2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：函數(shù)與方程【八大題型】原卷版+解析版

專題2.7函數(shù)與方程【八大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】...............................................................2

【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)1................................................................3

【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】................................................................3

【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)】.............................................................4

【題型5由函數(shù)零點(diǎn)分布求值(范圍)】...........................................................4

【題型6復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定】...............................................................4

【題型7根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)】................................................................5

【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問題1.............................................................5

?考情分析

1、函數(shù)與方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考常考的熱點(diǎn)

(1)理解函數(shù)的零點(diǎn)與方2022年天津卷：第15題，5內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來看，一般

程的解的聯(lián)系分以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；函數(shù)與

⑵理解函數(shù)零點(diǎn)存在定2023年新課標(biāo)I卷：第15題，方程的綜合應(yīng)用也是歷年高考的一個(gè)熱

理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用5分點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析

⑶了解用二分法求方程2024年新課標(biāo)H卷：第6題，函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的

的近似解5分零點(diǎn)或方程的根的分布、個(gè)數(shù)等，題目

難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法】

1.確定函數(shù)收)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)夕比尤)在區(qū)間口力］上的圖象是否連續(xù)，再看是否有人a)?^)<0.

若有，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,6)內(nèi)必有零點(diǎn).

(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如人x尸

g(x)-/?(x),作出y=g(x)和尸〃(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)段)的零點(diǎn).

【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和求參問題】

1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法：

（1）直接法：直接求零點(diǎn)，令｛x）=0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

（2）零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在［應(yīng)句上是連續(xù)不斷的曲線，且八0）負(fù)6）＜0,還必須結(jié)合函

數(shù)的圖象和性質(zhì)（如單調(diào)性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

（3）圖象法：畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)

不同的零點(diǎn).

（4）性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期

函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2.已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的方法

（1）已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的一般方法

①直接法：直接求方程的根，構(gòu)建方程（不等式）求參數(shù)；

②數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；

③分離參數(shù)法：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來求解.

（2）已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的方法

已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確

畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.

【知識(shí)點(diǎn)3嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題】

1.嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題的解題策略

函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解

套”，設(shè)中間函數(shù)為普通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.

?舉一反三

【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】

【例1】（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=3，+x-6有一個(gè)零點(diǎn)工=祀，則均屬于下列哪個(gè)區(qū)間（）

A.(|,1)B-(唱)C.（1，2）D.(2,|)

【變式1-1］（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（久）=2'-1+式一3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【變式1-2］（2024?吉林長(zhǎng)春?一模）方程log3X+x=2的根所在區(qū)間是

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【變式1-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)/久）=久一a|,aeR,則()

A.若/'（x）在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0,1）也有零點(diǎn)

B.若/（x）在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0,1）沒有零點(diǎn)

C.若/'（久）在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都沒有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0,I）有零點(diǎn)

D.若f（x）在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都沒有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0,1）也沒有零點(diǎn)

【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】

【例2】（2024?江蘇?一模）函數(shù)/（久）=sin（2久+（）在區(qū)間（0,2n）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式2-1］（2024?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)丫=（>一2）（2，+1）的零點(diǎn)是（）

A.2B.（2,0）C.-2D.2或-1

【變式2-2］（2024?內(nèi)蒙古?三模）已知奇函數(shù)久久）的定義域?yàn)镽/（x+3）=-f（-x）,且/（2）=0,則/（久）

在［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值為（）

A.7B.9C.10D.12

【變式2-3］（2024?四川自貢?一模）定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足/（1+切=/（1一幻，且當(dāng)［0,1］時(shí)，/（%）

1n1

=尹叼》,則函數(shù)g（%）=/（%）-0在上所有零點(diǎn)的和為（）

A.16B.32C.36D.48

【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】

【例3】（2024?四川內(nèi)江?三模）若函數(shù)/（%）=野V有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)6的取值范圍為（）

A.(0,e)B.(e,+8)C.(0,2e)D.(2e,+8)

【變式3-1］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）=l-2sin2（3x+j（3>0）在（of上有且僅有兩個(gè)

零點(diǎn)，則3的取值范圍是（）

飛片

A.町）BD.PT1

xlnx%>0

【變式3-2］（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）-1A=o,若關(guān)于X的方程/(x)=axT有

{xln(—X)—2,%<0.

5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則Q的取值范圍是（）

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(l,e)D.(2,2e)

【變式3-3］（2024?陜西漢中?二模）已知函數(shù)/（%）=償叫"。，若函數(shù)9（%）=/（%）-根%有4個(gè)零點(diǎn),

I41n2%,%>0

則館的取值范圍為（）

A.之B.{m\m>eln22}

C.^m|eln22<m<||D.^m\m=eln22或m

【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)】

【例4】（2024?四川成都?三模）若函數(shù)/（久）=9-質(zhì)2大于0的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的值為.

【變式4-1]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）=Q+2）ln（x+l）—ax只有3個(gè)零點(diǎn)打，%2,%3

（久1<久2（久3<3），則a+久2的取值范圍是.

【變式4-2]（2024?陜西西安?二模）己知函數(shù)/（X）=3COS（3X+S）（3>0）,若/（一力=3,府）=。，且

/Q）在區(qū)間（—以―力上沒有零點(diǎn)，則3的一個(gè)取值為.

【變式4-3]（2024?天津?二模）設(shè)aeR,函數(shù)/（x）={\l^7T+alf<a.若f（久）在區(qū)間

2z

lx-2（a+l）x+2a-a+lfx>a

[0,+8）內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，貝Ija的取值范圍是.

【題型5由函數(shù)零點(diǎn)分布求值（范圍）】

【例5】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=%+?-2,%€（0,+8）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()

A.（—8,0]B.（—8,1]C.[—1,+8）D.（0,1）

【變式5-1]（2024?上海松江?二模）已知某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為a、b及c,其中a<b.若a,b是函數(shù)y=a/

一b%+c的兩個(gè)零點(diǎn)，貝的取值范圍是（）

A.（1,1）B,&等）

C.（0,年）D.（三,1）

【變式5-2]（2023?云南?二模）設(shè)%L%2是關(guān)于1的方程無(wú)之+（a—1）%+a+2=0的根.若—1<%i<1,1<x2

<2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（一々,一1）B.C.（-2,1）D.（-2,-1）

【變式5-3】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)人久）=[25:疝久;°八有且僅有3個(gè)零點(diǎn)a￡y,若

（axz+2ax+3,x<0

a<p<y,貝1j（）

A.lna￡=yB.\na（]=y-1C.lna/3<y—1D.Ina/?>y

【題型6復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定】

1

【例6】（2024?浙江金華?三模）若函數(shù)/（久）=%+而，則方程/[/（%）]=3的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式6-1】（2。24?福建漳州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/⑺貝雇數(shù)必—）的

零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.3B.5C.6D.8

【變式6-2】(2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fO)={]/%；，1)：久；°0,則函數(shù)g(x)=/(〃>))-1的零

點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.1B.0C.2D.3

【變式6-3](2024?全國(guó)?二模)已知函數(shù)十(久)={而(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)F(x)=/[/(%)]

(久)一1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.3B.5C.7D.9

【題型7根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)】

'—x2,x<0

【例7】(2024?西藏林芝?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,7(%)=-2;若函數(shù)

>2

(%)-血%有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【變式7-11(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)={久2咬；?葭士1，若方程2,(創(chuàng)2-缶+2)"(x)+a=0

有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

1%—11—1x〈2

{2，若函數(shù)SO)=久?fO)—a的零

點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,則a的范圍為.

(2久x<0

【變式7?3】(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)已知函數(shù)/(%)=，弛M%>jg(%)=/+2%-44,AG/?,若關(guān)于％的方

程/(9(久))=4有6個(gè)解，貝U的取值范圍為.

【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問題】

[例8](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃>)=aex-x(aeR)有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)“的取值范圍；

(2)設(shè)/'(%)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為%1血，證明：Xi+x2>2；

222

(3)證明：-++2n+1<ln(n+l),nGN*.

【變式8-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=(X2—x+l)ex-1—^(2%3+3x2+1).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程.

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=/(%)-%2眇-1+，%3,若g(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式8-2](2024?河北邯鄲?三模)已知函數(shù)/(%)=%(眇一以2),aER.

(1)求曲線y=/(%)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程.

(2)已知關(guān)于%的方程/(%)=a%2一砂恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根汽其中％1>0，X2>0.

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證：%i+%2>4.

【變式8-3](2024?浙江?二模)已知函數(shù)/(%)=%2一。%出I-1,aER.

(1)求證：/(x)+=0；

(2)若函數(shù)/(%)有三個(gè)不同的零點(diǎn)％1，%2，%3(%1V%2<%3).

(i)求a的取值范圍；

(ii)求證：%i+%3>2a-2.

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024?山東青島?二模)函數(shù)/(%)=謨-a(a>0,a。1)的零點(diǎn)為()

A.0B.1C.（1,0）D.a

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f（%）=ln%+久2-2的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）

A.（0,學(xué)B.（唱,1）C.（1,V2）D.（V2,2）

3.（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f（久）=/（>；-l）—x-1的所有零點(diǎn)之和為（）

A.0B.-1C.V3D.2

4.（2024?浙江紹興?三模）已知函數(shù)f（2%+1）為偶函數(shù)，若函數(shù)9（久）=/（久）+21官+2，-1-5的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為奇數(shù)個(gè)，則-1）=（）

A.1B.2C.3D.0

5.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（X）=/-3x+a在區(qū)間（0,2）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（）

A.(0,2)B.(2,+oo)C.(0,1)D.(1,+oo)

6.(2024?廣東湛江?二模)已知函數(shù)f(久)=|2'—l|—a,g(x)=x2-4\x\+2-a,則()

A.當(dāng)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，/（X）只有1個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)以久）有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，/（久）有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，以久）有2個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)/（%）有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g（x）有4個(gè)零點(diǎn)

7.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（切=｛篇;梵，9（%）=尤一3,方程f（gQ））=-3-g@）有兩個(gè)不

同的根，分別是則+%2=（）

A.0B.3C.6D.9

8.（2024?安徽合肥?三模）設(shè)a6R,函數(shù)/（無(wú)）=]?：；匕好竦，若函數(shù)y="⑼恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為（）

A.（—2,2）B.（0,2）C.[—1,0）D.（—8,—2）

二、多選題

9.（2024?遼寧?一模）已知函數(shù)f（x）=2cos（3x+g+2（3>0）在區(qū)間[―上單調(diào)遞減，且在區(qū)間[0,記

上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則3的值可以為（）

51113

-C---

A.612D.12

10.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=e%+2%-2,g（%）=21n%+%-2的零點(diǎn)分別為％i,%2，貝I（）

A.2巧+冷=2B.巧％2=e^i+ln%2

4

C.%1+%2>3D.2xrx2<Ve

11.(2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=2-log/，°<"W2,g(x)=f(x)—a,貝。()

—/+8x—ll,x>2,

A.若g(%)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，貝！J2<a<5

B.當(dāng)@=2時(shí)，有5個(gè)不同的零點(diǎn)

C.若9(%)有4個(gè)不同的零點(diǎn)久1，%2，、3，%4(%1V%2<%3<%4)，則％1%2%3%4的取值范圍是(12,13)

D.若9(%)有4個(gè)不同的零點(diǎn)％1，久2，%3，%4(%1<%2V%3<%4)，貝久2+可上的取值范圍是(6,9)

三、填空題

12.(2023?遼寧葫蘆島?一模)請(qǐng)估計(jì)函數(shù)/(久)=9-Iog2%零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間.

13.(2024?天津北辰?三模)若函數(shù)/(嗎=可2%-3|-3(1-/(久—3)2有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

14.(2024?河北秦皇島?三模)已知奇函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,7(%+3)=-/(-%),且f(2)=0,則f(x)在[0,6]

上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值為.

四、解答題

15.(2024?四川瀘州?三模)已知函數(shù)/(%)=a%e"-1(a>0),

(1)討論函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若|/(%)|+恒成立，求函數(shù)/(%)的零點(diǎn)%o的取值范圍.

16.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%)=(%-l)2e久一a%,且曲線y=/(%)在點(diǎn)(0/(%))處的切線方程為

y=—2%+b.

(1)求實(shí)數(shù)a,力的值；

(2)證明：函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn).

17.(2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(%)=(%-1聲-1+|7.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若aN-e,討論函數(shù)/(%)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

18.(2024?湖北黃石?三模)已知函數(shù)/(%)=%-ln%+?n有兩個(gè)零點(diǎn)％1，%2.

(1)求實(shí)數(shù)血的取值范圍；

(2)如果為1V%242X1，求此時(shí)771的取值范圍.

19.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=%展-a(%>0),且/(%)有兩個(gè)相異零點(diǎn)%i,%2.

⑴求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

(2)證明：+%2>

專題2.7函數(shù)與方程【八大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】...............................................................2

【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)1................................................................4

【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】................................................................6

【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)】.............................................................9

【題型5由函數(shù)零點(diǎn)分布求值(范圍)】..........................................................12

【題型6復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定】...............................................................14

【題型7根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)】...............................................................18

【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問題1............................................................21

?考情分析

1、函數(shù)與方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考?？嫉臒狳c(diǎn)

(1)理解函數(shù)的零點(diǎn)與方2022年天津卷：第15題，5內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來看，一般

程的解的聯(lián)系分以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；函數(shù)與

⑵理解函數(shù)零點(diǎn)存在定2023年新課標(biāo)I卷：第15題，方程的綜合應(yīng)用也是歷年高考的一個(gè)熱

理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用5分點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析

⑶了解用二分法求方程2024年新課標(biāo)H卷：第6題，函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的

的近似解5分零點(diǎn)或方程的根的分布、個(gè)數(shù)等，題目

難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法】

1.確定函數(shù)收)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)夕比尤)在區(qū)間口力］上的圖象是否連續(xù)，再看是否有人a)?^)<0.

若有，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,6)內(nèi)必有零點(diǎn).

(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如人x尸

g(x)-/?(x),作出y=g(x)和尸〃(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)段)的零點(diǎn).

【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和求參問題】

1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法：

(1)直接法：直接求零點(diǎn)，令｛x)=0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[應(yīng)句上是連續(xù)不斷的曲線，且八0)負(fù)6)<0,還必須結(jié)合函

數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)圖象法：畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)

不同的零點(diǎn).

(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期

函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2.已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的方法

(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的一般方法

①直接法：直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；

②數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；

③分離參數(shù)法：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來求解.

(2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的方法

已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確

畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.

【知識(shí)點(diǎn)3嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題】

1.嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題的解題策略

函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解

套”，設(shè)中間函數(shù)為普通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.

?舉一反三

【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】

【例1】(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=3，+x-6有一個(gè)零點(diǎn)x=祀，則均屬于下列哪個(gè)區(qū)間()

A.31)B.(1,|)C.(|,2)D,(2,|)

【解題思路】利用零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.

【解答過程】由題知/在R上單調(diào)遞增，

=73-5.5<0,/⑴=-2<0,/(|)-31-4.5,

又33—4.52>0,.?./(1)>0,即在(1,|)上存在xo使得/(比)=。.

故選：B.

【變式1-1](2024?海南?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)f(X)=2xT+x—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【解題思路】利用零點(diǎn)存在定理計(jì)算出滿足條件的區(qū)間即可.

【解答過程】易知函數(shù)/CO=2>1+x-3在R上單調(diào)遞增，

又f(l)=1+1-3<0,f(2)=2+2-3>0,

由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(1,2).

故選：C.

【變式1-2](2024?吉林長(zhǎng)春?一模)方程log3x+x=2的根所在區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為/(x)=10g3X+久-2零點(diǎn)所在區(qū)間的求解問題，利用零點(diǎn)存在定理求解即可.

【解答過程】設(shè)f(X)=10g3X+X-2,則方程10g3X+X=2根所在區(qū)間即為f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間，

y=Iog3X與y=x-2在(0,+8)上均為增函數(shù)，:/■(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

對(duì)于A,/(I)=loggl+1—2=-1,二當(dāng)x€(0,l)時(shí)，f(x)<—1,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,???/(1)=-1<0,/(2)=10g32+2-2=log32>0,即/⑴f(2)<0,

???3%oe(1,2),使得7(孫)=0,B正確；

對(duì)于CD,當(dāng)久>2時(shí)，f(x)>f(2)>0,.,./(>)在區(qū)間(2,3)和(3,4)上無(wú)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式1-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(久)=eX-|%-a|,aeR,則(

A.若/(x)在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都有零點(diǎn)，則在區(qū)間(0,1)也有零點(diǎn)

B.若/(%)在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都有零點(diǎn)，則在區(qū)間(0,1)沒有零點(diǎn)

C.若/'(x)在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都沒有零點(diǎn)，則在區(qū)間(0,I)有零點(diǎn)

D.若/(X)在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都沒有零點(diǎn)，則在區(qū)間(0,1)也沒有零點(diǎn)

【解題思路】函數(shù)分段去絕對(duì)值，利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.

【解答過程】去絕對(duì)值可得f(x)=傕匕二黑f.

xWa時(shí),f'(x)=ex+1>0,因此函數(shù)在(-8,a]單調(diào)遞增;

%>a時(shí)，/z(x)=ex-l.

(i)ae[0,+8)時(shí)，/0)>0,因此尸(x)在(a,+8)單調(diào)遞增.

當(dāng)1<a<e+1時(shí),/(0)=1-a<0,/(l)=e+l-a>0,因此在區(qū)間(0,1)有零點(diǎn)，且在區(qū)間(一2,-1)和(—1,0)

都沒有零點(diǎn)；

當(dāng)a>e+l時(shí)，/(1)<0,故在區(qū)間(—2,—1),(—1,0)和(0,1)都沒有零點(diǎn)，故C選項(xiàng)和D選項(xiàng)均錯(cuò)誤.

(ii)ae(-8,0)時(shí)，令尸(%)=0得與=0,因此函數(shù)在區(qū)間(a,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.

f(0)=1+d,f(a)=e。>0,f(—1)=—|a+1(—2)=e——|a+21

當(dāng)aG[—1,0)時(shí)，/(0)>0/(-1)=eT-(a+1)/(—2)=e-2-(a+2).

(1)ae(eT-l,O)時(shí),f(x)在區(qū)間(-1口)存在唯一零點(diǎn),而在區(qū)間(一2,-1)沒有零點(diǎn).

(2)ae［―l,eT-l)時(shí)，f(x)在區(qū)間(-1,0)沒有零點(diǎn).

當(dāng)aG［―2,—1)時(shí)，/(0)<0/(-1)=e-1+(a+1),/(-2)=e-2-(a+2)/(1)=e-1+a.

①ae(-l—e-L-l)時(shí)，/(-2)/(-l)<0,/(-l)/(0)<0,因此在區(qū)間(一2,-1)和(-1,0)都有零點(diǎn)，此時(shí)f(0)

/(1)>0,故在區(qū)間(0,1)也有零點(diǎn).

②ae(-8,-1-e-i］時(shí)，f(x)在區(qū)間(—1,0)沒有零點(diǎn).

綜上所述，本題正確答案是A.

故選：A.

【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】

【例2】(2024?江蘇?一模)函數(shù)/(%)=sin(2%+］在區(qū)間(0,2①內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答過程】令/(%)=sin(2%+勺=0,得2久+方=而，則久=一方+冬kEZ；

故k=l,x=gk=2,x=fn,k=3,x==4,x=

所以f(x)在(0,2ir)共有4個(gè)零點(diǎn)，

故選：C.

【變式2-1］(2024?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=(x—2)(2，+1)的零點(diǎn)是()

A.2B.(2,0)C.-2D.2或-1

【解題思路】由題意令y=0可得關(guān)于％的方程，進(jìn)而求解.

【解答過程】由題意令y=(x—2)(2、+1)=0,因?yàn)?，+1>1>0,所以x—2=0,即x=2.

故選：A.

【變式2-2］(2024?內(nèi)蒙古?三模)已知奇函數(shù)久久)的定義域?yàn)镽,f(x+3)=-/(-嗎，且/(2)=0,則/(久)

在［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值為()

A.7B.9C.10D.12

【解題思路】由已知可得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(|,0)對(duì)稱，周期為3,據(jù)此計(jì)算可得了(%)在［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的

最小值為9.

【解答過程】由f(x+3)=-f(-x),可得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(|,0)對(duì)稱，

又f(x)是奇函數(shù)，所以/'(%+3)=-f(-x)=f(x),則f(x)的周期為3,

所以f(0)=f⑶=f(6)=0/(2)=f(5)=f(一2)=f⑴=f(4)=0/(1.5)=-f(1.5),

則f(1.5)=/(4.5)=。.故/(x)在［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值為9.

W(x)=sin^(l+2cos^),顯然滿足題意，且恰好在［0,6］上有9個(gè)零點(diǎn).

故選：B.

【變式2-3］(2024?四川自貢?一模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(l+x)=f(lr),且當(dāng)時(shí),/(%)

=|sin^x,則函數(shù)g(x)=/(x)-去在［-2,10］上所有零點(diǎn)的和為()

A.16B.32C.36D.48

【解題思路】

先判斷外嗎的對(duì)稱性、周期性，然后由g(x)=o進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖象以及對(duì)稱性求得正確答案.

【解答過程】依題意，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

由于/'(1+%)=f(l-x),所以f(x)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱，

/(x+4)=/(I+%+3)=/(I—(x+3))=/(—2—x)

=-f(x+2)=-/(I+1+X)=-y(l-(l+X))=-/(-x)=/(x)>

所以/(w是周期為4的周期函數(shù).

令g(x)=f(久)一2=o,得/'0)=3，

函數(shù)y=2的圖象關(guān)于(%。)對(duì)稱，y=/(x)的圖象也關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱，

畫出函數(shù)y=f(x)和丫=上的圖象如下圖所示，

由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)關(guān)于(4,0)對(duì)稱，

所以g(W所有零點(diǎn)和為8X2=16.

【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】

【例3】(2024?四川內(nèi)江?三模)若函數(shù)/(*)=野—5有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為()

A.(0,e)B.(e,+8)C.(0,2e)D.(2e,+8)

【解題思路】將函數(shù)/(%)=等有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=野,y=5的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)問題；由此設(shè)

初乃=竽久>0,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.

【解答過程】由題意知函數(shù)/(%)=等-有兩個(gè)零點(diǎn)，即9-5=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

即函數(shù)y=笥,y=5的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)；

設(shè)h(x)=竽，尤>0,則"(X)=弓5(%>0)，

當(dāng)0<%<e時(shí),"(%)>0,九(%)在(0,e)上單調(diào)遞增；

當(dāng)久>e時(shí)，"(%)<0,九(%)在(e,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)OVxVl時(shí)，ft(x)<0,當(dāng)汽>1時(shí)，/i(x)>0,

作出九(%)的圖象如圖：

一

刃7ex

口(x)

當(dāng)直線y=5與八0)圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(陽(yáng)),詈)，

此時(shí)工=1：；久°=五_2,貝ijln久°=J陽(yáng))=正，

mxz

oxo-o

故此時(shí)在個(gè)日，

結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)y==2的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

需滿足o4<%m>2e,

故mG(2e,+oo),

故選：D.

【變式3-1](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=-2sin2(3x+》(3>0)在(0?)上有且僅有兩個(gè)

零點(diǎn)，則3的取值范圍是()

A?。同B.6同C.。用D.良制

【解題思路】利用降暴公式降幕，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象特征，可得關(guān)于3的不等式，即可求得實(shí)數(shù)3得取值

范圍.

【解答過程】函數(shù)/'(%)=l-2sin2(3x+務(wù)=cos(23x+5(3>0),

由得23X+-CG，TT3+m),

要使函數(shù)f(x)=l-2sin2(wx+^)((o>0)在(04)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

則兀3+1償涔)，得注3<寸,

故選：C.

xlnx%>0

-1A=0/若關(guān)于久的方程/(%)=ax-lW

{xln(—%)—2,x<0.

5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，貝心的取值范圍是()

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(l,e)D.(2,2e)

(X\YIX+L%>0,

【解題思路】直線y=a%與函數(shù)叔%)=/(%)+1=10,%=0,的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，可得力(%)是奇函數(shù),

lxln(—%)—1,%<0

可得只需直線y=ax與曲線丫=汨11%+10>0)有2個(gè)交點(diǎn)即可，即方程a=lnx+§有2個(gè)實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)

數(shù)即可求解.

X\Y\X+1,%>0,

0,%=0,'的圖象有5

{%ln(—%)—l,x<0

個(gè)交點(diǎn).

顯然，直線y=a%與h(%)的圖象交于點(diǎn)(0,0).

又當(dāng)%>0時(shí)，一%<0,/i(—x)=—xlnx-1=—/i(x)；

當(dāng)％<0時(shí)，—%>%)=—xln(—%)+1=—/i(x)；

當(dāng)％=0時(shí),/i(x)=0,所以九(%)是奇函數(shù)，

則必須且只需直線y=ax與曲線y=xlnx+l(x>0)有2個(gè)交點(diǎn)即可，

所以方程a=Inx+§有2個(gè)實(shí)數(shù)根.令t(x)=Inx+1,則〃(%)=

當(dāng)0<x<l時(shí)，t，(x)<O,t(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>1時(shí)，r(x)>O,t(x)單調(diào)遞增，

所以t(x)>t(l)=1.

11-1-1

又當(dāng)久趨近于0時(shí)，t(x)=Inx+-=~^nx==+8,所以+oo；

當(dāng)%趨近于+8時(shí)，In久-?+8,(70=>力(％)=Inx+1->+oo,

所以必須且只需a>1.

故選：A.

【變式3-3](2024?陜西漢中?二模)已知函數(shù)/(%)=，若函數(shù)0(%)=/(%)-6%有4個(gè)零點(diǎn),

I41n2%,%>0

則m的取值范圍為()

A.^m|m]B.{m\m>eln22)

C.^m|eln22<jD.{加租=el/Z或m=!|}

【解題思路】由題意可知：函數(shù)g(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=/(%)與y=mx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求過原點(diǎn)的切

線，結(jié)合圖象分析求解.

【解答過程】作出/(久)的圖象，如圖所示

令19(%)=f(x)-mx=0,可得/(久)=mx,

由題意可知：函數(shù)g(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=f(%)與y=瓶%的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

若%>0,則/(%)=41n2x,可得>(%)=等，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為01,41112打),打>1,切線斜率為的=等，

則切線方程為y-41n2久1二臂^刀一打)，

代入點(diǎn)。(0,0),可得-41n2Xi=-81n%i，解得*i=e2,

此時(shí)切線斜率為七=|1；

若％<0,則/'(尤)=G)lng=-ln2?(J,可得尸(x)=iMZ?g),

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%2，Tn2-(9、)K2<0,切線斜率為?=ln22-(1)%\

則切線方程為y+in2-Gy，=ln22.qy、久_孫)，

2

代入點(diǎn)0(0,0),可得ln2-G)=In2'Q)(-x2),解得功=一白=-log2e,

此時(shí)切線斜率為七=e-ln22；

結(jié)合圖象可知?n的取值范圍為｛m|ni=eln22或m=

故選：D.

【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)】

【例4】(2024?四川成都?三模)若函數(shù)/(久)=9-質(zhì)2大于0的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的值為_亨_.

【解題思路】首先判斷k>0,令f(x)=O,%6(0,+oo),參變分離可得k=',依題意可得y=k與y='在

(0,+8)上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，令9(%)=捻，xe(0,+8),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最

小值，從而求出k的值.

【解答過程】若k<0時(shí)f(x)>。恒成立，所以/(x)=e，-丘2沒有零點(diǎn)，

所以k>0,

令/'(尤)=0,x￡(0,+oo),即e“一kN=0,所以卜=,

依題意y=k與y=?在(0,+8)上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

令0(x)=%X€(0,+8),則“(x)=e烹),

所以當(dāng)0V%V2時(shí)，當(dāng)久>2時(shí)，

即9(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

?2

所以3(%)的取小值是9(2)=了，

而當(dāng)％-0時(shí)，/(%)-+8,當(dāng)%7+8時(shí)，/(%)7+8,所以左二?.

2

故答案為：Y,

【變式4-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)〃>)=(%+2)皿%+1)—4只有3個(gè)零點(diǎn)血,電%3

【解題思路】由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，為判斷導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，對(duì)導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)求其最值，利用分類討論

思想，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，建立不等式組，可得答案.

【解答過程】函數(shù)/'(%)=(x+2)ln(久+l)-ax的定義域?yàn)?-1,+oo),則((%)=ln(x+1)+詈一原

設(shè)g(x)=r(x)，則g'(x)==GK，

所以當(dāng)xe(-i,0)時(shí)，夕(X)<o,廣(X)單調(diào)遞減，當(dāng)％e(o,+8)時(shí)，70)>0,廣(%)單調(diào)遞增，

所以廣(x)2尸(0)=2—a.

當(dāng)2—a20,即aW2時(shí)，f1(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，且f(0)=0,此時(shí)f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

當(dāng)2—a<0,即a>2時(shí)，由/?—1)=In?—1+1)+=e。+1—2a>0,

Ga—1+21

r(ea-l)=ln(ea-l+1)+---a=l+->0

存在me(-1,0),n6(0,+00),使得尸(m)=o,f⑺=0,

當(dāng)xe(—l,m)U(n,+8)時(shí),f'(x)>0；當(dāng)時(shí)，f'(x)<0,

所以/(%)在(-1即)上單調(diào)遞增，在(加,n)上單調(diào)遞減，在(%+