2023年上海中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：代數(shù)方程（原卷版+解析）

專題06代數(shù)方程

I

代數(shù)方程是本市中考特色考點，中考中多以選擇題、填空題、簡單的解一元二次方程及其應(yīng)用題和滲

透在大題中的形式計算問題出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數(shù)學(xué)思想方法.掌握代數(shù)方程

的分類，會解代數(shù)方程，及解代數(shù)方程過程中的形式變換，掌握有關(guān)的實際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來解決，

難度系數(shù)中等。。

在知怨導(dǎo)圖

在重點考向

一、分式的概念

概念：一般地，如果A,B表示兩個整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式，A為分子，B為分母。

【注意】判斷式子是不是分式是從原始形式上去看，而不是從化簡后的結(jié)果上去看。

與分式有關(guān)的條件：

要求表示

分式有意義分母W0W0

分式無意義分母=0=0

分式值為0分子為0且分母不為0=0,豐0

分式值為正或大于0分子分母同號①A>0,B>0

②A<0,B<0

分式值為負(fù)或小于0分子分母異號①A>0,B<0

②A<0,B>0

分式值為1分子分母值相等A=B

分式值為T分子分母值互為相反數(shù)A+B=0

二、分式的運算

基本性質(zhì)（基礎(chǔ)）：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。

字母表示：—=——,—=—:-，

??

其中A、B、C是整式，C^0?

拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即

注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時，要注意C70這個限制條件和隱含條件B40。

分式的約分

約分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去。

最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式。

分式約分步驟：

1）提分子、分母公因式

2）約去公因式

3）觀察結(jié)果，是否是最簡分式或整式。

注意：

1.約分前后分式的值要相等.

2.約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.

3.約分是對分子、分母的整體進(jìn)行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個因式

分式的通分

通分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做

分式的通分。

最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次累的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

分式通分的關(guān)鍵：確定最簡公分母

確定分式的最簡公分母的方法

1.因式分解

2.系數(shù)：各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

3.字母：各分母的所有字母的最高次幕

4.多項式：各分母所有多項式因式的最高次累

5.積

分式混合運算的運算

運算順序：L先把除法統(tǒng)一成乘法運算；

2.分子、分母中能分解因式的多項式分解因式；

3.確定分式的符號，然后約分；

4.結(jié)果應(yīng)是最簡分式.

三、整數(shù)指數(shù)第

.—十

（）=

（）=

+=一（40）

-=—（豐0）

°=1（豐0）（任何不等于零的數(shù)的零次基都等于1）

其中m,n均為整數(shù)。

科學(xué)記數(shù)法

有了負(fù)整數(shù)指數(shù)幕后，小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示。即小于1的正數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為

aX10』的形式.（1WIa|<10,n是正整數(shù)）

注意：

1）1W|a|<10

2）n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中左邊第一個不為0的數(shù)字前面所有的0的個數(shù)。（包括小數(shù)點前面的0）

四、分式方程及其應(yīng)用

解分式方程的基本

1）去分母（兩邊同乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程）。

2）解整式方程（去括號-移項/合并同類項-系數(shù)化為1）。

3）檢驗（把整式方程的解代入最簡公分母，

若最簡公分母為0,則x=a不是分式方程的解

若最簡公分母不為0,則x=a是分式方程的解

4）寫出答案

分式方程解決實際問題的步驟：

L根據(jù)題意找等量關(guān)系

2.設(shè)未知數(shù)

3.列出方程

4.解方程，并驗根（對解分式方程尤為重要）

5.寫答案

典例引微

1_________■________|_____________1^

一一、單選題

i,下列各式①q；②心;③z；:⑤打尸中,

分式有（

xy5mn2

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.下列運算結(jié)果為x-1的是（）

A.1--B..上「x+lIn+2x+1

xxx+1xx-\x+1

3.下列分式中，最簡分式是（）

A21xy^~y2cx2-2xy+y2x2+y2

Bu.

'15y2'x+yx-yx-y

4.若分式的值為0,則x的值為（)

X+x

A.1B.0C.-1D.0或-1

5.下列計算正確的是（）

A.a-1+a-2=a-3B.a-5-a-2=a10C.(-2a-4)4=16a8D.(aT)2=a2

61+管a?-4.a-4a+42的幺士里力,

。?ll舁2c1'/八2-。日出口果刀()

a2+2a+l(a+1)2a-2

a+2a-4

A.B.c.—D.a

a-2a-2a-2

。R—x

則機(jī)的值是（）

x-44-x

A.4B.-4C.2D.-2

8.關(guān)于x的分式方程E=3的解是正數(shù)，則字母優(yōu)的取值范圍是（）.

A.m>3B.m>—3C.m<3D.m<—3

二、填空題

9.新型冠狀病毒(2019-nCoV)的平均直徑是100納米.1米=1。9納米，ioo納米可以表示為米.(用

科學(xué)記數(shù)法表示)

10計算.2bc=2x2y

計算.b2c35a2--———r+

%-yy2

2-x--^―=_____________x-2-y~2_

2-xx-1-yT

2

11.已知方程Y三+士1X如果設(shè)er,那么原方程可以變形為關(guān)于＞的整式方程為------------

12.某次列車平均提速vkm/h.用相同的時間，列車提速前行駛skm.提速后比提速前多行駛50kni.設(shè)提

s5+50

速前列車的平均速度是xkm/h.根據(jù)題意分別列出下列四個方程：①上二口②

Xx+vx+vX

q50

@-=—.則其中正確的方程有

x+v5+50VV

13.若：±="也，貝卡孫+黑=_______.

3y2x-5yxx-2xy+3y

1111

143+留-------1--------------------1--------------------1-----1----------------------------二

“異.x(x+l)(x+l)(x+2)(尤+2)(x+3)(x+2018)(x+2019)--------------------------1

三、解答題

15.計算：

cx?+lx-8x2-4

(2)-----------「------

4x-x33x+24

a-bab-a2

124

a+ab"0b2_a

/八2a+l1

(4)-z------------------.

a+a—24+2

x—2x2-44-2x

//、Xxx-1

(6)------7+——-------

x—4%+4x—2x—2

11Y2+4

⑺

x2+3xy-4y2,x2+3x-3y--y2

x2+8xy+16y2x2-16y2

cbb3ab+b2

(刃-------------------；------

Cl—b

16.計算：1￡+六/

十〃a一°j

17.解方程:

3

⑴

x—22—x

(2)^+1=^-

x尤+x

-xx+6x—3

(3)——----

龍一3x2-3xx

,八13x-x2.

⑷「+^V=T

l-x無一1

18.某區(qū)招辦處在中考招生錄取工作時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，全區(qū)3600名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由李某、

王某兩位同志進(jìn)行操作，兩人各自獨立地輸入一遍，然后讓計算機(jī)比較兩人的輸入是否一致.已知李某的

輸入速度是王某的2倍，結(jié)果李某比王某少用2小時輸完.問李某、王某兩人每分鐘分別能輸入多少名學(xué)

生的成績？

19.疫情防控形勢下，人們在外出時都應(yīng)戴上口罩以保護(hù)自己免受新型冠狀病毒感染.某藥店用4000元購

進(jìn)若干包次性醫(yī)用口罩，很快售完，該店又用7500元錢購進(jìn)第二批這種口罩，所進(jìn)的包數(shù)比第一批多50%,

每包口罩的進(jìn)價比第一批每包口罩的進(jìn)價多0.5元，請解答下列問題：

（1）求購進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有多少包？

（2）政府采取措施，在這兩批醫(yī)用口罩的銷售中，售價保持了一致，若售完這兩批口罩的總利潤不高于3500

元錢，那么藥店銷售該口罩每包的最高售價是多少元？

過重,點考向

一、基本概念

一元整式方程：方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式。

二項方程：一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊為零的方程。其一般式為

AxCn+b=0（其中a￥0,b/）,n為正整數(shù)）.

雙二次方程:只含有偶數(shù)次項的一元四次方程.其一般形式為:ax%+bx人2+c=0（a/））

無理方程：方程中含有根式，并且被開方數(shù)含有未知數(shù)的代數(shù)式.

二元二次方程組:僅含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項的最高次數(shù)為2的整式方程.

二、整式方程的解法

1.一元一次方程和一元二次方程的解法

2.含字母系數(shù)的整式方程的解法

3.特殊的高次方程的解法

（I）二項方程+b二。（QHO,DHO）的解法

二項方程的定義：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另外一邊是零，那么這

樣的方程叫做二項方程。關(guān)于X的一元n次二項方程的一般形式是axn+b=°（ar°,bH°,〃是正整數(shù)）二

項方程的解法及根的情況：

b

一般地，二項方程0乂'5匕=°（（7于0,0工°）可變形為Q可見，解一元n次二項方程，可以轉(zhuǎn)化

為求一個已知數(shù)的n次方根，運用開方運算可以求出這個方程的根。

二項方程的根的情況:

對于二項方程axn+b=O（aH°，bHO）,

當(dāng)n為奇數(shù)時，方程只有且只有一個實數(shù)根。

當(dāng)n為偶數(shù)時，如果0b<0,那么方程有兩個實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根互為相反數(shù)；如果°匕>0,那么

方程沒有實數(shù)根。

（2）雙二次方程的解法

雙二次方程的定義：

只含有偶數(shù)次項的一元四次方程，叫做雙二次方程。

關(guān)于X的雙二次方程的一般形式是OX，Ibx2IC=°（QH°）雙二次方程的解法：

可以用“換元法”解形如ax4+bx2+c=°（QwO,bxO,cH°）的雙二次方程。就是用y代替方程中

的X,同時用y代替x,將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程ay+by+c=O。解這個關(guān)于y的一元二次方程即

可。

（3）因式分解法解高次方程

解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，對有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。

用因式分解的方法時要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。

三、可化為一元二次方程的分式方程的解

1.適宜用“去分母”的方法的分式方程

解分式方程，通常是通過方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程來解。解

分式方程要注意驗根！

2.適宜用“換元法”的分式方程

適宜用換元法的分式方程有兩種，一是二次項與一次項相同的，采取同底換元法；二是不看系數(shù)，方程的

未知項呈倒數(shù)關(guān)系的，可采取倒數(shù)換元法

四、無理方程的解法

解無理方程的基本思路是把無理方程化為有理方程，通常采用“兩邊平方”的方法解。對有些特殊的無理方程,

可以用“換元法”解。

解無理方程一定要驗根！

在初中階段，我們主要學(xué)習(xí)下面兩種無理方程的解法。

1.只有一個含未知數(shù)根式的無理方程

當(dāng)方程中只有一個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使這個二次根式單獨在一邊；然后方程的兩

邊同時平方，將這個方程化為有理方程。

2.有兩個含未知數(shù)根式的無理方程

當(dāng)方程中有兩個含未知數(shù)的二次根式時，可先把方程變形，使乙個二次根式單獨在一邊，另外一個二次根

式在方程的另一邊；然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程。

3.適宜用換元法解的無理方程

如果無理方程中，二次根式里面的未知項和二次根式外面的未知項相同，可以使用換元法來解。

翼例引順

_j___________.I_____

一、單選題

1.下列說法正確的是（）

A./+y=0是二元二次方程B./一九=o是二項方程

C.上^=2是分式方程D.上^=也是無理方程

3X

2.下列方程組是二元二次方程組的是（

xy+x=2Q

3y=2

x2+xy-x=2

c.L

[3x—y=—13y=-x

3.下列方程中，二項方程是()

A.x2+2x+1=0B.%5+x2=0

C.X2=1D.—+x=l

x

4.已知下列關(guān)于％、y的方程，說法正確的是（）

A.2/+人=0是二項方程

尤+12%

B.--3=一是分式方程

2P

C.2白龍+5=x是無理方程

IX—V=1

D.孫+/=1是二元二次方程組

5.下列方程有實數(shù)解的是（）

C尤+1C

A.Jx-1+1=0B.—----=0C.x2—x+1=0D.

x2-l

231小

xy2

小明在解方程組t

6.9；的過程中,以下說法錯誤的是（

-+-(x+l)=l@

%y

A.②-①可得y=2x-4,再用代入消元法解

B令4匹;以可用換元法將原方程組化為關(guān)于〃、b的二元一次方程組

6x

C.由①得y=-再代入②，可得一個關(guān)于無的分式方程，亦可求解

x-4

x=8

D.經(jīng)檢驗：s是方程組的一組解

（7=12

7.下列方程中，有實數(shù)解的是（）

A.J尤+2+1—0B.-2=-5""

廣-1k-

C.Jx-1+yjl—x=1D.J%2-3=2

f(x+l)(y_2)=0

8.二元二次方程組,的解的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

9.方程Jx+3=x+l的根是

\x=3

10.寫出一個由二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組_________，使它的解是‘；和

[y=4

\x=-3

jy=~4,

11.下列方程：Jx+4+Jx-4=0,Jx-2+3=0,y/x2+x-l=-x＞無實數(shù)根的方程有個.

12.方程2/=18的解為.

13.方程組I；—的解是________________________.

[2x-3y=5

三、解答題

x2+2xy+y2=4

14.解方程組:

x-y+2=0

15.解方程：jm—J^7=2.

X2-5xy-6y2=0,

16.解方程組:

xy-2x-y+2=0.

------+-------=3

x+yx-y

17.解方程組:

---1-=2

x+y工一丁

一、單選題

1.（2020.上海寶山.校考三模）在下列方程中，不是二元二次方程的有（）

A.x2+y=3；B.xy=3；C.y=x2；D.—=y-3.

x+1

2.（2022.上海.上海市婁山中學(xué)?？级＃┫铝蟹匠讨?，有實數(shù)根的方程是（）

。—X1—3

A.爐+16=0B.=-------

x-3x

C.y/x—1+yjl—x=2D.y/x—2=—1

3.（2019?上海??？既＃┫铝蟹匠讨?，有實數(shù)解的個數(shù)是（）

①，2x+8-1=0,②Jx-6=4-％,③Jx+5=<2-x,④Jx+l=-x

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題

Y1O丫—1

4.（2021.上海松江?統(tǒng)考二模）用換元法解方程3+三=3時，設(shè)——=y,那么原方程化成關(guān)于y的

xx-1x

整式方程是.

5.（2020?上海普陀?統(tǒng)考二模）如果把二次方程盯-2y2=0化成兩個一次方程，那么所得的兩個一次方

程分別是

6.（2022?上海金山?統(tǒng)考二模）方程l-^/^與=0的解是.

x+2y=3

7.（2022.上海黃浦?統(tǒng)考二模）方程組,2的解是

x—y=0n

8.（2011.上海浦東新?統(tǒng)考中考模擬）如果關(guān)于x的方程后工=x的一個根為3,那么a=—.

9.（2018?上海浦東新?統(tǒng)考一模）甲、乙兩個機(jī)器人檢測零件，甲比乙每小時多檢測20個，甲檢測300個

比乙檢測200個所用的時間少10%,若設(shè)甲每小時檢測尤個，則根據(jù)題意，可列出方程：.

10.（2021?上海靜安?統(tǒng)考一模）方程VJF=2-X的根為.

三、解答題

（2022?上海金山?統(tǒng)考二模）解方程：由一生==1.

11.

x-1x-1

12.（2017.上海靜安.統(tǒng)考中考模擬）解方程：4T7+J2x-5=L

x+y-2①

13.（2022?上海寶山?統(tǒng)考二模）解方程組:

尤2_孫_6y2=0(2)

x+y=2?①

14.（2021?上海崇明?統(tǒng)考二模）解方程組:

f+2盯-3y2=0珍

15.（2011?上海黃浦?統(tǒng)考中考模擬）黃商超市用2500元購進(jìn)某種品牌蘋果進(jìn)行試銷，由于銷售狀況良好，

超市又調(diào)撥6000元資金購進(jìn)該品牌蘋果，但這次進(jìn)貨價比上次每千克少0.5元，購進(jìn)蘋果的數(shù)量是上次的

3倍.

（1）試銷時該品牌蘋果的進(jìn)貨價是每千克多少元？

（2）如果超市按每千克4元的定價出售，當(dāng)售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那么超市在這兩

次蘋果銷售中共獲利多少元？

16.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考二模）某店旺季銷售一種海鮮產(chǎn)品，為了尋求合適的銷售量，試營銷了4天，經(jīng)

市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，試營銷日銷量情況如下表：

時間X（天）第1天第2天第3天第4天...

日銷售量y（千

380400420440...

克）

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，選擇一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中的一種函數(shù)模型來確定y與尤的函

數(shù)關(guān)系式，并說明選擇的理由.

（2）試營銷后，公司對這種海產(chǎn)品每天進(jìn)行定量銷售，首批6000千克海產(chǎn)品很快銷售一空,對于第二批次6000

千克海產(chǎn)品，公司決定在第一批銷售量的基礎(chǔ)上每天增加100千克定量銷售，結(jié)果還是比第一批次提前2

天售完，求公司對第一批次每天的銷售定量是多少千克？

專題06代數(shù)方程

代數(shù)方程是本市中考特色考點，中考中多以選擇題、填空題、簡單的解一元二次方程及

其應(yīng)用題和滲透在大題中的形式計算問題出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數(shù)

學(xué)思想方法.掌握代數(shù)方程的分類，會解代數(shù)方程，及解代數(shù)方程過程中的形式變換，掌握

有關(guān)的實際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來解決，難度系數(shù)中等。。

先知巧導(dǎo)圖

在重點考向

一、分式的概念

概念：一般地，如果A,B表示兩個整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式，A為分

子，B為分母。

【注意】判斷式子是不是分式是從原始形式上去看，而不是從化簡后的結(jié)果上去看。

與分式有關(guān)的條件：

要求表示

分式有意義分母W0W0

分式無意義分母=0=0

分式值為0分子為0且分母不為0=0,中0

分式值為正或大于0分子分母同號③A>0,B〉0

@A<0,B<0

分式值為負(fù)或小于0分子分母異號①A〉0,B<0

②A<0,B>0

分式值為1分子分母值相等A二B

分式值為T分子分母值互為相反數(shù)A+B=0

二、分式的運算

基本性質(zhì)（基礎(chǔ)）：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。

字母表示：—=,—=——,

其中A、B、C是整式，CK0。.

拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的

值不變，即

注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時，要注意C力。這個限制條件和隱含條件BK0。

分式的約分

約分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去。

最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式。

分式約分步驟：

1）提分子、分母公因式

2）約去公因式

3）觀察結(jié)果，是否是最簡分式或整式。

注意：

1.約分前后分式的值要相等.

2.約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.

3.約分是對分子、分母的整體進(jìn)行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個因式

分式的通分

通分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同

分母分式，叫做分式的通分。

最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次塞的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公

分母。

分式通分的關(guān)鍵：確定最簡公分母

確定分式的最簡公分母的方法

1.因式分解

2.系數(shù)：各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

3.字母：各分母的所有字母的最高次塞

4.多項式：各分母所有多項式因式的最高次幕

5.積

分式混合運算的運算

運算順序：1.先把除法統(tǒng)一成乘法運算；

2.分子、分母中能分解因式的多項式分解因式；

3.確定分式的符號，然后約分；

4.結(jié)果應(yīng)是最簡分式.

三、整數(shù)指數(shù)事

=+

（）=

（）=

+=-（7。）

-=—（K。）

。（力0）（任何不等于零的數(shù)的零次基都等于1）

其中巾，n均為整數(shù)。

科學(xué)記數(shù)法

有了負(fù)整數(shù)指數(shù)事后，小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示。即小于1的正數(shù)可以用科學(xué)

記數(shù)法表示為aXl（T的形式.（1WIa|<10,n是正整數(shù)）

注意：

1）1W|a|<10

2）n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中左邊第一個不為。的數(shù)字前面所有的0的個數(shù)。（包括小數(shù)點

前面的0）

四、分式方程及其應(yīng)用

解分式方程的基本

1）去分母（兩邊同乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程）。

2）解整式方程（去括號-移項/合并同類項-系數(shù)化為1）。

3）檢驗（把整式方程的解代入最簡公分母，

若最簡公分母為0,則x=a不是分式方程的解

若最簡公分母不為0,則x=a是分式方程的解

4）寫出答案

分式方程解決實際問題的步驟：

1.根據(jù)題意找等量關(guān)系

2.設(shè)未知數(shù)

3.列出方程

4.解方程，并驗根（對解分式方程尤為重要）

5.寫答案

翼例引微

一、隼選題

1,下列各式①0;②?；③‘二匹；④匕⑤:尤、一中，分式有（）

xy5m7i2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)分式的定義：一般地，如果AWBwO）表示兩個整式，且8中含有字母，那

A

么式子/就叫做分式，其中A稱為分子，8稱為分母；據(jù)此判斷即可.

D

【解析】解：①二2,分母中含有字母，是分式;

孫

②一,分母中沒有字母，不是分式；

③絲二史，分母中含有字母，是分式；

④工，乃是常數(shù)不是未知數(shù)，分母中沒有字母，不是分式；

71

⑤5尤分母中含有字母，是分式；

是分式的有①③⑤共3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了分式的定義，熟記定義是解本題的關(guān)鍵，注意判斷是不是分式是在化簡

前判斷.

2.下列運算結(jié)果為x-l的是（）

11」B,——C.Ml-Df+2x+1

Xxx+lxx-lx+l

【答案】B

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)和運算法則分別計算即可判斷.

1廣一1

【解析】A.1-上=2_t,故此選項錯誤;

xv

B.原式二---------------=x—1,故此選項g正確;

Xx+l

C.原式=四?（尤-1）=^故此選項錯誤;

XX

D.原式=S匚=x+i,故此選項錯誤.

X+1

故答案選B.

【點睛】本題主要考查分式的混合運算，熟練掌握分式的運算順序和運算法則是解題的關(guān)鍵.

3.下列分式中，最簡分式是（）

22

*x-yx2-2xy+y2x2+/

A.15/B,C.D.

x+yx-yx-y

【答案】D

【分析】根據(jù)最簡分式的定義即可求出答案.

7r

【解析】解：（A）原式=「，故A不是最簡分式；

5y

（B）原式=（x+.（x—y）=x-y,故B不是最簡分式；

x+y

（C）原式=A"=x-y,故C不是最簡分式；

%一y

X2+y2

（D）--?的分子分母都不能再進(jìn)行因式分解、也沒有公因式.

故選D.

【點睛】本題考查最簡分式，解題關(guān)鍵是正確理解最簡分式的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型.

4.若分式立-的值為0,則x的值為（）

X+X

A.1B.0C.-1D.0或-1

【答案】A

【分析】根據(jù)分式等于零的條件“分子為零，分母不為零”，進(jìn)行計算即可.

【解析】???￡^=0,

x+x

x2-1=0,

解得：x=±l,

又：當(dāng)X=-1時，x2+x=0,

X=1.

故選A.

【點睛】本題考查分式的值為零需要滿足的條件：（1）分子的值為零；（2）分母的值不為零;

兩個條件必須同時具備，缺一不可.

5.下列計算正確的是（）

A.『+不=爐B.a5-a2=a10C.（-2a4）4=16a8D.（/>=〃

【答案】D

【分析】根據(jù)哥的混合運算法則進(jìn)行判斷即可.

【解析】A.a」+a-2打3,故本選項錯誤；

B.a-5-a-2=a-7,故本選項錯誤；

C.(-2a4)4=16a16,故本選項錯誤；

D.(a-i)2=a”,正確.

故選D.

【點睛】本題主要考查塞的混合運算，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.

6計算逐片a'4a+42,,.,

(a+1>一/的~口果為(

a+2a-4

A.------B.----D.a

a-2a-2二全

【答案】C

【分析】由分式的加減乘除的運算法則進(jìn)行計算，即可求出答案.

u—4a—4。+42

【解析】解:-7-----------=------------9

U.+2〃+1(Q+1)d—2

(4+2)(〃—2).(〃—2)22

(“+1)2.(“+1)2a-2

(〃+2)(〃—2)(〃+1)2__2_

(〃+1)2X(a-2)2~a-2

Q+22

Q—2Q—2

a

Q—2

故選：C

【點睛】本題考查了分式的加減乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則，正確的進(jìn)行化

簡.

7.已知關(guān)于%的方程2n228—x=。有增根，則加的值是()

x-44-x

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】D

【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到獷4=0,

據(jù)此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可.

【解析】解：原方程去分母，得：2〃z+8-x=0,

x=2m+8,

由分式方程有增根，得到廠4=0,即x=4,

把x=4代入整式方程，可得：機(jī)=-2.

故選D.

【點睛】此題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）化分式方程為整

式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

8.關(guān)于x的分式方程工4=3的解是正數(shù)，則字母加的取值范圍是（）.

X+1

A.m>3B.m>—3C.m<3D.m<—3

【答案】D

【解析】試題分析：分式方程去分母得：2x~m=3x+3,

解得：x=-m—3,

由分式方程的解為正數(shù)，得到一機(jī)一3>0,且一加一3力一1,

解得：m<—3,

故選D.

點睛：此題考查了分式方程的解，要注意分式方程分母不為0這個條件.

二、填空題

9.新型冠狀病毒（2019-nCoV）的平均直徑是100納米.1米=1。9納米，100納米可以表

示為米.（用科學(xué)記數(shù)法表示）

【答案】1X10-7

【分析】小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axl（y〃，與較大數(shù)的科學(xué)記

數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)事,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個

數(shù)所決定.

【解析】米=109納米，

.?.100納米=100X09米=1x10-7米,

故答案為：1x10-7

【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為辦10%，其中1s同<10,〃為由

原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

21a2bc2x2y

10.計算:

京,35a1-x2-y2y2-x2

-2-2

2-尤一L%-y

-i-i

2—x%一y

624-3xx+y

【答案】

5abx+y2-xxy

【分析】①根據(jù)分式的乘法運算法則計算即可；

②根據(jù)分式的加法運算法則和平方差公式計算即可;

③根據(jù)分式的四則混合運算法則計算即可；

④根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可.

21a2bc

【解析】解：①

b*2c335a2

_2\x2xabc

35x//72c

6

5ab

2x-2y

2（x-y）

（尤+y）（無一y）

2

x+y?

@2-x.——

2-x

2（2-x）-x

~-2^

4-3x

~2-x-

x2y2

y-^

孫

_（y+x）（y_￡>

（y-x）xy

x+y

【點睛】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的四則混合運算，平方差公式，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕等知識.解

題的關(guān)鍵在于正確的化簡計算.

11.已知方程為-J=l,如果設(shè)*=y,那么原方程可以變形為關(guān)于y的整式方

3尤x2+lX2+1

程為.

【答案】3y2+3y-l=0

【分析】先把方程變形為含y的分式方程，再去分母得整式方程.

【解析】解：方程*-可變形為：?一一七4

所以原方程可變形為：=l

3y

兩邊都乘以3y,得3y°+3y-1=0.

故答案為：3y2+3y-l=0

【點睛】本題考查了分式方程的換元法.題目難度不大，注意式子的變形.

12.某次列車平均提速vkm/h.用相同的時間，列車提速前行駛skm.提速后比提速前多行

駛50km.設(shè)提速前列車的平均速度是xkm/h.根據(jù)題意分別列出下列四個方程:①上=二^；

XX+V

②工=匕笆；③上=」左；@-=—.則其中正確的方程有.

【答案】①③

【分析】設(shè)提速前列車平均速度是xkm/h,則提速后列車平均速度是(x+v)km/h,根據(jù)時

間=路程+速度及相同時間里面路程比等于速度比，即可得出關(guān)于x的分式方程，再對比四個

選項后即可得出結(jié)論.

【解析】解：設(shè)提速前列車平均速度是xkm/h,則提速后列車平均速度是(x+v)km/h,

公s5+50xsGS50

依題意得：①一=-----；③——=——；④—=一.

Xx+vX+V5+50XV

故其中正確的方程有①③.

故答案為：①③.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題

的關(guān)鍵.

13.若=則4「+6]_________

3y2x-5yxx-2xy+3y

9

【答案】j

【分析】根據(jù)京=Lv，得出x=3y，x=4y；根據(jù)『="二"匕得出x=3y,x=15y；

3y2x-5y2jyx

故有x=3y,代入所求分式化簡即可.

【解析】解：由==嚴(yán)丁，得2/一5沖一3y2=0,

3y2x-5y

解得x=3y,x=~y;

,x6x-15y

由丁=-----",得尤2-18孫+45V0』，

3yx

解得x=3y,x=15y；

故有x=3y,

,-5到+6y236y2-15/+6/_9

-x2-2xy+3y29y2-6y2+3y22'

9

故答案是：

【點睛】本題考查了分式的化簡求值.解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式求出使所有等式成立的條

件.

14.計算：

1----111

-------11-------------1-???-------------------=

%(x+l)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+2018)(x+2019),

2019

［答案］尤(x+2019)

【分析】利用裂項法先將每個分式化簡，再將結(jié)果相加即可.

11__1_

【解析】

x(x+1)Xx+1

1_11

(x+l)(x+2)x+1x+2

1_1_1

(x+2)(x+3)x+2x+3

________1____________1________]

(x+2018)(x+2019)-x+2018-x+2019

???原式=(-—)+(―----—)+(―------—)+-??+(-1-------------)

xx+1x+1x+2x+2x+3x+2018x+2019

_11

xx+2019

2019

—x(x+2019)■

【點睛】此題考察分式的混合運算，運用裂項法將每個分式化簡是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

15.計算:

尤2+7x-8x2-4

—X---------

4x-x33x+24

a-bab-a1

(3)

"十次?’a2b2-a4

2Q+11

(4)

Q2+Q—2Q+2

16x—1

(5)2

x-2X2-44-2X

xx-l

(6)__________!___________

x2—4x+4x—2x—2

11v2+4

x24x

%2+3孫―4：2二/+3%-3。一/

[x2+8xy+16y2*x2-16y2

小、bb3ab+b1

(9)----------------；-----

a—b/—2Q%+次?？a2一/

【答案】⑴瓢

⑵F；

3x

⑶a—b；

(4)^—;

a-i

⑸黑

⑹心

x-2

2

⑺三

x-4y

⑻

b

⑼一

a

【分析】(1)根據(jù)積的乘方法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運算法則把原式變形，再根據(jù)分式的乘除

法法則計算，得到答案；

(2)先因式分解再根據(jù)分式的乘法運算法則計算即可；

(3)先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后利用分式乘法法則進(jìn)行計算即可；

(4)先尋找2個分式分母的最小公倍式，將最小公倍式作為的公分母；然后在進(jìn)行減法計

算，最后進(jìn)行化簡；

（5）找出最簡公分母，先通分，再相加減，最后化簡即可；

（6）有分式的加減乘除運算進(jìn)行化簡，即可得到答案；

（7）先通分，然后根據(jù)分式除法的運算法則計算即可；

（8）先分別對所有分子、分母因式分解，然后再化除為乘，最后約分計算即可；

（9）先將減號后面兩個分式的分子和分母因式分解，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再計算乘法,

繼而通分、計算減法即可.

（1）

16x2y4z4,27、

(一E

_Z

~24x；

(2)

_(x+8)(x-l)(x—2)(%+2)

原式—x(4-x2)3(x+8)

(x+8)(x-l)Cx—2)(x+2)

x(2-x)(2+x)3(x+8)

x-1

3x

_1-x

3%'

(3)

a_b//一/

原式二=-----------X----------------—

a+abab-a

a—b—a2)

=-----------------X-------------------------

a(a+b)a(b—a)

a-b/3一。)(匕+〃)

---------x---------------

〃(〃+/?)a(b-a)

=a-b；

(4)

2a+l1

埠式二---------------------

(a+2)(a-l)a+2

2〃+1Q—1

(Q+2)(〃_1)(Q+2)(Q—1)

2〃+1