平行線的綜合運(yùn)用（原卷版）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常考題專練（北師大版）

專題09平行線的綜合運(yùn)用

題圓=平行線中的推理題型

1.如圖，已知AA5C中，于點(diǎn)。，E為48邊上任意一點(diǎn)，EFLBC于點(diǎn)、F,

Z1=Z2.求證：DG//AB.請(qǐng)把證明的過(guò)程填寫(xiě)完整.

證明：?/ADLBC,EF±BC{）,

:.ZEFB=ZADB=90°（垂直的定義）

:.EF//（）

4=—（一）

XvZ1=Z2（已知）

—（—）

:.DG//AB()

2.閱讀下面解答過(guò)程，并填空或在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)理由.

已知平分NN8C交NC于點(diǎn)￡,DE//BC,且N4SC=110。，ZC=35°,

請(qǐng)說(shuō)明8E_L/C.

解：;BE平分/ABC（已知），

ZEBC=-Z（角平分線定義）.

2

■：ZABC=110°,

ZEBC=°.

VDE/IBC,ZC=35°（已知），

:./EBC=N—（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

NC=N4ED=35%）.

NAEB=Z+Z=90°.

/.BELAC.

3.已知：如圖，DGtBC,AC-LBC,EF上AB,Z1=Z2,求證:CDVAB.

證明：vDG1BC,ACIBC(已知)

/.ZDGB=AACB=90°(垂直定義)

DG//AC()

.??/2=()

vZ1=Z2(已知)

AZ1=Z(等量代換)

:.EF//CD()

ZAEF=Z()

?/EF1AB(已知)

/.ZAEF=90°()

ZADC=90°()

/.CD1AB{)

平行線中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

4.如圖①，已知ABC,ZB=ZD=120°.

（1）若點(diǎn)E、尸在線段C￡＞上，且滿足NC平分ZBNE,A尸平分NDAE,求NE4C的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)E、歹在射線DC上，且滿足/￡平分NE48,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，NDE4:NDE4的度數(shù)比值是否隨

之發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律；

（3）若點(diǎn)E在直線CO上，且滿足=,直接寫(xiě)出乙4。:乙4即的值.

2

圖①備用圖

5.如圖，已知4W//3N,點(diǎn)尸是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)/不重合），BC、3D分別平分NNAP和NPBN,

分別交射線于點(diǎn)C,D.

（1）①當(dāng)乙4=50。時(shí)，ZABN的度數(shù)是

②?；AMHBN,

ZACB=Z；

（2）當(dāng)乙4=x。，求NC3。的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，NND8與//網(wǎng)的度數(shù)之比是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)求出這個(gè)比

值；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律.

（4）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到使=時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出2/D2N+!//的度數(shù).

2

6.如圖，已知直線48//射線CD,ZCEB=100°,尸是射線￡3上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸0//EC交射線CD

于點(diǎn)。，連接CP,作NPCF=NPCQ,交直線48于點(diǎn)尸，CG平分NECF,交直線于點(diǎn)G.

（1）若點(diǎn)尸，F(xiàn),G都在點(diǎn)E的右側(cè)，求ZPCG的度數(shù)；

（2）在（1）的條件下，若NEGC-NECG=40。,求/。尸。的度數(shù)；

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的情形，使包￡=之？若存在，求出NCP。的度數(shù)；若不存在,

ZEFC2

請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.如圖，已知AM"BN,//=64。.點(diǎn)尸是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)/不重合），BC、分別平分418尸

ZPBN,分別交射線于點(diǎn)C,D.

U）ZABN的度數(shù)是,ZCBD的度數(shù)是；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，//四與44D8之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)

系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律；

（3）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到使=時(shí)，N/2C的度數(shù)是多少？

8.如圖，已知直線/3//射線CD,ZCEB=100°.P是射線￡3上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸Q//EC交射線CD

于點(diǎn)Q,連接CP.作/PCF=NPC。，交直線43于點(diǎn)F，CG平分/ECF.

（1）若點(diǎn)尸，F(xiàn),G都在點(diǎn)￡的右側(cè).

①求/PCG的度數(shù)；

②若ZEGC-ZECG=40°,求ZCPQ的度數(shù).

（2）在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的情形，使包9=3?若存在，求出NCP。的度數(shù)；若不存在,

NEFC2

請(qǐng)說(shuō)明理由.

AEGFPBAEB

cQDc備用圖0

9.如圖，已知AMI/BN,//=60。，點(diǎn)P是射線4W上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)/不重合），BC,BD分別平分ZABP

和NPBN,分別交射線放于點(diǎn)C,D.

（1）求NCAD的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，乙4四://m的比值是否隨之變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化

規(guī)律;

ZACB=ZABD,求此時(shí)ZABC的度數(shù).

10.AB!ICD,C在。的右側(cè)，BE平分NABC,DE平分NADC,BE、￡>￡所在的直線交于點(diǎn)

E.ZADC=70°.

（1）求NEDC的度數(shù);

（2）若N/8C=30。，求/BED的度數(shù);

（3）將線段8c沿。C方向移動(dòng)，使得點(diǎn)8在點(diǎn)力的右側(cè)，其他條件不變，若/4BC=〃。，請(qǐng)直接寫(xiě)出N8ED

的度數(shù)（用含〃的代數(shù)式表示）.

備用圖

11.如圖，已知直線/"〃2，直線/與直線4、4分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)。，點(diǎn)尸是直線/上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/在直

線/］上，點(diǎn)B在直線上，且點(diǎn)力和點(diǎn)3位于直線/同一側(cè).

（1）如圖（1）,當(dāng)尸點(diǎn)在線段CD（不含端點(diǎn)C和0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：ZAPB=ZPAC+ZPBD.

（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到直線4上方時(shí)，試寫(xiě)出NP/C、/AP8和/尸AD三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，并證明.

系.⑴(2)(3)

12.珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈”,B.如圖1,2所示，假如河道兩岸是平行的，PQ//MN,

且ZBAM=2ZBAN，燈A射線從AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

至3。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈/轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈3轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度.

（1）填空：ZBAN=°；

（2）若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈/射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈3射線到達(dá)8。之前，/燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的

光束互相平行？

（3）如圖3,若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈/射線到達(dá)/N之前，若兩燈發(fā)出的射線NC與8C交于點(diǎn)C,過(guò)C作

乙4CD交PQ于點(diǎn)D,且N/C0=12O。，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄縉3/C與48CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

13.如圖1,AB//CD,點(diǎn)、E,尸分別在直線CD,48上，ZBEC=2ZBEF,過(guò)點(diǎn)Z作/G_LAE1的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)N,4K平分NBAG,交EF于點(diǎn)、H,交BE于點(diǎn)、M.

C1）直接寫(xiě)出ZFAH,/KE”之間的關(guān)系：=+；

（2）若NBEF=L/BAK,求NAHE；

2

（3）如圖2,在（2）的條件下，將AA7/E繞著點(diǎn)E以每秒5。的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為當(dāng)KE邊

與射線即重合時(shí)停止，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)然加的其中一邊與AENG的某一邊平行時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)才

的值.

14.已知/8//CD,線段即分別與/3、C。相交于點(diǎn)E、F.

圖①圖②圖③

C1）如圖①，當(dāng)N/=20。，N/PC=70。時(shí)，求NC的度數(shù)；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸在線段即上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括E、尸兩點(diǎn)），ZA、N4PC與NC之間有怎樣的數(shù)量?

試證明你的結(jié)論；

（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)尸在直線環(huán)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，說(shuō)明理由；如果不成立，

直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系.

題園且平行線中的其他綜合問(wèn)題

15.如圖，已知直線CD被直線/C所截，AB//CD,￡是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線48、CD、

NC上），設(shè)NBAE=a,ZDCE=13.下列各式：①a+￡,@a-[3,@p-a,④360。-&-￡,N/EC的

度數(shù)可能是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

16.已知乙4與25（0。<乙4<180,0。</8<180。）的兩邊一邊平行，另一邊互相垂直，且244-/5=18。，

則乙4的度數(shù)為°.

17.已知：如圖（1）直線48、C。被直線“N所截，Zl=Z2.

（1）求證：AB//CD；

（2）如圖（2）,點(diǎn)E在43,CD之間的直線“N上，尸、Q分別在直線/3、CD上，連接尸￡、EQ,PF

平分NBPE,QF平分NEQD,則/尸￡。和NPF0之間有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；

（3）如圖（3）,在（2）的條件下，過(guò)P點(diǎn)、作PH//EQ交CD于點(diǎn)、H,連接尸。，若PQ平分NEPH,

18.已知，如圖，把直角三角形MON的直角頂點(diǎn)。放在直線N3上，射線OC平分N/ON.

（1）如圖1,若NMOC=28。，求N8ON的度數(shù).

（2）若2Moe=m°,則/BON的度數(shù)為.

（3）由（1）和（2）,我們發(fā)現(xiàn)NMOC和N80N之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？

（4）若將三角形MON繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，試問(wèn)/MOC和N80N之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生

變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.已知/8//CD,點(diǎn)、M、N分別是48、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在48、CD之間，連接MG、NG.

（'】）如圖1,若GM1GN,求N4WG+/CWG的度數(shù)；

（2）如圖2,若點(diǎn)尸是C。下方一點(diǎn)，MG平分/BMP,ND平分NGNP,已知乙8MG=32。，求

ZMGN+ZMPN的度數(shù)；

（3）如圖3,若點(diǎn)￡是上方一點(diǎn)，連接EM、EN,且GM的延長(zhǎng)線平分//ME,NE平濟(jì)NCNG,

2ZMEN+AMGN=105°,求ZAME的度數(shù)

E

圖1圖2圖3

20.已知直線4W、CN和點(diǎn)8在同一平面內(nèi)，且4W//CN,ABVBC.

(1)如圖1,求乙4和/C之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若BD工AM,垂足為。，求證：ZABD=ZC；

(3)如圖3,已知點(diǎn)。、E、尸都在直線上，且ZABD=NNCB,BF平分NDBC,BE平分NABD.若

ZFCB+ZNCF=180°,ZBFC=3ZDBE,請(qǐng)直接寫(xiě)出NE8C的度數(shù).

21.已知，AB//CD,點(diǎn)￡為射線FG上一點(diǎn).

(1)如圖1,若ZEAF=25。,ZEDG=45°,則//￡￡)=.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡在尸G延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)CD與/E交于點(diǎn)〃，則乙4E。、NEAF、NEDG之間滿足

怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在廠G延長(zhǎng)線上時(shí)，DP平分NEDC,KZEAP:ZBAP=1:2,ZAED=32°,ZP=30°,

求/EKD的度數(shù).

22.已知/"7/CN,點(diǎn)8為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB工BC于B.

(1)如圖1,直接寫(xiě)出44和NC之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)8作5DJ.4W■于點(diǎn)。，求證