清單08銳角三角函數(shù)（8個(gè)考點(diǎn)梳理題型解讀核心素養(yǎng)提升中考聚焦）

清單08銳角三角函數(shù)（8個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中引入的，實(shí)際上是兩條邊的比，它們是正實(shí)數(shù)，沒單位，其大小只與角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形無關(guān)。【例1】（2022·上海徐匯·九年級(jí)期末）如圖，在中，，CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，的余角相等即可判斷A，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，可得，則，即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)A選項(xiàng)可得，即，即可判斷C，根據(jù)，可得,，即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，，故B選項(xiàng)不正確，符合題意；，即，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；，即,又故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線，高線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)，找出圖中相等的角是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·甘肅·西和縣漢源鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，∠ACB＝90°，AC＝3，AD＝2，則sinB的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將求sinB的值轉(zhuǎn)化為求sin∠ACD的值，然后根據(jù)角的正弦值與三角形邊的關(guān)系，求角的正弦值．【詳解】解：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，∠ACB＝90°∴∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°∴∠B＝∠ACD．∴sinB＝sin∠ACD＝AD：AC＝2：3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題利用了銳角三角函數(shù)的概念和在直角三角形中，同角的余角相等而求解．【變式2】．（2022·河南·油田十中九年級(jí)期末）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，D，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)圓周角定理的推論可知，，然后在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出的正弦值．【詳解】解：如圖，連接、．和所對(duì)的弧長都是，根據(jù)圓周角定理的推論知，．在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理的推論把求的正弦值轉(zhuǎn)化成求的正弦值，本題是一道比較不錯(cuò)的習(xí)題．考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°【例2】（2022·廣西·平果市教研室九年級(jí)期末）計(jì)算：．【答案】【分析】分別計(jì)算負(fù)指數(shù)冪、三角函數(shù)值、根式化簡、去絕對(duì)值，然后計(jì)算即可．【詳解】解：原式=====【點(diǎn)睛】本題考查了與負(fù)指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)值、二次根式化簡、絕對(duì)值化簡相關(guān)的實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確運(yùn)算是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022·四川樂山·九年級(jí)期末）在中，若，，都是銳角，則是______三角形．【答案】等邊【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B，繼而可判斷的形狀．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴∠A=60°，∠B=60°，∴是等邊三角形．故答案為：等邊．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．【變式2】（2022·甘肅·西和縣漢源鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）計(jì)算：【答案】3【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)及負(fù)指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再合并即可．【詳解】解：原式====3【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)及負(fù)指數(shù)冪，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)實(shí)數(shù)運(yùn)算的法則．考點(diǎn)三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.【例3】（2022·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）如圖，延長等腰斜邊到，使，連接，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)D作DE垂直于CB的延長線于點(diǎn)E，設(shè)AC=BC=a，根據(jù)勾股定理得，由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠BAC=45°，從而得，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，進(jìn)而求得CE=BC+BE=3a即可求得．【詳解】解：過點(diǎn)D作DE垂直于CB的延長線于點(diǎn)E，如下圖，設(shè)AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=45°，，∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=，BE=，∴CE=BC+BE=3a，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)期末）如圖，把一個(gè)量角器與一塊30°（）角的三角板拼在一起，三角板的斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，現(xiàn)有點(diǎn)P恰好是量角器的半圓弧中點(diǎn)，連結(jié)CP．若BC＝4，則CP的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，記CP與AB的交點(diǎn)為H，過H作于I，作于J，在量角器所在的半圓Q上，而P為的中點(diǎn)，可得設(shè)則求解可得CH，同理可得PH，從而可得答案．【詳解】解：如圖，記CP與AB的交點(diǎn)為H，過H作于I，作于J，∵為半圓的直徑，∴在量角器所在的半圓Q上，而P為的中點(diǎn)，∴∵∴設(shè)則∴解得：∴同理可得：∴同理可得：而∴∴故答案為：C【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，圓周角定理的應(yīng)用，解直角三角形，理解題意，證明在量角器所在的半圓Q上是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四、仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．【例4】（2022·江蘇淮安·九年級(jí)期末）如圖是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖，燈柱BC的高為10米，燈柱BC與燈桿AB的夾角為120°．路燈采用錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域DE的長為13.3米，從D、E兩處測得路燈A的仰角分別為α和45°，且tanα＝6．求燈桿AB的長度．【答案】燈桿AB的長度為2.8米．【分析】過點(diǎn)A作AF⊥CE，交CE于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG⊥AF，交AF于點(diǎn)G，則FG＝BC＝10．設(shè)AF＝x知EF＝AF＝x、DF＝＝，由DE＝13.3求得x＝11.4，據(jù)此知AG＝AF?GF＝1.4，再求得∠ABG＝∠ABC?∠CBG＝30°可得AB＝2AG＝2.8．【詳解】過點(diǎn)A作AF⊥CE，交CE于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG⊥AF，交AF于點(diǎn)G，則FG＝BC＝10．由題意得∠ADE＝α，∠E＝45°．設(shè)AF＝x．∵∠E＝45°，∴EF＝AF＝x．在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，∴DF＝＝＝，∵DE＝13.3，∴x+＝13.3．∴x＝11.4．∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．∵∠ABC＝120°，∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2AG＝2.8，答：燈桿AB的長度為2.8米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形?仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意構(gòu)建直角三角形并熟練掌握三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用能力．【變式1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，小明同學(xué)在民族廣場處放風(fēng)箏，風(fēng)箏位于處，風(fēng)箏線長為100m，從處看風(fēng)箏的仰角為30°，小明的父母從處看風(fēng)箏的仰角為50°．求、相距多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果精確到0.1m）【答案】【分析】如圖，過作于，，在中，，求出的值，在中，，求出的值，然后根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，過作于，∴，在中，∵，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，∴．即A、C相距約．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)三角函數(shù)值求的值．【變式2】（2022·湖南岳陽·九年級(jí)期末）如圖：聰聰?shù)淖龇ǎ旱谝徊剑核诘孛嫔螧點(diǎn)處測得大樹頂端的仰角為35°，第二步：他繼續(xù)向大樹方向走8m到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，又測得遮擋物E點(diǎn)的仰角為60°，（已知A、E、M三點(diǎn)共線，聰聰?shù)难劬嗟孛娴母叨缺３植蛔兦覟?.6m，遮擋物EF與大樹MN的距離FN=6m，EF⊥BN，MN⊥BN，（B，D，F(xiàn)，N在同一水平線上）．第三步：計(jì)算出大樹的高M(jìn)N．請(qǐng)你根據(jù)聰聰做法，計(jì)算出大樹大概有多高？（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】15m【分析】延長AC交EF于P，交MN于Q，則QN=AB=1.6m，PQ=FN=6m，由銳角三角函數(shù)的定義求得，設(shè)CP=xm，則，再由銳角三角函數(shù)得到，解得x=5.6，求得AQ，然后由銳角三角函數(shù)定義求出的長即可求解．【詳解】解：延長AC交EF于P，交MN于Q，如圖所示：則QN=AB=1.6m，PQ=FN=6m，在Rt△ECP中，∠ECP=60°，，∴，設(shè)CP=xm，則，∴，，∵，∴，解得：x=5.6，∴AQ=19.6m，∵，∴，∴，答：大樹的高M(jìn)N約為15m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，仰角俯角問題及銳角三角函數(shù)定義，正確地作出輔助線構(gòu)造直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五、坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．【例5】（2022·四川資陽·九年級(jí)期末）如圖，在操場上的A處，測得旗桿頂端N點(diǎn)的仰角是，前進(jìn)20米后到達(dá)旗臺(tái)的底端B處，測得旗桿頂端N點(diǎn)的仰角是，繼續(xù)沿著坡比為的斜坡BC上升到C處，此時(shí)又測得旗桿頂端N點(diǎn)的仰角是，旗桿MN垂直于水平線AD，點(diǎn)A、B、D在同一直線上，CM//AD，求旗桿MN的高度．【答案】MN米【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，先證CN＝CB，令CM＝x米，則CN＝CB＝2x米，MN米，再由銳角三角函數(shù)定義得出方程，解方程即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，∵CM∥AD，∠D＝90°，∴∠CMN＝∠D＝90°，∵∠NCM＝60°，∴∠CNM＝90°﹣∠NCM＝30°，∴CN＝2CM，又∵∠NBD＝45°，∠D＝90°，∴∠BND＝90°﹣∠NBD＝45°，∴∠BNC＝15°，∵BC的坡比為CE：BE，∴tan∠CBE，∴∠CBE＝30°，∴∠CBN＝15°＝∠BNC，∴CN＝CB，令CM＝x米，則CN＝CB＝2x米，MN米，又∵，∴CECB＝x（米），BE（米），∴ND＝MN+MD＝MN+CE＝（1）x（米），∵AB＝20米，∴AD＝AB+BE+ED＝AB+BE+CM＝[20+（1）x]（米），又∵∠A＝30°，∴，即，解得：x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原方程的解，且符合題意，∴MN米，答：旗桿MN的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握仰角俯角的定義和坡度坡角的定義，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·安徽·蚌埠市新城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，旗桿豎立在斜坡的頂端，斜坡長為65米，坡度為．小明從與點(diǎn)相距115米的點(diǎn)處向上爬12米到達(dá)建筑物的頂端點(diǎn)．在此測得旗桿頂端點(diǎn)的仰角為39°，求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】24.9【分析】過點(diǎn)B作CD的垂線，設(shè)垂足為F，再過點(diǎn)E作EG⊥BF，垂足為G，依題意分別求出線段BF、CF、DF、AG的長度，即可求得旗桿的高度AB．【詳解】解：過點(diǎn)B作CD的垂線，設(shè)垂足為F，再過點(diǎn)E作EG⊥BF，垂足為G，如圖，∵斜坡CB長為65米，坡度為i＝，設(shè)BF=12x，則CF=5x，∴，解得x=5，∴BF=60，CF=25，∵DC=115，∴EG=DF=11525=90，在中，，∴AG=，∴AB=AG+FGBF=72.9+1260=24.9，答：旗桿的高度AB為24.9米．【點(diǎn)睛】本題考查了坡度的定義，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．【變式2】（2022·山東威海·九年級(jí)期末）某風(fēng)景管理區(qū)，為提高旅游安全性，決定將到達(dá)景點(diǎn)步行臺(tái)階的傾角由45°改為30°，已知原臺(tái)階坡面AB長為5m（BC所在地面為水平面），調(diào)整后的臺(tái)階坡面為AD．求：(1)調(diào)整后的臺(tái)階坡面會(huì)加長多少？(2)調(diào)整后的臺(tái)階多占多長一段水平地面？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)2.1m(2)2.6m【分析】（1）先解直角△ABC求出AC的長，再解直角△ADC求出AD的長即可得到答案；（2）分別解直角三角形求出CD，BC的長即可得到答案．（1）解：由題意得，∠ABC=45°，∠ACB=90°，∠ADC=30°，∴在Rt△ABC中，．∴在Rt△ADC中，．∴，答：調(diào)整后的臺(tái)階坡面會(huì)加長2.1m；（2）解：在Rt△ADC中，，在Rt△ABC中，∴．答：調(diào)整后的臺(tái)階多占水平地面2.6m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六、方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．【例6】（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，是濕地公園里的一條環(huán)形跑道，B在A的正南方．一天，李老師從起點(diǎn)A出發(fā)開始跑步，此時(shí)他發(fā)現(xiàn)公園中心塔C在他的東南方向，他以每分鐘80米的速度，沿AB方向跑了15分鐘后到達(dá)健身跑道的B處，此時(shí)他發(fā)現(xiàn)公園中心塔C在他的南偏東75°方向．（A，B，C在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：，）(1)求BC的長；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)為了滿足市民健身的要求，政府決定對(duì)健身跑道進(jìn)行擴(kuò)建．計(jì)劃將跑道AB段繼續(xù)向正南方向延伸至D處，再將DC連接起來組成新的環(huán)形跑道．若在D處測得C在D的北偏東60°方向．若預(yù)計(jì)修建跑道的成本為每米60元，政府撥付改建費(fèi)20萬元，則此次政府撥付改建費(fèi)用是否足夠？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．【答案】(1)跑道BC的長為1697米(2)此次改建費(fèi)用足夠，理由見解析【分析】（1）作構(gòu)造直角三角形后，利用特殊角的三角函數(shù)求解即可．（2）先畫出圖形，再通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，得出需要修建的跑道總長，計(jì)算出總費(fèi)用進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）由題意得：，，米過點(diǎn)B作于點(diǎn)，∴，在中，，∴，在中，，∴（米）答：跑道BC的長為1697米．（2）如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，∴，∵，∴∴在中，，∴∴，．在中，，∴，，∴總道路長為．∴總共花費(fèi)：．答：此次改建費(fèi)用足夠．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能正確理解題意，做出輔助線，構(gòu)造直角三角形，并解直角三角形．【變式】（2022·安徽合肥·九年級(jí)期末）數(shù)學(xué)興趣小組的成員在觀察點(diǎn)A測得觀察點(diǎn)B在A的正北方向，古樹C在A的東北方向；在B處測得C在B的南偏東63.5°的方向上，古樹D在B的北偏東53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古樹C、D之間的距離。(結(jié)果保留到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32)【答案】62.9米【分析】過B作BE⊥CD于E，過C作CF⊥AB于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BE=CF，CE=BF，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過B作BE⊥CD于E，過C作CF⊥AB于F，則四邊形BFCE是矩形，∴BE=CF，CE=BF，∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，∴CF=AF=AC=50，∵∠CBF=63.5°，∴（米），∵CD∥AB，∴∠D=53°，∵∠BED=90°，∴（米），∴CD=CE+DE=62.9（米），答：古樹C、D之間的距離約為62.9米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七、解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.【例7】（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測得點(diǎn)在北偏東方向上，若米，則點(diǎn)到直線距離為（

）．

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，根據(jù)正切的定義用表示出、，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到直線距離為米，在中，，在中，，由題意得，，解得，（米，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2021春·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測量人員在C處測得A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°．若飛機(jī)離地面的高度CO為900m，且點(diǎn)O，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為_______．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（900﹣300）米【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AO和OB，即可求出結(jié)論．【詳解】解：由于CD∥OB，∴∠CAO＝∠ACD＝60°，∠B＝∠BCD＝45°在RtACO中，∠CAO＝60°∴AO＝＝300米，在RtOCB，∠B＝45°∴OB＝=900（米）．∴AB＝OB﹣OA＝（900﹣300）（米）故答案為：（900﹣300）米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題，題目難度不大，解決本題的關(guān)鍵是利用銳角三角函數(shù)求出AO和OB．考點(diǎn)八、解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解．【例8】（2021·浙江·九年級(jí)期末）定義：三角形內(nèi)部有一小三角形與原三角形相似，其中小三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在原三角形的三邊上（頂點(diǎn)可重合），則稱這兩個(gè)三角形是星相似三角形例如：如圖1，中，，和是星相似三角形．如圖2，是的中點(diǎn)，以為直徑畫圓，交，于點(diǎn)，，．（1）①若，求的長．②設(shè)，，試寫出與的函數(shù)關(guān)系式．（2）若，則與哪個(gè)三角形星相似，并證明．（3）在（2）的條件下，求的長．【答案】（1）①；②；（2）△CEG與△FEC星相似，證明見解析；（3）．【分析】（1）①利用勾股定理和等面積法即可求得CE，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD，在利用勾股定理即可求得DE；②證明△FOG∽△EDG，可得，再解直角三角形求得DE和FO，即可求得與的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊對(duì)等角可得∠BCE=∠CGE，從而可證明△FEC∽△CEG，即△CEG與△FEC星相似；（3）可利用三角形外角的性質(zhì)證明∠GCE=∠GDE，從而可得EC=ED=m，從而可得，，解直角三角形即可得出．【詳解】解：（1）①在Rt△ABC中，，，∴，∵D為AB的中點(diǎn)，∴，∵，在Rt△ABC中，，即，解得，∴；②連接OF，∵OF=OC，∴∠DCB=∠OFC，由①可得BD=CD，∴∠DCB=∠B，∴∠OFC=∠B，∴△FOG∽△EDG，∴，∵CB=x，∴，，，，即，解得，，∴；（2）△CEG與△FEC星相似，由（1）可知OF//CD,又∵O為CD的中點(diǎn)，∴OF為△CBD的中位線，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∵∠CEB=180°∠CEA=90°,∴,∴∠BCE=∠FEC，∵CG=CE，∴∠CGE=∠FEC，∴∠BCE=∠CGE，∵∠FEC=∠FEC，∴△FEC∽△CEG，∴△CEG與△FEC星相似；（3）∵CD=BD，BF=EF，∴∠B=∠FCD=∠DEG，∵∠FCE=∠FCD+∠GCE，∠CGE=∠DEG+∠GDE，∴∠GCE=∠GDE，∴EC=ED，設(shè)CE=m，則DE=m，，，，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線和三角形中位線定理等．熟練掌握相關(guān)定理，正確作出輔助線并能正確表示對(duì)應(yīng)線段的長度是解題關(guān)鍵．【變式】．（2022·江蘇江蘇·九年級(jí)期末）如圖1，是支架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，其中長為，長為，，．(1)點(diǎn)D到的距離為_____；(2)求點(diǎn)D到的距離．【答案】(1)6(2)【分析】（1）過點(diǎn)D作于F，則點(diǎn)D到的距離為DF的長度，根據(jù)題意得到，設(shè)，在中，，利用勾股定理即可求得答案；（2）過點(diǎn)B作于B，過點(diǎn)D作于H，過點(diǎn)D作于F，過點(diǎn)D作于G，則四邊形DFBH是矩形，點(diǎn)D到的距離是DG的長度，先證DF是BC的垂直平分線，又得，可證四邊形GHBF是正方形，即可得到，設(shè)，則，在中，利用勾股定理得出，在中，再利用銳角三角函數(shù)得出長度，即點(diǎn)D到的距離．（1）解：過點(diǎn)D作于F則點(diǎn)D到的距離為DF的長度設(shè)在中，即點(diǎn)D到的距離為6cm故答案為：6；（2）過點(diǎn)B作于B，過點(diǎn)D作于H，過點(diǎn)D作于F，過點(diǎn)D作于G則四邊形DFBH是矩形，點(diǎn)D到的距離是DG的長度由（1）得DF是BC的垂直平分線四邊形GHBF是正方形設(shè)，則在中，在中，所以，點(diǎn)D到的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、正方