湖南省部分學(xué)校A佳聯(lián)考2024屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

湖南省部分學(xué)校A佳聯(lián)考2024屆高三5月模擬考試

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.某臺機器每天生產(chǎn)10000個零件，現(xiàn)連續(xù)12天檢測，得到每天的次品零件個數(shù)依次

為：8,12,9,18,16,17,15,9,18,20,13,11,則這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第60

百分位數(shù)之和是（）

A.29B.30C.30.5D.31

［答案］B

K解析X將這12個數(shù)據(jù)從小到大排列為8,9,9,11,12,13,15,16,17,18,18,20,

60%x12=7.2,所以排列后的第8個數(shù)即為第60百分位數(shù)：16,

中位數(shù)為上士"=14,故所求為：14+16=30.

2

故選：B.

/Z7

2.雙曲線V=1（?！?）的上焦點尸2到雙曲線一條漸近線的距離為一，則雙曲線兩

a2

條漸近線的斜率之積為（）

A.-4B.4C.-2D.2

K答案》A

k解析X由對稱性，不妨設(shè)耳（0,c）,雙曲線的漸近線是y=±依，

ca

則由題意—=1=一解得〃=2,故所求為-

2

故選：A.

3.已知根，〃是兩條不重合的直線，￡是兩個不重合的平面，下列命題正確的是

（）

A.若mila,nil0,al1/3,則〃

B.若ntua,nua,mllB，nll。,則a//￡

C,若m工a,mlln,a1,則〃_L/?

D.若加_La,〃_L尸，加_L〃，則

K答案1D

K解析》對于A,若〃//p,alIp,則〃//o或〃ua,則如〃相交、平行、異面都

有可能，A錯誤；

對于B,若加燙z,"a,mlip,nllp,則a與夕相交或平行，B錯誤；

對于C,若機J_/加〃〃，則〃J_c,又a，B,則〃//4或"u^,C錯誤；

對于D,由加_La,〃2-L/，得〃//a或〃ua,若〃//a,則存在過〃的平面與a相交，

令交線為/,則"http:///,而九，/，于是/，尸，?!/?；若〃ua,而九，尸，貝U

aV/3,

因此a_L/?,D正確.

故選：D.

4.己知函數(shù)7(x)的導(dǎo)函數(shù)是/'(X),且尸(x)=x3,p=ln3,q=log]i3,則下列命題正確

的是()

A./(-?)</(/B.f(p)>f(2q)

C./(—)>/(—)D./(—+1)>/(―)

pqpq

k答案》B

K解析工依題意，/(x)=-x4+c(c為常數(shù))，/(%)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞

4

增，

又夕=ln3>l,0<^=logn3<l,則0<q<l<a，

對于A,f(~p)=f(p)>f(q),A錯誤；

對于B,p-2q=In3-2lognS=lnS-log^Q>lne-lognll=0,

p>2q>0,于(p)>fQq),B正確;

對于c,->->o,/(-)>/(-),C錯誤；

Qpqp

113e

對于D,—+1——=log3e+l-log311=log3—<log31=0,

Pq11

—+1<~,/(--+1)</(-),D錯誤.

pqpq

故選：B

12

5.右5cos2a-sin2。=---------tan2a,貝Utanc=()

cos2a

22

A.-B.-1C.1D.—1或一

33

K答案』A

K解析』由5cos20一sin2a=------------tan22a,

cos2a

2

-rzg_.2、c?1sin2al.2

口」行5(zcos2a-sma)-2sinacosa=----------------------=l=smi+cos2a,

cos2acos2a

(cos2aw0),

兩邊同時除以2cos2a并整理可得：3tan2a+tandz-2=0?

解得:tana=-或tan。二一1,

當(dāng)tana=-l時，sina=-cos。，cos2a=0,不符合題意，

2

所以tana=—.

3

故選：A.

6.已知一個多邊形的周長等于207cm,所有各邊的長成等差數(shù)列，最大的邊長為

42cm,公差為3cm,則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.4B.6C.23D.6或23

K答案』B

臬=她詈=207

K解析1由題意可知：%=42總=207,d=3,則v

an=q+(九一1)x3=42

n(a+42)=414

即〈，W3n2—87/Z+414=0>解得："=6或〃=23.

q=45-3n

當(dāng)〃=23時，%<0不合題意；

故選：B.

7.某大學(xué)一宿舍4名同學(xué)參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩

人差幾分上線，這兩名學(xué)生準(zhǔn)備從A,B,C,D,E,尸這6所大學(xué)中任選三所大學(xué)申請調(diào)

劑，則這兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)的條件下，恰好選擇了兩所相同大學(xué)的概率為

K答案UC

k解析X依題意，這兩名學(xué)生恰好選擇了兩所相同大學(xué)的方法總數(shù)為：C；C；C；=180,

這兩名學(xué)生選擇了相同大學(xué)的方法總數(shù)為：C；C；C；+C；C；C；+C：=380,

所以所求概率p=&=2.

38019

故選：C.

22

8.己知耳,鳥是橢圓C:=+與=1（。〉人〉0）的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點，過可作直

ab

線與c交于A,B兩點，若|AE|=|AB|,且AOAF2的面積為也〃，則橢圓C的離心率

為（）

A石R舊「四NA/3

A.---D.C.U.---

12632

[答案XC

k解析》我們首先來證明一個引理：若/月傷=a（0<。<兀），則川明已

2

證明如下：^&\AF^=m\AF^=2a-m,

則由余弦定理有4c2=trr+（2a-m）--2m（2a—m）cos6,

即4c2=^m+（2a—my^-2/n（2a-m）（l+cos^）,

4a2-4c22H

所以詞2""）=赤砌=匚嬴萬，

C.。0

]12h22sin—cos—，

1222

所以\AF,F2=-rn（2?-m）sin6>=----------?sin8=b------=btan-,

221+cosO2cos2-2

2

從而引理得證;

2

根據(jù)題意可得，SAFF=btan-=2S0AF=2義烏?=烏2,解得tan，=止

△AriF22△UAt'z6323

因為0<2<^，所以g=解得。=巴,

22263

由|隹ZBAF2=^,可得三角形ABg為等邊三角形，

所以4a=忸閭+|乃|+|他|=3|然|,所以仙叫=事,忸制=2a—事=當(dāng)，

所以忸用=事—g=g=|A《|,所以瑪是AB的中點，

所以A3,6乃，

所以（引=（2c『+（引，即。2=302,

所以e=￡=3.

a3

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.己知/（%）=45桁（8+。）（4>0,0〉0,0<0<兀）是某個簡諧運動的函數(shù)K解析H

式，其部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（）

IT57r

B.這個簡諧運動的初相為二或

66

5兀

C./（%）在—,37t上單調(diào)遞減

7T

D.將函數(shù)/（X）的圖象向左平移一個單位長度得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)

6

k答案》AD

K解析［對于AB,由題意A=2，/（O）=2sin0=l,

因為0<0<兀，

LL.7T_5兀

所以0=7或0=

66

717171

—0+—=—+2E/eZ

662

當(dāng)。二巴時，由1：一二，」＜0，解得0＜刃=2+12左＜3,ZeZ,此時只能

664口

6t?＞0

是左=0,69=2,

兀5兀_71

一G++24兀,左￡Z

6~6~~2

5兀兀12兀

當(dāng)9=一時，由｛——?—<0,解得0<0=—2+12左<3,左eZ,此時

664

a)>0

k,①無解,

TT

綜上所述，①=2,這個簡諧運動的初相為:，故A正確，B錯誤;

6

對于C,由題意/(x)=2sin[2x+S],

,「5兀_7t「31兀37兀

當(dāng)工￡--,3兀時，t—2%H--G----,---,

L2J6L66J

,.c.4「31兀37兀1丁、卬

而y=2sm/在———上不單1vt調(diào)，

o6

5兀

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，/(X)在5,3兀上不單調(diào)，故C錯誤；

JT

對于D,將函數(shù)/(光)的圖象向左平移；個單位長度得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)

6

顯然g(-x)=2cos(-x)=2cosx=g(x),

且g(x)的定義域(全體實數(shù))關(guān)于原點對稱，

所以g(x)是偶函數(shù)，故D正確.

故選：AD.

10.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-44GA中，點尸是正方體的上底面4片

內(nèi)(不含邊界)的動點，點。是棱8C的中點，則以下命題正確的是()

A.三棱錐Q-PCD的體積是定值

B.存在點P,使得P。與A41所成的角為60°

C.直線PQ與平面AADD,所成角的正弦值的取值范圍為[0,5-

D.若PQ=PQ,則尸的軌跡的長度為述

4

（答案》ACD

（解析》對于A,三棱錐PC。的體積等于三棱錐P-QC。的體積，

1112

七棱錐p-℃￡）SA0C?xA4j=§X]><2xlx2=§是定值，A正確；

以A為坐標(biāo)原點，4片分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(2,1,—2),設(shè)P(x,y,0)(0<x<2,0<y<2),則?=(x—2,y—1,2)

對于B,招=(O,0,2),使得P。與A、所成的角a滿足：

A

10p2X2

CCS"=------------——----------------------------------

一網(wǎng).陽「加一致+5以+皿'

因為0<%<2,0<y<2,故0<(x—2)2+(y—I)?<5,故cosce]g,l

而cos60°=—0(—,1),B錯誤；

23

對于C,平面4ADR的法向量7=（1,0,0）,

所以直線P。與平面AADA所成角夕的正弦值為：sin〃=

4-2)2+(5+4

因為0<x<2,0<y<2,故一2<1—2<0

故<7K|x-2|,

J(x-2)2+5J(x-2)~+(y-l)2+4J(x-2)?+4

A21J。2]|x-2|__1_J。受]

22

而正_2『+515I3j,7(X-2)+414CJ

V(x-2)2V(x-2)2

k-2|0

故0<（《-即sinp的取值范圍為c正確;

J(x-2)2+(y-l)2+4KJ

對于D,2(0,2,0),取=(蒼y—2,0),由P2=P。,

可得f+(y—2)2=(x—2)2+(y—Ip+4,化簡可得4x-2y-5=0,

35

在硒丁平面內(nèi)，令x=o,得y=5,令y=0，得％=^，則尸的軌跡的長度為

J(2一子+6=手口正確；

故選：ACD.

11.已知定義域為R的函數(shù)/(x),g(x),/'(x)是/(%)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足：

/'(尤)+g(x)=-f(4-x)+g(x-l)=2,g(x)—2是奇函數(shù)，則下列判斷正確的是

()

A./‘(X)是奇函數(shù)B.r(3)=o

2024

c.g⑴+g⑵=2D.￡g(，)=4048

i=l

K答案》ABD

I1解析U由解(x)+g(x)=2,得/'(—x)+g(—x)=2,

則/'(%)+g(x)+/'(—%)+g(f)=4,

又g(x)-2是奇函數(shù)，即g(—x)—2=—[g(x)—2],從而g(-%)+g(%)=4,

nx)+f(-x)=Q,

即/'(一%)=—/'(%),則/'(x)是奇函數(shù)，A正確;

對于B,在g(-x)+g(x)=4中,令x=o,可得g(0)=2,

在—/'(4—x)+gQ—1)=2中，令龍=1,可得一/'⑶+g(0)=2,從而r(3)=0,B正

確；

對于C,在一/'(4一%)+8(％-1)=2中，以4一%代X,可得一/'(%)+g(3—%)=2,

與/'(%)+g(%)=2求和，可得g(3—x)+g(x)=4,令x=2,可得g(l)+g⑵=4,C

錯誤；

對于D,由g(—x)+g(x)=4以及g(3-x)+g(x)=4,可得g(—x)=g(3—x),

從而g(3+x)=g(x),則g(x)是周期為3的周期函數(shù)，g(3)=g(0)=2,

g(l)+g(2)=4,

2024

￡g(i)=674x[g⑴+g(2)+g(3)]+g⑴+g⑵=674x6+4=4048,D正確.

i=l

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若復(fù)數(shù)是方程公―2尤+10=0的兩根，則Z：+Z]Z2+2Z2=.

K答案X4

K解析X由韋達(dá)定理有4+z2=2,Z]Z2=10,且z；—2Z]+10=0=>z；=2Z]—10,

所以z；+Z]Z?+222=2Z]—10+ZJZJ+2z2=2(z[+z?)+—10=4+10—10=4.

13.已知AB=4,點P是以線段AB為直徑的圓上任意一點，動點M與點A的距離是它

與點B的距離的加倍，則1PMi的取值范圍為.

[答案X[0,8+4近]

K解析工以中點。為坐標(biāo)原點，A8所在直線為無軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(-2,0),8(2,0),M(x,y),于是J(x+2『+y2="小-2『+y2,

化簡得：X2+/-12X+4=0,即(x—6)2+/=32,

因此點M的軌跡是以。(6,0)為圓心，4垃為半徑的一個圓，與。。的位置關(guān)系是相

交，

所以0W|PM|W8+4jI

14.對集合A={-l,2,x,y},其中％>0,y>0,定義向量集合

Q={ala=（m,n）,m,n&A},若對任意［eO,存在工^。，使得貝I

x+y=.

k答案』5或1+行

k解析U取7=（2,2）,則存在Z=（sj）使得瓦_(dá)1_）,從而可得2s+2f=0,即

s+1=0,

所以S"一定是一正一負(fù)（因為。不屬于集合A）,不妨令$<，，則5=-1/=1,

所以f=leA,所以A={-1,2,1,機},（m>0）,

取q=（m,2）,則存在g=（M,V）使得從而可得加"+2v=0,

若M>0,V>0,則/〃"+2n>0矛盾，故"，v不可能同時大于0,

若M<0,V<0,則m〃+2v<0矛盾，故"，丫不可能同時小于0,

所以必定有一正一負(fù)，

所以有：u=-l<v,則ve{2,l,m},或v=—l<a,則〃e{2,l,、},

情況一：當(dāng)〃=-l<v,ve{2,l,〃z}時，m—2v,

從而加=2x2=4,或m=2xl=2（舍去，集合元素間互異），或加=2加，即〃z=0

（舍去，與加>0矛盾），

此時光+y=/+m=l+4=5（這里不考慮具體無,V與才,"2的對應(yīng)關(guān)系，因為由加法交換

律可知，兩個加數(shù)交換位置不影響結(jié)果），

情況一：當(dāng)v=-l<a,ue{2,l,m},mu=2,

從而2加=2,即〃z=l（舍去，集合元素間互異），或加=2（舍去，集合元素間互異），

或加2=2,（m>0）,即加=夜，

此時x+y=/+根=1+0（這里不考慮具體陽,與/,"2的對應(yīng)關(guān)系，因為由加法交換律

可知，兩個加數(shù)交換位置不影響結(jié)果），

綜上所述，龍+丁=5或x+y=l+0.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.陽春三月，油菜花進(jìn)入最佳觀賞期，長沙縣江背鎮(zhèn)、望城光明村彭家老屋、瀏陽達(dá)滸

油菜花田、岳麓區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費向市民、游客開放，長沙某三所高級中學(xué)4

B,C組織學(xué)生去這四個景區(qū)春游，已知A,B兩所學(xué)校去每個景區(qū)春游的可能性都相同，

C學(xué)校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為,，去其它三個景區(qū)春游的可能性相同.

2

(1)求望城光明村彭家老屋迎來三所學(xué)校春游的概率;

(2)長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學(xué)校所數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：(1)依題意’48兩所學(xué)校去每個景區(qū)春游的概率都是:’

c學(xué)校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的概率為!，去其它三個景區(qū)春游的概率為‘

所以望城光明村彭家老屋迎來三所學(xué)校春游的概率為：P=(-)2x-=—.

4696

(2)依題意，長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學(xué)校所數(shù)X的可能值為：0,1,2,3,

,,3515人,3113513

Pn(Xv=0)=(-)2x-=—,P(X=1)=(-)2x-+C*x-x-x-=—,

46327v46244632

P(X=2)=4)2x|+C^xix|xi=H,P(X=3)=4)2X1=-1,

46446964696

所以長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學(xué)校所數(shù)X的分布列為：

X0123

1513111

p

32329696

15?13

數(shù)學(xué)期望E(X)=0x.+2cx-1-1--i-。3x——1二一2

323296963

16.如圖，四棱錐尸-ABCD的底面ABCD是梯形，

//AD,PA=AB==1,AD=2,PC=6,PA，平面ABC。-

(1)求證：平面P3CJ_平面MB；

在棱上是否存在一點區(qū)使得二面角E-AC-尸的余弦值為好.若存在，求出

(2)

3

尸石:即的值；若不存在，請說明理由.

(1)證明：因為平面ABCD,8。,4?,48<=平面48?！?,

所以PA，5cpA,AC,PA，AB,

因為PA=AB=BC=1,PC=百，

22

所以3=?。2—叢2=3-i=2=AB+BC，

所以ABL5C,

又因為申_18。,24八48=人,率,/止＜=平面^43,所以5CL平面2S,

因為NCu平面P3C,所以平面P3CL平面承B；

（2）解：因為5C,平面MB,BC//AD,所以AD,平面B4B,

又因為？A,A5u平面E43,所以AO，E4,AO，A3,又R4LAB,

所以AB,AD,AP兩兩互相垂直，

所以以點A為坐標(biāo)原點，AB,AO,AP所在直線分別為羽％z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

如圖，c（l,1,0）,P（0,0,1）,D（0,2,0）,PD=（0,2-1）,

設(shè)而=4M=（O,22T）,（OWXWl）,

則荏=Q+而=（0,0,1）+（0,22,-彳）=（0,22,1-X）,

AC=（1,1,0）,設(shè)平面EAC的法向量為五=（Xi，yi，zi）,

n.-AC=0{x,+y,=0

則，一，即二八八C，取為=2—1,石=1一%4=24滿足條件,

?1-AE=0[2肛+（1-4”1=0

所以可取瓦=（1—44—1,22）,

AC=（l,l,0）,AP=（0,0,1）,設(shè)平面PAC的法向量為a=（%2，%，22），

n,?AC=0x,+1=0

即’：2,取力=_1,解得％=1/2=0,

0=0

n2-AP=0

所以Z=（L-l,0）,

由題意gs雇詞|%同|2—2川

葉同V2-^2（2-l）2+4223

1

化簡并整理得（2—1）9-=4彳2,解得;1=§或4=—1（舍去）,

tuniinr

所以PE=—PD,

3

綜上所述，棱尸。上是否存在一點E,且PE:ED=1:2,使得二面角E-AC-尸的余弦

值為運

3

17.己知拋物線石：丁2=2夕%（°〉0）的焦點為品過尸且斜率為2的直線與E交于A,B

兩點，|AB|=10.

（1）求E的方程；

（2）直線/:x=T,過/上一點尸作E的兩條切線尸M,PN,切點分別為M,N.求證：

直線MN過定點，并求出該定點坐標(biāo).

y2=2px

聯(lián)立<1n,得V=0,則/=°2+4夕2>0,則%+%=。，

X=—y+—

I2，2

所以|AB\=Xy+xp=一~~?—+--■卜p=——=10,

212/

解得p=4,

故拋物線E的方程為：/=8x.

（2）設(shè)直線A/N的方程為x=2Y+，z,/（&,%），N（X4，%），

y2=

聯(lián)立<，得/一^my-8〃=0,A—64m2+32n>0，即2m1+n>0?

x=my+n

所以為+%=8加，y3y4=-8〃，

令丹〉0,當(dāng)y>0時，y2=8x可化為y=2后，則/=羋，

yjl/、4%

則在加處的切線PM的方程為：y—%=i=(x-&),即丁=一%+二，

U^%2

4y

同理可得切線PN的方程為：y=—x+U4，

為2

聯(lián)立PM與PN的方程，解得％=2=-4，

「8

所以y3y4=-32=-8〃，則〃=4,滿足2加2+〃〉0，

則直線跖V的方程為了=切+4,

所以直線MN過定點，該定點坐標(biāo)為(4,0).

18.己知函數(shù)f(x)=ae2*—(<zx+2—a)e*+—x2.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(龍)有兩個零點，求。的取值范圍.

解：(1)函數(shù)/(x)=ae"—(at+2—a)e*+—%2的定義域為R,

求導(dǎo)得/'(X)=2ae2x-{ax+2)el+x-(tze1-l)(2ex-x)，

令9(x)=2e*-x,求導(dǎo)得d(x)=2e*-1,當(dāng)為<—ln2時，”(x)<0,當(dāng)%>-ln2

時，(p(x)>0,

函數(shù)。(x)在(-8,Tn2)上遞減，在(-In2,-+w)上遞增,

^(%)>^(-ln2)=l+ln2>0,即2e*—x>0，

①當(dāng)aW0時，ae“—1<0，/'(x)<0恒成立，/(%)在R上單調(diào)遞減；

②當(dāng)a>0時，由/'(x)<0,得尤<-Ina,由/'(x)>0,得x>-lna,

函數(shù)/(%)在(-8,Tna)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+<?)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)aWO時，/(光)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，/(%)(一8,Tna)上單調(diào)遞減，在(—Ina,+0。)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，當(dāng)aWO時，/(x)在R上單調(diào)遞減，/(x)在R上至多一個零點，不滿

足條件，

["12112

當(dāng)a>0時，/OOmin=/(-Ina)=1——+111〃+』?,令g(a)=1---FIn,

a2a2

e,/、11Ina11、11

則g(〃)=—+—+---=—(Z—+1+1D4Z)=—(Z—+l-ln—),

aaaaaaaa

令式(x)=x-l-lnx,求導(dǎo)得/(%)=1-L

x

當(dāng)Ovxvl時，u(x)<0,當(dāng)%>1時，u\x)>0,

函數(shù)”(%)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,u(x)>u(l)=0,即

—]nx>l—x,

111?

于是g'(a)N—[—+1+(1——)]=->0,函數(shù)g(〃)在R上單調(diào)遞增,而g⑴二。，

aaaa

則當(dāng)Ovavl時，g(a)<0,當(dāng)〃=1時，g(〃)=0,當(dāng)a>l時，g(〃)>0,

①若Q>1,則/l(%)min=g(a)>0,故/(%)>。恒成立，/(%)無零點；

②若4=1,則/(力而n=g(a)=O，/(%)=0僅有一個實根》=—1114=0,不滿足條件；

③若0<。<1,貝U/(x)min=g(a)<。,

注意到一Ina>0,f(-2)=4+手+2=.a+2-4>0,

eeee

31

于是/(x)在(-2,-Ina)上有一個實根，又ln(——1)〉In—=—In。，

aa

333313

且/(ln(——1))=a(——l)2—[aln(——1)+2—皿——l)+-ln2(——1)

aaaa2a

33313

>a(——I)2-[aln(——1)+2—翅——l)=(3-a)[——ln(——1)],

aaaaa

33_4

令h(x)=x-ln(3x-l)(x>1),則〃(％)=1———二r,

3x13x1

當(dāng)1cx〈g時<0,當(dāng)時/a)>o,

所以〃(x)在(1,7)上單調(diào)遞減，在g,+8)上單調(diào)遞增，/i(x)>/iO=J-ln3>0,

3333

1313

則——ln(——1)>0,又Ovavl,即3—a〉0,則有(3—，)[——ln(——1)]>0,

aaaa

33

即/(ln(——1))>0,于是/(x)在(-InaM——1))上有一個實根，

aa

又/(%)在(f,-lna)上單調(diào)遞減，在(-In〃,內(nèi))上單調(diào)遞增，因此/(%)在R上至多兩

個實根，

3

又/(%)在(-2-Ina)及(-InaM——1))上均至少有一個實根，則/(%)在R上恰有兩個

a

實根,

所以0＜。＜1時，/(九)在R上恰有兩個實根.

19.角谷猜想，也稱為“3〃+1”猜想.其內(nèi)容是：任取一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，將它除以

2；如果是奇數(shù)，則將它乘以3再加上1,如此反復(fù)運算，該數(shù)最終將變?yōu)?.這就是對一個

正整數(shù)運算時“萬數(shù)歸1”現(xiàn)象的猜想.假如對任意正整數(shù)4(4?2),按照上述規(guī)則實施第

1次運算后的結(jié)果記為q,實施第2次運算后的結(jié)果記為名，…，實施第1次運算后的

結(jié)果記為%實施第八次運算后得到數(shù)1,停止運算，便可以得到有窮數(shù)列

3ak+1%為奇數(shù)

必廠1,其遞推關(guān)系式為：ak+l="a(k=0,l,2,--^n-l^Og

-y《為偶數(shù)

\Aak+1|a*為奇數(shù)

叫做數(shù)列的原始項?將此遞推關(guān)系式推廣為：以+i=a中皿

*t以為偶數(shù)

(A;=0,l,2,---,/z-l;2eZ,且九。0),其它規(guī)則不變，得到的數(shù)列記作｛4?%｝數(shù)

列，試解答以下問題：

(1)若旬=5,則數(shù)列｛3?an｝的項數(shù)為；

(2)求｛-1?4｝數(shù)列的原始項a0的所有可能取值構(gòu)成的集合；

(3)若對任意的｛1~%｝數(shù)列，均有210g24+1,求d的最小值.

解：(1)4=5,4=3x5+1=16,%=16+2=8,43=8+2=4,%=4+2=2,

%=2+2=1,所以數(shù)列｛3?%｝的項數(shù)為5.

%-1,%為奇數(shù)

⑵…"以為偶數(shù)/=。/2…，1)，

下面證明對于任意的正整數(shù)當(dāng)旬