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文檔簡介
專題23極化恒等式
【方法點撥】
極化恒等式:o/=;[(a+B)2一(。一&2].
說明:
(1)極化恒等式的幾何意義是:設(shè)點。是AABC邊3C的中點,則
ABAC=|ADI2--\BC\1=AD2-BD2,即:向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差.
4
(2)具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問題利用極化恒等式考慮尤為簡單,讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可
能,此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁,實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.
(3)遇到共起點的兩向量的數(shù)量積問題,常取第三邊的中點,從而運用極化恒等式加以解決.特別適合于
以三角形為載體,含有線段中點的向量問題.
【典型例題】
例1如圖,在△ABC中,。是BC的中點,E,尸是4。上兩個三等分點,BA-CA=4,BFCF=-1,
則而?區(qū)的值是.
7
【答案】-
8
【解析】設(shè)=DF=y
22
由極化恒等式得麗,國二通./=近2-防2=9y-%=4,
BFCF=FBFC=FD-BD'=y2-x2=-1
25
-
解之得可得9a-b=4,a-b=-1,因此尤?=一.8-
8
因止匕麗?在=麗?就=麗2—詼=49_尤2=__—=2.
888
點評:
緊緊把握極化恒等式使用條件,三次使用極化恒等式求解.
例2已知AABC是邊長為2的等邊三角形,P是平面ABC內(nèi)一點,則麗?(2而+無)的最小值為
7
【答案】
【分析】本題的難點在于如何將2方+無“二合一”?注意到兩向量共起點且其系數(shù)和為3,可利用三點
共線的方法將其“二合一”,然后使用極化恒等式.
___2__.1___
【解析】2PB+PC=3PD,則而=§而+gPC,。在BC上
所以PA.(2PB+PC)=3PA.PD
如圖,取BC中點為E,由極化恒等式得麗?麗=|而『-:西2
A9128
在AABD,由余弦定理得AD1=AB2+Bbi-2AB-BD-cosZABD=4+—―2-2------=—
9329
所以當(dāng)陷=0,即尸為AD中點時,(麗?麗匕=一]
_._._7
所以PA.QPB+PC)的最小值-葭此時P為?。局悬c.
例3如圖所示,矩形ABC。的邊48=4,AD=2,以點C為圓心,CB為半徑的圓與CD交于點E,若點P
是圓弧£5(含端點B、E)上的一點,則或PB的取值范圍是.
【答案】[8-8&,0]
【分析】取AB的中點設(shè)為0,則西?麗=西2-;網(wǎng)2=國2-4,然后利用平幾知識確定P0的取值范
圍,代入即可.
【解析】取的中點設(shè)為。,則麗.麗=|麗南『=|而L*
當(dāng)。、P、C共線時,尸。取得最小值為「0=2后—2;當(dāng)尸與8(或E)重合時,P。取得最大值為
PO=2,
所以西?麗的取值范圍是[8-8后,0].
例4半徑為2的圓。上有三點C,滿足殖+通+/=。,點P是圓內(nèi)一點,則可.而+而+無
的取值范圍是()
A.[-4,14)A(T,14]c.[T,4)D(T,4]
【答案】A
【分析】直接兩次使用極化恒等式即可.
【解析】由市+通+/=6得4S+正=正
在平行四邊形A50C中,OB=OC,
故易知四邊形A30C是菱形,且3C=百
設(shè)四邊形A50C對角線的交點為E
--?---?---*2]----2---*2
由極化恒等式得P4-PO=P石——AO=PE-1
4
--?---?——?2-1--*2——>2
PBPC=PE——BC=PE-3
4
^^PA-Jd+PB+PC=2PE2-4
因為P是圓內(nèi)一點,所以0W戶可<3
所以一4<2而2-4<14,W-4<PAPO+PB+PC<14,選A.
例5在AABC中,AC=2BC=4,ZACB為鈍角,M,N是邊上的兩個動點,且MN=1,若由1?國
3
的最小值為一,則cos/ACB=______.
4
1-375
【答案】-------
8
___.—?3
【分析】取的中點尸,由極化恒等式將“CM?CN的最小值為一”轉(zhuǎn)化為A5邊上的高。〃=1,然后利
4
用兩角差的的余弦公式求解.
【解析】取MN的中點P,則由極化恒等式得西.函=|國『一J兩2=|同
?:CMCN的最小值為-\CP\=1
4IImin
由平幾知識知:當(dāng)CP_LAB時,CP最小.
如圖,作CH_LA8,H為垂足,則CH=1
又AC=2BC=4,所以NB=30。,sinA=-
4
I-3J5
所以cosNAC3=cos(150°—A)=----------.
8
A
例6已知直角三角形ABC中,NA=90°,AB=2,AC=4,點尸在以A為圓心且與邊2C相切的圓上,則
旃?定的最大值為()
16+167516+8君1656
A.--------------B.-------------C.—D.—
5555
B
/一1
L
【答案】D
【解析】設(shè)中點為。,
則而?定=而2_:沅2所『_;/20=|囹2_5,
又因為|PDL=M4+r=逐+[=美,所以(而?k=£—5=?,
故選:D.
例7正方體ABCO-ABCQ棱長為2,E是棱A3的中點,尸是四邊形胴。。內(nèi)一點(包含邊界),
―.―.3
且FEFD=),當(dāng)三棱錐廠-AED的體積最大時,跖與平面山狙人所成角的正弦值為()
4
A.-B.叵C.—D.無
3352
【答案】A
?—■3
【分析】由條件所?即=——及極化恒等式入手,設(shè)的中點為G,貝U
4
2
FEFD=FG--DE=FG所以下石2=」,故點尸的軌跡是以G為球心,正為半徑的
44422
球被面所截得的半圓,當(dāng)點尸在半圓弧的最高點時,三棱錐b-AED的體積最大,此時易求得跖與
平面ABB,A所成角的正弦值為;.
【解析】設(shè)DE的中點為G,
2122S3
則由極化恒等式得庵?麗=時—_DE~=FG~=_―,
444
——-21
所以EG=—,
2
故點尸的軌跡是以G為球心,變?yōu)榘霃降那虮幻嫦嗨氐玫陌雸A,
2
當(dāng)點尸在半圓弧的最高點時,三棱錐尸-AED的體積最大,
此時易求得EF與平面ABB^所成角的正弦值為;.
【鞏固練習(xí)】
1.如圖,在平面四邊形ABC。中,。為2D的中點,且。4=3,0C=5.若兆方6=—7,K!|BC-DC=
2.矩形ABCD中,P為矩形A3CD所在平面內(nèi)一點,PA=3,PC=4,矩形對角線AC=6,則麗?兩
值為.
3.若平面向量a,5滿足|2a—例W3,則“3的最小值為.
4.已知平面向量a,b,e滿足|e|=l,ae=\,be=~2,\a+b\=2,那么a力的最大值為.
5.在AABC中,已知3C=2,AB?AC^1,則AABC面積的最大值是.
__.___>___,__,__,___?_uumuum
6.已知單位向量?A,PB,PC滿足2PA+3P3+3尸。=0,則A3-AC的值為()
7.已知研=1為=2,且向量函與無的夾角為120。,又|而|=1,則*.而的取值范圍為()
A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[-3,3]
8.已知平面向量a,瓦c滿足卜|=1,。?%g,a-c=2,|2^-c|=2,那么B-c的最小值為.
jr------
9.已知銳角A43C的外接圓的半徑為1,ZB=-,則84的取值范圍為.
6
10.在AABC中,A6=3,AC=4,ZBAC=60。,若。是AABC所在平面內(nèi)的一點,且AP=2,則麗?正
的最大值為.
11.已知點P是邊長為2g的正三角形ABC內(nèi)切圓上的一點,則麗的取值范圍為.
12.已知正方形ABC。的邊長為1,中心為。,直線/經(jīng)過中心。,交4B于點交CD于點、N,P為平面
上一點,若2加3=4協(xié)+(1-^)OC,則麗PN的最小值為.
13.設(shè)點尸為正三角形AABC的邊8c上的一個動點,當(dāng)麗PC取得最小值時,sin/BIC的值為.
14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A,3分別在x軸,y軸正半軸上移動,AB=2,若點尸滿足以PB=2,
則0P的取值范圍為.
15.在△ABC中,E,F分別是線段AB,AC的中點,點尸在直線上,若AABC的面積為2,則為PC+
BC之的最小值是.
16.在半徑為1的扇形A08中,若NAOB=60。,C為弧A8上的動點,A8與。C交于點P,則。尸的最小
值是.
17.如圖所示,正方體ABC。-ALBCLDI的棱長為2,MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之
間的線段稱為球的弦),P為正方體表面上的動點,當(dāng)弦MN的長度最大時,屈?麗的取值范圍是
18.已知球。的半徑為1,是球面上的兩點,且A3=若,若點。是球面上任意一點,則麗?麗的
取值范圍是()
13
A.2j_B.——C.D.
2,222°44
【答案或提示】
1.【答案】9
or)2____or)2
【提示】兩次使用極化恒等式,由麗?%萬=。4?-------得&)=8,BCDC=OC2---------=9.
44
2.【答案】一口
2
【提示】設(shè)矩形的對角線交點為0,由中.無=?。2一貯=。。2—9=匕£盤,得尸02=1,
422
TBPD=PO2-^-=--9=--.
422
3.【答案】Q上
8
【解析】根據(jù)極化恒等式得:8〃小=(2〃+力)2—(2a—力)2=(2〃+力)2_92—9,
99
故“?》》-一,所以a年的最小值為
88
4.【答案】一J
4
【提示】由a?e=l,be=12得:ae—be=3,即(0一力)e=3f|0一例cos0=3
a-ft=-[|?+ft|2—|a-6|2]^--
44
5.【答案】72
【提示】取BC的中點為。,則福?恁=-----,所以=0
4
因為8c邊上的高線長不大于中線長,當(dāng)中線就是高線時,面積最大,故AABC面積的最大值0.
6.【答案】A
__.__.2__.
【解析】2PA+3PB+3PC^0^:.RB+PC=--PA,
如圖,
設(shè)5C中點為D,則而=g(而+定)=—g可,且陷=閥=困|=1,
...P,A0三點共線,PD1BC,|PD|=||PC|=1,
/.△ABC為等腰三角形,
國寸一叵『半,
uiauumlUUittp|UUtti|2,4、2(7A/?Ys
:.AB-AC=\AD\-|CD|=^J=|.?:A.
7.【答案】C
【解析】連結(jié)4B,則48=2有設(shè)AB的中點為T,
由Q?麗=P/2—工至?=p/2—3,易知0WPTW2,所以一3WPT2—3W1
4
故—3W福?麗
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