2024-2025學(xué)年河南省部分市區(qū)高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024.2025學(xué)年河南省部分市區(qū)高三(上)開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若z=a-1+(a-2)i(aeR)為純虛數(shù)，貝！J|z|=()

A.0B.1C.2D.3

2.已知向量五=(zn,—1)范=(4,根2+9),且五1(五+3)，則?n=()

A.4B.3C.2D.1

3.設(shè)集合/={%|/29},B={x\2x<a],若BU4貝b的取值范圍是()

A.(—oo,-6]B.(-00,-2]C.[3,+oo)D.[6,+oo)

4.函數(shù)/(%)=cos(x+f)+苧sin%的最大值為()

4Z

A.1+B.C.D.0

5.已知某圓錐的軸截面是頂角為a的等腰三角形，側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為￡的扇形，若0=3a,則0=()

吟B/C.yD.7T

6.已知函數(shù)/(x)=[嗎二次，".’。在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，貝b的取值范圍為()

laxz+3x+2,1V%<2

A.[一1,+8)B.[2,4-oo)C.[—5,+8)D.[--,2)

7?設(shè)c°s20°=a，貝％J50f=()

,1-a2?a2+l

A.―--B.---C.aD.a2"

8.設(shè)拋物線C：*=2p久(p>0)的焦點(diǎn)為尸，直線1與C交于4B兩點(diǎn)，F(xiàn)A1F8,|R4|=2尸8|,則/的斜

率是()

A.±1B.±72C.±/3D.±2

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9?已知a>0,b>0,則雙曲線>：器-％=l與1=4有相同的()

A.焦點(diǎn)B.焦距C.離心率D.漸近線

10.隨機(jī)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，記3次擲出的點(diǎn)數(shù)之積為X,擲出的點(diǎn)數(shù)之和為丫，貝1()

A.事件“X=2”和“y=4”相等B.事件“X=4”和“y=6”互斥

C.X為奇數(shù)的概率為:D.r<17的概率為￡

o34

11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，/(xy)=x/(y)+y/(x),記/''(x)為/'(x)

的導(dǎo)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

A./(0)=0B./0)為奇函數(shù)

C.若/(3=1,則/(4)=-8D,若((X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則/(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.2024年7月14日13時(shí)，2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)火炬開(kāi)始在巴黎傳遞，其中某段火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)由包含甲、

乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同

傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為.

13.在數(shù)列｛an｝中，an=/，且a[+a?+…+ag〉—,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

14.已知正數(shù)x,y滿足知9%2-1+J9y2—1=9xy,貝！J4/+>2的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且爐+c?—a2=2acs譏8.

(1)求力；

(2)若a=2,求AABC面積的最大值.

16.(本小題15分)

氮氧化物是一種常見(jiàn)的大氣污染物，如圖為我國(guó)2015年至2023年氮氧化物排放量(單位：萬(wàn)噸)的折線圖，

其中年份代碼1?9分別對(duì)應(yīng)年份2015?2023.

已知卻=12000,J鄧-分2，10知鄧51800.

(1)可否用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)分別根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明.

(2)若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型y=-138t+2025,可否用此模型來(lái)預(yù)測(cè)2024年和2034年我國(guó)的氮氧化

物排放量？請(qǐng)說(shuō)明理由.

附：相關(guān)系數(shù)第iWLty.

2n

1oxQo

1o#7o

1oo

1^3

1ono

oo

*Q

(/7x)

()()

oo

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐S-力BCD中，ASAD為正三角形，底面4BCD為矩形，且平面S4D_L平面4BCD,M,N分

別為棱SC,的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面S4D；

(2)若且二面角C-MN—D的大小為120。，求喋的值.

18.(本小題17分)

已知橢圓C：務(wù)，=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&,F2,且內(nèi)尸2|=2,過(guò)點(diǎn)尸2作兩條直線4，

12,直線。與C交于4,B兩點(diǎn)，AFi/lB的周長(zhǎng)為4/1.

(1)求C的方程；

(2)若AFiNB的面積為,求人的方程；

(3)若％與C交于M,N兩點(diǎn),且匕的斜率是%的斜率的2倍，求|MN|-|4B|的最大值.

19.(本小題17分)

n

已知函數(shù)f(%)=劭+%%+g%2H------Fanx,其中4)，…，即不全為0，并約定。九+1=0,設(shè)

瓦=(憶+1)以+1-以，稱。(%)=瓦+瓦%+電/+…+匕％九為/(%)的“伴生函數(shù)”.

(1)若/(%)=5x4+3%2+3%+1,求g(%)；

(2)若/(%)>0恒成立，且曲線y=仇/(%)(%>0)上任意一點(diǎn)處的切線斜率均不小于2,證明：當(dāng)％>0時(shí),

9(%)>/(%);

(3)若即=0,證明：對(duì)于任意的zue(0,+8),均存在tc(o,7n),使得9(。<嚕^.

參考答案

1.B

2.C

3.4

4.C

5.D

6.4

7.C

8.D

9.CD

\Q.ACD

W.ABD

12.10

13.居+8)

14.1

15.解：(1)因?yàn)闋t+c2—a2=2acsinB,

b2+c2-a2_2acsinBasinB

所以由余弦定理得，cosZ

2bc2bcb

由正弦定理得，號(hào)b

sinB’

所以s譏4=片=0"4即=

因?yàn)?6(0,兀)，所以力=夕

(2)由余弦定理得,b2+c2-a2=IbccosA,

因?yàn)閍=2,X=7,

所以廬+c2—4=ypibc

又/+c?-4=22bc-4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立,

所以be<4+2<2,

所以△ABC的面積S=^besinA=?bc<1+<2,

即△4BC面積的最大值為1+72.

16.解：（1）從折線圖看，各點(diǎn)落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,

-1

由題意知t=2(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5,

相關(guān)系數(shù)r=^ty-9ty^51800-5x120008200

=1ii=—麗…nQ9V7,

7.7x1100

所以可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.

（2）可以預(yù)測(cè)2024年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測(cè)2034年的氮氧化物排放量.

理由如下：

①2024年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢(shì),

所以可用此模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；

②2034年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過(guò)遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，

這些因素在短期內(nèi)可能保持不變，但從長(zhǎng)期看很有可能會(huì)變化，

所以用此模型預(yù)測(cè)可能是不準(zhǔn)確的.

17.解：（1）證明：如圖，取棱SD的中點(diǎn)P,連接PM,PA.

因?yàn)镸是棱SC的中點(diǎn)，所以MP〃C。且MP=|CD.

又四邊形2BCD是矩形，N是棱力B的中點(diǎn)，

所以M/7/4N,且

所以四邊形4PMN是平行四邊形，所以MN〃AP.

又APu平面SAD,MNU平面S4D,

所以MN〃平面S4D；

（2）取棱4。的中點(diǎn)Q,則在正三角形中，SQ1AD,LnABCD.

以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，）,近的方向分別為x軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Qxyz.

X

設(shè)/。=2a,AB=2b,b>a>0,

則C(-a,2b,0),S(0,0,73a),M(-,b,苧),N(a,b,0),D(-a,0,0).

所以西=GT,年），麗=（竽,0,一年），麗=（Q,學(xué)）.

設(shè)平面CMN的法向量為元=（x,y,z）,

取元=Qb.2a.yf3b),

設(shè)平面DMN的法向量為沅=（p,q,r）,

m?DM=0,日口+bq+=0,

則3aGa,取沅=(6,-2a,06),

m-~MN=0/、

虧p---br=0,

根據(jù)題意可得|cos〈元，記)|=粵駕=4b2-4：=I,解得6=V~3a>

\n\\m\4b‘+4a22

所以黑

18.解：(1)由題意知2c=2,所以c=L

又△&4B的周長(zhǎng)為|4&|+\AF2\+\BF1\+\BF2\=4a=4U，所以a=

72，

所以力2=a2—c2=1,

2

故橢圓C的方程為券+y2=1；

(2)易知4的斜率不為0,設(shè)k：x=my+l,火球外),B(x2,y2)>

聯(lián)立|；2不;(J2=0,得(—+2)必+2my-1=0,

所以為+治=熹，為力=高,

gcpi----------------------22(m2+l)

六以Wi_1=J(乃+%)2-4yly2=7m2+2—，

所以S_1|FFNv2j2g2+l)--解得一=±i,

SAFMB-2尸尸121Wl一gI—m2+2--5

所以k的方程為I-y-1=0或％+y-1=0；

(3)由(2)可知MBI=滔反—=2察=2調(diào)(1—高)

因?yàn)閗的斜率是1的斜率的2倍，所以小大0,

所以|MN|=2/1(1一嬴為)，

--in4nri\Anire,11、3y/-2.3V-2y/-2

所以|MN|一|4B|=2，I(花森-屈亞)=2m4+5m2+2=2m2+5+A3赤=可，

m2

當(dāng)且僅當(dāng)6=±1時(shí)，等號(hào)成立，

所以|MN|-M用的最大值為苧.

19.解：(1)由題可知劭=1,4=3,a2=3,a3=0,a4=5,a5=0.

=

—a1一CLQ=2,b1—2a2—a1=3,b?~3a3—a2-3,—4。4—。3—20,b^,—5a5—ct^—

—5,

故f(%)的伴生函數(shù)為g