【課件】雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第三章

圓錐曲線(xiàn)的方程3.2雙曲線(xiàn)

3.2.1

雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程.提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)掌握雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)能利用雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,提升數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)|F1F2|的距離的

等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:和思考

如果把橢圓定義中“距離的和”改為“距離的差”那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生怎樣的變化？差

？下面，我們分別用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和信息技術(shù)探究一下。如圖，在直線(xiàn)l上取兩個(gè)定點(diǎn)A，B，P是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi),取定點(diǎn)F1,F2，以點(diǎn)F1為圓心、線(xiàn)段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線(xiàn)段PB為半徑作圓lABPF1F2新知探究

①當(dāng)點(diǎn)

P在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果|F1F2|<|AB|，那么兩圓相交ABPF1F2所以，其交點(diǎn)M的軌跡是橢圓;兩圓相交，設(shè)交點(diǎn)為M、M'MM'新知探究如果|F1F2|>|AB|,兩圓不相交，不存在交點(diǎn)軌跡.新知探究問(wèn)題1

如圖，在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的條件下,讓點(diǎn)P在線(xiàn)段AB外運(yùn)動(dòng)，這時(shí)動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足什么幾何條件?兩圓的交點(diǎn)M的軌跡是什么形狀?F1F2MM'ABPF1F2MM'ABP新知探究當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)F1時(shí)，|MF2|-|MF1|=|AB|當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)F2時(shí)，|MF1|-|MF2|=|AB|;總之，點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的差的絕對(duì)值|AB|是一個(gè)常數(shù)(|AB|<|F1F2|)，這時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是不同于橢圓的曲線(xiàn)，它分左右兩支.新知探究數(shù)學(xué)試驗(yàn)演示[1]取一條拉鏈；[2]如圖把它固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2；[3]拉動(dòng)拉鏈（M）。思考：拉鏈運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么？（要求：請(qǐng)認(rèn)真觀(guān)察圖中動(dòng)畫(huà)，對(duì)比橢圓第一定義的生成，思考點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中那些量沒(méi)有發(fā)生變化？在試驗(yàn)中能否找到一種等量關(guān)系？）概念生成雙曲線(xiàn)定義

我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距．符號(hào)表述：||MF1|-|MF2||=2a＜|F1F2|=2c一般用2a表示一般用2c表示2FF1M概念辨析辨析1

定義中為什么強(qiáng)調(diào)距離差的絕對(duì)值為常數(shù)？若不強(qiáng)調(diào)軌跡是什么？如果不加絕對(duì)值，那得到的軌跡只是雙曲線(xiàn)的一支.①若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，則軌跡是什么？②若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，則軌跡是什么？③若2a=0,即|MF1|=|MF2|，則軌跡是什么？此時(shí)軌跡為以F1或F2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)此時(shí)軌跡不存在此時(shí)軌跡為線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)分3種情況來(lái)看：

辨析2

定義中為什么強(qiáng)調(diào)常數(shù)要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不對(duì)常數(shù)加以限制，動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么？F1F2MF1F2M概念辨析辨析3定義中為什么要加絕對(duì)值？如果不加絕對(duì)值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么？①如圖(A)，當(dāng)|MF1|>|MF2|時(shí)∵|MF1|=|MF|=|MF2|+|F2F|∴|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a此時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn)的右支②如圖(B)，當(dāng)|MF1|<|MF2|時(shí)∵|MF2|=|MF|=|MF1|+|F1F|∴|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a此時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn)的左支新知探究問(wèn)題2

類(lèi)比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程，如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出雙曲線(xiàn)的方程？

設(shè)M(x,y)

是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，

雙曲線(xiàn)的焦距為2c(c>0)，則有F1(-c,0)

,F2(c,0).

又設(shè)||MF1|-|MF2||=2a(a為大于0的常數(shù),a<c)．F1F2MxyO

觀(guān)察我們畫(huà)出的雙曲線(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)它也具有對(duì)稱(chēng)性，直線(xiàn)F1F2是它的一條對(duì)稱(chēng)軸.

我們?nèi)〗?jīng)過(guò)兩焦點(diǎn)F1和F2的直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy(如圖).由雙曲線(xiàn)的定義，雙曲線(xiàn)就是下列點(diǎn)的集合：建系設(shè)點(diǎn)列式代換①新知探究①追問(wèn)

類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)，怎樣化簡(jiǎn)上面的方程呢？化簡(jiǎn)由雙曲線(xiàn)定義知，2c＞2a，

c＞a，所以c2-a2＞0

令b2=c2-a2,其中b＞0,代入上式得：新知探究

我們把上述方程叫做雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(-c,0),F2(c,0)的雙曲線(xiàn)，這里c2=a2+b2.F1F2MxyO問(wèn)題3

類(lèi)比橢圓，請(qǐng)思考焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？F2F1MxyO

這個(gè)方程也是雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(0,-c),F2(0,c)的雙曲線(xiàn)，這里c2=a2+b2.追問(wèn)如何判斷雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？看x2，y2前的系數(shù)，哪一個(gè)為正，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上------焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走.鞏固練習(xí)課本P121變式典例解析例1

已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)

F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于8，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：鞏固練習(xí)課本P1211.求適合下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)焦點(diǎn)在軸x上，a=4，b=3；

(2)焦點(diǎn)在軸x上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(3)焦點(diǎn)為(0,-6),(0,6),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-5).(2)∵焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為鞏固練習(xí)課本P1211.求適合下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(3)焦點(diǎn)為(0,-6),(0,6),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-5).(3)解1:∵焦點(diǎn)在y軸上，故可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為(3)解2:(定義法)鞏固練習(xí)課本P121解:典例解析∴爆炸點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)靠近點(diǎn)B的一支.

例2

已知A,B兩地相距800m,在A(yíng)地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.

解：如圖示建立直角坐標(biāo)系xOy,使A,B兩點(diǎn)在x軸上,并且點(diǎn)O與線(xiàn)段AB的中點(diǎn)重合，設(shè)爆炸點(diǎn)為P，

則∴炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為xyoBAP???思考

如果A,B兩處同時(shí)聽(tīng)到爆炸聲，那么爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線(xiàn)上？爆炸點(diǎn)應(yīng)在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上.由例2可知，利用兩個(gè)不同的觀(guān)測(cè)點(diǎn)測(cè)得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差,就可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線(xiàn)的方程，但是不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.要想確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，還需增設(shè)一個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)C，利用A,C(或B,C)兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差,求爆炸點(diǎn)所在的另一個(gè)雙曲線(xiàn)的方程.解這兩個(gè)雙曲線(xiàn)方程組成的方程組,就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.

這是雙曲線(xiàn)的一個(gè)重要應(yīng)用.反思

如何準(zhǔn)確測(cè)出爆炸點(diǎn)的位置？

xyoBAP????C典例解析新知探究探究

如圖,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),直線(xiàn)AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是,試求點(diǎn)M的軌跡方程,并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形式,與3.1例3比較,你有什么發(fā)現(xiàn)?ABMOxy?解：由方程可知，點(diǎn)M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn).追問(wèn)

通過(guò)比較能得到什么結(jié)論？ABMOxy?xyBMOA?點(diǎn)M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.點(diǎn)M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn).追問(wèn)

通過(guò)比較能得到什么結(jié)論？新知探究新知探究追問(wèn)

通過(guò)比較能得到什么結(jié)論？結(jié)論1：新知探究追問(wèn)

通過(guò)比較能得到什么結(jié)論？

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B(-a,0),C(a,0),直線(xiàn)AB,AC所在直線(xiàn)的斜率之積等于m(m≠0),則頂點(diǎn)A的軌跡與m有如下關(guān)系：結(jié)論2：設(shè)A(x,y),則化簡(jiǎn)整理得①當(dāng)m=－1時(shí),頂點(diǎn)A的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓,去掉(±a,0)；②當(dāng)－1<m<0時(shí),頂點(diǎn)A的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，去掉(±a,0)；③當(dāng)m<－1時(shí),頂點(diǎn)A的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，去掉(±a,0).④當(dāng)m>0時(shí),頂點(diǎn)A的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，去掉(±a,0).鞏固練習(xí)課本P121證明:課堂小結(jié)橢圓雙曲線(xiàn)定義方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)a,b,c的關(guān)系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2