平面向量系數(shù)和（等和線、等值線）問(wèn)題（高階拓展、競(jìng)賽適用）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第04講平面向量系數(shù)和（等和線、等值線）問(wèn)題

（高階拓展、競(jìng)賽適用）

（5類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

I傳.考情探究?

平面向量與代數(shù)、幾何融合考查的題目綜合性強(qiáng)，難度大，考試要求高。

平面向量是有效連接代數(shù)和幾何的橋梁，已成為高考數(shù)學(xué)的一個(gè)命題熱點(diǎn)。

近年，高考、模考中有關(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，

往往要通過(guò)建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點(diǎn)共

線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問(wèn)題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算，數(shù)

形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時(shí)也為相關(guān)問(wèn)題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用

知識(shí)點(diǎn)1平面向量系數(shù)和（等和線）講解

考點(diǎn)1"x+y"或"A+H"型綜合

考點(diǎn)2"mx+ny"或"mA+np"型蹤合

考點(diǎn)3"x-jT或"A-H"型綜合

考點(diǎn)4"mx-ny"或"mA-nx"型蹤合

考點(diǎn)5系數(shù)和（等和線、等值線）的琮合應(yīng)用

知識(shí)講解

如圖，P為AAOB所在平面上一點(diǎn)，過(guò)O作直線///48,由平面向量基本定理知:

存在》/￡火，OP=xOA+yOB

A

下面根據(jù)點(diǎn)P的位置分幾種情況來(lái)考慮系數(shù)和x+y的值

①若尸e/時(shí)，則射線0P與/無(wú)交點(diǎn)，由///48知，存在實(shí)數(shù)4，使得歷=九萬(wàn)

而刀=礪一次，所以麗=4?一/方，于是x+y=4-/l=0

②若尸時(shí)，

(i)如圖1,當(dāng)尸在/右側(cè)時(shí)，過(guò)尸作CD//4B,交射線0408于C,。兩點(diǎn)，則

A0CD?A0AB,不妨設(shè)A0CD與A0AB的相似比為左

由P,C,。三點(diǎn)共線可知：存在4eR使得：

0P=A0C+(l-A)0D=kA0A+k(l-A)0B

所以x+y=左之+左(1-4)=左

(ii)當(dāng)尸在/左側(cè)時(shí)，射線。尸的反向延長(zhǎng)線與48有交點(diǎn)，如圖1作尸關(guān)于。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,由(i)

的分析知：存在存在4eR使得：

0P'=A0C+(l-A)0D=kA0A+(l-A)0B

所以萬(wàn)=-kXOA+-(1-2)05

于是x+y=-kA+-左(1-A)=-k

綜合上面的討論可知：圖中而用方，礪線性表示時(shí)，其系數(shù)和x+.v只與兩三角形的相似比有關(guān)。

我們知道相似比可以通過(guò)對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來(lái)刻畫(huà)。

因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來(lái)刻畫(huà)相似比，在圖中，過(guò)。作A8邊的垂線

設(shè)點(diǎn)尸在/'上的射影為尸‘，直線r交直線ZB于點(diǎn)片，則|幻=^^(左的符號(hào)由點(diǎn)尸的位置確定)，因

此只需求出|。尸'I的范圍便知x+y的范圍

考點(diǎn)一、“x+v”或以+〃”型綜合

典例引領(lǐng)

1.(全國(guó)?高考真題)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若屈=4

AB+^AD;則2+〃的最大值為

A.3B.272D.2

【答案】A

【法一：系數(shù)和】

分析：如圖，

由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€/與圓相切時(shí)，4+〃最大，此時(shí)

,AFAB+BE+EF3AB.

%+〃==---------------------=-------=3,

ABABAB

故選A.

【法二：坐標(biāo)法】

【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)/（0』）］（0,0）,。（2,0）,。（2,1）*（兀歹）,

24

易得圓的半徑〃=[1，即圓。的方程是（％-2『9+/=^,

AP=（%/-1）,45=（0,-1）,AD=（2,0）,若滿(mǎn)足AP=XAB+，

\x=111xx

則,,，H=-,^=\-y,所以4+〃=彳一＞+1,

[y-l=-A22

設(shè)z=]-y+l,即]-y+]_z=0,點(diǎn)P（x,y）在圓（x—2『+/=|?上,

y

所以圓心（2,0）至1J直線^-y+l-z=0的距離dVr,即解得1VZV3,

所以z的最大值是3,即幾+〃的最大值是3,故選A.

【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)

乘運(yùn)算.

（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

2,（衡水中學(xué)二模）邊長(zhǎng)為2的正六邊形4BCDEE中，動(dòng)圓。的半徑為1,圓心在線段CZ）（含短點(diǎn)）上運(yùn)

動(dòng)，尸是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量4P=掰+（機(jī),A）,則掰+〃的取值范圍是（）

4（1,2]B\5,6]C.[2,5]￡>.[3,5]

__.__.__.AQ7/17?

分析:如圖，設(shè)AP=mAB+nAF,由等和線結(jié)論，加+〃="=*■=2.此為加+〃的最小值;

ABAB

----------?----------?-----------*-ZJf—f

同理，設(shè)4P=m4B+幾4F,由等和線結(jié)論，m+n=-----=5.此為加+〃的最大值.

AB

綜上可知冽+〃e[2,5].

即0唧（

1.在矩形Z5CD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心且與8。相切的圓上,

若方=4罰+〃彳萬(wàn)，則4+〃的最大值為（）

A3B2V2C45D2

解：如圖所示:

過(guò)/作AD的垂線，垂足為X,貝IZ8=CE=CP=r,當(dāng)E,C,P三點(diǎn)共線時(shí)，高線最長(zhǎng)，即

3r

P+〃)max=-=3

r

2.如圖，正六邊形ABCDEF,P是ACDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)

點(diǎn)，設(shè)方=1方+/前(a,〃eR),則a+/的取值范圍是

解：連接因?yàn)檎呅?BCDEF,由對(duì)稱(chēng)性知道

BF1AD,ADLEC,設(shè)AF與40交于點(diǎn)G,CE與4D交于點(diǎn)H,

當(dāng)尸在CE上時(shí)，Z尸在上射影最小為AH；

當(dāng)尸與。重合時(shí)，4P在上射影最大為

則J——1

|ZG|禺

X

設(shè)0B|=x,則MG|=|Z/D|=m，|G〃|=|8C|=x,|ZD|=2x,

則3Wa+644

3.如圖在直角梯形/BCD中，ABIICD,ABA.AD,AD=DC=\,AB=3,動(dòng)點(diǎn)尸在以C為圓心,

且與直線8。相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，^AP=aAD+j3AB(a,j3eR)

則a+夕的取值范圍是

解：設(shè)圓C與直線AD相切于點(diǎn)E,過(guò)Z作ZGLAD于G,作直線///￡>8,且直線/與圓C相切與E,

連EF,則所過(guò)圓心，且斯_L8￡>,由圖可知，對(duì)圓C內(nèi)任意一點(diǎn)尸

AP在直線AG上的射影長(zhǎng)度d滿(mǎn)足：|ZG|<d<ZG|+1跖|,

ADAB

又\AG\J\'\\=,|EF|=2|EC|=2|CD|sinZ^5D=-1=

\DB\V10V10

35

所以Vi>—o<d<V—ijo=

而<7+/=工-,所以l<a+￡<*

AG3

3.在AA8C中，AB=6,BC=8,ABIBC,M是。8C外接圓上一動(dòng)點(diǎn)，若萬(wàn)7=4萬(wàn)+無(wú)，則幾+〃

的最大值是()

54

A.1B.-C.-D.2

43

【答案】C

【解析】以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M的坐標(biāo)為(5cos6,5sin0),

——■—.—.1824

由=AAB+juAC:.(5cos0+5,5sin0)=2(y,y)+〃(10,0),

；1+〃==sin(。+0)+(可得利用正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)即得解.

62

【詳解】以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)/W的坐標(biāo)為(5cos0,5sin。)，過(guò)點(diǎn)B作AD_Lx軸

42418

sin4=—,AB=6「.BD=ABsin4=—,AD=ABcosA=—

555

7724

:.OD=AO-AD=-:.B(——，——)

555

24

又4(一5,0),5(5,0)，AB),AC=(10,0),定=(5cos<9+5,5sin9)

?.?斯=加+〃而-+5.“）=英式）+〃（1。,。）

八八。?八

=13?125

/.u.—cos（J—sinuH—,x，=—sinv

28224

4+"=—cos6+—sin0—=—sin（6+0）H—

23262

514

當(dāng)sin（e+e）=l時(shí)，U+〃）2=*+3.

623

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)乘運(yùn)算和正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及直角三角形問(wèn)題，

考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

4.（22-23高三上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）在“8C中，AB=4,BC=3,C4=2,點(diǎn)P在該三角形的內(nèi)切圓

上運(yùn)動(dòng)，若春=加方+”就（力,〃為實(shí)數(shù)），則加+〃的最小值為（）

5174

A.—B.—C.—D.一

183189

【答案】B

網(wǎng)

【分析】由萬(wàn)=用次+〃就可得加+"一（m一一〃—一再結(jié)合余弦定理，面積公式可求出

-^—AB+——AC

[m+nm+n）

cosA.sin/、BC邊上高九,內(nèi)切圓半徑小最后根據(jù)平行線等比關(guān)系即可求解.

【詳解】AP=mAB+nAC=（m+n}\mAB+n-AC\,由尸在內(nèi)切圓上，

\m+nm+n）

m+n=-------!——四!--------

（JT-AB+^—AC]9

\m+nm+nJ

YY].J7----?---?YY]Yi./、-----?

假設(shè)——AB+----AC=AE,由于-----+-----=1,AP=(m+n]AE

m+nm+nm+nm+nf

AP

貝+且E為5C上一點(diǎn)，A,P,E三點(diǎn)共線,

AE

由平行線等比關(guān)系可得，要使加+〃，即I萬(wàn)I與I荏I之間的比例最小，則尸在內(nèi)切圓的最高點(diǎn)，如圖所示,

次+心一叱

11

由cosA=

2AB?AC16

因?yàn)閟inN>0,所以sin/=±45,

16

設(shè)3c邊上高為〃，內(nèi)切圓半徑為「，

由S“BC=；48./C-sin4=gBC"z=；r（/B+4C+3C）,

所以/.=11,r=走，

26

可得加+”的最小值為/?—一2/1

h,3

故選：B.

網(wǎng)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵的地方是轉(zhuǎn)化得到加+〃-（m一一7丁令

-^—AB+——AC

[m+nm+n

-^AB+^—AC=AE,觀察到分母的系數(shù)相加為1,則可得到E為8C上一點(diǎn)，再結(jié)合平行線等比關(guān)系

m+nm+n

以及圖象可得到比例最小的具體位置

5.（22-23高一下?廣東珠海?期末）在"8C中，AB=1,AC=2,ABAC=60°,P是A/3C的外接圓上的一

點(diǎn)，若不=加在+〃就，則的最大值是（）

31L

A.1B.-C.-D.V3

2，

【答案】B

【分析】利用余弦定理與勾股定理得。3C是直角三角形，進(jìn)而可以建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得向量

的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得加+〃的表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)求最值即可.

【詳解】因?yàn)樵贏ABC中，48=1,AC=2,ZBAC=60°,

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC=l+4-2xlx2xcos60°=3,

所以2c=6，則/爐+臺(tái)。？=/。2,所以

故以/C的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

I-/]、

易得則在=，%=(-2,0),

22k22;

設(shè)尸的坐標(biāo)為(cos6,sin6),則萬(wàn)=(cos6)-1,sin6>),

又AP=mAB+nAC，

所以(cosS-l,sin6)=冽——,——+〃(一2,0)=---In,——m

、22J122J

cos0-1=-------2n

2得加=2近sin。，

則n=——cos6+---------sin。

,QV33226

sm"二—m

2

B11.71113

所以加+〃=——sm。——cos6+—=sm0—+—<1+—=—,

2226j222

當(dāng)且僅當(dāng)sin]。-=1時(shí)，等號(hào)成立，即加+〃的最大值為

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，利用向量的線性運(yùn)算法則得到冽，〃的關(guān)系式，從而

利用三角函數(shù)的性質(zhì)得解.

考點(diǎn)二、—或型綜合

典例引領(lǐng)

1―

1.已知。是“BC內(nèi)一點(diǎn)，且E+礪+玩=0,點(diǎn)M在AOBC內(nèi)（不含邊界），若而=4萬(wàn)+〃就，則

2+2〃的取值范圍是

B.(l,2)

【答案】B

【解析】因?yàn)?。是A4BC內(nèi)一點(diǎn)，且方+南+瓦=0,所以。為A4BC的重心

M在AOBC內(nèi)(不含邊界)，且當(dāng)M與。重合時(shí),4+2〃最小，

此時(shí)而=4次+〃％=§x-(AB+AC)=-AB+-AC

所以2=；,〃=；,即4+2〃=1

當(dāng)M與C重合時(shí),2+2〃最大，此時(shí)AM=AC

所以4=0,〃=1,即4+2〃=2

因?yàn)椤ā鲈贏OBC內(nèi)且不含邊界

所以取開(kāi)區(qū)間，即4+2〃e(1,2).

2,已知A4BC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)尸在以8C為直徑的半圓上.若刀=則

22+/Z的取值范圍是

答案：1,2

_2_

【解析】如圖，取4B中點(diǎn)為

AP=AAB+〃AC=2AAD+juAC

顯然，當(dāng)P與C重合時(shí),22+〃取最小值1.

將CD平行移動(dòng)至與。。相切處，

P為切點(diǎn)時(shí),22+//取最大值.

延長(zhǎng)尸。交C。于G,易知OG=OF=FP=L.

2

FFAP5

由等和線及平行截割定理,——=2,——=—.

FPAE2

所以24+〃的最大值為

故22+〃的取值范圍是1,1.

3.若點(diǎn)C在以尸為圓心,6為半徑的弧AB上，且PC=xPA+yPB例2x+3y的取值范圍為

【解析】令定=(2x+3y)而，

則RD=--—PA+—-—PB,

2x+3y2x+3y

—?2x3v?

即PD=--------PA+—,

2x+3y2x+3y

—?1—?—?1—?

其中尸/=—PA,PB】=-PB.

1213

由于在△尸4片中,|尸41=3,1尸團(tuán)=2,N4尸4=120°,

且點(diǎn)。在線段4片上（含端點(diǎn)4,4）,

因此|尸〃&IP。W|041，其中PH是邊4A上的高.

44=（PB1-P4）=PB[+04-2PB\-PAX=19

可得|4團(tuán)=炳.

-smAAPB=^\A^-\PH\

邑郵=|KI-KIxx

可得1P8卜得z.

所以，:一（尸。區(qū)3.

再由定=（2x+3y）所

可知2x+3%四=上』2,2].

|叩|尸。[3J

4.設(shè)長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)分別是AD=1,4B=2點(diǎn)P是ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP^xAB+yAD,

則x+2y的取值范圍是

解:如圖，取40中點(diǎn)￡，則

AP=xAB+2yAE,

此時(shí)的等和線為平行于BE的直線顯然，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)、B重合時(shí),x+2y最小為1,當(dāng)點(diǎn)尸與C重合時(shí),x+2y最

大，

…CFBC0

由于——=——=2,

AFAE

AT

所以空二3,

AF

AC

于是x+2歹的最大值為仝=3,

AF

所以x+2y的取值范圍是工3].

??即時(shí)檢測(cè)

>=?.若萬(wàn)=X方+〃翔貝I]

1.在矩形ABC。中，48=1,AD=BP為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且//

2+百〃的最大值為（）

A2RV6r3+君Dn+3行

2244

【答案】B

【分析】可根據(jù)條件畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形設(shè)=>0<^<|,則/又可用刀,而表示為:

%=—cosO

j,所以

u=-sin0

2

彳+百〃=￥"+$吊。)=爭(zhēng)中+￡|,而］。+力最大值為1,所以彳+圓的最大值為手.

7T

【詳解】如圖，設(shè)ZPAE=0,0<0<—,

則：AP=AE+AF-cosOAB+?廠—AD-cos0AB+—sin3AD

2022

XAP=AAB+jLiAD；

,6A

X=—COSU

2

1.八

u=-sintf

2

2+V3/Z=告(cosd+sinS)=^^sin[e+j；

.?/+?！ǖ淖畲笾禐槿?

故選B.

【點(diǎn)睛】考查共線向量基本定理，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)situ的最大值，以及平面向量基本定理.

2.2023?安徽淮南?一模)已知G是A/8C的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線血W與42,/C交于點(diǎn),且瘋=苫方,

AN=yAC,(x,y>0),則3x+y的最小值是

87542rr

A.-B.一C.一D.-+-V3

32233

【答案】D

【分析】首先根據(jù)M,G,N三點(diǎn)共線得到*=/翔+(17)而，也就是善=代屈+(1-/力/，再利用

—?1—>1—?11

+得到丁丁3,最后利用基本不等式求3x+y的最小值.

【詳解】

G

BC

因?yàn)椤?G,N三點(diǎn)共線，i^AG=tAM+(l~t)AN,因?yàn)槎?x9,RV=yK,所以

AG=tx'AB+(l-t)yAC,又G為重心，故前=+g就，而方，就不共線，所以fcc=；,0_f)y=；,

也即是1+'=3.

xy

3x+y=w(3x+y)]=g4+f—H],由基本不等式可以得到：

3(xy)3](尤J)_

^+—>273,當(dāng)且僅當(dāng)x==@+,等號(hào)成立，故3無(wú)+了的最小值為&+氈，故選D.

x>93333

【點(diǎn)睛】應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，需遵循“一正二定三相等"，如果原代數(shù)式中沒(méi)有積為定值或和為定值,

則需要對(duì)給定的代數(shù)式變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu).求最值時(shí)要關(guān)注取等條件的驗(yàn)證.

3.已知。是A43C內(nèi)一點(diǎn)，且9+歷+反=。，點(diǎn)”在A03C內(nèi)(不含邊界)，若翔=花3+〃胃，則

彳+2〃的取值范圍是

A.[1,jB.(1,2)C,0。

【答案】B

【解析】根據(jù)萬(wàn)+無(wú)+雙=6可知。為A48C的重心；根據(jù)點(diǎn)M在A08C內(nèi)，判斷出當(dāng)M與。重合時(shí),

2+2〃最小；當(dāng)M與C重合時(shí)，丸+2〃的值最大，因不含邊界，所以取開(kāi)區(qū)間即可.

【詳解】因?yàn)椤Ｊ茿48C內(nèi)一點(diǎn)，且次+礪+反=。

所以。為AA8C的重心

”在AO8C內(nèi)(不含邊界)，且當(dāng)M與。重合時(shí)，4+24最小，此時(shí)

~AM=XAB+/JAC=^-x1(A8+l4C)]=128+1^C

所以2=；,〃=；,即2+2〃=l

當(dāng)M與C重合時(shí)，4+2〃最大，此時(shí)

AM=AC

所以2=0,4=1,即4+2〃=2

因?yàn)镸■在AOBC內(nèi)且不含邊界

所以取開(kāi)區(qū)間，即4+2〃e(l,2)

所以選B

【點(diǎn)睛】本題考查了向量在三角形中的線性運(yùn)算，特殊位置法的應(yīng)用，屬于難題.

4.（22-23高三上?江蘇南通,開(kāi)學(xué)考試）在“8C中，AB=3,AC=2,A=^,過(guò)的外心。的直線（不

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A）分別交線段/5,/C于。,E,且石=力冠，AE=^AC,則2+〃的取值范圍是（）

11+4指1311+4直23

B.

18101815

「14+3逐13-14+37623~

D.

18101815

【答案】B

【分析】求得3c=療，外接圓的半徑一苗，設(shè)而=x：^+y就BO=(x-\)AB+yAC,

CO=xAB+{y-V)AC,|^o|=|so|=|co|=|結(jié)合益=彳而，荏=〃就和

。,。逐三點(diǎn)共線，得到《+力1,進(jìn)而求得。*，學(xué)，利用基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)，即可求得"

取值范圍.

TT

【詳解】因?yàn)椤?C中，AB=3,AC=2,A=^,

4I

由余弦定理可得3c2=Ng2+/C2-2/2-/Ccos-=9+4-2x3x2x-=7,

32

BC_41

即BC=5

2sin/拒

設(shè)前=x^+y就,

貝！]麗=互5+超=(x-l)君+y就，CO=CA+AO=xAB+(y-l)AC,

所以|阿卜9x2+4(y-1)?+6x(y-1)=1,

77

同理可得9(x-I)2+4y2+6(x-l)y=-,9x2+4(y-I)2+6x(y-1)=-,

解得x=3=9，所以與"萬(wàn)+

9696

__k—?41—?11—.

又因?yàn)槎?4萬(wàn)，AE=JLLAC,所以4。=了不4。+/一力￡,

9Z6//

41

因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得港+丁=1,

926〃

因?yàn)樗?(言+?-)￡[0刀，所以“工；,

946〃〃3

1Q

同理可得0<〃41,所以一

〃15

所以'+"=("+〃)匕+))=小小費(fèi)

設(shè)，='e/，學(xué)，可得幾+〃=巳+[+!

〃1531869t

令g⑺=布11+7/+金4，可得g")=w1一4菊，令g'(')=。，解得”等

當(dāng)一

時(shí),g，(x)<0,g⑺單調(diào)遞減;

當(dāng)te(時(shí),g*)>0,g(f)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)仁卒時(shí),11411+4指

九+〃取得最小值，最小值為口+2.—X—=-----

V3186918

又由g/w,g單嗡，可得g(2>g單,

Qno

所以當(dāng)f就時(shí)，X+〃取得最大值，最大值為言，

所以2+〃的取值范圍是11r」,工.

故選：B.

考點(diǎn)三、“X-/或，力”型綜合

典例引領(lǐng)

')I???__

1.如圖，已知0為銳角三角形N6C的外心,Z=§,且CM=xOB+.yOC,求2x—y的取值范圍？

解：

作圓。的直徑CE,8D,則點(diǎn)A在劣弧上運(yùn)動(dòng).于是04=(-x)OD+(-y)OE.其中x<0/<0.

考慮到問(wèn)題涉及的代數(shù)式為2x-y,為了利用向量分解的系數(shù)和的幾何意義，

將條件轉(zhuǎn)化為CU=2xOD+(-y)OE.

1—.--

此時(shí)可知連接向量-5。。的終點(diǎn)廠與向量?！甑慕K點(diǎn)E的直線EF即等系數(shù)和線，于是2x-y=1.

依次作出其余等系數(shù)和線，可得2x-y的取值范圍是(-2,1).

即時(shí)

1.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))在矩形ABC。中，AB=1,AD=6,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切

的圓上.若/P=448+。，則文-〃的最小值為()

A.V3B.1C.-1D.-百

【答案】C

【解析】以A為原點(diǎn)，直線AB,A。為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得尸的坐標(biāo)

的參數(shù)。形式，再由萬(wàn)=4標(biāo)+〃石用坐標(biāo)表示，這樣力-〃就可表示為。的三角函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變

換可求得其最小值.

【詳解】以A為原點(diǎn)，直線陽(yáng)，AD為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則8(1,0),C(l,6)，D(0,V3)

Ll厝+6-向Jj

直線％D；Cx+y=C,圓C與直線8。相切，所以圓C的半徑r=/廣〔=?,圓C的方程為

7(^)2+122

GT)?+(y-V3)2,

(nn、_(Rn、

設(shè)點(diǎn)尸1H----cos6*,A/3H----sin6*,即/尸=1H----cos0,y/3-\----sin6),

122J(22J

又萬(wàn)二LAB+JLLAD=(兀4羽,

2

所以幾一//=l+^^cos8—[l+；1sine

—cos^--sin^=cosf+j>-l.

222

即e=2左乃+-^,左￡z時(shí)，4一〃取得最小值一i.

6

【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量方用兩種不同方法表示，從

而把〃表示為參數(shù)。的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)知識(shí)求得最小值.

考點(diǎn)四、“加mw”或“用九〃〃”型綜合

典例引領(lǐng)

L（2023?浙江?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直角梯形/BCD中，AB±AD,AB//DC,AB=2,

AD=DC=l,圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C,半徑為。，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng).若

AP=xAB+yAC,其中x,yeR,則4x-y的取值范圍是（）

\C3行]、而亞c忖V17,V17

A.2,3H-------B.2,3H-----------C.3------,3H------D.3-------------,3-1-------

424222

【答案】B

【分析】建立直角坐標(biāo)系，將4x-y由2點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后數(shù)形結(jié)合求解

【詳解】以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD方向?yàn)檩S正方向建立直角坐標(biāo)系，則

m+n

AB=(2,O),5C=(-1,1),設(shè)尸(檢〃),則加一2",,解得，

2,

l"=yy=n

故z=4x-y=2加+〃，即〃=-2m+z,

數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)尸(3,1)時(shí)，z取最小值2,

當(dāng)直線與圓。-1)2+3-1)2=:相切時(shí)，=Z取得最大值3+好.

4V522

故選：B

2.R022春?安徽六安?高三階段練習(xí))在直角梯形48CD中，ABLAD,DC||AB,AD=DC=\,AB=2,E、

尸分別為48、2C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在以A為圓心，4D為半徑的圓弧上變動(dòng)，(如圖所示)，若

AP=AED+/jlF,其中貝124-〃的取值范圍是.

【答案】[-U]

【分析】如圖以人民40為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(cos/sina)0,,則可表示出存的坐標(biāo)，

可列出關(guān)于4〃的不等式組，表示出4〃，利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)，從而可求得結(jié)果

31

【詳解】如圖以力叢4。為'J軸建立直角坐標(biāo)系，則40,0),5(2,0),C(l,l),W,l),￡(L0),

—.―31

所以ED=(-1,1),

設(shè)P(cosa,sina)[aG0,—

因?yàn)槿f(wàn)二2萬(wàn)+〃靜

31

所以(cosa,sina)=(-2+-//,2+—//)

cosa=-2+—//

所以J,

sina=4+

解得力=；(3sina-cosa),〃=；(cosa+sina),

所以2X-=msina—；cosa-；cosa-；sina=sina-cosa=V^sin]a-?

TTTTTTTT

因?yàn)?,—,所以。一:￡,

L2j4L44j

所以----<sma——<——,

2V4j2

所以TW拒sin(a_5)Wl,即TW2X—〃W1,

故答案為：[T1]

即時(shí)性測(cè)

1.（2023?四川?校聯(lián)考三模）在直角梯形/BCD中，AB1AD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分

別為BC,C。的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑的半圓分別交A4及其延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,N,點(diǎn)尸在痂市上

運(yùn)動(dòng)（如圖）.若1?=m+項(xiàng),其中2,〃eR,則24-5〃的取值范圍是

C.[-272,2]D.[-272,272]

【答案】C

【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可表達(dá)出22-5〃=2cosa-2sina,進(jìn)而用輔助角公式

以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

分別以所在直線為x軸，了軸，益,而方向?yàn)檎较蚪⒅苯亲鴺?biāo)系，知

8（2,0）,「（0,1）,￡（2,1）,《1,目，

設(shè)尸（cosa,sina）（owem兀），由方=彳赤+〃而得：（cosa,sine）=2（2,1）+〃（一,即

2/L-//=COS6Z

,3.,

Z+—//=sincr

貝lj24—5〃=2cosa—2sina=2拒sin（a+,

由0VaV7i可得：—<?+—<—,則TWsin［a+型］〈也，故一2拒42應(yīng)sin（a+型］42.

則22-5〃的取值范圍是［-2夜,2］.

故選：c

考點(diǎn)五、系數(shù)和（等和線）的綜合應(yīng)用

1.如圖所示，A43c中，NC=3,點(diǎn)”是2c的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊NC上，且AN=2NC,與BN相交于

點(diǎn)尸，且PN=2PM,則AIBC面積的最大值為

【答案】5

【分析】根據(jù)題意設(shè)3"=a。'="作為該平面的一組基底，根據(jù)向量運(yùn)算的三角形法則及共線向量定理

分別表示出五瓦方，即可求得/P：PM,BP：PN的值，再設(shè)尸M=2f,求得PN,PA,PB,設(shè)A4/W的面

積為無(wú)，運(yùn)用余弦定理和面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值可得x的最大值，進(jìn)而得到所求A43c的面積的最

大值.

【詳解】設(shè)兩=扇函=不，

則為7=就+西=一36一。，BN^BC+CN^2a+b,

???/、P、M和5、P、N分別共線,

存在實(shí)數(shù)入、5^.AP=AAM=-Aa-3Ab,13P=]uBN=2jua+jLib

故囪=麗-存=(彳+2〃))+(3/1+〃明.

^\'BA=JC+CA=2a+3b

j4+2〃=2

[3/1+//=3，

力」

解得？，

—■4-—■3—?

i^AP=-AM,BP^-BN

即AP：PM=4：1,BP-.PN=3：2,

設(shè)尸則尸N=2f,PA=4t,PB=3t,t>0,

設(shè)ZUPN的面積為x,UPN=a,

在A4尸N中，AN=2,/尸=47,PN=2t,

HI?殂4廠+16t~—45t~-1.J-9〃+10/2-1

口」得cosa=----------------=------,sma=-------------------,

2.4/-2Z4r4t2

則x=；?4加2加sina=J-9r+10/_]=_胃+^<!

當(dāng)/=，，即f=Y1時(shí)，x取得最大值：，

933

33%

而A45尸的面積為彳x,△_§尸A/的面積為?，

28

貝A48c的面積為2(3?x+?3x)=?15x,

284

154

則A45C的面積的最大值為=5.

43

故答案為：5.

2.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅''勾股圓方圖〃，后人稱(chēng)其為''趙爽弦圖〃.如圖，它是

由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.已知上汨=2EB,M為線段的中點(diǎn)，設(shè)尸為

中間小正方形即GH內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界）.若訴=癡屈-而,則彳的取值范圍為.

【答案】（2,4）

【分析】由題意府=彳施+南，利用平面向量基本定理，數(shù)形結(jié)合與臨界值法，即可求解.

【詳解】過(guò)點(diǎn)A作/K〃板，分別交即,EF于點(diǎn)N,K,

過(guò)點(diǎn)N作N0〃/3,交ME的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，

過(guò)點(diǎn)K作KL〃4B,交ME的延長(zhǎng)線于點(diǎn)如圖，

由稱(chēng)=4運(yùn)-施=2疏+通！

可知，點(diǎn)尸在線段詆上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）.

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)N重合時(shí)，MP=MQ+MA=2ME+MA,可知4=2.

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合時(shí)，MP=ML+MA=4ME+MA，可知2=4.

故幾的取值范圍為（2,4）.

故答案為:（2,4）

2222

3.（2023?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，橢圓三+q=1（。>6>0）與雙曲線二-1=1（機(jī)>0,〃>0）有公共焦

點(diǎn)片（-c,0）,^（c,0）（c>0）,橢圓的離心率為e一雙曲線的離心率為02，點(diǎn)尸為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且

4/q=60。，則4+2=；/為△甲岑的內(nèi)心，耳/,G三點(diǎn)共線，且百."=o，x軸上點(diǎn)48滿(mǎn)足

e\e2

AI=AIP，BG=^GP,則分+〃2的最小值為.

【答案】41+2

2

【分析】第一空：利用橢圓與雙曲線的定義及性質(zhì)，結(jié)合圖形建立方程，求出|尸片|,|尸周，在利用余弦定理

建立關(guān)于離心