2024-2025學(xué)年江蘇省南京某中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題及答案

秦外九上練習(xí)

一.選擇題（共6小題）

1.已知圓錐的底面圓半徑為3,母線長為4,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.6〃B.12萬C.15乃D.24乃

2.方程V-8x+15=0左邊配成一個(gè)完全平方式后，所得的方程是（）

A.(x—4尸=31B.(X-4)2=1C.(x—8)2=31D.(x-8)2=1

3.若關(guān)于x的方程質(zhì)?+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（）

A.k^OB.k<lC.k<lD.k<lS.k^0

4.歌唱比賽有二十位評(píng)委給選手打分，統(tǒng)計(jì)每位選手得分時(shí)，會(huì)去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，這樣做,

肯定不會(huì)對(duì)所有評(píng)委打分的哪一個(gè)統(tǒng)計(jì)量產(chǎn)生影響（）

A.平均分B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.極差

5.如圖所示，等邊AABC的頂點(diǎn)A在口。上，邊AB、AC與□。分別交于點(diǎn)。、E,點(diǎn)尸是劣弧力E上

一點(diǎn)，且與。、E不重合，連接。尸、EF,則/。莊的度數(shù)為（

A.115°B.118°C.120°D.125°

6.如圖，在扇形0AB中，點(diǎn)。在04上，點(diǎn)C在A8上，ZAOB=ZBCD=90°.若CD=3,BC=4,則

口。的半徑為（）

A.4B.4.8C.275D.30

二.填空題（共10小題）

7.若一元二次方程爐-4x+3=0的兩個(gè)根是石，x2,則西+馬-玉-彳2的值是

8.已知□O的圓心坐標(biāo)為（3,0）,直徑為6,則口。與y軸的位置關(guān)系是.

第1頁（共22頁）

9.若(〃+62)32+〃—2)=3,則/+02=,

10.關(guān)于X的分式方程竺二+1=0的解為正數(shù)，則0的取值范圍是—.

x-2

11.如圖所示，點(diǎn)O是A4BC的內(nèi)切圓的圓心，若N54C=76。，則ZBOC的度數(shù)為

12.已知一組數(shù)據(jù)的方差$2=；[?-6)2+(9-6)2+(三-6)2+(匕-6)2],那么這組數(shù)據(jù)的總和為—.

a11

13.設(shè)函數(shù)y=x-4與y=—的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則---的值為.

xmn

14.如圖，正方形AO8C的頂點(diǎn)。在原點(diǎn)，邊A。，8。分別在x軸和y軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,4),點(diǎn)。是

30的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊。4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，以尸為圓心，尸。為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為f,

當(dāng)口尸與正方形AO8C的邊相切時(shí)，f的值為.

15.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如

圖所示).若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積為一.

16.如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=2.點(diǎn)尸在邊AC上，過點(diǎn)尸作尸。_LAB,垂足為。，

過點(diǎn)。作￡＞尸，BC,垂足為尸.連接PF,取尸廠的中點(diǎn)E.在點(diǎn)尸從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E所

經(jīng)過的路徑長為一.

第2頁(共22頁)

A

三.解答題（共11小題）

17.解下列方程：

(1)尤2-2尤-11=0；

(2)尤(尤一4)=5(4-x).

r21

18.先化簡，再求值：—十（—L+尤一1）；從一I,o,1,2中任選一個(gè)代入求值.

X—1X+1

19.射擊訓(xùn)練班中的甲、乙兩名選手在5次射擊訓(xùn)練中的成績依次為（單位：環(huán)）：

甲：8,8,7,8,9

乙：5,9,7,10,9

教練根據(jù)他們的成績繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

選手平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

甲8b80.4

乙a9C3.2

根據(jù)以上信息，請(qǐng)解答下面的問題:

（1）a=，b=,c=

（2）教練根據(jù)這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是什么？

第3頁（共22頁）

(3)若選手乙再射擊第6次，命中的成績是8環(huán)，則選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的

方差相比會(huì)—.(填“變大”、“變小”或“不變”)

20.公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭

盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售

量的月增長率相同.

(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

(2)若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測算在市場中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此

基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少5個(gè)，為使月銷售利潤達(dá)到8625元，而且盡可能讓顧客得

到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？

21.如圖，直線A8經(jīng)過點(diǎn)C,且04=OB,CA=CB.

(1)求證：直線AB是□(?的切線；

(2)若圓的半徑為4,NB=30。，求陰影部分的面積.

22.如圖，AABC內(nèi)接于□(?,C為囚的中點(diǎn)，。在以C上，連接AO.

(1)如圖，若AD_LBC,垂足為E,直線。C分別交AD,于點(diǎn)尸，G.

(I)求證：CG1.AB；

(II)求證：EF=DE.

第4頁(共22頁)

c

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、3分別在x軸負(fù)半軸、y軸正半軸上(OA>08),C(a,-°)伍為常

數(shù))，以C為圓心、適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作口C,使點(diǎn)A、3在□(7上.

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出口C.(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若04=8,OB=6,直線y=x+6與口C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則6=.

24.若X=7〃時(shí)，代數(shù)式+6x+C的值也為機(jī)，則稱"7是這個(gè)代數(shù)式的"X優(yōu)值”.例如，當(dāng)x=0時(shí),

代數(shù)式V一X的值為0；當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式d-x的值為2,所以。和2都是dr的“尤優(yōu)值”.

(1)判斷代數(shù)式/一彳+川+2是否存在“無優(yōu)值”，并說明理由；

(2)代數(shù)式/-A?+”存在兩個(gè)“工優(yōu)值”且差為5,求”的值.

25.定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.

(1)如圖1,等腰直角四邊形ABC。，AB=BC.ZABC=90°.

①若A8=CD,AB//CD,請(qǐng)?jiān)跈M線處填出四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？—.

②若AB=BC=26,AD=CD=245,貝IS四邊形.

(2)如圖2,矩形ABC。的長和寬為方程V-12尤+20=0的兩根，其中(BC>AB).點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，沿

AO以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從C點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒2個(gè)單位長度的速度

第5頁(共22頁)

向終點(diǎn)5運(yùn)動(dòng).在點(diǎn)E,P的運(yùn)動(dòng)過程中，若四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求EF的長.

D

匕1

BCB。

圖1圖2

26.如圖，□。是AABC的外接圓，CD是口。的切線且CD//AB,連接交口。于點(diǎn)E.

(1)求證AC=3C；

(2)連接BE,若BE為直徑，BC=3V10,AE=8,求□。的半徑.

v±7

27.【問題情境】

(1)如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45。(如圖2),這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的

圖1圖2

【操作實(shí)踐】

(2)如圖3,圖①是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形，四邊。、6、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系.小昕按

所示步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請(qǐng)你結(jié)合整個(gè)變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)P為

端點(diǎn)的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系;

第6頁(共22頁)

圖3圖4

【探究應(yīng)用】

(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將APDC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中/D4尸存

在最大值.若尸E=8,PF=5,當(dāng)ND4尸最大時(shí)，求AO的長；

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秦外九上練習(xí)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

1.已知圓錐的底面圓半徑為3,母線長為4,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.67rB.C.157rD.24?

【解答】解：5惻=萬〃=;rx3x4=12萬，故選：B.

2.方程/-8x+15=0左邊配成一個(gè)完全平方式后，所得的方程是（）

A.(x—4尸=31B.(x-4)2=lC.(x—8)2=31D.(x-8)2=1

【解答】解：?.,x2-8x=-15,-8x+16=-15+16,即(％-4)2=1,故選：B.

3.若關(guān)于尤的方程依②+2尤+1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

A.k#QB.^<1C.k<1D.左<1且左w0

【解答】解：當(dāng)左片0時(shí)，4=4—4左20,k<l,即左<1且％30,

當(dāng)左=0時(shí)，此時(shí)方程為2x+l=0,滿足題意，

所以上W1.故選：B.

4.歌唱比賽有二十位評(píng)委給選手打分，統(tǒng)計(jì)每位選手得分時(shí)，會(huì)去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，這樣做，

肯定不會(huì)對(duì)所有評(píng)委打分的哪一個(gè)統(tǒng)計(jì)量產(chǎn)生影響（）

A.平均分B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.極差

【解答】解：統(tǒng)計(jì)每位選手得分時(shí)，會(huì)去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，這樣做不會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)的中間的數(shù)產(chǎn)生

影響，即中位數(shù).故選：C.

5.如圖所示，等邊AABC的頂點(diǎn)A在口。上，邊AB、AC與□。分別交于點(diǎn)。、E,點(diǎn)尸是劣弧小￡上

一點(diǎn)，且與。、E不重合，連接。尸、EF,則/。巫的度數(shù)為（）

C.120°D.125°

【解答】解：四邊形EFD4是口。內(nèi)接四邊形，.?.NEFD+NA=180。,

第8頁（共22頁）

?.?等邊A4BC的頂點(diǎn)A在口O上，ZA=60°,ZEFD=120°,故選：C.

6.如圖，在扇形OAB中，點(diǎn)。在04上，點(diǎn)C在A3上，ZAOB=ZBCD=9Q°.若C￡>=3,BC=4,則

口。的半徑為（）

二

O0--------------------小

A.4B.4.8C.275D.3后

【解答】解：以點(diǎn)。為圓心，以03為半徑畫圓，延長CD交口。于點(diǎn)E,連接BE,BD,如圖所示：

在中，ZBCD=90°,CD=3,BC=4,由勾股定理得：BD=4BC2+CD2=5,

VZBCD=90°,.1BE為口。的直徑，;.點(diǎn)、B,O,E在同一條直線上，OB=OE,

■：ZAOB=90°,DE=BD=5,

在RfZXBCE中，CE=CD+DE=8,BC=4,由勾股定理得：BE=JCE2+BC2=782+42=475.

OB=OE=-BE=245.故選：C.

2

—.填空題（共10小題）

7.若一元二次方程尤2-4x+3=0的兩個(gè)根是X],x2,則-+三---%的值是1.

【解答】解：,.,西，馬是一元二次方程/-4x+3=0的兩個(gè)根，；.玉+%=4,x1-x2=3,

Xj+x2-X1-x2=4-3=1,故答案為：1.

8.已知口O的圓心坐標(biāo)為（3,0）,直徑為6,則口0與y軸的位置關(guān)系是相切.

【解答】解：：口。的圓心坐標(biāo)為（3,0）,圓心。到y(tǒng)軸的距離為3,

?.?口。的直徑為6,二口0的半徑為3,.?.圓心O到y(tǒng)軸的距離為等于口。的半徑，

，口O與y軸相切.故答案為：相切.

第9頁（共22頁）

9.若(片+62)32+〃—2)=3,則/+02=,

【解答】解:令〃+/=力則(。2+/)(。2+/—2)=:?-2)=;產(chǎn)-2/=3,

.'.t~—2/—3=(?—3)(/+1)=0,解得％=3,，2=—1(舍去).故/+〃=/=3.

10.關(guān)于x的分式方程上0+1=0的解為正數(shù)，則a的取值范圍是a>-lS.a^-..

x-2——2

【解答】解：分式方程去分母得：以-3+%-2=0,即(〃+1)%=5,

當(dāng)Q+1W0,即aw—1時(shí)，解得：x=—-—，

a+1

?.?分式方程的解為正數(shù)且x*2,.?.工>0且工片2,解得:a>-l且aw』.

Q+16Z+12

故答案為：a>-1且aw—.

2

11.如圖所示，點(diǎn)。是AA5C的內(nèi)切圓的圓心，若NBAC=76。，則NBOC的度數(shù)為_128。

【解答】解：?.?點(diǎn)。是AA5C的內(nèi)切圓的圓心，

BO、CO分另lj平分ZABC、NACB，ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB，

22

VABAC=76°,ZABC+ZACB=180°-ABAC=104°,

NBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°--(ZABC+ZACB)=180°--x104°=128°.

22

故答案為：128。.

12.已知一組數(shù)據(jù)的方差s2=；［(x「6)2+(%-6)2+(&-6)2+(匕-6月，那么這組數(shù)據(jù)的總和為24.

【解答】解：「52=；［(項(xiàng)-6)2+(馬-6了+(玉-6)2+(4-6)2］,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6,數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是4,

這組數(shù)據(jù)的總和為4x6=24；故答案為：24.

13.設(shè)函數(shù)y=x-4與y=3的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(％〃)，則工一’的值為_一3_.

xmn3

【解答】解：?.■函數(shù)y=x-4與y=±的圖象的父點(diǎn)坐標(biāo)為(〃5),

x

第10頁(共22頁)

4O11n-m-44痂死專斗,4

:.九一m=—4,mn=3,/.-------=-------=——=—,故合榮為：—.

mnmn333

14.如圖，正方形AOBC的頂點(diǎn)。在原點(diǎn)，邊AO,30分別在x軸和y軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（4,4）,點(diǎn)。是

8。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊04上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，以P為圓心，PD為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)尸橫坐標(biāo)為f,

當(dāng)口尸與正方形AO8C的邊相切時(shí)，f的值為3或26.

-2——

【解答】解：?.?點(diǎn)C坐標(biāo)為（4,4）,點(diǎn)。是8。的中點(diǎn)，.?.04=08=4,OD=^OB=2.

分□尸與AC相切和口「與BC相切兩種情況考慮：

①當(dāng)口?與AC相切時(shí)，如圖1所示.

?點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t,.,.PA=4-f.

在RtADOP中，0D=2,OP=t,PD=PA=4-t,

PD2=OD2+OP2,即（4T）2=22+/，解得：f=|；

②當(dāng)口尸與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E,連接PE,如圖2所示.

???PELBC,ACVBC,PEIIAC.

■：PAI/EC,.1四邊形ACE尸為矩形，PE=AC=4,:.PD=PE=4.

在RtAPOD中，OP=t,0D=2,PD=4,

22

PD=OD+OP-,即42=2?+/，解得：或=26,t2=-2A/3（不合題意，舍去）.

綜上所述：f的值為3或2g.故答案為：3或26.

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15.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如

圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積為289.

【解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O,連接OE,OD,

則四邊形EODC為正方形，

OE=OD=3=AC+BC-BA,-AC+BC-AB=6,AC+BC=AB+6,

2

(AC+BC)2=(AB+6)2,BC2+AC2+IBCxAC=AB2+12AB+36,

而BC2+AC2=AB',2BCxAC=12AB+36?,

?.?小正方形的面積為49,(BC-AC)2=49,BC2+AC2-2BCxAC=49

把①代入②中得4笈一1248—85=0,(AB-17)(AB+5)=0,/.AB=17(負(fù)值舍去),

二.大正方形的面積為289.故答案為：289.

16.如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=2.點(diǎn)尸在邊AC上，過點(diǎn)尸作尸。_L,垂足為。，

過點(diǎn)。作D尸，BC,垂足為下.連接PF,取尸廠的中點(diǎn)E.在點(diǎn)尸從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E所

第12頁（共22頁）

經(jīng)過的路徑長為—

一4

【解答】解：方法一：以C為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，過點(diǎn)。作DG_LAC

設(shè)AP=a,則CP=2-a,P(0,2-a),

???ZB=30°,:.ZA=60°,■：PDLAB,ZPDA=90°,ZAPD=30°,AAD=-AP=~,

22

???DGLAC,ZAGD=90°,AG=-AD=-,DG=TAG=—a,

244

h

vDF1BC,DGVAC,ZACB=90°,.?.四邊形。GC/為矩形，z.DG=CF,F(—,0),

4

/3i

:E為P,F的中點(diǎn)，E(—A,1a),

82

x=-a,y=l--a,y=.,.點(diǎn)E在直線y=1-3^尤上運(yùn)動(dòng),

82-33

當(dāng)點(diǎn)尸與A重合時(shí)，a=Q,此時(shí)E(0,l),

當(dāng)點(diǎn)尸與C重合時(shí)，a=2,

.?.點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為：

方法二：?.?尸在AC上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑為線段，E為尸尸中點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)路徑亦為線段,

?.?當(dāng)P與A重合時(shí)，CE=1,當(dāng)P與C重合時(shí)，CE=j

4

府故答案為：乎

.?.點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為:

第13頁(共22頁)

三.解答題(共11小題)

17.解下列方程：

(1)x2-2x-ll=0；

(2)尤(尤-4)=5(4-x).

【解答】解：(1)%2-2^=11,x2-2x+l=ll+l,(尤-1)2=12,x-l=±2百，

解得％=1+2^/3,無2=1—2^/3.

(2)x(x-4)+5(尤-4)=0,(x+5)(x-4)=0,x+5=0或x-4=0,

解得玉=-5,x2=4.

r21

18.先化簡，再求值：-^^-(―+x-l)；從-1,0,1,2中任選一個(gè)代入求值.

X—1X+1

.右刀免▼存刀/I八X21(x+l)(x—1)X21+X2-

x2-1x+1(X+l)(x-1)x+1x+1(X+l)(x-1)x+1

x2x+11

--------------------------------,

(X+l)(x-1)x2x-1

根據(jù)分式有意義的條件得xw±l且x*0,只能為2,當(dāng)x=2時(shí)，原式=——=1.

2-1

19.射擊訓(xùn)練班中的甲、乙兩名選手在5次射擊訓(xùn)練中的成績依次為(單位：環(huán))：

甲：8,8,7,8,9

乙：5,9,7,10,9

教練根據(jù)他們的成績繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

選手平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

甲8b80.4

乙a9C3.2

根據(jù)以上信息，請(qǐng)解答下面的問題:

(1)a=8,b=，c=

(2)教練根據(jù)這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是什么？

(3)若選手乙再射擊第6次，命中的成績是8環(huán)，則選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的

方差相比會(huì)—.(填“變大”、“變小”或“不變”)

【解答】解：(1)由題可得，?=|(5+9+7+10+9)=8；

甲的成績7,8,8,8,9中，8出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)b=8；

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而乙的成績5,7,9,9,10中，中位數(shù)c=9；

故答案為：8,8,9；

(2)教練根據(jù)這5次成績，決定選擇甲參加射擊比賽，教練的理由是兩人的平均成績相同，而甲的成績

的方差小，即甲的成績較穩(wěn)定.

⑶由題可得，選手乙這6次射擊成績5,9,7,10,9,8的方差

=-[(5-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(9-8)2+(8-8)2]=2.5<3.2,

.?.選手乙這6次射擊成績的方差與前5次射擊成績的方差相比會(huì)變小.故答案為：變小.

20.公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭

盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售

量的月增長率相同.

(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

(2)若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測算在市場中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此

基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少5個(gè)，為使月銷售利潤達(dá)到8625元，而且盡可能讓顧客得

到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？

【解答】解：(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為無，依題意，得：150(1+X)2=216,

解得：%=0.2=20%,X2=-2.2(不合題意，舍去).答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%.

(2)設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元，

依題意，得：(y-30)[600-5(j-40)]=8625,整理，得：丁-190y+6525=0,

解得：％=145,%=45，?.?盡可能讓顧客得到實(shí)惠，二％=145(不合題意，舍去)，

答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為45元.

21.如圖，直線A8經(jīng)過點(diǎn)C,S.OA=OB,CA=CB.

(1)求證：直線A8是□。的切線；

(2)若圓的半徑為4,ZB=30°,求陰影部分的面積.

AB

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【解答】(1)證明：連接OC,

:OA=OB,CA=CB,OC±AB,?.?直線AB經(jīng)過點(diǎn)C,r.OC是口。的半徑，

???OC是□。的半徑，且.?.直線AB是口。的切線.

(2)解：OCLAB,ZOCB=90°,?.?口。的半徑為4,OC=4,

ZB=30°,ZCOD=90°-ZB=60°,=tan60°=73,z.BC=y/3OC=473,

oc

60萬x42

，陰影部分的面積是班號(hào)

ACR

22.如圖，AA3C內(nèi)接于口0,C為XCB的中點(diǎn),。在且。上，連接AO.

(1)如圖，若AD_LBC垂足為E,直線。C分別交A。，AB于點(diǎn)尸，G.

(I)求證：CG1AB；

(II)求證：EF=DE.

C

①

【解答】(1)(I)證明:連接04、OB,如圖，

C

o

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???c為優(yōu)弧A8的中點(diǎn)，Hc=@c,:.AC=BC,

又OA=OB,:.O,C都在AB的垂直平分線上，即CG是A8垂直平分線，."GJ.AB；

(II)證明：連接CD,如圖，

AD1BC,CGA.AB,ZCFE+ZBCG=90°,NB+ZBCG=90°,:.NB=NCFE,

ZB=ZD,ZCFE=ZD,CF=CD.又AD_LBC,EF=DE；

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、8分別在x軸負(fù)半軸、y軸正半軸上(OA>08),C(a,-a)(a為常

數(shù))，以C為圓心、適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作口C,使點(diǎn)A、2在DC上.

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出口C.(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若04=8,0B=6,直線>=尤+6與口C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則6=4或24.

【解答】解：(1)由點(diǎn)C的坐標(biāo)知，改點(diǎn)在直線y=-x上，由圓的定義知，點(diǎn)C在A8的中垂線上,

故上述兩條直線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)C為位置，由此畫出口C如圖所示.

(2)如圖所示，設(shè)直線y=x+b與口C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)T,

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則CT和直線y=x+6垂直，S.CT=AC=CB,

:點(diǎn)C在直線y=-尤，.?.點(diǎn)T是直線y=-x和直線y=x+6的交點(diǎn)，

則點(diǎn)-b),由CT=AC=CB得：(a+8)2+a2=a2+(a+6)2=(-a+-b)2+(a--b)2,

'2222

解得b=4或24.故答案為：4或24.

24.若x=??時(shí)，代數(shù)式以2+灰+c的值也為加，則稱m是這個(gè)代數(shù)式的"x優(yōu)值”.例如，當(dāng)x=0時(shí)，

代數(shù)式尤2-X的值為0；當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式尤2-X的值為2,所以0和2都是V-尤的“無優(yōu)值”.

(1)判斷代數(shù)式x2-x+/+2是否存在“x優(yōu)值”，并說明理由；

(2)代數(shù)式V-〃2+w存在兩個(gè)“尤優(yōu)值”且差為5,求w的值.

【解答】解：(1)不存在“x優(yōu)值”.理由如下：

假設(shè)存在優(yōu)值為無，則有V-尤+/+2=無，整理得：x2-2x+n2+2=Q,

則。2-4“c=22-4(/+2)=-4〃2-4,?.?無論”取何值時(shí)，一4/-4<0,方程沒有實(shí)數(shù)根，

即代數(shù)式/一x+“2+2不存在“x優(yōu)值

(2)設(shè)“x優(yōu)值”為x,則有V-“2+"=x,整理得：X2-X-n(ji-1)=0,

/.(X-H)(X+n-1)=0,xY=n,x2=l-n.

,/兩4、"x優(yōu)值”差為5,r.w-(1-w)=5或(1-w)-"=5,.1"=3或"=-2.

25.定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.

(1)如圖1,等腰直角四邊形ABCD,AB=BC.ZABC=90°.

①若AB=C￡>,ABI/CD,請(qǐng)?jiān)跈M線處填出四邊形是什么特殊的四邊形？正方形.

②若AB=BC=2亞,AZ)=CO=2石，則/邊形即0=.

(2)如圖2,矩形ABC。的長和寬為方程V-12尤+20=0的兩根，其中(BC>AB).點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，沿

AO以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)/從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長度的速度

向終點(diǎn)2運(yùn)動(dòng).在點(diǎn)E,尸的運(yùn)動(dòng)過程中，若四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求所的長.

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【解答】（1）①解：,.?AB=C。，AB//CD,.?.四邊形ABC。為平行四邊形,

VAB=BC,四邊形A8CD為菱形，ZABC=90°,二四邊形ABC。為正方形,

故答案為：正方形;

②證明：連接AC、BD,如圖所示:

?：AB=BC=20,AD=CD=2-j5,二8。垂直平分AC,AC=4,

AO=OC=2=BO>JCD。，d—44,/.BD=6,；?S四邊形的⑺=:x4x6=12,

故答案為：12；

(2)解：X2-12X+20=0=0,(x-10)(x-2)=0,x—10=0或x—2=0,

解得：玉=10,X2=2,BC>AB,AD=BC=10,CD=AB=2,

根據(jù)題意可知，當(dāng)AB=AE或AB=B/時(shí).，四邊形ABFE是等腰直角四邊形;

當(dāng)A8=AE=2時(shí)，連接￡F,過點(diǎn)E作EH1.BC于點(diǎn)H,如圖所示：

二運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：—=2(秒)，CF=2x2=4,BF=10-4=6,

ZA=ZB=ZAGF=90°,四邊形A8FG為矩形，BH=AE=2,EH=AB=2,

HF=BF-BH=6-2=4,EF=JEH'+HF，=J4+16=2^/5；

當(dāng)==2時(shí)，連接EE,過點(diǎn)尸作尸GJ.BC于點(diǎn)G,如圖所示：

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Q

則C尸=8C-8尸=10-2=8,止匕時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t