相交線與平行線中的M模型（含鋸齒型）-2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破訓(xùn)練

專題03相交線與平行線中的M模型(含鋸齒型)

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1】M型

(1)如圖，已知45〃CD,BF與DF相交于點(diǎn)FnN8+NZ)=N8FD

【證明】

如圖，延長BF交CD于點(diǎn)G

?/ABHCD

NB=ZFGD

又?/ZBFD=ZFGD+ND

ZBFD=ZB+ZD

(2)如圖，已知N8+ND=/BED,BF與DF相交于點(diǎn)Fn48〃CD

【證明】

如圖，延長BF交CD于點(diǎn)G

ZB+ZD=ZBFD

又-.?ZBFD=ZFGD+ND

ZB=ZFGD

ABHCD

【M型變式】

如圖，已知45〃CD,6、鳥是平行線內(nèi)的兩點(diǎn)nN36巴+ND6q=180°+NB+N。

【證明】

：分別過片、P2做P、MHAB,P2N//CD

???ABIICD

ABHPXMIIP2N//CD

NB=NBRM,ND=ZDP2N

ABPXP2+NDPF\=NBRM+NMPR+ZNP2P{+ZNP2D

???ABIIPXMIIP.N//CD

NMg+ZNP2P1=180°,NB=ZBP1M,ZD=ZDP2N

NBPFz+ZD舄耳=180。+N8+ND

【模型2】鋸齒型

如圖，已知48〃CD,M、N是平行線內(nèi)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段CD上一點(diǎn)，連接BM、、NP,

nNB+NN=NM+NNPD

【證明】

如圖：分別過點(diǎn)M、N做EF口AB,GHHCD

■：ABHCD

ABHEFUGHIICD

NB=NBMF,ZFMN=NMNG,NGNP=ZNPD

ZBMN=NBMF+NFMN=NB+AMNG

ZBMN=ZB+NMNG

ZMNP=AMNG+NGNP=ZMNG+NNPD

ZMNP=ZMNG+ZNPD

NMNG=/MNP-ZNPD

ZBMN=NB+/MNP-ZNPD

NBMN+ZNPD=ZB+/MNP

ZB+ZN=ZM+ZNPD

CPD

典例分析

【例1】如圖，/BCD=7。。,AB//DE,則Na與滿足（）

A.Za+Zp=110°B.Za+Zp=70°C.Zp-Za=70°D.Za+Zp=90°

【答案】B

【分析】過點(diǎn)。作。/〃45,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N5C歹=Na,/DCF=/p,由此即可解答.

【解析】如圖，過點(diǎn)。作CF〃/5,

■:AB〃DE,

:.AB//CF//DE9

:?/BCF=/a,ZDCF=Z^f

,?/BCD=7U。,

：.ZBCD=ZBCF+ZDCF=Za+Zp=70°,

.?.Za+Zp=70°.

故選反

【例2】如圖，AB//EF,設(shè)NC=90。，那么x,歹，z的關(guān)系式為,

AB

x

【答案】產(chǎn)90°x+z.

【分析】作CG//AB,DH//EF,iAB//EF,可得45〃CG加ZME尸，根據(jù)平行線性質(zhì)可得Nx=Nl,ZCDH=Z2,

ZHDE=Zz,由NC=90。，可得Nl+N2=90。，由/產(chǎn)22+/2,可證N尸N2+900Nx即可.

【解析】解：作CG〃48,DH//EF,

■:AB//EF,

：.AB//CG//HD//EF,

：.Zx=Zl,/CDH=/2,/HDE=/z

NBCD=90。

.*.Zl+Z2=90o,

N產(chǎn)NCDH+NHDE=/z+N2,

VZ2=90°Zl=90°Zx,

N尸Nz+90°Nx.

BP^=90°x+z.

【例3】問題情境：如圖①，直線45〃CD,點(diǎn)。廠分別在直線CD±.

E

EBB

P

P-

^2

DD

F

圖①圖②

⑴猜想:若Nl=130。，Z2=150°,試猜想/P=

⑵探究:在圖①中探究/I,N2,NP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

⑶拓展:將圖①變?yōu)閳D②，若/1+/2=325。，NEPG=75。，求NPGF的度數(shù).

【答案】(1)80°

(2)ZP=36O°-Z1-Z2;證明見詳解

(3)140°

【分析】(1)過點(diǎn)尸作“N〃/8,利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問;

(2)利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此間;

(3)分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作"N〃/8、KR//AB,然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即可.

【解析】⑴解：如圖過點(diǎn)尸作"N〃/8,

AB//CD,

??.AB//MN//CD.

：./l+/￡P(guān)N=180。，

N2+ZPPN=180。.

VZl=130°,Z2=150°,

JZ1+Z2+/EPN+ZFPN=360°

JZEPN+FPN=360。一130。-150。=80°.

/P=/EPN+/FPN,

：.ZP=80°.

故答案為：80°；

⑵解：ZP=36O°-Z1-Z2,理由如下:

如圖過點(diǎn)尸作AW〃/5,

AB//CD,

：.AB//MN//CD.

：.Z1+ZEPN=1SO°,

Z2+ZFPN=1SO0.

：.Z1+Z2+ZEPN+ZFPN=360°

ZEPN+ZFPN=ZPf

ZP=36O°-Z1-Z2.

(3)如圖分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作“N〃43、KR//AB

??,AB//CD,

：.AB//MN//KR//CD.

：.Zl+ZEPA^=180°,

/NPG+/PGR=180。,

ZAGF+Z2=180°.

???Z1+ZEPN+ZNPG+/PGR+RGF+N2=540°

ZEPG=ZEPN+ZNPG=75°,

/PGR+ZRGF=ZPGF,

/l+/2=325。，

JZPGF+Z1+Z2+ZEPG=540°

???ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案為：140。.

模型演練

一、單選題

1.如圖，ABHCD,點(diǎn)￡在NC上，44=110。，ND=15。,則下列結(jié)論正確的個數(shù)是()

(1)AE=EC；(2)ZAED=85°；(3)NA=NCED+ND；(4)ABED=45°

4-----------

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解.

【解析】W：'：AB//CD,

：.N/+NC=180。，

又；4=110。,

AZC=70°,

AZAED=ZC+ZZ）=85°,故（2）正確，

ZC+ZD+ZCED=180°,

ZD+ZCED^llO°,

；.NA=NCED+ND,故（3）正確，

?.?點(diǎn)￡在AC上的任意一點(diǎn)，

無法判斷等于CE,/BED無法判斷等于45。，故（1）、（4）錯誤,

故選：B.

2.如圖,AB〃EF,ND=90。,則。，川,7的大小關(guān)系是（）

E

A.P=a+yB.P-a+y-90°

C.yff=y+90°-aD.P=<2+90°-/

【答案】D

【分析】通過作輔助線，過點(diǎn)C和點(diǎn)D作CG〃AB,DH〃AB,可得CG〃DH〃AB,根據(jù)AB〃EF,可得

AB〃EF〃CG〃DH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得Y+(3a=9O。,進(jìn)而可得結(jié)論.

【解析】解：如圖，過點(diǎn)C和點(diǎn)D作CG〃AB,DH〃AB,

VCG//AB,DH//AB,

.?.CG//DH//AB,

VAB//EF,

AAB//EF//CG//DH,

VCG//AB,

???ZBCG=a,

???ZGCD=ZBCDZBCG=Pa,

VCG//DH,

???ZCDH=ZGCD=Pa,

VHD//EF,

???ZHDE=y,

ZEDC=ZHDE+ZCDH=90°,

y+pa=90°,

.,.p=a+90°y.

故選：D.

3.如圖，已知直線@〃卜Zl=40°,/2=60。.則N3等于（）

a

丁

2

b

A.100°B.60°C.40°D.20°

【答案】A

【解析】解：過點(diǎn)C作CD〃a,

???CD〃a〃b,

.?.ZACD=Z1=4O°,NBCD=N2=60。,

???Z3=ZACD+ZBCD=100°.

故選A.

4.如圖，AB〃CD,點(diǎn)、E,尸在直線ZB上（尸在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EFLFG,垂足為方，M

為線段跖上的一動點(diǎn)，連接GPGM,N尸G尸與N4PG的角平分線交與點(diǎn)。，且點(diǎn)。在直線45,CD之

間的區(qū)域，下列結(jié)論：①N4￡F+NCGb=90。；②/AEF+2/PQG=270。；③若/MGF=2/CGF,貝U

3Z.AEF+ZMGC=210°；④若/MGF=nNCGF,則//斯+一一/MGC=90。.正確的個數(shù)是（）

77+1

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】①過點(diǎn)尸作尸利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；

②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到/3=2/2,ZCGF+2Z1+Z3=18O°,結(jié)合①的結(jié)論即可證明;

③由已知得到NMGC=3/CGR結(jié)合①的結(jié)論即可證明；

④由已知得到NMGC=（〃+1）NCGF結(jié)合①的結(jié)論即可證明.

【解析】解：①過點(diǎn)F作如圖：

,:AB〃CD,：.AB//FH//CD,

：?/AEF=NEFH,4CGF=/GFH,

■:EF工FG,即NEFG=NEFH+NGFH=90。,

:?/AEF+NCGF=900,故①正確；

②?：AB〃CD,尸。平分N4尸G,GQ平分N/GP

???NZPQ=N2,N尸GQ=N1,

???N3=N/PQ+N2=2N2,

ZCGF+ZFG2+Z1+Z3=ZCGF+2Z1+Z3=18O°,

即2N1=18O02N2NCG產(chǎn)，

.\2Z2+2Zl=180oZCGF,

ZP2G=18O°(Z2+Z1),

???2N尸。G=36O02(N2+N1)=360°(180°ZCG70=180°+ZCGF,

???Z^F+2ZP2G=Z^￡F+180o+ZCGF=180o+90o=270°,故②正確;

③???ZMGF=2ZCGFf

：.ZMGC=3ZCGFf

：.3ZAEF+ZMGC=3ZAEF+3ZCGF=3(/AEF+ZCGF)=3'90。=270°；

3ZAEF+ZMGC=270°,故③正確；

E

AB

CGD

@VNMGF=n/CGF,

：.ZMGC=(n+1)ZCGF,即ZCGF=——4MGC,

n+\

ZAEF+ZCGF=90°,

：.ZAEF+—ZMGC=90°,故④正確.

n+\

綜上，①②③④都正確，共4個，

故選：A.

二、填空題

5.如圖，AB//CD,/2=15°,/。=25°則/〃=

M

------------D

【答案】40°

【分析】首先過點(diǎn)“作兒W〃48,由4B//CD,即可得兒加〃ZB//CD,然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相

等，即可求得的度數(shù).

【解析】解：過點(diǎn)〃■作MN〃48,

VAB//CD,

MNIIABIICD,

Z1=ZA=15°,Z2=ZC=25°,

ZAMC=Z1+Z2=15°+25°=40°.

故答案為：40°.

AB

6.如圖，AB//CD,EF平分NBED,NDEF+ND=66"，NB-ND=28°,貝UN8ED=

【答案】80°

【分析】過E點(diǎn)作EM〃/瓦根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/2EO=N8+ND,利用角平分線的定義可求得

Z5+3ZZ)=132°,結(jié)合/2/。=28。即可求解.

【解析】解：過E點(diǎn)作瓦0〃48,

ZB=ZBEM,

,JAB//CD,

J.EM//CD,

：./MED=ND,

：.ZBED=ZB+ZD,

:EF平分/BED,

：.NDEF=gABED,

'：ZDEF+ZD=66°,

：.yZBED+ZD=66°,

：.ZBED+2ZD=U2°,

即N3+3NZ)=132°,

N240=28°,

AZ5=54°,ZD=26°,

：.NBED=8Q°.

故答案為:80°.

7.如圖，己知4B〃C￡>,易得/l+/2+N3=360。，Z1+Z2+Z3+Z4=540°,根據(jù)以上的規(guī)律求

Zl+Z2+Z3+...+Zw=

【答案】180（”1）

【分析】過點(diǎn)P作平行于AB的直線,運(yùn)用兩次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個角的和；分別過

點(diǎn)尸，。作的平行線，運(yùn)用三次平行線的性質(zhì)，即可得到四個角的和；同樣作輔助線，運(yùn)用M次平

行線的性質(zhì)，則"個角的和是

【解析】解：（1）如圖，過點(diǎn)尸作一條直線尸M平行于N3,

'：AB//PM//CD,

：.Z\+ZAPM=\^0°,ZMPC+Z3=180°,

.?.Nl+N/PC+/3=360。；

(2)如圖，過點(diǎn)P、。作PM、QV平行于

,JAB//CD,

'：AB//PM//QN//CD,

：.A\+AAPM=\^0,AMPQ+APQN=\^0,NNQC+N4=180°；

Z1+AAPQ+ZP0C+Z4=540°；

根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（〃2）條輔助線，運(yùn)用（?1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

即可得到N1+N2+N3+…+N力=180°（?1）.

故答案為：180（〃-1）。

三、解答題

8.（1）已知：如圖Q）,直線DE〃4B.求證：ZABC+ZCDE=ZBCD；

（2）如圖（6）,如果點(diǎn)C在Z8與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么

新的猜想？

3

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)C在N5與之外時，ZABC-ZCDE=ZBCD,見解析

【分析】（1）由題意首先過點(diǎn)C作CF〃/2,由直線42〃即，可得4B〃CF〃DE,然后由兩直線平行，內(nèi)

錯角相等，即可證得N/2C+NCDE=N8CD；

（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得/4BC=/BFD,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得

ZABCZCDE=ZBCD.

【解析】解：（1）證明：過點(diǎn)C作CF//AB,

,JAB//ED,

：.AB//ED//CF,

：.ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,

ZABC+ZCDE=ZBCD；

(2)結(jié)論：NABCNCDE=/BCD,

證明：如圖：

"JAB//ED,

：.NABC=NBFD,

在△。尸C中，ZBFD=ZBCD+ZCDE,

ZABC=ZBCD+ZCDE,

NABCNCDE=NBCD.

若點(diǎn)C在直線與DE之間，猜想N/3C+N3c￡>+NC￡>￡=360°,

"."AB//ED//CF,

：./ABC+4BCF=180°,NCDE+NDCF=180°,

/./ABC+/BCD+NCDE=ZABC+NBCF+/DCF+ZCDE=360°.

9.如圖，AB//CD,點(diǎn)、E在直線4B,CD內(nèi)部，且/E_LCE.

(1)如圖1,連接/C,若/E平分44C,求證：CE平分乙4CD；

(2)如圖2,點(diǎn)M在線段/￡上，

①若ZMCE=ZECD,當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動時，NA4E與/MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由；

②若NMCEJ/ECD(〃為正整數(shù))，當(dāng)直角頂點(diǎn)￡移動時，/B/E與NMCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并

n

說明理由.

1V）

【答案】（1）見解析；（2）①/BAE+K/MCD=9Q°,理由見解析；@ZBAE+——ZMCD=90°,理由見解

析.

【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)可得48/。+/。。=180。，再根據(jù)/ELCE可得NE/C+NEC/=90。，根據(jù)NE

平分NA4c可得/R4E=/E/C,等量代換可得/ECD+/E4c=90。，繼而求得乙DCE=NEC4；

（2）①過E作E尸〃48,先利用平行線的傳遞性得出即〃/2〃CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推

得答案；

②過E作即〃48,先利用平行線的傳遞性得出EF//AB//CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案.

【解析】（1）解：因?yàn)?8//CD,

所以48/。+/。。=180°,

因?yàn)?E_LCE,

所以NENC+/EG4=90。，

因?yàn)?E平分/A4C,

所以NB4E=/E4C,

所以ZBAE+ZDCE=90°,

所以ZEAC+ZDCE=90°,

所以NDCE=NEC4,

所以CE平分NNCD；

（2）①乙84E與NMCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：NBAE+gNMCD=90°,

理由如下：過￡作跖〃

B

?:AB〃CD,

C.EF//AB//CD,

；?NB4E=/AEF,/FEC=/DCE,

Z￡=90°,

???ZBAE+ZECD=90°f

*.*/MCE=/ECD,

：.NB4E+；ZMCD=90°；

n

②/BAE與NMCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：ZBAE+——ZMCD=90°,

n+1

理由如下：過E作跖〃45,

?:AB"CD,

：.EF//AB//CD,

：.ZBAE=ZAEF,NFEC=NDCE,

?/NE=90。,

JZBAE+ZECD=90°,

??,ZMCE=-ZECD

nf

Yl

：.ZBAE+——ZMCD=90°.

77+1

10.已知直線）〃2,/是//上的一點(diǎn)，2是/2上的一點(diǎn)，直線/3和直線〃，/2交于C和。，直線CD上有一

點(diǎn)尸.

（1）如果尸點(diǎn)在C,。之間運(yùn)動時，問NE4C,ZAPB,乙陽。有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（2）若點(diǎn)尸在C,。兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時（尸點(diǎn)與C,。不重合），試探索/以C,/APB,/尸8。之間的關(guān)

系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）

【答案】（1）NPAC+/PBD=NAPB；（2）當(dāng)點(diǎn)尸在直線4上方時，ZPBD-ZPAC=ZAPB；當(dāng)點(diǎn)P在直

線4下方時，"AC-ZPBD=ZAPB.

【分析】（1）過點(diǎn)P作PE/4,由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出PE〃/"《，再由"兩直線平行,

內(nèi)錯角相等”得出NP4C=NNP￡、ZPBD=ZBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；

（2）按點(diǎn)P的兩種情況分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在直線4上方時；②當(dāng)點(diǎn)P在直線4下方時，同理（1）可得

NPAC=NAPE、NPBD=NBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解析】解：（1）NPAC+NPBD=NAPB.

過點(diǎn)P作尸E/4,如圖1所示.

■：PE//lx,〃〃2,

APAC=NAPE,NPBD=NBPE,

■：ZAPB=ZAPE+ZBPE,

ZPAC+/PBD=/APB.

(2)結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)尸在直線4上方時，/尸皿-/尸4。=44尸8；當(dāng)點(diǎn)尸在直線4下方時，ZPAC-ZPBD=ZAPB.

①當(dāng)點(diǎn)尸在直線4上方時，如圖2所示.過點(diǎn)尸作尸￡/〃「

〃〃2,

:.PE!HJ/12,

ZPAC=ZAPE,ZPBD=ZBPE,

乙4PB=4BPE-ZAPE,

ZPBD-APAC=NAPB.

②當(dāng)點(diǎn)尸在直線4下方時，如圖3所示.過點(diǎn)尸作尸E/4.

?：PEI瓜,/J/。，

:.PE/llxl/121

APAC=NAPE,/PBD=ABPE,

???/APB=/APE-ZBPE,

/.APAC-4PBD=/APB.

11.如圖1,ABIICD,ZP^=130°,NPCZ)=120。，求//尸C的度數(shù).小明的思路是：如圖2,過尸作尸E///B,

通過平行線性質(zhì)可求/APC的度數(shù).

(1)請你按小明的思路，寫出NNPC度數(shù)的求解過程；

(2)如圖3,點(diǎn)P在直線AD上運(yùn)動，記NP4B=Na,NPCD=邛.

①當(dāng)點(diǎn)尸在線段8。上運(yùn)動時，則N4PC與Na、N?之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②若點(diǎn)尸不在線段5。上運(yùn)動時，請直接寫出N/PC與Na、之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴見解析；⑵①N4PC=Na+/0,見解析；?ZAPC=\Za-Z/3\

【分析】(1)過P悍PEHAB,利用平行線的性質(zhì)即可得出答案；

(2)①過P作PE//4B,再利用平行線的性質(zhì)即可得出答案；②分尸在8。延長線上和P在。8延長線上兩

種情況進(jìn)行討論，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出答案

【解析】解：(1)如圖2,過P作PE//AB

圖2

QABHCD,

PEIIABIICD,

二./尸48+//尸￡=180。,

NPCD+/CPE=180°,

?.?/P48=130°,/PCD=120°,

ZAPE=50°,NCPE=60°,

ZAPC=ZAPE+ZCPE=11CP.

(2)①、ZAPC=Za+Z/3,

理由：如圖3,過P作PEHAB,

QABIICD,

ABIIPEIICD,

Za=ZAPE,Z/?=ZCPE,

NAPC=NAPE+ZCPE=Na+；

圖3

②、ZAPC=\Za-Z/i\.

如備用圖1,當(dāng)尸在8。延長線上時，NAPC=/a-/0；

備用圖1備用圖2

理由：如備用圖1,過P作尸

QABHCD,

ABHPGHCD,

:.Na=ZAPG,20=ZCPG,

NAPC=Z.APG-NCPG=Na-N/；

如備用圖2所示，當(dāng)尸在延長線上時，APC=4/3-2a；

理由：如備用圖2,過尸作尸G/Z48,

QABHCD,

ABHPGHCD,

:.Za=ZAPG,2/3=ZCPG,

NAPC=ZCPG-ZAPG=Z/3-Za.

綜上所述，ZAPC=\Za-Z/3\.

12.直線/8〃C￡>,M為上一定點(diǎn)，N為CD上一定點(diǎn)、,￡為直線和直線CD之間的一點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)E在MN上時，如圖1所示，請直接寫出/MEN,ZCNE,NMVffi'之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)點(diǎn)￡在左側(cè)時，如圖2所示，試猜想/MEN,ZCNE,1之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(3)當(dāng)點(diǎn)￡在右側(cè)時，如圖3所示，試猜想/MEN,ZCNE,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

［答案】(1)4MEN=ZCNE+ZAME；(2)NMEN=ZCNE+ZAME,證明見解析；(3)ZMEN+ZCNE+ZAME

=360°,證明見解析.

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)及平角的定義即可得解；

(2)過點(diǎn)E作直線斯〃/￡則斯〃CD,由平行線的性質(zhì)即可得解；

(3)過點(diǎn)E作直線EG〃/8,則EG〃⑦，由平行線的性質(zhì)即可得解.

【解析】解：(1)如圖bZMEN=ZCNE+ZAME,

證明如下:

,CAB//CD,

:./CNE+/AME=180°,

NAffiN=180°,

/MEN=/CNE+NAME；

(2)如圖2,ZMEN=ZCNE+AAME,證明如下:

圖2

過點(diǎn)E作直線EF//AB,則EF//CD,

：.ZAME=ZMEF,ZCNE=ZNEF,

'：/MEN=ZMEF+ZNEF,

：.NMEN=NCNE+NAME；

圖3

過點(diǎn)￡作直線￡G〃N5,貝UEG〃CO,

ZAME+ZMEG=180°,ZCNE+ZNEG=1SO°,

：.ZAME+ZMEG+ZCNE+ZNEG=360°,

'：/MEG+/NEG=/MEN,

：.ZMEN+ZCNE+ZAME=360°.

圖1圖2

(1)若/￡=60。，則/尸=；

(2)請?zhí)剿?E與/尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

⑶如圖2,已知EP平分NBEF,FG平分NEFD,反向延長廠G交E尸于點(diǎn)尸，求/尸的度數(shù).

【答案】(1)90°

⑵"=NE+30。，理由見解析

(3)15°

【分析】(1)如圖1,分別過點(diǎn)￡,尸作EN//4B,FN//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到=30。,

NMEF=NEFN,ND+NDFN=180°,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

(2)如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到48==30。，NMEF=NEFN,由4B//CD,AB//FN,得到

CD//FN,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ND+NDFV=180。，于是得到結(jié)論；

(3)如圖2,過點(diǎn)尸作出//EP,設(shè)NBEF=2x°,則NEKD=(2x+30)。，根據(jù)角平分線的定義得到

NPEF=-ZBEF=x°,NEFG=；NEFD=(x+15)。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZPEF=NEFH=x°,NP=NHFG,

22

于是得到結(jié)論.

【解析】(1)解：如圖1,分別過點(diǎn)石，F(xiàn)作EMIIAB,FN//AB,

EMI/AB//FN,

:.NB=NBEM=30°,ZMEF=AEFN,

又ABIICD,ABIIFN,

:.CD//FNf

ZD+NOW=180。,

又???/。=120。，

ZDFN=60°,

/.ZBEF=ZMEF+30°,ZEFD=ZEFN+60°,

ZEFD=ZMEF+60°

ZEFD=Z.BEF+30°=90°；

故答案為：90°；

(2)解：如圖1,分別過點(diǎn)E,F忤EMIIAB,FN//AB,

EMI/AB//FN,

/B=ZBEM=30°,ZMEF=/EFN,

XvABHCD,ABIIFN,

:.CD//FN,

/D+NDFN=18。。,

又???ND=120。，

ZDFN=60°,

ZBEF=ZMEF+30°,ZEFD=ZEFN+60°,

ZEFD=ZMEF+60°,

ZEFD=ZBEF+30°；

⑶解：如圖2,過點(diǎn)尸作FH//EP,

由(2)知，NEFD=NBEF+30。，

設(shè)ZBEF=2x°,則NEFD=(2x+30)°,

?:EP平分/BEF,GF平分NEFD,

:.NPEF=；NBEF=x°,ZEFG=|ZEFD=(x+15)°,

FHHEP,

ZPEF=NEFH=x°,NP=NHFG,

---ZHFG=ZEFG-NEFH=15°,

圖1圖2

14.如圖1,點(diǎn)A、3分別在直線GH、MN上,NGAC=NNBD,NC=ND.

圖1圖2圖3

（1）求證：GH//MN；（提示:可延長/C交肱V于點(diǎn)尸進(jìn)行證明）

（2）如圖2,ZE平分/G/C,DE平分NBDC,若ZAED=NGAC,求/G/C與乙4c。之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）在（2）的條件下，如圖3,8/平分點(diǎn)K在射線"上，ZKAG=^ZGAC,若乙iKB=ZACD,

直接寫出/G/C的度數(shù).

【答案】⑴見解析；（2）ZACD=3ZGAC,見解析；（3）（筆］或（等）■

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。和平角定義得到//QD=/E+/E4。，結(jié)合平行線的性質(zhì)得到

ZBDQ=ZE+ZEAQ,再根據(jù)角平分線的定義證得/CD3=2/E+/G/C,結(jié)合已知即可得出結(jié)論；

（3）分當(dāng)K在直線GH下方和當(dāng)K在直線GH上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分

線定義求解即可.

【解析】解：(1)如圖1,延長ZC交于點(diǎn)尸,

圖1

???ZACD=/C,

：.AP//BD,

???NNBD=ZNPA,

ZGAC=ZNBD,

：.ZGAC=/NPA,

GH//MN；

(2)延長ZC交四V于點(diǎn)尸，交DE于點(diǎn)Q,

圖2

?.,ZE+ZEAQ+ZAQE=180°,ZAQE+ZAQD=1SO°,

：.NAQD=NE+NEAQ,

???AP//BD,

：.NAQD=ZBDQ,

/.NBDQ=NE+NEAQ,

???/￡1平分NG/C,DE平分/BDC,

：.ZGAC=2ZEAQ,ZCDB=2ZBDQ,

???NCDB=2NE+/GAC,

VZAED=ZGAC,ZACD=/CDB,

：.ZACD=2ZGAC+ZGAC=3ZGAC；

(3)當(dāng)K在直線G"下方時，如圖，設(shè)射線研交GH于/,

圖3

GH//MN,

：.NAIB=NFBM,

■:BF平6NMBD,

：.ZDBF=ZFBM=1(180°-2DBN),

ZAIB=ZDBF,

?:ZAIB+NKAG=NAKB,ZAKB=ZACD,

：.ZACD=ZDBF+ZKAG,

?：ZKAG=-NG4c,AGAC=ZNBD,

3

1ZGAC+1(180°-4DBN)=AACD=3ZGAC,

即:NGNC+90°一g/G/C=3NG/C,

解得:=.

當(dāng)K在直線GH上方時，如圖，