高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義：等差數(shù)列與等比數(shù)列（學(xué)生版+解析）

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(neN*)

⑴等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=ai+(n-l)d；

(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a「qi.

nnnX

(3)等差數(shù)列的求和公式：S?^=nai+-d;

ai1—qnai-aq

n，

⑷等比數(shù)列的求和公式：s_=jii—q="ii—qqW],

、nai,q=l.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】1(1)《周髀算經(jīng)》中有一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、

春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立

春、春分的日影長(zhǎng)的和為37.5尺，芒種的日影長(zhǎng)為4.5尺，則冬至的日影長(zhǎng)為()

A.15.5尺B.12.5尺C.10.5尺D.9.5尺

⑵已知點(diǎn)(n,a。在函數(shù)f(x)=2-的圖象上(ndN*).數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S?,設(shè)b?=

log支±數(shù)列限｝的前n項(xiàng)和為T..則T,的最小值為

點(diǎn)64

【拓展訓(xùn)練】1⑴(2020?全國(guó)II)數(shù)列｛aj中,ai=2,am+n=aman,若@k+i+ak+2T---Fak+io

=215-25,則k等于()

A.2B.3C.4D.5

(2)(多選)(2020?威海模擬)等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和記為Sn,若a1>0,S10=S20,則()

A.d<0

B.ai6<0

C.SnWS15

D.當(dāng)且僅當(dāng)n232時(shí)，Sn<0

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

1.通項(xiàng)性質(zhì)：若m+n=p+q=2k(ni,n,p,q,k^N*),則對(duì)于等差數(shù)列，有am+an=ap+

aq=2ak,對(duì)于等比數(shù)列有aman=aPaq=ak.

2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)：

⑴對(duì)于等差數(shù)列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有Sm,S2m-Sm,S3m

—S.…成等比數(shù)列(q=—1且HI為偶數(shù)情況除外).

⑵對(duì)于等差數(shù)列，有S2n_=(2n—1)須.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】2⑴已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為SKnWN*和若期+a7一鼠=0,則S”的值

為()

A.11B.12C.20D.22

2

⑵已知函數(shù)f(x)=2(X￡R)，若等比數(shù)列｛aj滿足a?020=1,則f(ai)+f(a)+f(a)~\—

1+x23

+f(a2O2o)等于()

1

A.2020B.1010C.2D.-

【拓展訓(xùn)練】2⑴(2020?全國(guó)I)設(shè)｛aj是等比數(shù)列,且ai+a2+as=1,a2+as+a4=2,

則ae+a7+as等于()

A.12B.24C.30D.32

(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛④｝的前n項(xiàng)和為Sn,且Sio=lO,S30=130,則S?等于()

A.-510B.400

C.400或一510D.30或40

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的探索與證明

等差數(shù)列等比數(shù)列

a°+i_q(qwo)

定義法SLn+1—an=d

Hn

n—1

通項(xiàng)法an=ai+(n—1)dan=ai,q

2a,nSn—113-n+lHna-n—1Hn+1

中項(xiàng)法

(n12)(n》2,anWO)

2n

Sn=an+bnSn=kq—k

前n項(xiàng)和法

(a,b為常數(shù))(kWO,qWO,1)

證明數(shù)列為等差（比）數(shù)列一般使用定義法.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】3（2019?全國(guó)H）已知數(shù)列｛aj和｛bj滿足ai=l,bi=0,4a?+i=3a?—b?+4,4b?+i

=3b“一an-4.

⑴證明：｛a0+bj是等比數(shù)列，｛a0—bj是等差數(shù)列；

⑵求瓜｝和｛bj的通項(xiàng)公式.

【拓展訓(xùn)練】3已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,nan+i=2(n+l)an.設(shè)出=包.

n

(1)求bi,b2,b3；

⑵判斷數(shù)列｛bj是不是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

⑶求｛為｝的通項(xiàng)公式.

專題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

1.在等比數(shù)列｛aj中，若a3=2,a7=8,則as等于()

A.4B.-4C.±4D.5

s

2.（2020金國(guó)H）記Sn為等比數(shù)列｛a—的前n項(xiàng)和.若a5—a3=12,a6—a4=24,則」等于（）

Hn

A.2"-lB.2-21-n

C.2-2n-1D.21-n-l

3.己知等差數(shù)列｛aj和等比數(shù)列｛bj的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1=bi,an=bn.那么一定有（）

A.aeWbeB.a62b6C.aizWbizD.ai22blz

4.在數(shù)列｛aj中，ai=2,-^7=-+lnfl+^|,則a”等于（）

n+1n卜n/

A.2+nlnnB.2n+（n—1）Inn

C.2n+nlnnD.1+n+nlnn

5.已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,ai=l,a2=2,且對(duì)于任意n>l,n￡N*,滿足Sn+i+Sn-1

=2（Sn+l）,則（）

A.a9=17B.眥=19C.S9=81D.Sio=91

6.侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)

正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第1個(gè)正

方形的邊長(zhǎng)是m,侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度（蜘蛛網(wǎng)中正方形的周長(zhǎng)之和）為Sn,貝IJ（）

A.Sn無(wú)限大B.S?<3(3+V5)m

C.S?=3(3+V5)mD.Sn可以取100m

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2020?廈門模擬）記S為等差數(shù)列a｝的前n項(xiàng)和,若ai+3aH=S，,則以下結(jié)論一定正確

的是（）

A.a&=0B.S”的最大值為S3

C.Si=SeD.|&31<|3,51

8.已知等比數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q,且ai>l,a6+a7>a6a7+l>2,記｛aj的前n

項(xiàng)積為則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.0<q<lB.比>1

C.T12>1D.T13>1

三、填空題

9.（2020?江蘇）設(shè)｛③｝是公差為d的等差數(shù)列，｛bj是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)歹心小

2n

+bn｝的前n項(xiàng)和Sn=n—n+2—1（n^N*）,則d+q的值是.

10.（2020?北京市順義區(qū)質(zhì)檢）設(shè)Sn為公比qWl的等比數(shù)列a｝的前n項(xiàng)和，且3a1，2a2,

a3成等差數(shù)列，則q=，|1=.

11.（2020?濰坊模擬）九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲.在某種玩法中，用

須表示解下n（nW9,n￡N*）個(gè)圓環(huán)所需移動(dòng)的最少次數(shù)，｛須｝滿足a1=l,且an=

2an-i—1n為偶數(shù)

則解下5個(gè)圓環(huán)需最少移動(dòng)次.

2須-1+2n為奇數(shù)

31

12.已知等比數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為亍公比為一萬(wàn),前n項(xiàng)和為S“，且對(duì)任意的nGN*,都有AW

2S?-^-<B恒成立，則B-A的最小值為.

On

四、解答題

13.（2020?聊城模擬）在①a5=bs+b5,②Ss=87,③ag—ai0=bi+b2這三個(gè)條件中任選一個(gè),

補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.

設(shè)等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”，數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和為L(zhǎng),,ai=b6,若對(duì)于任意

nGN*都有L=2bn—1,且SnWSKk為常數(shù)），求正整數(shù)k的值.

14.已知等比數(shù)列｛aj的公比q>l,ai=2,且甑,出，as—8成等差數(shù)列,數(shù)列｛a.bj的前n

「、，2n-l?3"+1

項(xiàng)和為-------2-----------

(1)分別求出數(shù)列｛aj和｛b?｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,任意nGN*,SnWm恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.

3.n

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算

等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(neN*)

⑴等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a“=ai+(n—l)d；

(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:須=a?/丁

naiann

⑶等差數(shù)列的求和公式：s?=+=nai+

ai1-qnai—aq

i=-in，qW1,

(4)等比數(shù)列的求和公式：s0=ji—qi—q

、nai,q=l.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】1(1)《周髀算經(jīng)》中有一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、

春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立

春、春分的日影長(zhǎng)的和為37.5尺，芒種的日影長(zhǎng)為4.5尺，則冬至的日影長(zhǎng)為()

A.15.5尺B.12.5尺C.10.5尺D.9.5尺

【答案】A

【解析】從冬至起，十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次記為ai,a2,a3,a12,由題意”有ai+

a&+a7=37.5,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得a&=12.5,而a12=4.5,設(shè)公差為d,則

ai+3d=12.5,fai=15.5,

解得所以冬至的日影長(zhǎng)為15.5尺.

ai+lld=4.5,

(2)已知點(diǎn)(n,須)在函數(shù)f(x)=21的圖象上(ndN*).數(shù)列｛知的前n項(xiàng)和為S",設(shè)b?=

log行止L數(shù)列限｝的前n項(xiàng)和為九則T0的最小值為

⑤64

【答案】-30

【解析】???點(diǎn)(n,aj在函數(shù)f(x)=2-的圖象上,

:.a?=2"-1(nGN*),

{aj是首項(xiàng)為ai=l,公比q=2的等比數(shù)歹!J,

IX1-2°

；.Sn=—=2n-1,

2n

則bn=log^—=2n—12(n￡N*),

???{bn}是首項(xiàng)為一10,公差為2的等差數(shù)列,

,nn-12(121

/.Tn=-10n+-------------X2=n—lln=ln——I-.

又n￡N*,

；.Tn的最小值為丁5=丁6=@)一號(hào)=一30.

規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題的求解策略

(1)抓住基本量，首項(xiàng)a,、公差d或公比q.

(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為Sn=a/+bn(a,b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，

通項(xiàng)公式為a?=p-q"T(p,qWO)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列.

(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比

值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

【拓展訓(xùn)練】1⑴(2020?全國(guó)H)數(shù)列{aj中，ai=2,an,+n=a111a?,若ak+i+ak+2H------Fak+io

=2共一2‘，則k等于()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】?3-12，3-ni+n

令m=l,貝Uan+i=aian=2an,

???｛③｝是以a】=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹u，

n-1n

/.an=2X2=2.

又???凱+1+a+2+…+ak+io=2"-25,

k+10

211-2155

1-2-2一2

即2k+1(210-l)=25(210-l),

2k+i=2。/.k+l=5,.*.k=4.

⑵（多選）（2020?威海模擬）等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和記為Sn,若a1>0,S10=S20,則（）

A.d<0

B.ai6<0

C.SWS15

D.當(dāng)且僅當(dāng)n》32時(shí)，Sn<0

【答案】ABC

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛③｝的公差為d,由SK）=S2。，得10&+”/d=20ai+生/d,化簡(jiǎn)

29291

—

得ai=—d.因?yàn)閍i>0,所以d<0,故A正確；因?yàn)閍i6=ai+15d=——d+15d="d,又d<0,

291

所以ai6<0,故B正確；因?yàn)閍i5=ai+14d=—"萬(wàn)（1+14d=—/（1>0,ai6<0,所以S15最大，即Sn

）,nn—1nn—30#「…,t>

WS15,故C正確；Sn=nai+---------d=---------d,右Sn<0,又d<0,則n>30,故當(dāng)且

僅當(dāng)n231時(shí)，Sn<0,故D錯(cuò)誤.

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

1.通項(xiàng)性質(zhì)：若m+n=p+q=2k（ni,n,p,q,keN*）,則對(duì)于等差數(shù)列，有am+an=ap+

aq=2ak,對(duì)于等比數(shù)列有aman=apaq=ak.

2.前n項(xiàng)和的性質(zhì):

⑴對(duì)于等差數(shù)列有S',s2m-s?,S3M—Sz”，…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有So,S2m-Sm,S3m

—S^,…成等比數(shù)列(q=-1且m為偶數(shù)情況除外).

(2)對(duì)于等差數(shù)列，有S2I=(2n—l)a”.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】2(1)已知正項(xiàng)等差數(shù)列{aj的前n項(xiàng)和為SKndN*),若as+a?—鼠=0,則Su的值

為()

A.11B.12C.20D.22

【答案】D

【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得as+a7=2a6=次，

又該數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，可得a$=2,

所以由Szn+i=(2n+1)an+i,

可得Sn=S2X5+i=lla6=22.

2

(2)已知函數(shù)f(x)=,(xeR)，若等比數(shù)列｛aj滿足a?020=1,則f(ai)+f(a)+f(a)4■…

1+x223

+f(a2020)等于()

1

A.2020B.1010C.2D.-

【答案】A

【解析】Vaia2020=1,

4+2

?**f(a)+f(④020)1+a?1+a2020

222.2a?

1+ai1l+a?-^l+a?2,

1+―

ai

???{aj為等比數(shù)歹！J,

則313-2020=a2a2019ai010Q.1011=1，

.'.f(a2)+f(a2oi9)=2,???,f(ai010)+f(aion)=2,

BPf(ai)+f(a2)+f(a3)d------l-f(a2O2o)=2Xl010=2020.

規(guī)律方法等差、等比數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題的求解策略

(1)抓關(guān)系，抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手，選擇恰當(dāng)?shù)男?/p>

質(zhì)進(jìn)行求解.

(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函

數(shù)的性質(zhì)解題.

【拓展訓(xùn)練】2(1)(2020?全國(guó)I)設(shè)瓜｝是等比數(shù)列，且ai+az+a3=l,a2+a3+a4=2,

則a6+a：+a8等于()

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q,

?,az+as+ad2-

則q=,,=7=2,

ai十a(chǎn)?十a(chǎn)s1

所以@6+27+38=(21+22+@3)?45=1*25=32.

⑵己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,MSip=10,S30=130,則右。等于()

A.-510B.400

C.400或一510D.30或40

【答案】B

【解析】：正項(xiàng)等比數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為出，

-

ASio,SaoSio,Sao—S2o,S40—S30也成等比數(shù)列,

2

AlOX(13O-S2O)=(S2O-1O),

解得S20=40或520=—30(舍)，

故S4LS3O=27O,.0=400.

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的探索與證明

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義法@n+l-Hn=d—=q(q^0)

Hn

n—1

通項(xiàng)法an=ai+(n-1)dan=ai?q

2an=an—l+an+l

Hna-n—lQ-n+1

中項(xiàng)法

(n12)(n》2,anWO)

2n

Sn=an+bnSn=kq-k

前n項(xiàng)和法

(a,b為常數(shù))(k#0,q#0,1)

證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】3(2019?全國(guó)n)已知數(shù)列｛aj和｛bj滿足ai=Lb)=0,4an+i=3an—bn+4,4b?+i

=3bn_an_4.

⑴證明：｛a0+bj是等比數(shù)列，?一bn｝是等差數(shù)列；

(2)求瓜｝和瓜｝的通項(xiàng)公式.

(1)證明由題設(shè)得4(Hn+1+bn+l)=2Sn+bn),

即an+l+bn+l=](an+bn).

因?yàn)閍i+bi=l,

所以面+bJ是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列.

—

由題設(shè)得4(an+ibn+i)=4(an—b)+8,

-

即an+ibn+r=an-bn+2.

又ai-bi=1,

所以瓜一bj是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

⑵解由(1)知，Hn+bn=R二I,an—bn—2n—1.

所以an='1[(an+bn)+(an—bn)]=/+n—■|(n￡N*),

bn=g[(an+bn)—⑸-bn)]=^-fl(M￡N*).

易錯(cuò)提醒a(bǔ)>an-ian+1(n^2,n￡N*)是｛劣｝為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)

數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.

【拓展訓(xùn)練】3已知數(shù)列｛aj滿足2=1,nan+i=2(n+l)an.設(shè)正=包.

n

⑴求bi,b2,b3；

⑵判斷數(shù)列｛bn｝是不是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

⑶求｛劣｝的通項(xiàng)公式.

解(1)由條件可得am=2n+1=

n

將n=l代入得，a2=4ai,而ai=l,所以a.2=4.

將n=2代入得，a_3=3a2,所以@3=12.

從而bi=Lb2=2,b3=4.

(2)?｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.理由如下：

由條件可得T=組，即bn+l=2bn,

n十1n

又b=l,所以｛bj是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

(3)由(2)可得西=2,T,所以a°=n?2"T(neN*).

n

專題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

1.在等比數(shù)列｛aj中，若as=2,a7=8,則as等于（）

A.4B.-4C.±4D.5

【答案】A

【解析】???數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，且as=2,a7=8,

/.a5=a3,@7=2X8=16,則a5=±4,

???等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，.??比=4.

S

2.（2020金國(guó)II）記Sn為等比數(shù)列凡｝的前n項(xiàng)和.若@5—的=12,@6—@4=24,則」等于（）

Hn

A.2n-lB.2—2「n

C.2-2"-1D.21-n-l

【答案】B

【解析】方法一設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

由as-3iQ-HiQ12al=12ai=1.

qn

所以an=aiqnr=2"T,Sn--'/--2-l,

1—q

朋T以一9n-l—2—2.

3-n乙

方法二設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q,

faq2—a=12,①

則〈33

[3.4Q—3,4=24,②

q=2.

將q=2代入①，解得a3=4.

所以ai=F=l,下同方法一.

q

3.已知等差數(shù)列｛aj和等比數(shù)列｛bj的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1=b1，au=bu.那么一定有（）

A.36^beB.a62b6C.ai2Wbi2D.ai2》bi2

【答案】B

【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛須｝和等比數(shù)列｛bn｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且ai=bi,au=bu,所以ai

+aii=bi+bn-2&6?

所以a6=",au=81bu》yb]bu=b6.

當(dāng)且僅當(dāng)bi=bu時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)數(shù)列｛bj的公比為1.

4.在數(shù)列｛aj中，ai=2,筆=電+1/1+3,則a”等于()

n十1n〈n/

A.2+nlnnB.2n+(n—1)Inn

C.2n+nlnnD.1+n+nlnn

【答案】C

【解析】由題意得且言一亙=ln(n+l)—Inn,

n+1n

n分別用1,2,3,…，n—l(n22)取代，

累加得5—?=lnn—In1,即包=2+lnn,

n1n

即an=2n+nlnn(n22),

又&=2符合上式，故an=2n+nlnn.

5.已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,。=己a2=2,且對(duì)于任意n>l,neN*,滿足Sn+i+S1

=2(Sn+l),則()

A.@9=17B.aio=19C.Sg=81D.Sio=91

【答案】D

【解析】???對(duì)于任意n>l,n￡N*,滿足S++“i=2(Sn+1),

Sn+1-Sn=Sn-Sn-l+2,

??3n+i-an—2.

數(shù)列｛aj在n>l,nWN*時(shí)是等差數(shù)列,公差為2,

又ai=l,a?=2,

a?=2+(n-2)X2=2n-2(n>l,n￡N*),

8X79X8

a9=2X9—2=16,aw=2X10—2=18,S9=1+8X2+---X2=73,Sio=l+9X2+~~X

2=91.故選D.

6.侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)

正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第1個(gè)正

方形的邊長(zhǎng)是m,侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度(蜘蛛網(wǎng)中正方形的周長(zhǎng)之和)為S”貝版)

A.S“無(wú)限大B.S?<3(3+V5)m

C.Sn=3(3+4)mD.Sn可以取100m

【答案】B

【解析】由題意可得，外圍第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為

外圍第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為

1-1

外圍第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為H1.

所以蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度

=3(3+/)m.故選B.

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2020?廈門模擬）記院為等差數(shù)列凡｝的前n項(xiàng)和,若■+3a5=ST,則以下結(jié)論一定正確

的是（)

A.8.40B.Sn的最大值為S3

Ia1<|a1

C.S1=S6D.35

【答案】AC

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,則ai+3(ai+4d)=7ai+21d,解得ai=-3d,則an

ai+(n—l)d=(n—4)d,所以:=(),故A正確；因?yàn)镾e—Si—5a4—0,所以Si—Se?故C

正確；由于d的取值情況不清楚，故S3可能為最大值也可能為最小值，故B不正確；因?yàn)闉?/p>

+a5=2a4=0,所以@3=—as,即息|=3|,故D錯(cuò)誤.

8.已知等比數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q,且ai〉l,ae+口7>a6a7+數(shù)2,記｛aj的前n

項(xiàng)積為「，則下列選項(xiàng)中正確的是（)

A.0<q<lB.86>1

C.Ti2>lD.Ti3>l

【答案】ABC

【解析】由于等比數(shù)列凡｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q,且ai>l,a6+a7>a6a7+l>2,所以

(a6—1)(a7—1)<0,由題意得a6>l,a7<L所以0<q<l,A,B正確；因?yàn)閍6a7+l>2,所以a6a7>L

Ti2=ai-a2....an?ai2=(a6a7)6>1,Ti3=aF〈l,所以滿足Tn>l的最大正整數(shù)n的值為12,C

正確，D錯(cuò)誤.

三、填空題

9.(2020?江蘇)設(shè)｛③｝是公差為d的等差數(shù)列，｛bj是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)歹?。荩?/p>

2n

+bn｝的前n項(xiàng)和Sn=n—n+2—1(neN*),則d+q的值是.

【答案】4

【解析】由題意知q—1,

所以Sn=(ai+az+…+an)+(bi+bz+…+bn)

=n2—n+2n-1,

rd_

2=1,

d

ai—]=-1，

所以＜,解得d=2,q=2,

10,

所以d+q=4.

10.(2020?北京市順義區(qū)質(zhì)檢)設(shè)Sn為公比qWl的等比數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和，且3a1，2a2,

as成等差數(shù)列，則4=,￡=.

【答案】310

【解析】設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=ad'T，又因?yàn)?aL2a2,成等差數(shù)列,所以2X2a2

ai1-34

S]_3]

=3ai+a3,即4aiq=3ai+a】q,解得q=3或q=1(舍)，?—'不10.

S2ai1—31—3

--

11.（2020?濰坊模擬）九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲.在某種玩法中，用

a”表示解下n（n《9,nGN*）個(gè)圓環(huán)所需移動(dòng)的最少次數(shù)，｛aj滿足a1=1,且a?=

2a?-i—1n為偶數(shù)

則解下5個(gè)圓環(huán)需最少移動(dòng)次.

2a?-i+2n為奇數(shù)

【答案】16

【解析】因?yàn)閍5=2a&+2=2(2as—1)+2=4as,

所以a5=4a3=4(2a2+2)=8a：i+8=8(2ai—1)+8=16ai=16,

所以解下5個(gè)圓環(huán)需最少移動(dòng)的次數(shù)為16.

31

12.已知等比數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為公比為一萬(wàn)，前n項(xiàng)和為出，且對(duì)任意的ndN*,都有AW

2S“一恒成立，則B—A的最小值為.

On

【答案】詈13

6

31

【解析】??,等比數(shù)歹！J｛an｝的首項(xiàng)為右公比為一萬(wàn)，

令t=（一撲則一呆t4，Sn=l—t,

3