2024-2025學(xué)年北京某中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合A={x|—4<%<2},B={x\x2<9},則AUB=()

A.(—4,3]B.[-3,2)C.(一4,2)D.[-3,3]

2.若復(fù)數(shù)（。+0（1+0缶￡/?）為純虛數(shù)，貝帽的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

3.在（久）4的展開(kāi)式中，X的系數(shù)為（）

A.-4B.4D.6

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

11

A./(x)=—InxD./(x)=

5.設(shè)a,bER,abW0,且a>b,則()

'b/d

A.-<B.|打制>2

a7b

C.sin(a—b)<a—bD.3a>2b

6.已知圓C過(guò)點(diǎn)A（—L2）,8（1,0）,則圓心C到原點(diǎn)距離的最小值為（）

1C

AD

2-B.272

7.已知正方形力BCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足而屈+而），則刀?荏的值為（）

A.2B.-4C.4D.2/2

8.已知函數(shù)/'（%）=sin（久+0）.則“/'（-1）=f⑴"是"/（久）為偶函數(shù)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知以邊長(zhǎng)為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4,4,2/之2/2則該四棱錐的高為（）

A.苧B.?C.20D.73

10.若函數(shù)f⑺=%；｝於o<x<@的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)a的取值范圍是（）

A.（0,1]B.（0,1）C.（1,4）D.（2,4）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.拋物線f=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

12.若點(diǎn)P(cos8,s譏8)與點(diǎn)Q(cos(8+分,sin(8+$)關(guān)于y軸對(duì)稱，寫出一個(gè)

AI

符合題意的。值_____./：

13.如圖，在正三棱柱力中，P是棱BBi上一點(diǎn)，力B=44]=2,

則三棱錐P-2CC1的體積為.

AB

14.設(shè)。為原點(diǎn)，雙曲線C：/一[=1的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)p在c的右支上.則

C的漸近線方程是；鬻的取值范圍是.

n+1

15.對(duì)于數(shù)列｛口兀｝,令7^=%-+43-。4■1--F(-l)an,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若即=n,則72023=1012；

G)右41=n,貝1口2022=—1；

③存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列｛%J,使得|Tnl>I*+1I對(duì)任意的幾eN*都成立；

④若對(duì)任意的neN*,都有|跖<M,則有4+1-an\<2M.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

16.(本小題13分)

如圖，在三棱錐P—4BC中，P41平面力BC,PA=AB=BC=1,PC=.

(1)求證：BC1平面P4B；

(2)求二面角2-PC-B的大小.

17.(本小題13分)

在△ABC中，bsin2A=yTiasinB.

(I)求乙4;

(II)若△4BC的面積為3門，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存

在且唯一確定，求a的值.

條件①：sinC=馬?；條件②：-==F；條件③：cosC—

/C4/

注：如果選擇的條件不符合要求，第(〃)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答

計(jì)分.

“地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計(jì)歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖(如圖)，考慮到受市場(chǎng)影響，預(yù)測(cè)該

地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格情況如表(該預(yù)測(cè)價(jià)格與畝產(chǎn)量互不影響).

明年冬小

麥統(tǒng)一收

購(gòu)價(jià)格(單2.43

位：元/

kg)

概率0.40.6

假設(shè)圖中同組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值估算，并以頻率估計(jì)概率.

(I)試估計(jì)H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為1500元的概率;

(II)設(shè)H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(m)H地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入125元的成本進(jìn)行某項(xiàng)技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥產(chǎn)量平均增

加50kg.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良？并說(shuō)明理由.

19.(本小題15分)

如圖，已知橢圓E：捺+，=l(a>6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為Fi(0,1),離心率為苧.

(1)求橢圓石的方程;

(II)過(guò)點(diǎn)F］作斜率為k的直線交橢圓E于兩點(diǎn)4B,4B的中點(diǎn)為M.設(shè)。為原點(diǎn)，射線。M交橢圓E于點(diǎn)C,當(dāng)

△28。與448。的面積相等時(shí)，求k的值.

20.(本小題15分)

已知函數(shù)/(%)=yT2exsinx(J)<%<〃)，g(%)=(%—l)lnx+m(mER)

(I)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(II)求證：1是g(%)的唯一極小值點(diǎn)；

(III)若存在a,be(0.7T),滿足/(a)=g(b),求租的取值范圍.(只需寫出結(jié)論)

21.(本小題15分)

若數(shù)列A：的,a?，…，an(n>3)中心EN*(l<i<幾)且對(duì)任意的2<k<n—1,ak+1+ak_r>2aze恒成

立，則稱數(shù)列/為“U—數(shù)列”.

(1)若數(shù)列1,x,y,7為“U-數(shù)列”，寫出所有可能的工、y；

(2)若“U-數(shù)列”/：的，加，…，中，的=1，an=2017,求九的最大值；

(3)設(shè)九0為給定的偶數(shù)，對(duì)所有可能的“U-數(shù)列”4：%,如…，。%，記M=…，％I。｝，其中

粗。%｛%1，%2,…,％s｝表示%1，%2，…，/這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，求M的最小值.

參考答案

1.71

2.C

3.2

4.C

5.C

6.5

7.C

8.C

9.D

W.B

1G57r

12，12

1Q2V-3

14.y=±y/~3x；（1,2]

15.①②④

16.解：（1）證明：因?yàn)镻4_L平面4BC,BCu平面4BC,

所以PA1BC,同理R414B,

所以APAB為直角三角形，

又因?yàn)镻8=VPA2+AB2=BC=1,PC=<3,

所以PF+BC2=PC2,則APBC為直角三角形，故BCLPB,

又因?yàn)?clp4PAHPB=P,

所以BC1平面PAB.

（2）由（1）BC1平面PAB,又力Bu平面PAB,貝!

以4為原點(diǎn)，4B為x軸，過(guò)4且與BC平行的直線為y軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

p

則4(0,0,0),P(0,0,l),C(1,1,0),B(l,0,0),

所以衣=(0,0,1),ZC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

設(shè)平面P47的法向量為沅=(x2i，zi),則四亞=°,即

AC=0十月一u,

令%1=1,則％=-1,所以記=

設(shè)平面P8C的法向量為元=(盯,％"2)，貝葉聯(lián)匣=2即_

In?PC=0十丫2—Z2—u

令%2=令則Z2=1，所以記=(1,0,1),

所以cos〈沅，元〉=器=五修/

又因?yàn)槎娼?—PC—B為銳二面角，

所以二面角/-PC-B的大小為宗

17.解：(I)因?yàn)榧幼I2/=y/~3asinB,由正弦定理得，sinBsin2A=y/~3sinAsinB,

又Be所以sinBH0,得到s譏2/=yTSsinA,

又sizi2Z=2sinAcosA,所以2sizh4cos4=V~3sinAf

又/6(0,7T),所以siziAH0,得到cos/=W，所以A=7；

Zo

(II)選條件①：sinC=—

由⑴知，4屋，根據(jù)正弦定理知,

所以角C有銳角或鈍角兩種情況，ANBC存在，但不唯一，故不選此條件.

選條件②：~=~

C4

7

因?yàn)镾0BC=bcsinA=^bcsin^=\bc=3V-3,所以be=12V-3,

LL64

又2=手，得到6=攀的代入尻=12，可，得到享。2=12，可，解得c=4,所以b=3，豆,

c444

由余弦定理得，a2=b2+c2-IbccosA=(3<3)2+42-2x3<3X4x苧=27+16-36=7,所以

a=V-7-

選條件③：cosC=-^一；

因?yàn)镾3BC=bcsinA=^bcsin^=\bc=3V~3,所以be=12V3,

LLO4

由cosC=得到sinC=7'-cos2c=

又sinB=sin(7r—A—C)=sinQl+C)=sinAcosC+cosAsinC,由(1)知/=

所以sinB

又由正弦定理得2=等=再=手，得到6=歲的代入6c=120，得到手。2=126，解得C=

csinC2V7444

7

4,所以b=3C,

由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA=(3<3)2+42-2x30x4X苧=27+16-36=7,所以

a=V-7.

18.解：(I)由頻率分布直方圖知，畝產(chǎn)量為400kg的頻率為0.005x50=0.25,畝產(chǎn)量為450kg的頻率為

0.01X50=0.5,畝產(chǎn)量為500/cg的頻率為0.005X50=0.25,

只有當(dāng)畝產(chǎn)量為500kg,且收購(gòu)價(jià)格為3元，才能使得明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為1500元，故所求的

概率為0.25x0.6=0.15.

(H)由畝產(chǎn)量為400/cg,450kg,500kg,收購(gòu)價(jià)格為2.4元，3元，可知隨機(jī)變量X的所有可能取值為

960,1080,1200,1350,1500,

P(X=960)=0.25x0,4=0.1,

P(X=1080)=0.5x0,4=0.2,

P(X=1200)=0.25x0.6+0.25x0.4=0.25,

P(X=1350)=0.5x0,6=0.3,

P(X=1500)=0.25x0,6=0.15,

所以X的分布列為

X9601080120013501500

p0.10.20.250.30.15

數(shù)學(xué)期望E(X)=960x0.1+1080X0.2+1200x0.25+1350X0.3+1500x0.15=1242元.

(III)增產(chǎn)后，小麥的畝產(chǎn)量變?yōu)?50kg,500kg,550kg,

由(II)可知，X的分布列為

X108012001320135015001650

P0.10.20.10.150.30.15

數(shù)學(xué)期望E(X)=1080x0.1+1200x0.2+1320x0.1+1350x0.15+1500x0.3+1650x0.15=1380

兀，

因?yàn)?380-125=1255元〉1242元，

所以從廣大種植戶的平均收益角度分析，建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良.

19.解：（1）由題意得。=1,又e=（=苧，則a=

???b2=a2-c2=1,

:橢圓E的方程為。+/=1；

（II）由（I）得橢圓E的方程為^■+久2=1,由題思得直線AB的方程為y—1=kx,即y=kr+l,

比*丫2_1

聯(lián)立直線AB與橢圓E可得爹+久一%整理得（必+2）尤2+2入一1=0,

y=fcx+1

4

設(shè)8（%2，丫2），由韋達(dá)定理得%1+%2=----2---'+冷）+2=記另，

???△ZBC與△ZB。的面積相等，.??點(diǎn)C和點(diǎn)。到直線48的距離相等,

又的中點(diǎn)為M,則M為線段OC的中點(diǎn)，即四邊形04CB是平行四邊形,

設(shè)c(%c,yc)，則無(wú)=~OA+~OB,即(%c，yc)=(%,yJ+3,，

,2k,4

???xc=+x2=-y。=丫2+yi=

又與+好=1,即一—2■1T~―2=L解得上—±v-2-

2L(/+2)z(d+2)z

20.解：(I)因?yàn)?(%)=yl~2(exsinx+excosx)=2exsin(x+7),

4

令f'(x)=0,得sin(%+7)=0

4

3

分

-兀

因?yàn)?〈尤<兀，所以x4(3

當(dāng)久變化時(shí)，f（x）的變化情況如下:

333

X

(。，4兀)-4T71(嚴(yán)兀)

「(X)+0—

/(%)7極大值

...(5分)

故/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,當(dāng)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(手，兀)...(6分)

44

1

(II)證明：g(%)=(x—l)Znx+m“(％)=Inx--+l(x>0),…(7分)

設(shè)h(%)=g'(x)=Inx--+1,則〃(%)=-+^>0

故g'(%)在(0,+8)是單調(diào)遞增函數(shù)，…(8分)

又，:g'(l)=0,故方程g'(%)=0只有唯一實(shí)根％=1...(10分)

當(dāng)無(wú)變化時(shí)，g'(%),g(%)的變化情況如下：

X(0,1)1(1,+8)

g'(x)—0+

g(x)極小值7

…(12分)

故g(%)在久=1時(shí)取得極小值g(l)=m,即1是g(%)的唯一極小值點(diǎn).

37r

(III)m<eT...(14分)

21.解：(l)x=l時(shí)，。所以y=2或3；

久=2時(shí)，I；*：〉所以y=4；

久N3時(shí)，無(wú)整數(shù)解；

所以所有可能的％,y為二;或二:

(2)九的最大值為65,理由如下：

a

——方面,注意至(J：CLR+1+k-i>2aze=ak+1—ak>ak—ak-r.

對(duì)任意的1<i<n-1,令氏=ai+1-%,則加eZ且瓦>尻_式2</c<n-1),故瓦>bk_r+1對(duì)任意

的24/c<九一1恒成立.(*)

當(dāng)—1,ctn—2017時(shí)，注意到力1二%—21—1=0，得瓦=(瓦—加一1)+(加一1—瓦_(dá)2)+…+(力2—

瓦)+瓦之i+i+…+n—1個(gè)+o=t-1(2<i<n—1)

即打之i—1,止匕時(shí)a九一a1=(un—。九t)+(%i-i—。九一2)+…+(。2—。1)=bn_1+bn-2+?,?+&之0+

1

1+2+—I-(n-2)=-(n—l)(n—2),(**)

即其ri-1)0—2)32017—1,解得：-62Wn<65,故nW65.

另一方面，為使(**)取到等號(hào)，所以取濟(jì)-i-l(l<i<64),