北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 含解析

通州區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2024年11月本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.若直線與直線平行，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩直線平行的充要條件求出值.【詳解】直線與直線平行，所以.故選：A2.若向量，，滿足條件，則（）A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量減法和數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，所以，又，即，即，解?故選：D.3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可求解.【詳解】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B4.已知直線的方向向量與平面的法向量分別為，，則（）A.∥ B.C.∥或 D.，相交但不垂直【答案】C【解析】【分析】通過(guò)判斷直線的方向向量和平面的法向量的位置關(guān)系，從而判斷直線與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，所以∥或故選：C.5.法向量為的平面內(nèi)有一點(diǎn)，則平面外點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)到平面距離的向量法求解即得.【詳解】依題意，，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：D6.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，則這兩條切線的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為、，求出圓的半徑，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，進(jìn)而可得.【詳解】過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為、，而圓，即，則圓的半徑為2，圓心C?2,0,,故，故，進(jìn)而可得，故選：C．7.圓O1：和圓O2：的位置關(guān)系是A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意可知圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，又，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．8.如圖，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，若，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，將利用線性運(yùn)算表示成，由此可解出、、即可求解.【詳解】由已知，平行六面體中，，又因?yàn)?，所以，，，所?故選：D9.如果，那么“”是“直線不通過(guò)第三象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由直線的一般式方程可得直線的斜截式方程，然后根據(jù)斜率和縱截距的幾何意義即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，，，由得，取，，，滿足，此時(shí)直線方程為，且通過(guò)第三象限；反之，若直線不通過(guò)第三象限，即直線不通過(guò)第三象限，所以，得，所以“”是“直線不通過(guò)第三象限”的必要不充分條件，故選：B.10.如圖，空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，定義.正方體的棱長(zhǎng)為3，E為棱的中點(diǎn)，平面內(nèi)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，M，分別滿足，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正方體的特征結(jié)合阿波羅尼斯圓確定M軌跡，根據(jù)新定義確定P點(diǎn)軌跡，在平面中利用數(shù)形結(jié)合的思想及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)正方體的特征易知平面，平面，平面，所以，又，則，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，整理得，即M軌跡為平面上的圓，以為圓心，2為半徑；因?yàn)?，則P軌跡為以為中心，一條對(duì)角線長(zhǎng)4且在縱軸上的正方形，如上圖所示，，易得，過(guò)圓心作的垂線，可知垂線方程為易得上的垂足，顯然在線段上，而上的垂足，顯然H距N遠(yuǎn)，則圓心到的距離為，圓心到H的距離.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于曼哈頓距離問(wèn)題的處理策略關(guān)鍵在于作出正方形框圖，即得出P的軌跡為正方形，此外利用阿氏圓的定義確定M軌跡，再數(shù)形結(jié)合即可.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知向量，分別是直線，的一個(gè)方向向量，若，則______.【答案】6【解析】【分析】由直線平行可得直線的方向向量平行，再利用空間向量共線的充要條件計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以∥，故存在?shí)數(shù)使得，則，解得，，所以.故答案為：6.12.過(guò)點(diǎn)的直線平分圓，則這條直線的傾斜角為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意和圓的對(duì)稱(chēng)性可知所求直線過(guò)圓心，因此可得直線的斜率，再由斜率確定傾斜角.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線平分圓，所以圓心在所求直線上，因此直線的斜率，所以，因?yàn)?，所以，故答案為?13.直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB最短時(shí)，________.【答案】0【解析】【分析】由題意可知當(dāng)直線與過(guò)定點(diǎn)的直徑垂直時(shí)，弦AB最短，通過(guò)垂直關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由題得，直線，即，，解得：，所以直線過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為2，當(dāng)垂直直線時(shí)，弦最短，此時(shí)直線為，則.故答案為：.14.已知兩點(diǎn)，和圓，則直線與圓的位置關(guān)系為_(kāi)_______.若點(diǎn)在圓上，且，則滿足條件的點(diǎn)共有________個(gè).【答案】①.相交②.4【解析】【分析】先求出直線的方程，再利用圓心到直線的距離判斷直線與圓相交；先求出點(diǎn)到的距離，再結(jié)合圓心到直線的距離為和圓的半徑為判斷得解.【詳解】由題得，所以直線方程為，所以直線的方程為，由可知，圓圓心為，半徑為，又圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，又，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，又圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以圓上有個(gè)滿足條件的點(diǎn).故答案為：相交；.15.直三棱柱中，，，，，使棱上存在點(diǎn)P，滿足，則下列正確結(jié)論的序號(hào)是________.①滿足條件的點(diǎn)一定有兩個(gè)；②三棱錐的體積是三棱柱體積的；③三棱錐的體積存在最小值；④當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，異面直線與所成的角的余弦值為.【答案】②③④【解析】【分析】先根據(jù)，利用勾股定理，可得，即可根據(jù)方程的根，利用求解①；利用等體積法即可求解②，結(jié)合即可求解③，根據(jù)三角形面積公式得，結(jié)合以及基本不等式即可求解面積最小值時(shí)，；最后結(jié)合平移的思想，可知即為所求，即可判斷④．【詳解】設(shè)，則，根據(jù)可得，化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，只有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)符合的點(diǎn)只有一個(gè)，故①錯(cuò)誤，由于平面，故，②正確，由②可知，由①可知有實(shí)數(shù)根，故，故，因此，當(dāng)時(shí)，體積有最小值16，③正確，由可得，過(guò)作于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作為于點(diǎn)，則，即為的邊上的高，在中，，，，，把代入上式，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的面積取得最小值，．，即為異面直線與所成的角，，，即異面直線與所成的角的余弦值為，故④正確，故答案為：②③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)，結(jié)合勾股定理，利用方程的根，得，以及根據(jù)三角形面積公式得，結(jié)合基本不等式求解.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，.（1）求直線BC的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)A與直線BC垂直的直線l的方程；（3）求直線BC與直線l交點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求斜率，再寫(xiě)點(diǎn)斜式方程即可；（2）由垂直關(guān)系得斜率，再寫(xiě)點(diǎn)斜式方程即可；（3）聯(lián)立兩直線的方程，求解即可.【小問(wèn)1詳解】直線的斜率，故直線的方程為，化簡(jiǎn)得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，故，所以，直線的方程為，化簡(jiǎn)得.【小問(wèn)3詳解】聯(lián)立，解得，即，所以直線BC與直線l交點(diǎn)的坐標(biāo)為.17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，且圓是以為直徑的圓.（1）求圓M的方程；（2）若直線與圓M相交，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可確定圓心坐標(biāo)與半徑，即可求解；（2）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用圓心到直線距離小于半徑，可得到關(guān)于的不等式，解不等式得到的范圍.【小問(wèn)1詳解】由已知，，則圓心.半徑，所以圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由直線，即，又直線與圓相交，設(shè)圓心到直線的距離為，可得，整理有：，解得.18.如圖，在棱長(zhǎng)是2的正方體中，分別為AB，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明向量垂直，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定求證，（2）利用向量的夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，所以.，所以，所以.，,故平面.【小問(wèn)2詳解】，，，，所以，所以.故，因此異面直線EF與所成角的大小為19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，分別為棱的中點(diǎn).（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求平面和平面夾角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)G，使得直線在平面內(nèi)，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）圖中有正交基底，可用空間向量法來(lái)求線段長(zhǎng)；（2）圖中有正交基底，用空間向量法來(lái)求兩平面夾角余弦值；（3）圖中有正交基底，可用線向量在平面內(nèi)，必與法向量垂直來(lái)求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，，平面，則，，且，以坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由已知，，，，，，可得，，故線段的長(zhǎng)為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，.所以平面的一個(gè)法向量為，由圖知DA=2,0,0為平面所以，所以平面和平面夾角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得直線在平面內(nèi)，，因?yàn)椋?，即，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，故，所以，解得.故線段上存在點(diǎn)，使得直線在平面內(nèi)，此時(shí).20.如圖①，在直角梯形中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿折起至，使平面平面，得到如圖②所示的幾何體，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成以下問(wèn)題.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，選擇條件①：；繼而可證明平面，選擇條件②：.，可證明，即可求證，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)求解，（2）利用法向量與方向向量夾角即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明若選條件①，取中點(diǎn)，連，OE，，故，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋?，平?所以平面，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，，，，，，，，，，，所以，所以.若選條件②，取中點(diǎn)，連，，，故，，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)椋?，所以，所?以下同條件①.【小問(wèn)2詳解】，，設(shè)平面的法向量為，則，取，，故與平面所成角的正弦值為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過(guò)點(diǎn)且圓心在軸上，與直線交于不同的兩點(diǎn)、，且.（1）求圓的方程；（2）設(shè)圓與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，且，在直線兩側(cè)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出的值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，由可得，則可計(jì)算出，即可得圓心坐標(biāo)，借助圓心坐標(biāo)與點(diǎn)