福建省福州市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級下冊期中考試數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年福建省福州市金山中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)Zi=1+3?；,Z2=3+1,則Z1—Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.在△AB。中，4=60°,AB=1,AC=2,則S4ABC的值為()

A.iB.dC.v/3D.2^3

/2

3.已知向量才=(3,2),b=(—1,1),則|22+3b|=()

A.710B.5C.而D.\/i3(j

4.如圖所示，一個水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2

的正方形。'43'。'，則原四邊形0ABe的面積是（）

A.16\/2

B.8\/2

C.16

D.8

5.已知正方體一的棱長為2,E,F,G分別是ASBBX,5G的中點，則過這三點

的截面面積是（）

A.3\/2B.6\/2C.6\/3D.3通

6.已知不共線的向量方、了，若向量m―k了與人才―了共線，則實數(shù)上的值為（）

A.1B.±1C.D.y/2

7.如圖，在△43。中,==若力=;\施+〃彩，則

A+/x的值為（）

11

A.——B

1214

8.桂林日月塔又稱金塔銀塔、情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所

以也有金銀塔之稱.如圖1,這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量

該塔的高度，在塔底。的同一水平面上的A,B兩點處進行測量，如圖2.已知

在A處測得塔頂尸的仰角為60°，在8處測得塔頂P的仰角為45°，43=25

米，乙4OB=30°，則該塔的高度OP=（）

A.25四米B.25g米C.50米D.25迷米

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5

分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知復(fù)數(shù)z的虛部不為零，同時滿足2=1，貝1R）

A.0=1B.T為純虛數(shù)

C.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在實軸上D.|z-2-24的最大值為，萬

10.已知/、了、7?是任意的非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）

A.非零向量才、丁，滿足|苗〉|用且才與了同向，則m＞了

B.。了（1^1.|T|

C若才?工="??/，則下一了不與7?垂直

D.|W+了"|+|了|

11.在△AB。中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列說法正確的是（）

A.若sinA<sinB>則4<B

B.若△/口。是銳角三角形，sinA＜cos8恒成立

仁若°=10,6=9，8=60°，則符合條件的△AB。有兩個

口.若3=60°,b2=ac-則是等邊三角形

12.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺01。2,在軸

截面A8CD中，AB-AD—BC-2cm＞且CD=2AB,下列說法正確的

是（）

A.該圓臺軸截ABCD面面積為3乃cn?

B.該圓臺的體積為亞呢cm.3

3

C.該圓臺的表面積為107TC777?

D.沿著該圓臺表面，從點。到AD中點的最短距離為5cm

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若1+2,是實系數(shù)方程/++匕=0的一■個根，則a.b=.

14.如圖為了測量A,。兩點間的距離，選取同一平面上3,。兩點，測出四邊形ABC。的各邊的長度（單

位：km）：AB=5,BC=8,CD=3,PA=5,如圖所示，且A、B、。、。四點共圓，則AC的長為

km.

15.已知一個正四棱錐的底面邊長為2,高為通，則該正四棱錐的表面積為.

7T

16.已知梯形中ABC。，ADHBC,ZB=AB=AD=2,8。=4,點尸，。在線段3。上移動，

O

且PQ=1,則萬F-成的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題10分）

已知圓柱高為4,母線與側(cè)面展開圖的對角線成60°角，求該圓柱的體積.

18.（本小題12分）

若復(fù)數(shù)zj.=1+ai（aeR）,復(fù)數(shù)z?=3-4i.

（1）若Z1+Z2CR,求實數(shù)a的值；

,、Z\

⑵若a=2,求一?

力

19.（本小題12分）

已知向量胃=（2,-1），⑻=y2.

⑴若(2才+7).了=4,求/與了夾角的正弦值；

⑵若天，了,求向量了的坐標(biāo).

20.(本小題12分)

已知中，內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,若(2a-c)cos_B-bcosC=0.

(1)求角2的大小；

⑵若6=2,求a+c的取值范圍.

21.(本小題12分)

已知在圓錐5。中，底面。O的直徑48=12,△S4B的面積為48.

(1)求圓錐S。的表面積；

(2)一球剛好放進該圓錐體中，求這個球的半徑以及此時圓錐體剩余空間.

22.(本小題12分)

如圖，在△ARC中，已知AB=4,AC=10,ABAC=60°,8c邊上的中點為M,AC邊上的中點為

N,AM,3N相交于點P.

⑴求BC;

⑵求疝與前夾角的余弦值；

(3)過點P作直線交邊AB,BC于點E,F,求該直線將△AB。分成的上下兩部分圖形的面積之比的取值

范圍.

AC

N

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由復(fù)數(shù)句=1+3?：,22=3+?：,則ZI—22=—2+2?：,

則復(fù)數(shù)Z1-Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-2,2),位于第二象限.

故選：B.

根據(jù)題意，求得zi-3=-2+2"結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：S/^ABC-—AB-AC-sinA=—xlx2x,

c2222

故選3.

直接用三角形面積公式求得答案.

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用.屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】因為向量過=(3,2),7=(—1,1),

所以27?+37=(6,4)+(-3,3)=(3,7)，

所以則|2才+3了|=,32+72=辰,

故選：C.

計算2才+3了=(3,7)，代入模長公式計算即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：在正方形O'AB'C'中可得B'O'=V2A!O'=2瓜

由斜二測畫法可知BO=2B'O'=4通，AO==2，

且OA1OB，OA//BC,AB//CO,

所以四邊形OABC為平行四邊形，

所以SOABC=B0,AO-4能x2=8\/2.

故選：B.

根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出A。，BO,判斷。ABC的形狀，確定。4人。3,由此求出原四邊形04BC的面

積.

本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：如圖所示，分別取。1。1，DDX,AD的中點M,

N,連接GX,HM,MN,NE,

在正方體ABCD-451Goi中，可得GH〃NE,HM//EF,

MN//FG,

所以經(jīng)過點E,F,G的截面為正六邊形EFGHMN,

又因為正方體ABCD-的棱長為2,

在直角中，可得EF=y/BE。BF2=瓜

所以截面正六邊形的面積為6x亨x『=3^3.

故選：D.

根據(jù)題意，利用正方體的性質(zhì)，得到截面為正六邊形EFGHMM且邊長為，進而求得截面的面積，得

到答案.

本題考查正方體中的截面問題，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意知，向量7為不共線的向量，

若向量N—k了與k~CL—了共線,則存在實數(shù)A使得~a—kl）=X（k'a—了）,

則［lT-X\'解得k=±l.

故選：B.

根據(jù)題意，結(jié)合向量的共線定理，得到W-k7=》（人工_7），列出方程組，即可求解.

本題考查共線向量定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：；血=河,

~BP=（前

又?.???？=冠+辦

.?./=福+:初，

4

文:血=血—潤=I就-加

A?=A^+:前=池+：（河—硝=萍+力，

>3_1

.?1=],〃=入，

46

3111

則ntl》x+〃=4+1適

故選：A.

根據(jù)向量的基本定理結(jié)合向量加法的三角形分別進行分解即可.

本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量的和差運算將向量進行分解是解決本題的關(guān)鍵，屬于中

檔題.

8.【答案】B

【解析】解：由題意可知，NO4P=60°，NOBP=45°，

設(shè)0P=八米,

cdOPh可來

在RtZVIOP中，°A=UnZOAP=^=3八米,

OB=—=。=八米，

在RtZXROP中，

tanZ-O13P1

由余弦定理可得AB2=0A2+0B2-20A-OBcosAAOB，

即3-=解得h=y/3AB'

因為AB=25米，所以九=25①米?

故選：B.

利用仰角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解.

本題考查了余弦定理的實際應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解:設(shè)z="+歷（a,be凡厚0）,則2=°_歷，

因為z-2=l，所以（a+杭）（a-〃）=1,即（？+匕2=1，得⑶=（_代2=1,

可得⑶=1,故A正確；

z+1a+1+bi(Q+1+bi)(a—1—bi)a2+62—1—2bi—2hi

z—1a-1+bi(a—1+fci)(a—1—bi)(a—l)2+fe2(a—I)2+b2

—2br_j_1

因為b#0,則7逅#°，所以'為純虛數(shù)，故B正確；

z=a,+bi(a,be凡b壬O)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(a,b),因為屏0,

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不在實軸上，故C錯誤；

因為z-2-22=(a-2)+(6-2凡

所以,一2—2川=J(a-2)2+(b—2)2W722+22+1=2松+1，

因為+伏=1，(b#0),所以點(a,b)在以(0,0)為圓心，半徑r=l的圓上(除點(一1,0),(1,0)外)，

又西―21+(6—2)2表示點(&b)與⑵2)的距離，

且圓心(0,0)到點⑵2)的距離4=J(2—0)2+(2—川=2y/2，

所以—2—2i\=^(?-2)2+(6-2)2^(1+1=2^2+1即上一2-2"的最大值為26+1，故。錯

誤.

故選：AB.

設(shè)？=。+歷(a,6e凡b#0),根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算推導(dǎo)出/+廿=1，即可判斷A、B、C,根據(jù)

復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷D.

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查運算求解能力，是中檔題.

10.【答案】8。

【解析】解：對于A中，根據(jù)向量的概念，向量不能比較大小，所以A錯誤；

對于2中，由向量的數(shù)量積的定義，可得W■1)—|^|?\1)|cos7?,了，

因為胃,Te［0,7r］，可得-1<cosZ,7w1，所以才?了(同H了卜所以B正確；

對于C中，由下.下=了.工，可得(下一了)?工=0，所以(才-了讓工，所以C錯誤；

對于。中，由|才+了『=|^|2+|T|2+2a*-T=|/『+|了『+2］才”了jcosW,了，

又(同+|了|『=|胃『+|了『+2同㈤，

因為-1《cosZ,另<1，所以|才+了I4|團+了I，所以。正確.

故選：BD.

根據(jù)向量的概念，可判定A錯誤；根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，以及-14cos6,7W1，可判定B正確;

根據(jù)向量的運算律，得到(下-了).工=0,可判定C錯誤；根據(jù)向量的運算法則，可判定。正確.

本題主要考查平面向量的概念與平面向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：因為sin4<sinB,所以a<b,所以4<8,故A正確；

7T

若△ABC是銳角三角形，則4+3>萬且A,B為銳角，

7T7T

所以]-B〉。，

7T

所以sinA>sing-B)=cosB,故5不正確；

Qsin60°=5通<9<1()，故符合條件的有兩個，故C正確；

選項。，由余弦定理知，淤=Q2+,2_2QCCOS3=Q?+/一2QCX；=QC,即(Q—=。，所以

Q=C,

又5=60。，所以△/月。為等邊三角形，故。正確.

故選：ACD.

7T7T

結(jié)合正弦定理與“大邊對大角”，可判斷4由5>4>]-5>0,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷3；

asin60°=5\/3<9<10>可判斷C;利用余弦函數(shù)可判斷。.

本題考查解三角形的綜合，熟練掌握正弦定理、余弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯

推理能力和運算能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對于4由4B=AD=BC=2,且CO=2AB，

可得CO=4,高=^4—(―-^―)2=，

則圓臺軸截面A8CZ)的面積為:x(2+4)x通=3，^^2,故A正確；

對于2,圓臺的體積為/=17r(1+2+4)=1竺cm：',故2正確；

33

對于C,圓臺的表面積為S=7TX12+萬X2?+7F(1+2)X2=117T,故。錯誤；

對于。，由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為4°相，底面半徑為2°m，

側(cè)面展開圖的圓心角e="=7T,

4

設(shè)的中點為尸，連接CP,

co

D

可得NCOP=90°，OC=4,OP=2+1=3,

則CP=/42+32=5，

所以沿著該圓臺表面，從點C到中點的最短距離為5c",故。正確.

故選：ABD.

求出圓臺的高，由梯形的面積公式可判斷選項A；由臺體的體積公式可判斷選項&由臺體的表面積公式

可判斷選項C；將圓臺補成圓錐，側(cè)面展開，取AO的中點為尸，連接CP,可判斷選項O.

本題考查命題真假的判斷，考查圓臺的結(jié)構(gòu)特征、梯形面積公式、圓臺表面積和體積公式、圓錐側(cè)面展開

圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

13.【答案】-12

【解析】解：「1+2?：是方程/+ax+b=O的根，則1—2?；也是方程的根，

(l+2i)(l-2i)=6,l+2i+l-2i=-a,

：,a,b的值為a=-2,b—Q.

則a，b=—12.

故答案為：-12.

利用實系數(shù)方程虛根成對定理，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得。、6的值，推出結(jié)果；

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，突出考查復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】7

【解析】【分析】

本題考查余弦定理，考查三角函數(shù)知識，正確運用余弦定理是關(guān)鍵，屬于中檔題.

利用余弦定理，結(jié)合/B+/O=7T,即可求出AC的長.

【解答】

解：:4、B、C、。四點共圓，圓內(nèi)接四邊形的對角和為小

NB+Z.D=7F,

由余弦定理可得4。2=52+32_2.5-3-cosD=34-30cosD，

AC2=52+82-2-5-8-cosB=89—80cosB，

1.,ZB+ZD=7F,即cosB——cosD,

34-AC2_89-AC2

―30~-80-'

.?.可解得4。=7.

故答案為：7.

15.【答案】12

【解析】解：在正四棱錐P-48co中，底面A8CL）的邊長為2,如下圖所示，

設(shè)點尸在底面ABC。的射影點為點。，則四棱錐P—4BC0的高：?。=瓜,

則。為AC的中點，且=|,4C=^-AB=?PB=PA=\/PO2+AO2=娓，

可得PE=\/PA^—AE^-2，S/\p4B—g力B-PE—2,

故正四棱錐P—ABCD的表面積為S=4X2+22=12.

故答案為：12.

計算出正四棱錐的側(cè)棱長以及側(cè)面三角形的高，進而可計算出該正四棱錐的表面積.

本題考查空間幾何體的表面積的求法，直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，是中檔題.

16.【答案】,

4

【解析】解：過A作8C的垂線交BC與點E,

則以E為坐標(biāo)原點，以BC所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:

則8(-1,0),。(3,0),4(0,遍)，0(2,g),

設(shè)PQ,0),Q(x+1,0),一1W，

.1.Dp=(a;-2,—\/3)，DQ=(7-1,-通),

：.D?D^^(x-2)Q-1)+3=/—3x+5=(x-|猿+

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出P,。的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量數(shù)量積，由此求出最小值.

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算與數(shù)量積運算，屬于中檔題.

17.【答案】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r,則側(cè)面展開圖是一個長為2仃，寬為4的矩形，

依題意孚=tan60°,即「=空1,

47F

所以該圓柱的體積為：7n>2.4=47TX(巴3)2=竺.

7T7T

【解析】利用母線與側(cè)面展開圖的對角線成60°角，求出圓柱的底面半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式可求出

結(jié)果.

本題主要考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征，圓柱體積的計算等知識，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由已知Zi+，2=4+(a—4)，€R,則a—4=0,解得a=4.

1

⑵當(dāng)a=2時^_+2Z_(1+2Z)(3+4Q_-5+10Z_12

㈠當(dāng)2W‘Z23-4i(3-4?)(3+4i)255+5

【解析】(1)利用復(fù)數(shù)的加法化簡復(fù)數(shù)Z1+Z2,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于實數(shù)。的等式，即可求得實數(shù)

a的值；

Z\

⑵當(dāng)a=2時，利用復(fù)數(shù)的除法可求得復(fù)數(shù)一?

22

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：⑴因為才=(2,-1),⑻=6，所以@=“2+(—1)2=

又(2下+了)?了=4，所以2才.了+72=4，即27?K+(V^)2=4，所以才?了=1，

設(shè)區(qū)與了夾角為。，則cos9="「工=廠=上，又Je[0,7r],

同了|西Jx能gj

所以sin6=，1—cos2《=a，即7?與了夾角的正弦值為與引；

⑵設(shè)b=(c,n),因為[6|=V2,則，/2+g2-y^2，

Vio

X=~T~

又才_L了，所以才?了=2c—y=。，解得

2A/10

Vio

x=----

5，所以了=（營,絲亞）或了=（—1/IO2v/10

或，__5~^

2VziU555

y^--r

【解析】（1）首先求出|才再根據(jù)數(shù)量積的運算律求出才.了，設(shè)方與了夾角為0,利用夾角公式求出

cos。，即可求出sin求

⑵設(shè)了=Q,g)，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及胃?了=2c—y=0得到方程組，解得即可.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：⑴,1(2Q-c)cosB-bcosC=0,

/.(2sinA—sinC)cosB—sinBcosC=0,

2sinAcosB—sin(B+C)=0,

,/A+B+C=7F,

sin(B+C)=sin(7r—A)=sinA,

：.2sinAcosB-sinA=0,

,/sinA〉0，

/.cos8=

,/Be(0,7T),

-7T

B=—；

J

7T

⑵由3=司，b=2,

o

可得：b2=a2+cP—ac—(a+c)2—3QC,

又(Q+C)2-3QC2(Q+C)2—-(fl+C)2——(d+C)2’

(a+c)2<4儼=16,即a+cW4,

又Q+c〉b=2,

△48。的周長的范圍為（2,4].

【解析】（1）由正弦定理把已知等式邊化角，再由A+B+C=7r,得cos_B=g；

（2）由余弦定理及重要不等式得a+c<4,利用兩邊之和大于第三邊可得a+c>2,即可得解△AB。的

周長的范圍.

本題考查三角形的解法，正弦定理、余弦定理、重要不等式以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，考查計算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：（1）設(shè)圓錐SO的母線長為/，底面。。的直徑為2r，所以1

2r=12，/|\

因為ASAB的面積為48,所以Sas4B=，2r-SO=48,解得S0=8，/DKK

由勾股定理，可得母線/='SO?+丁2=10,4/I\R

由圓錐的表面積公式有：S及=S側(cè)+5底=7T”+?rr2=6（所+367r=967r；

（2）如圖所示，作出圓錐的軸截面，球與圓錐側(cè)面相切，設(shè)球心為。，

則。E1S6于E,。E=。。=/?（其中尺為球的半徑），

則△SEOsaSOB,可得。E：BO=SD：SB,即解得7?=3cm,

610

333

所以球的體積匕=-7T1?=367rcm,圓錐的體積匕=勺=967rcm,

圓錐體剩余的空間體積為V=匕一%=6（）7Tcm3.

【解析】（1）設(shè)圓錐S。的母線長為/,底面00的直徑為2r,由ASAB的面積為48,求得SO=8,結(jié)合

圓錐的表面積，即可求解；

（2）作出圓錐的軸截面，設(shè)球心為，根據(jù)△SEOsaSOB,求得A=3cm,利用體積公式求得球和圓

錐的體積，即可求解.

本題考查了圓錐的表面積和球的半徑計算，屬于中檔題.

22.【答案】解：（1）在△4RC中，且48=4,AC=10,由余弦定理得[=”望孚二普，解得

22x4x10

BC=2，再，（負(fù)根舍去），故BC=2，團.

以A為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，易知4（0,0）,0（10,0）,

如圖所示：

設(shè)BQM，由兩點間距離公式得/+/=i6@—10）2+/=76