)=0,〃x+3)+g(x)=2,

〃x)+g(l-x)=2,則下列結(jié)論中正確的是()

A.〃x)是偶函數(shù)B.g(x)是周期為4的周期函數(shù)

20

C./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0D.25)=30

n=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.函數(shù)/'(x)=ar+i—2(?！?且。Hl)恒過定點尸，則點P的坐標為.

13.若曲線y=e'+"過坐標原點的切線與圓(x—iy+(y+l)2=2相切，則實數(shù)。=.

14.已知3〃=2+3",則2a—6的最小值為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.設函數(shù)〃x)=V^sin2x+cos2x,xeR.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期及對稱軸方程;

⑵若/⑻=|,求cos11—的值.

16.設/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x〉0時，/(x)=4v+5\

(1)求函數(shù)/(x)在R上的解析式；

(2)解關(guān)于尤的不等式/(x)〉2x3、.

17.已知函數(shù)/(x)=e"-2ax,aeR.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對于任意的x>0,都有恒成立，求°的取值范圍.

18.已知在△ABC中，滿足asirLB-G6cosBcosC=Gccos23(其中a,b,c分別是角A,B,C的對

邊).

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若角2的平分線8。長為1,且。c=2,求△ABC外接圓的面積；

(3)若△ABC為銳角三角形，c=l,求a+匕的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(%)=1皿+旦—l(aeR),且x軸是曲線y=/(x)的切線.

(1)求八％)的最小值；

(2)證明：--——I——-——I----F—<ln2(neN；

n+1n+2In')

(3)設廠(x)u5—lnx-時[1)加>2),/(1)二/(〃)(〃〉1),證明：對任意元￡(1,〃],

(m-l)lnx>x-1.

深圳市高級中學2025屆高三第一次診斷考試答案

1-8ABADBCDC

9-11ABDACDABC

12-14(1,-1)-1310g32

【詳解】

8.由題意可知XR國一a=—四一a=0,則再1|=—生”=。，

11\1]In—1n_v

即天爐=—In—=In—e迎，又％〉0,——-=t?>0

九2%2l尤2J元2

所以一In%2〉。，則以2>>0.設/z(x)=〉0),則/z'(x)=(l+x)e"〉0,

所以力(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，所以玉=ln‘，則e』=’，所以％^二1，

2,_2

設9(x)=：(x〉0),則d(x)=%/，

ee

當0<x<2時，e'(x)〉0,當x〉2時，d(x)<0,

所以°(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

4V24

則9(x)=9⑵=三，所以的最大值為之.故選：c.

—max八)e2/ee2

11.因為/(x)+g(l—x)=2,所以/(l-x)+g(x)=2.

又因為〃x+3)+g(x)=2,所以/(x+3)=/(1-x).

又/(l+x)+/(l-x)=0,則/(l+x)+/(x+3)=0,

即〃x+2)=—〃x),所以〃x+4)=〃x),故/(x)是周期為4的周期函數(shù).

因為〃x+3)+g(x)=2,所以g(x)也是周期為4的周期函數(shù)，選項B正確；

因為++—x)=0,則〃x+2)=—〃一x),則—"x)=—/(—x),

所以〃T)=/(X)，所以/(x)為偶函數(shù)，選項A正確；

因為〃x+2)=_〃x),令x=l,得〃3)=_〃1),即/⑴+〃3)=0,

令x=2,得/(4)=一/(2),即/(2)+/(4)=0,

故/0)+/(2)+/(3)+/(4)=0,選項C正確；

由g(x)=2-/(x+3),

得g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=[2—〃4)]+[2—〃5)]+[2一/⑹]+[2—〃7)]

20

所以Z?(")=5x[g⑴+g(2)+g⑶+g(4)]=40,選項D錯誤.

n=l

故選：ABC.

14.法一：令1=3"=2+3”,t>2,則〃=log3%,b=logs(1—2),

2a-b=210g3%-log3?-2)=log3

：.m=~,t>2,貝―2)+4?―2)+4=2)+4+422“/_2)><±+4=8,

t-2t-2')t-2V)t-2

4

當且僅當/—2=——，即/=4時等號成立，

t-2

t2

log3---->log38，即2a->log38=310g32.

t—2

法二：32fl=4+32Z?+4x3\所以32"一"=4x3-"+3”+428,

因此2〃-b=3k)g32.

jrKT?4

15.(1)T=n,/(x)的對稱軸％=—+—,keZ(2)-

625

【詳解】(1)/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin^2x+^,則/(x)的最小正周期T=/=兀，

2x+^=^+kn,左eZ,解得》=6+當，左eZ,即/(x)的對稱軸x=^+當，keZ.

(2)/(^)=2sin|2^+-|=-,解得si[26+工]=±

.吟4

cos[^--2^1=cosT=sm20+—=—

I6j5

4Y+5\x>0

16.(1)/(x)=<0,x=0(2)(0,+oo)

-(4-x+5一)％<0

【詳解】(1)當x〉0時，f(x)=4x+5x,

當x<0時，-x〉0,所以/(-x)=+5-*,

因為〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(-x)=-/(x)，

當x=0時，有/(—o)=-/(o),從而/(0)=0,

4'+5A,x>0

所以/(x)=<0,x=0.

-(4-'+5"r),x<0

(2)由(1)知，當x<0時，因為4-*〉0,5-*〉0,所以一(47+5-工)<0,

當x=0,/(0)=0,所以當xWO時，/(x)<0,

而當xKO時，2'3工〉0,所以不等式〃x)〉2x33在(—oo,0］上無解；

當x〉0時，不等式〃》)〉2*33為4'+5'〉2*3,所以(8>2.

記函數(shù)g(尤)=%>0,

因為g,|e(l,+oo),所以函數(shù)y=7=均為R上的單調(diào)增函數(shù),

所以函數(shù)g(x)=[￡|+[]為R上的單調(diào)增函數(shù).

又8(。)=0"+圖°=1+1=2,

所以當x〉0時，不等式[g[〉2的解集為(O,+s).

從而關(guān)于x的不等式/(x)>2x33的解集為(O,+s).

17.(1)當。W0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R,無單調(diào)遞減區(qū)間；

當a〉0時，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1―oo,glna],單調(diào)遞增區(qū)間為[glna,+oo

(2)ae(-℃,1]

【詳解】(1)對/(x)=e2「2ax求導，可得尸(x)=Ze?，-2a,

令r(x)=0,即Ze?"2a=0,即e2一。，

當〃<0時，/'(x)〉0恒成立，/(%)在R上單調(diào)遞增；

當?！?時，e2r=a,2x=Ina,x=—lna,

2

當無<；lnq時，/r(x)<0,/(x)在1—8,glna］上單調(diào)遞減；

當x〉fna時，/'(x)>0，/(x)在］glnQ,+oo］上單調(diào)遞增；

綜上，當。<0時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為R,無單調(diào)遞減區(qū)間；

當a〉0時，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1—00,gin］,單調(diào)遞增區(qū)間為［glna,+oo；

(2)因為對于任意的x〉0,都有恒成立，

對/(x)=e2x—2ox求導，可得/'(x)=2e2、—2a,

/'(x)=0,即Ze?*—2a=0,即e?”'。，

①當oKO時，/(x)〉0,則在(0,+⑹單調(diào)遞增，/(%)>/(0)=1,符合題意;

②當0<。41時，e2'=a,則x=，lnaV0,

2

則/(x)〉0，/(X)在(o,+8)單調(diào)遞增，/(%)>/(o)=l,符合題意;

③當?！?時，e2'=a,則》=！111<7〉0,

2

當xe〔O,glna1時，/'(x)<0,貝U/(x)在［o,glna］單調(diào)遞減，

當xe1；lna,+co］時，/'(x)〉0,則/(x)在［glna,+oo］單調(diào)遞增，

所以/(x)2=e!nfl-2tz=a-a\na,

令g(a)=a-olna,a>l,則g'(a)=-Ina<0,

所以g(a)在(1,+⑹上單調(diào)遞減，所以g(a)<g⑴=1,不合題意；

綜上所述，ae(-℃,1］.

n

18.(1)-(2)2兀(3)

3

【詳解】(1)因為asinB-GbcosBcosC=J^ccos^B,

由正弦定理得sinAsinB-V3sinBcosBcosC=V3sinCcos2Bn

sinAsinB=V3sinCcos25+V3sinBcosBcosC

=V3cosB(sinCcosB+sinBcosC)=V3cosBsin(B+C),

所以sinAsinB=V3sinAcosB,又sinA>0,

即tanB=百，且3e(0,兀)，即3=]

1

(2)由等面積法：gxax忸D|xsin30。+—xcx\BD\ksin30°=—xtzxcxsin60°,

22

即一(a+c)=——etc,即a+c=yfSac=2-\/3,

4、74

由余弦定理得，〃=+,2_2accosB=/+，=(〃+c)2-3ac

(2南-3x2=6,則人屈

設ABC外接圓半徑為R,則2R=—也=*=2后，R=6,

sinBV3

2

則ABC外接圓的面積為HR?=27t.

0<C<-0<C<-

2

(3)由ABC為銳角三角形可得《2=,得烏<C<4,

C4兀_2)1_7162

0<A<—0<-----C<—

232

皿7sinAsinB21V31+cosC1V3

則〃+6=c------+c------—I---------=--1------

sinCsinCsinC22sinC22tan￡

2

?兀-7T/071C71

由一<c<一,得一

621224

7171

tan—tan

兀7171

又tan—=tan3生=2-6

3-4,Tl71

121+tan—tan一

34

所以2—6<tanC<l,

2

則且!!<a+b<6+2.

2

19.(1)/(x)的最小值為/(1)=0(2)(3)證明如下

【詳解】(1)由/(》)=1皿+q—l(aeR)得/'(x)=L—鳥，

XXX

因切線方程為y=0,令/'(x)=工—==0,得x=o,故可知切點為(a,0),

XX

所以/(〃)=lna+@-1=0,得a=l,

a

故y(x)=ln%+，—1,/f(x)=---\=

XXXX

當xe(0,1)時，/,(x)<0,/(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

當xe(l,+s)時，/(x)〉0，〃x)在區(qū)間(L+oo)上單調(diào)遞增，

故/(x)的最小值為/(1)=0,

1Y-1丫

(2)由(1)可知/(x)=ln%H-----1>0,故InxN------,故ln(%+l)2------,

x=~,neN*,則+=^—,即,即ln(〃+1)—In“2

n\n)，+]〃+1