浙江某中學2024-2025學年高三綜合能力測試（二）數(shù)學試題（含解析）

浙江臺州中學2024-2025學年高三綜合能力測試（二）數(shù)學試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知向量3，B夾角為30°,a=（l,0j,W=2,則|2。一耳=（）

A.2B.4C.273D.277

2

2.復數(shù)一（i為虛數(shù)單位）的共朝復數(shù)是

1-1

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1-i

3.函數(shù)/（司=七號1。8卡|（0<a<l）的圖象的大致形狀是（）

r2v24

4.已知雙曲線C：—-2_=i（a>o,%>0）的右焦點為F,過原點O作斜率為一的直線交C的右支于點4,若|04|=|0尸

ab-3

則雙曲線的離心率為（）

A.73B.75C.2D.73+1

22

5.已知產(chǎn)是雙曲線二—斗=1漸近線上一點，工,工是雙曲線的左、右焦點，/F[PF2=%,記PH，PO,尸工的

ab2

斜率為左，k,k29若?2k,女2成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為（）

B任

A.y/2C.73D.76

2

6.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已

知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自

內(nèi)切圓的概率是()

7.已知｛4｝為等比數(shù)列，%+。8=-3,a4a9=T8,則%+%1=()

2121

A.9B.-9C.—D.

2~4

22

8.過雙曲線C：二—與=1(。＞0)＞0)左焦點口的直線/交。的左支于4,8兩點，直線AO(。是坐標原點)交C

ab

的右支于點D,若。產(chǎn)LAB,且但司=|。h，則C的離心率是()

D.叵

2

9.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最先見于《周禮?春

官?大師》，分為"金、石、±,革、絲、木、匏(p百。)、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”

為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為()

3112

A.—B?—C.—D.—

1414147

10.已知函數(shù)/(》)=Y一3》+5,g(x)=ax-\nx,若對Vxe(0,e),馬稔e(0,e)且％尸々，使得

/(x)=g(%)(i=l,2),則實數(shù)。的取值范圍是()

11.若(1+取)(1+幻5的展開式中的系數(shù)之和為—10,則實數(shù)。的值為()

A.-3B.-2C.-1D.1

12.集合4={?。?,尤eR},3={#2_2x—3＞。},則4口8=()

A.(3,+8)B.(7,—l)U(3,y)C.(2,+8)D.(2,3)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某校13名學生參加軍事冬令營活動，活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲，角色按級別從小到大共9種，分

別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以2人一組或者3人一組.

如果2人一組，則必須角色相同；如果3人一組，則3人角色相同或者3人為級別連續(xù)的3個不同角色.已知這13名學

生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，現(xiàn)在新加入1名學生，將這14名學生分成5組進行游戲，則新

加入的學生可以扮演的角色的種數(shù)為.

14.如圖所示，在AABC中，AB^AC=2,AD=DC>讀=2麗，AE的延長線交5c邊于點F,若=

貝!1防飛=

15.已知函數(shù)〃x)="—"工―1,則關于x的不等式/(2%)+/0+1)>-2的解集為.

16.在AABC中，AB=6,BC=1,ZC=—,貝！JAC=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖,在三棱柱43?！?耳01中，AC1BC,A3，3與，AC=3C=8與，。為AB的中點，且CD，口號.

(1)求證：5與，平面ABC；

(2)求銳二面角G的余弦值.

1一。6

X-2H1

2

18.(12分)在平面直角坐標系“Oy中，直線，的參數(shù)方程為:(，為參數(shù))，以坐標原點。為極點，”軸

,亞，

y=1------1

I-2

的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為72-42cos6=3.

(1)求直線I的普通方程和圓C的直角坐標方程；

(2)直線/與圓C交于A,8兩點，點P(2,l),求必L|?|P用的值.

19.（12分）在AABC中，內(nèi)角AB,C的對邊分別是"c,滿足條件c=2b-缶,C=工.

4

（1）求角A；

（2）若AABC邊AB上的高為g,求AB的長.

20.（12分）設函數(shù)/（x）=l+ln（x+l）（x〉0）.

X

（1）若/（X）〉上恒成立，求整數(shù)上的最大值；

X+1

（2）求證：（l+lx2）.（l+2x3）--｛l+nx（n+l）]>e2,!-3.

21.（12分）已知數(shù)列｛?！埃凉M足，q=l,%=4,且a”+2-4。,什1+3。“=0（〃eN*）.

（1）求證：數(shù)列｛凡+「凡｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設2=2〃?4,求數(shù)列也｝的前〃項和S”.

22.（10分）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷

x=l+2t.

直線/：〈。為參數(shù)）與圓C:72+2夕85夕—2仃皿。=0的位置關系.

[y=l—2f

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算，即可容易求得結果.

【詳解】

由于2a-b=J(2a—b)=^4a-4-a-b+b=^4x3-4x^/3x2x^-+4=2，

故選：A.

本題考查向量的數(shù)量積運算，模長的求解，屬綜合基礎題.

2.B

【解析】

分析：化簡已知復數(shù)z,由共軌復數(shù)的定義可得.

22(l+z)

詳解：化簡可得z=1二=7\J,、=1+，

1—I+

Az的共輾復數(shù)為1-i.

故選B.

點睛：本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的運算，涉及共朝復數(shù)，屬基礎題.

3.C

【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.

【詳解】

logfl(-x),x<-l,

logfl|x|=hogfl(-x),—1<%<0,

log/,x>0.

故選C.

識圖常用的方法

(1)定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題;

(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；

(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.

4.B

【解析】

JT+y~=c

以。為圓心，以|。耳為半徑的圓的方程為好+/=。2,聯(lián)立,2/,可求出點A△--------，一,則

￡

c4

/2,2=￡，整理計算可得離心率.

a^c2+b23

【詳解】

解：以。為圓心，以》為半徑的圓的方程為X：+y-c

x-+y'=c

聯(lián)立《,取第一象限的解得

、/一昂

4

3

整理得(9C2-5?2)(C2-5?2)=0,

25c2

則c==]<1(舍去)，二=5,

cr9a2

.'.e=—=y/5.

a

故選：B.

本題考查雙曲線離心率的求解，考查學生的計算能力，是中檔題.

5.B

【解析】

求得雙曲線的一條漸近線方程，設出尸的坐標，由題意求得P(a,b),運用直線的斜率公式可得4一k,卜,再由等

差數(shù)列中項性質(zhì)和離心率公式，計算可得所求值.

【詳解】

Y2—b

設雙曲線T—與=1的一條漸近線方程為y=一%,

Ajr

且尸(北士機)，由N耳尸鳥=—,可得以。為圓心，。為半徑的圓與漸近線交于P,

a2

b

可得ITT+(~m)2=c2,可取m=a,則P(a,b),

a

hhb

設月(—c,0),E(GO),則勺='一,&=，一,k=-,

a+ca-ca

由左,—2左，Z2成等差數(shù)列，可得-4左=匕+&,

a2

故選：B.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運算能力，意在考查學生對這些知識的

理解掌握水平.

6.C

【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公

式，即可求解.

【詳解】

由題意，直角三角形的斜邊長為,82+62=10,

利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為廠=6*8=2,

6+8+10

兀_71

所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為1(。=?.

—x6x8

2

故選：C.

本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑

是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

7.C

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的下標和性質(zhì)可求出生，/，便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出生+知?

【詳解】

GG，又—，可解得<.或<

4+9=5+8,a4a9=5S=-18ct5+cts—3

as=3=

設等比數(shù)列｛4｝的公比為q,則

a=a3

Mz\5,3s1.+an=^-+a8q=-y-+3xf--=—

當《。時,<7=一=一彳，??211q381｛2)2.

[q=3%2--

53

當<公時，=~=^,--a2+an=^j+asq=^-+(-6)x(-2)=

v7v7

as=-6a5q‘-22

故選：C.

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力,屬于基礎題.

8.D

【解析】

如圖，設雙曲線的右焦點為工，連接。工并延長交右支于C，連接FC，設。月=X,利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得

到=x+2a,FC=x+4a,結合RtAFDC、放AED鳥可求離心率.

【詳解】

如圖，設雙曲線的右焦點為工，連接用，連接。鳥并延長交右支于C.

因為EO=O6,AO=OD,故四邊形為平行四邊形，故心.

又雙曲線為中心對稱圖形，故8C=BF.

設=x,則DF=x+2a,故6C=x+2a,故PC=x+4a.

因為AEDC為直角三角形，故(尤+4a)2=(2x+2ay+(x+2a)2,解得了=。

在RQEDF,中，有4c2=儲+94，所以e=￡=3=辿.

a\22

故選：D.

本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性(中心對稱、軸對稱)以及雙曲線的定義來構造關于a/,c的方程,

本題屬于難題.

9.B

【解析】

分別求得所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結果.

【詳解】

從“八音,，中任取不同的“兩音,，共有C2=28種取法；

“兩音”中含有打擊樂器的取法共有Cj-Cl=22種取法；

所求概率"=H=￡.

故選：B.

本題考查古典概型概率問題的求解，關鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù).

10.D

【解析】

先求出/(九)的值域，再利用導數(shù)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,e)上的單調(diào)性，結合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范

圍即可.

【詳解】

因為g(x)=^_/依，故g，(x)=取1,

當aWO時，g'(x)<0,故g(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞減；

當時，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增；

當時，令/("=0,解得x=J_,

故g⑴在區(qū)間u單調(diào)遞減，在區(qū)間，，，上單調(diào)遞增.

又=l+=?—且當x趨近于零時，g(x)趨近于正無窮；

對函數(shù)/(x),當xe(o,e)時，/(x)e—,5j；

根據(jù)題意，對Vxe(0,e),必,x2e(0,e)且占w々，使得=g(xj(，=1,2)成立，

只需g(￡|<5(e"5，

即可得l+/〃a<U,呸—125,

4e

「6N：

解得。e-,e4.

故選：D.

本題考查利用導數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜

合困難題.

11.B

【解析】

由(1+0X)(1+x)5=(1+X)5+ax(l+x)5,進而分別求出展開式中X2的系數(shù)及展開式中X3的系數(shù)，令二者之和等于

-10,可求出實數(shù)。的值.

【詳解】

由(1+?x)(l+X)5=(1+x)5+?x(l+x)5,

2

則展開式中f的系數(shù)為c；+aC；=10+5a,展開式中苫3的系數(shù)為C；+aC5=10+10a,

二者的系數(shù)之和為(10+5。)+(10。+10)=15。+20=-10,得a=—2.

故選：B.

本題考查二項式定理的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.

12.A

【解析】

計算B=(―8,—1)U(3,y),再計算交集得到答案.

【詳解】

B=-2x-3>oj=(-oo,-l)o(3,+oo),A=|x|x>2,xe7?1,故4門5=(3,+8).

故選：A.

本題考查了交集運算，屬于簡單題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.9

【解析】

對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，分析各種情況下14個學生所扮演的角色的分組，綜合可得出結論.

【詳解】

依題意，14名學生分成5組，則一定是4個3人組和1個2人組.

①若新加入的學生是士兵，則可以將這14個人分組如下；3名士兵；士兵、排長、連長各1名；營長、團長、旅長各1

名；師長、軍長、司令各1名；2名司令.所以新加入的學生可以是士兵，由對稱性可知也可以是司令；

②若新加入的學生是排長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；連長、營長、團長各1名；旅長、師長、軍長各1

名；3名司令；2名排長.所以新加入的學生可以是排長，由對稱性可知也可以是軍長；

③若新加入的學生是連長，則可以將這14個人分組如下：2名士兵；士兵、排長、連長各1名；連長、營長、團長各1

名；旅長、師長、軍長各1名；3名司令.所以新加入的學生可以是連長，由對稱性可知也可以是師長；

④若新加入的學生是營長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各1名；營長、團長、旅長各1

名；師長、軍長、司令各1名；2名司令.所以新加入的學生可以是營長，由對稱性可知也可以是旅長；

⑤若新加入的學生是團長，則可以將這14個人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各1名；旅長、師長、軍長各1

名；3名司令；2名團長.所以新加入的學生可以是團長.

綜上所述，新加入學生可以扮演9種角色.

故答案為：9.

本題考查分類計數(shù)原理的應用，解答的關鍵就是對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，屬于中等題.

22

14.——

9

【解析】

11—.4—■1—.―.—.2

過點。做。G||A廣，可得"=—Ab,BF=—BC,AE=—A8+—AC由=4可得cos/84C=—,可

655533

uunuum54111ra1uumuum

得AE-AC=±(—A3+—AC)-AC,代入可得答案.

655

【詳解】

解：如圖，過點。做。G||A尸，

B

ADC

EFBE11_

易得:=—=—,EF=—DG,

~DGBD33

DG_CD=」,故。6=!4斤,可得：EF=-AF,

AF~AC226

BFBE1FGAD12i1_

同理:==—,==-，可得BF=—BC,

~FGED2GCCD15

AF=AB+BF=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

5555

由市.品=一之，可得(士通+J■衣).(衣—通)=J_前?―3通2+2通*=—3

5555555

14242

可得：—x4——x4+—x2x2cosABAC=——，可得：cosNBAC=—,

55553

—,—.5—?—?54—?1—>—?2—?—>1—.222122

AEAC=-AFAC=-(-AB+-AQAC=-ABAC+-AC=-x2x2x-+-x4=—,

6655353369

22

故答案為：—.

9

本題主要考查平面向量的線性運算和平面向量的數(shù)量積，由題意作出。G||A戶是解題的關鍵.

15.(/--1,+<?)、

【解析】

判斷g(x)=/(x)+l的奇偶性和單調(diào)性，原不等式轉化為g(2x)>—孰九)=g(r—)，運用單調(diào)性，可得到所

求解集.

【詳解】

令g(x)=/(x)+l，易知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，

/(2x)+/(x+l)>-2o/(2x)+l+/(x+l)+l>0,

即g(2x)+g(x+l)>0,

，g(2x)>T(x>)=g(—%—)

2x>—x—l,即x>—

3

故答案為：［一

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用：解不等式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題.

16.1

【解析】

由已知利用余弦定理可得AC?+AC—2=0,即可解得AC的值.

【詳解】

2萬

解：?；AB=M，BC=1,ZC=-

???由余弦定理AB?=人。2+§。2_2AC.BC.cosC，

PT^3=AC2+1-2XACX1X(-1),整理可得：AC2+AC-2^0,

2

二解得AC=1或-2(舍去).

故答案為：L

本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)叵.

5

【解析】

(1)證明CDLAB后可得CD，平面54AA,從而得CD，35],結合已知得線面垂直；

(2)以C為坐標原點，以CB為％軸，CG為V軸，C4為z建立空間直角坐標系，設C￡=2,寫出各點坐標，求

出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因為AC=5C,。為中點，

所以CDLAfi,又CDLZM],AB^\D=D,

所以CD,平面又5與u平面朋用5,

所以?！辏荆c3,又BQLAB,ABdCD=D,

所以用5,平面ABC.

(2)由已知及(1)可知CB,CC-C4兩兩垂直，所以以。為坐標原點，以CB為x軸，CG為y軸，C4為z建

立空間直角坐標系，設CG=2,則

C（0,0,0）,5（2,0,0）,4（0,0,2）,Q（0,2,0）,^（0,2,2）,D（l,0,l）.

設平面DCA的法向量瓦=&，x，Z]),則

n^-CD=0x+z.=0_/、

即《￡+21?！頛L則

4?CAj=0

設平面。GA的法向量a=(%，%，Z2)，則

n-CD=0即-2y+z=0—.、

2Xc'9?，，令%=1，則?=(2,1,0),

n,.GA=0[2Z2=0-

〃1?4_3_A/15

所以cos(〃]4)

匐同8又非5

故銳二面角C-D\-Cx的余弦值為巫.

5

本題考查證明線面垂直，解題時注意線面垂直與線線垂直的相互轉化.考查求二面角，求空間角一般是建立空間直

角坐標系，用向量法易得結論.

18.(1)直線/的普通方程x+y—3=。，圓。的直角坐標方程：%2+/-4X-3=0.(2)6

【解析】

(1)直接利用轉換關系的應用，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.

(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關系式即可求解.

【詳解】

f°V2

X—2H----1

(1)直線/的參數(shù)方程為〈；2。為參數(shù))，轉換為直角坐標方程為x+y-3=0.

1友,

V2

圓C的極坐標方程為p2-4pcos0=3,轉換為直角坐標方程為N+儼-4x-3=0.

f72

X—2H----1

(2)把直線/的參數(shù)方程為《:2。為參數(shù))，代入圓的直角坐標方程N+y2-4x-3=0,

y-1-----1

I2

得到廣—M—6=0，

所以照||尸8|=加2|=6.

本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用，主要考查學生的運

算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

19.(1)j.(2)273-2

【解析】

(1)利用正弦定理的邊角互化可得sinC=2sinB_0sinA，再根據(jù)5=〃-A-C=7r-A+￡,利用兩角和的

正弦公式即可求解.

L71

(2)已知CD=百，由A=§知AD=1,在ABOC中，解出BD即可.

【詳解】

(1)由正弦定理知

sinC=2sinB-y/2sinA

由己知C=而5="一A-C="一[A+

=2sin(A+(1—&sinA

=2^^-cosA+^-sinA]-A/2sinA

=A/2COSA

1471

cosAA=—,A=—

23

(2)已知CD=6，

n

則由A=一知AO=1

3

5CD

B=7i—A—C=——7i,DB=------

12tan5

TC冗

先求sin5%=sin=-(A/2+76)

434

5717C

cos—n--cos—+—=-(V6-V2)

12434

-%+?=2+G

12(V6-V2)

；?DB=、廠=2近-3

2+6

AB=AD+DB=l+2y/3-3=2y/3-2

bh

ALDB

本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質(zhì)、兩角和的正弦公式，需熟記定理與公式，屬于基礎題.

20.(1)整數(shù)人的最大值為3；(2)見解析.

【解析】

/、1丁屋“為(\k(x+l)+(x+l)ln(x+l)-3rs/、fx+l)+(x+l)ln(x+l).

(1)將不等式/r(%)>----變形為k---------------------構造函數(shù)=-----------------------L,利I用m

九十JCX

導數(shù)研究函數(shù)y=h(x)的單調(diào)性并確定其最值，從而得到正整數(shù)k的最大值；

(2)根據(jù)(1)的結論得到垣[1+“(“+1)]>2—〃(；+])=2—3(\—5),利用不等式的基本性質(zhì)可證得結論.

【詳解】

/、」/\l+ln(x+l)k/=(x+l)+(x+l)ln(x+l)

(1)由/(%)=-----——上>，得k<\——二——U——二

Xx+1X

令Mx)=a+l)+(x+l)ln(x+l),〃⑴「TT：(x+l),

XX

令g(x)=x-l-ln(x+l),g[x)=l——匚>0對Vx>0恒成立，

所以，函數(shù)y=g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

?.-g(o)=-l<o,g⑴<0,g⑵<0,g⑶>0,

故存在毛€(2,3)使得8(%)=0,BPx0-l=ln(x0+l),

從而當x>x()時，有g(x)>g(Xo)=O,〃'(九)>0,所以，函數(shù)丁=〃(可在(5,+8)上單調(diào)遞增；

當尤<為時,有g(x)<g[)=0,”(x)<0,所以，函數(shù)y=/z(x)在(0,飛)上單調(diào)遞減.

所以，〃()「3)=U+1)+5+1)皿％+1)=(%+1)+(%+1)(%-1)=%+143,4),

%0xo

:.k<3,因此，整數(shù)人的最大值為3；

(2)由(1)知----------->----恒成乂，lnfx+11>------1—2----->2—，