二元一次方程組（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練

專(zhuān)題09二元一次方程組

一、解二元一次方程組

【高頻考點(diǎn)精講】

1.用“代入法”解二元一次方程組的一般步驟

(1)從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)；

(2)將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

(3)解這個(gè)一元一次方程，求出x(或y)的值；

(4)將求得未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

(5)把求得的小y的值寫(xiě)在一起，用］x=a的形式表示，就是方程組的解。

\y=b

2.用“加減法”解二元一次方程組的一般步驟

(1)方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，

使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；

(2)把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

(3)解這個(gè)一元一次方程，求得x(或y)的值；

(4)將求得未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

(5)把求得的x、y的值寫(xiě)在一起，用I'、的形式表示，就是方程組的解。

Iy=b

【熱點(diǎn)題型精練】

1.(2022?株洲中考)對(duì)于二元一次方程組1丫='-12,將①式代入②式，消去y可以得到()

1x+2y=7②

A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7C.x+x-1=7D.x+2X+2=7

解：fy=x-iO；將①式代入②式，

Ix+2y=7②

得x+2(x-1)=7,

.'.x+2x-2=7,

答案：B.

2.(2022?貴陽(yáng)模擬)小明在解關(guān)于x,y的二元一次方程組1'+△丫=3時(shí)，得到了正確結(jié)果［*=□,后來(lái)發(fā)現(xiàn)4

13x-Ay=l\y=l

和口處被墨水污損了，則4,□處的值分別是()

A.A=2,D=2B.A=1,D=2C.A=2,D=1D.A=1,□=］

fx+4y=3①

解：v-，

—=1②

①+②得4x=4,

解得x=l,

把x=l,y=l代入①得1+A=3,

所以A=2,

即A=2,□=1.

答案：C.

3.（2022?沈陽(yáng)模擬）若實(shí)數(shù)a,b滿足|a+b-2|+,/『=0,則a+3b的值為（

A.1B.2C.3D.4

解：V|a+Z?-2|+77^=0,

Ja+b=2①，

'la-b=0@，

①+②得：2a=2,

解得：a=l,

①-②得：26=2,

解得：6=1,

則4+36=1+3=4.

答案：D.

4.（2022?無(wú)錫中考）二元一次方程組［*+2了=12'的解為_(kāi)（x=2

,2x-y=lIy=3

鏟f3x+2y=12①

l2x-y=l②

由②得：y=2x-1@,

將③代入①得：3x+2（2x-1）=12,

解得：x=2,

將x=2代入③得：y=3,

...原方程組的解為

ly=3

次afx=2

答案：I.

Iy=3

5.（2022?安順中考）若a+26=8,3a+4b=18,則a+b的值為5.

解：：。+26=8,3。+46=18,

貝ijq=8-2b,

代入3a+4b=18,

解得：b=3,

則〃=2,

故〃+。=5.

答案：5.

6.（2022?隨州中考）已知二元一次方程組（x+2yY,則彳-y的值為1

\2x3=5

解：...|x+2y=W，

12x+y=5②

由②-①可得：

x-y=l,

答案：1.

x-2y=3

7.（2022?淄博中考）解方程組：，1313?

舊《二

解：整理方程組得h-2了=3①

[2x+3y=13②

①X2-②得-7y=-7,

y=l,

把y=l代入①得x-2=3,

解得x=5,

.?.方程組的解為，x=5.

ly=l

8.（2022?南寧模擬）閱讀下列材料，并回答問(wèn)題:

【情境1]：小紅在研究學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：

①任意一個(gè)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和為無(wú)理數(shù)；

②任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理數(shù)的積為無(wú)理數(shù)；

③零與無(wú)理數(shù)的積為零.

【情境2】：小剛在小紅研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究，又發(fā)現(xiàn)：

若ax+b=0,其中。，。為有理數(shù)，尤為無(wú)理數(shù)，則4=0且6=0.

例如：若a?退+b=0,其中。，。為有理數(shù)，則a=0,b=0.

【情境3J：后來(lái)，小陳也加入到小紅和小剛的研究學(xué)習(xí)當(dāng)中，并成功解決了之前困擾他的一道題:

（l+V2）a+V2+b=0,其中a,b為有理數(shù).分析：通過(guò)變形，得：（a+1）我+a+b=0.

又a,6為有理數(shù)，.4+1=0解得：卜=-1.

la+b=0Ib=l

運(yùn)用上述知識(shí)解決下列問(wèn)題：

（1）己知（a-2）?a+b+l=0,其中a,b為有理數(shù)，則片2,b=-1；

（2）已知（2+^）a-（l-J^）b=9,其中a,b為有理數(shù)，求芹+2的值.

解：（1）（a-2）?V3+/?+l=0,

:?a-2=0,。+1=0,

解得：〃=2,b=-1；

答案：2,-1；

（2）己知等式整理得：（a+b）V2+2a-b-9=0,

.??〃+Z?=0,2a-b=9,

解得：〃=3,b=-3,

則原式=3-3+2=3-1=工.

3

二、由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組

【高頻考點(diǎn)精講】

1.由實(shí)際問(wèn)題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出

題目中的相等關(guān)系;

2.一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知量就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足:

(1)方程兩邊表示的是同類(lèi)量;

(2)同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一;

(3)方程兩邊的數(shù)值要相符。

3.找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn)，有以下規(guī)律和方法:

(1)如果題目中國(guó)給出的條件由“；”分割成兩部分，可以在“；”前、后找出對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系。

(2)如果題目中借助表格提供信息，可以將信息進(jìn)行橫向或縱向?qū)Ρ龋页鰧?duì)應(yīng)的等量關(guān)系;

(3)如果題目中給出圖形，可以分析圖形的長(zhǎng)、寬，找出對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系。

【熱點(diǎn)題型精練】

9.(2022?深圳中考)張三經(jīng)營(yíng)了一家草場(chǎng)，草場(chǎng)里面種植有上等草和下等草.他賣(mài)五捆上等草的根數(shù)減去11根,

就等于七捆下等草的根數(shù)；賣(mài)七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù).設(shè)上等草一捆為x根,

下等草一捆為y根，則下列方程正確的是()

5y-ll=7x5x+ll=7y

A.B.

7y-25=5x7x+25=5y

5x-ll=7y7x-ll=5y

C.D.

7x-25=5y5x-25=7y

解：設(shè)上等草一捆為無(wú)根，下等草一捆為y根,

5x-ll=7y

根據(jù)題意可列方程組為:

7x-25=5y

答案：C.

10.(2022?日照中考)《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引

繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩

余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問(wèn)木頭長(zhǎng)多少尺？可設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則

所列方程組正確的是()

y-x=4.5x-y=4.5

A.B.

2x-y=l2x-y=l

x-y=4.5y-x=4.5

C.D.

x爰=1

解：設(shè)木頭長(zhǎng)為X尺，繩子長(zhǎng)為y尺，

y-x=4.5

由題意可得＜Y.

xa=1

答案：D.

11.（2022?寧夏中考）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四.問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”

題目大意是：今有人合伙購(gòu)物，每人出八錢(qián)，余三錢(qián)；每人出七錢(qián)，差四錢(qián).問(wèn)：人數(shù)、物價(jià)各多少？設(shè)有x

人，物價(jià)為y錢(qián)，則可列方程組為—aX-y=3_.

（y-7x=4

解：???每人出八錢(qián)，余三錢(qián)，

/.8%-y=3；

??,每人出七錢(qián)，差四錢(qián)，

?\y-7x=4?

.?.可列方程組為儼-y

ly-7x=4

答案"8x-y=3

Iy-7x=4

12.（2022?無(wú)錫模擬）某商店購(gòu)進(jìn)A、8兩種商品共50件，己知這兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)與銷(xiāo)售單價(jià)如表所示，且將

這兩種商品銷(xiāo)售完畢共可獲利660元.設(shè)商店購(gòu)進(jìn)A種商品尤件，購(gòu)進(jìn)B種商品y件，則根據(jù)題意可列方程組

（x+y=50

1（40-30）x+（55-40）y=660--

商品類(lèi)別進(jìn)貨單價(jià)（元/件）銷(xiāo)售單價(jià)（元/件）

A3040

B4055

解：設(shè)商店購(gòu)進(jìn)A種商品x件，購(gòu)進(jìn)8種商品y件，則根據(jù)題意可列方程組［、始=5°.

I（40-30）x+（55-40）y=660

答案」x"50

（40-30）x+（55-40）y=660

三、列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題

【高頻考點(diǎn)精講】

1.審題：找出已知條件和未知量以及它們之間的關(guān)系；

2.設(shè)元：找出題目中兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)，直接設(shè)元與間接設(shè)元；

3.列方程組：找出題目中的兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組；

4.求解；

5.檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答。

【熱點(diǎn)題型精練】

13.（2022?宜昌中考）五一小長(zhǎng)假，小華和家人到公園游玩.湖邊有大小兩種游船.小華發(fā)現(xiàn)1艘大船與2艘小船

一次共可以滿載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人.貝！J1艘大船與1艘小船一次共可以

滿載游客的人數(shù)為（）

A.30B.26C.24D.22

解：設(shè)1艘大船可載工人，1艘小船可載y人,

依題意得:產(chǎn)y=322,

2x+y=46②

①+②得：3x+3y=78,

，x+y=26,

即1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數(shù)為26,

答案：B.

14.（2022?武漢中考）幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方一一九宮格.將9個(gè)數(shù)填

入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個(gè)幻方.圖

A.9B.10C.11D.12

解：?.?每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，

最左下角的數(shù)為：6+20-22=4,

最中間的數(shù)為：x+6-4=尤+2,或x+6+20-22->=尤-y+4,

最右下角的數(shù)為：6+20-（x+2）=24-x,或x+6-了=尤-y+6,

Iy=2

，x+y=12,

答案：D.

15.（2022?保定模擬）可以借助圖1、圖2的方式測(cè)量桌子的高度，將兩塊完全一樣的長(zhǎng)方體木塊先按圖1方式放

置，再按圖2方式放置，測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖所示，則桌子的高度是（）

圖1圖2

A.（a-b）cmB.a+^cmC.（且+b）cmD.（a+-）m

解：設(shè)圖中長(zhǎng)方體木塊的長(zhǎng)邊減短邊的長(zhǎng)為XC7”,桌子的高度是左加，

依題意得：卜+h=a,

lh-x=b

解得：仁生也，

2

答：cm.

2

答案：B.

16.（2022?湖北中考）有大小兩種貨車(chē)，3輛大貨車(chē)與4輛小貨車(chē)一次可以運(yùn)貨22噸，5輛大貨車(chē)與2輛小貨車(chē)一

次可以運(yùn)貨25噸，則4輛大貨車(chē)與3輛小貨車(chē)一次可以運(yùn)貨23.5噸.

解：設(shè)1輛大貨車(chē)一次可以運(yùn)貨尤噸，1輛小貨車(chē)一次可以運(yùn)貨y噸，

根據(jù)題意得：,x+4y=22⑴，

［5x+2y=25（2）

⑴；⑵得:4x+3y=23.5；

答案：23.5.

17.（2022?棗莊中考）《九章算術(shù)》是人類(lèi)科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，其書(shū)中卷八方程［七］中記載：“今有牛

五、羊二，直金十兩.牛二、羊五，直金八兩.牛、羊各直金幾何？”題目大意是：“5頭牛、2只羊共值金10

兩.2頭牛、5只羊共值金8兩，每頭牛、每只羊各值金多少兩？”根據(jù)題意，可求得1頭牛和1只羊共值金

12兩.

7一

解：設(shè)每頭牛尤兩，每只羊y兩，

根據(jù)題意,可得儼+2丫=10,

I2x+5y=8

；.7x+7y=18,

；.x+y=-^,

7

..J頭牛和1只羊共值金歿兩，

7

答案：理.

7

18.（2022?重慶中考）為進(jìn)一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會(huì)決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓.初步預(yù)算，這

三座山各需兩種樹(shù)木數(shù)量和之比為5：6：7,需香樟數(shù)量之比為4：3：9,并且甲、乙兩山需紅楓數(shù)量之比為2：

3.在實(shí)際購(gòu)買(mǎi)時(shí)，香樟的價(jià)格比預(yù)算低20%,紅楓的價(jià)格比預(yù)算高25%,香樟購(gòu)買(mǎi)數(shù)量減少了6.25%,結(jié)果發(fā)

現(xiàn)所花費(fèi)用恰好與預(yù)算費(fèi)用相等，則實(shí)際購(gòu)買(mǎi)香樟的總費(fèi)用與實(shí)際購(gòu)買(mǎi)紅楓的總費(fèi)用之比為國(guó).

一5一

解：根據(jù)題意，如表格所設(shè)：

香樟數(shù)量紅楓數(shù)量總量

甲4x5y-4x5〉

乙3x6y-3x6y

丙9x7y-9x7y

,甲、乙兩山需紅楓數(shù)量之比為2：3,

.5y-4x2

6y-3x3

??y=2x,

故數(shù)量可如下表:

香樟數(shù)量紅楓數(shù)量總量

甲4x6xlOx

乙3x9x12x

丙9x5x14x

所以香樟的總量是16%,紅楓的總量是20x,

設(shè)香樟的預(yù)算單價(jià)為〃，紅楓的預(yù)算單價(jià)為4

由題意得，

[16x*(l-6.25%)-20%)]+20x?g?(l+25%)]=16x?〃+20x?b,

.?.124+25/?=16〃+20。，

4。=5。，

設(shè)a=5左，b=4k,

.16X(1-6,25%)XQ.8X5=3

20X1.25X4T

答案：3.

5

19.(2022?泰安中考)泰安某茶葉店經(jīng)銷(xiāo)泰山女兒茶，第一次購(gòu)進(jìn)了A種茶30盒，8種茶20盒，共花費(fèi)6000元；

第二次購(gòu)進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%,該店又購(gòu)進(jìn)了A種茶20盒，8種茶15盒，共花費(fèi)5100元.求

第一次購(gòu)進(jìn)的A、8兩種茶每盒的價(jià)格.

解：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)A種茶的價(jià)格為x元/盒，2種茶的價(jià)格為y元/盒，

依題意得：儼x+20y=6000,

I20X(l+20%)x+15X(l+20%)y=5100

解得：卜=100.

ly=150

答：第一次購(gòu)進(jìn)A種茶的價(jià)格為100元/盒，8種茶的價(jià)格為150元/盒.

20.(2022?安徽中考)某地區(qū)2020年進(jìn)出口總額為520億元，2021年進(jìn)出口總額比2020年有所增加，其中進(jìn)口額

增加了25%,出口額增加了30%.

注：進(jìn)出口總額=進(jìn)口額+出口額.

（1）設(shè)2020年進(jìn)口額為尤億元，出口額為y億元，請(qǐng)用含x,y的代數(shù)式填表:

年份進(jìn)口額/億元出口額/億元進(jìn)出口總額/億元

2020Xy520

20211.25x1.3y1.25x+1.3y

（2）已知2021年進(jìn)出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進(jìn)口額和出口額分別是多少億元？

解：（1）由表格可得,

2021年進(jìn)出口總額為：1.25x+1.3y,

答案：1.25x+1.3y；

（2）由題意可得，

（x+y=520

11.25x+l.3y=520+14C，

解得（x=320,

ly=200

.,-1.25x=400,1.3y=260,

答：2021年進(jìn)口額是400億元，出口額是260億元.

四、三元一次方程組的應(yīng)用

【高頻考點(diǎn)精講】

在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，若未知量較多，要考慮設(shè)三個(gè)未知數(shù)，但同時(shí)應(yīng)注意，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要找到幾個(gè)等量關(guān)系

列幾個(gè)方程。

1.把求等式中常數(shù)的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組，為以后待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式奠定基礎(chǔ)；

2.通過(guò)設(shè)二元與三元的對(duì)比，體驗(yàn)三元一次方程組在解決多個(gè)未知數(shù)問(wèn)題中的優(yōu)越性。

【熱點(diǎn)題型精練】

21.（2022?哈爾濱模擬）小明媽媽到文具店購(gòu)買(mǎi)三種學(xué)習(xí)用品（每種至少買(mǎi)一件），其單價(jià)分別為2元、4元、6元，

購(gòu)買(mǎi)這些學(xué)習(xí)用品需要56元，經(jīng)過(guò)協(xié)商最后以每種單價(jià)均下調(diào)0.5元成交，結(jié)果只用了50元就買(mǎi)下了這些學(xué)習(xí)

用品，則小明媽媽有幾種不同的購(gòu)買(mǎi)方法.（）

A.6B.5C.4D.3

解：設(shè)分別購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品x、y、z,

則有」2久+4y+6z=56①，

[1.5x+3.5y+5.5z=50②

①-②得：x+y+z=12③，

又x+2y+3z=28④，

,??④-③得：y+2z=16,

方案一：y=2,z=7,x=3.

方案—y=4,z=6,x=2

方案三：y=6,z=5,x=l

答案：D.

22.（2021?重慶中考）盲盒為消費(fèi)市場(chǎng)注入了活力，既能夠營(yíng)造消費(fèi)者購(gòu)物過(guò)程中的趣味體驗(yàn)，也為商家實(shí)現(xiàn)銷(xiāo)售

額提升拓展了途徑.某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱共22個(gè)，搭配為A,B,C三種盲盒各一個(gè)，其

中A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，1個(gè)迷你音箱；2盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口

優(yōu)盤(pán)的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，2個(gè)迷你音箱.經(jīng)

核算，A盒的成本為145元，2盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱

的成本之和），則C盒的成本為155元.

解：???藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱共22個(gè)，A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，1個(gè)迷你音箱；C

盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，2個(gè)迷你音箱；

.?.3盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱共22-2-3-1-1-3-2=10（個(gè)），

盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤(pán)的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：