平面向量之極化恒等式（高階拓展、競賽適用）（學生版）-2025年高考數(shù)學一輪復習學案（新高考）

第05講平面向量之極化恒等式

（高階拓展、競賽適用）

（2類核心考點精講精練）

.考情探究?

在向量的命題考查中，數(shù)量積的運算一直是熱點問題，一般情況下，我們掌握公式法、基底法、投影

法和坐標法來求解數(shù)量積，但有時會計算量繁瑣、解題時間較長。而本節(jié)要學的極化恒等式可以從另一角

度來綜合解題。

利用向量的極化恒等式可以快速對共起點（終點）的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進行轉化，體現(xiàn)了向量的

幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾

何長度（數(shù)量）之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移

轉化法等價轉化為對共起點（終點）的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強化學習。

知識點1極化恒等式的代數(shù)表示

知識講解

極化恒等式

_[（a+b）2-（a-b）2

a-b-----------------------

4

恒等式右邊有很直觀的幾何意義：

向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線"平方差的工

4

恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系

如圖在平行四邊形ABCD中，AB=G,AD=b

在上述圖形中設平行四邊形ABCD對角線交于M點，則對于三角形來說:

好回嗎……「一苧

極化恒等式的適用條件

(1)共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題可直接進行轉化

(2)不共起點和不共終點的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價轉化為共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問

題

在確定求數(shù)量積的兩個向量共起點或共終點的情況下，極化恒等式的一般步驟如下

第一步:取第三邊的中點，連接向量的起點與中點；

第二步:利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉化為中線長與第三邊長的一半的平方差；

第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積

如需進一步求數(shù)量積范圍，可以用點到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小

于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)。

考點一、極化恒等式求值

典例引領

L(全國?高考真題)設向量aW滿足1t5+3I同，u孫面，則方選=

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

方法一：基本方法，詳見解析版

方法二：極化恒等式

_rm+By-By|萬+可--忸-芬

由極化恒等式可得:a-b=----------=1----!—!-----二1故選A.

44

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)正方形Z5CQ的邊長是2,E是的中點，則比.麗=()

A.B.3C.2A/5D.5

【答案】B

【詳解】方法一、二、三，詳見解析版

方法四：極化恒等式

設CD中點為。點，由極化恒等式可得:EC-ED=P|2-1|5C|2=3故選：B.

即時便測I

1.（江蘇?高考真題）如圖，在A48C中,。是2C的中點，旦尸是4。上的兩個三等分點，茄=4,

BF-CF=-\，則赤.樂的值是.

7

【答案】

O

方法一：詳見解析版

方法二：極化恒等式

----->-???I?|2I?|2------????I?|2I?|2

BA-CA=AB-AC=\AD\-\BD\=4,BF-CF=FB-FC=\FD\-\BD\=-l

BE-CE=EB-EC=\E^

—?3—■—■1—.

因為￡、F是4D上的兩個三等分點，所以|Z￡>|=,ED\,\FD\=-\ED\

—.“5—-,13—?—■7

聯(lián)立解得：|￡￡>「=2所以BE-CE=°

28,8

2.如圖，在AABC中，已知48=4,/C=6,ABAC=60°,點D,E分別在邊AB,NC上,

且方=2AD,〃=3衣,若少為QE的中點，則BF-DE的值為

3.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的"和對

角線"與"差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，心6=；（|而前（），我們稱為極化恒等式.已知在

△A8C中，〃是8c中點，4W=3,3c=10,則焉.就=（）

A.-16B.16C.-8D.8

4.（21-22高一下?重慶沙坪壩?階段練習）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和

對角線"與"差對角線"平方差的四分之一.即如圖所示：5.S=|（|AD|12-|5C|2）,我們稱為極化恒等式.在△

48C中，M是8C中點，AM=3,SC=10,則方.就=（）

A.32B.-32C.16D.-16

考點二、極化恒等式求范圍

典例引領

1.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在。3C中，^C=3,5C=4,ZC=90°.P為“BC所在平面內(nèi)的動點，且

PC=\,則蘇.麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

2.如圖所示,正方形ABCD的邊長為1,A,D分別在x軸,y軸的正半軸（含原點）上滑動，則OC-OB的最大值

是

2.（全國?高考真題）已知AZBC是邊長為2的等邊三角形，尸為平面28C內(nèi)一點，則方.（兩+定）的最小值

是（）

~34

A.—2B.—C.-D.—1

23

3.如圖,在平面四邊形ABCD中,ZC=2。=2,NDAC=120°,ZABC=90°,則BD-BC的最大值為

4.設銳角AABC的面積為1,邊AB,AC的中點分別為瓦尸，尸為線段E廠上的動點，則每?定+比2的最

小值為_______

5.已知及"BC的斜邊48=4,設尸是以C為圓心,1為半徑的圓上任意一點，則蘇?麗的取值范圍是（）

A.1B.1C.[-3,5]D.[1-273,1+273]

即時檢測

1.（23-24高一下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）如圖，已知正方形/BCD的邊長為2,若動點P在以N8為直徑的

半圓￡（正方形48CD內(nèi)部，含邊界），則定?麗的取值范圍為

2.（2023,天津紅橋?二模）已知菱形48c〃的邊長為2,=120°,點E在邊3c上，BC=3BE,若G

為線段。。上的動點，則就?衣的最大值為（）

8

A.2B.-

3

10

C.—D.4

3

3.（23-24高一下?北京昌平?期末）在矩形中，AB=2,AD=3,。為矩形ZBC。所在平面內(nèi)的動點,

且尸4=1,則方.卮的最大值是（）

A.9B.10C.11D.12

1T

4.（23-24高二下?浙江?期中）在△NBC中，BC=2,ZBAC=~,。為8c中點，在△/8C所在平面內(nèi)有一

動點尸滿足麗.麗=正.而，則萬.元的最大值為（）

A.gB.氈c.GD.迪

333

5.（23-24高一下?湖南常德?期中）如圖，直線”4,點A是4，4之間的一個定點，點A到心乙的距離分

別為&和卡.點B是直線12上一個動點,過點A作NC，48,點E,F在線段BC上運動（包括端點）且砂=1,

若“3C的面積為26.則彳。衣的最小值為（）

r3a

2

6.（2024?黑龍江牡丹江?模擬預測）已知C是邊長為1的正六邊形邊上相異的三點，則焉.丁的取值

范圍是.

IN.好題沖關

基礎過關

1.（23-24高二下?河北唐山,期末）已知圓（x-2）2+/=9的弦Ng的中點為。（1,1），點尸為圓上的動點，則

。.而的最大值為（）

A.2B.672-3C.8D.4+6a

2.（23-24高一下?北京順義?期中）已知點/,點8,點尸都在單位圓上，且百，則用.麗的最大值

是（）

3

A.-B.3C.1D.2

2

3.（23-24高一下?福建泉州?期中）在RtA/8C中，乙4=90。,/8=2,/C=6,。為8c的中點，點尸在。8C

斜邊8C的中線ND上，則而?定的取值范圍為（）

A.[-10,0]B.[-6,0]C,[0,6]D.[0,10]

4.（23-24高一下?重慶?期末）如圖，已知正方形23CZ）的邊長為2,若動點尸在以43為直徑的半圓上（正

方形N8C。內(nèi)部，含邊界），則麗?麗的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[0,4]C.[0,3]D.[0,1]

5.（23-24高一下?北京?階段練習）在直角梯形23CZ）中，AD//BC,ZABC=90°,AD=2AB=2BC=2,

點尸為梯形/BCD四條邊上的一個動點，則萬?麗的取值范圍是（）

A.——,4B.——,2C.[—1,4]D.--,4

6.（23-24高一下?重慶?期末）已知向量力,礪滿足|況|=1,|赤|=2,且向量漏在方方向上的投影向量為

OA.若動點C滿足=則瓦?無的最小值為（）

A1D4—2^/6r1—V7n5—2A/7

2324

7.（23-24高一下?湖北?期中）在。BC中，點E,F分別是線段/民/。的中點，點尸在直線￡尸上，若^ABC

---?2

的面積為4,則麗.正+理二的最小值是（）

2

A.2B.2百C.4D.—

2

8.（23-24高一下,湖南張家界?期中）青花瓷（blueandwhiteporcelain）,又稱白地青花瓷，常簡稱青花,

是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德

鎮(zhèn)的湖田窯.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為2,圓。

的圓心為正六邊形的中心，半徑為1,若點M在正六邊形的邊上運動，動點48在圓。上運動且關于圓心0

對稱，則祝5.磁的取值范圍是（）

圖一圖二

r3

A.[2,4]B.-,4

「3

C.[2,3]D.-,3

9.（23-24高一下,江蘇常州?階段練習）已知圖中正六邊形/BCD斯的邊長為4,圓。的圓心為正六邊形的

中心，直徑為2,若點尸在正六邊形的邊上運動，為圓。的直徑，則而?麗的取值范圍是（）

10.（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?階段練習）鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構，在有機化學中極其

重要，有機物蔡可以用左圖所示的鍵線式表示，其結構簡式可以抽象為右圖所示的圖形，已知ABCHU與

C0EFG”為全等的正六邊形，且/8=2,點P為線段EF（包括頂點）上的一點，則后.而的取值范圍為

D.[31,42]

能力提升

1.（21-22高二上,浙江衢州?期末）已知點尸在圓/+r=2上，已知/（4,0）,5（0,-4）,則莎.麗的最小值

為.

2.（21-22高一下?浙江?期中）正方形/BCD的邊長為2,。是正方形N2CL?的中心，過中心。的直線/與

邊48交于點跖與邊CD交于點N,尸為平面內(nèi)一點，且滿足20P=208+（1-X）OC,則兩?麗的最小

值為（）

197

A.——B.——C.-2D.——

444

3.Q1-22高一下?江西?期中）已知點M是正六邊形N8CDE/內(nèi)部（包括邊界）一動點，AB=4,

的最大值為.

4.（2024高三?全國?專題練習）已知/,B,C,。是半徑為2的圓。上的四個動點，若AB=CD=2,則

石.屈+刀.麗的最大值為（）

A.6B.12C.24D.32

JT

24.5.（23-24高一下?浙江?期中）已知。8c中，BC=4,A=~,若在平面內(nèi)一點。滿足

WB+3DC+DA=Q，則麗元的最大值為

6.（22-23高一下?湖北襄陽?期中）已知四邊形/BCD中，AC工BD,AB=BC=吧=1,AC=CD=下,點E

2

在四邊形43。的邊上運動，則礪.麗的最小值是（）

313

A.—B.—