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文檔簡介

專題23極化恒等式

【方法點撥】

極化恒等式:o/=;[(a+B)2一(。一&2].

說明:

(1)極化恒等式的幾何意義是:設(shè)點。是AABC邊3C的中點,則

ABAC=|ADI2--\BC\1=AD2-BD2,即:向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差.

4

(2)具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問題利用極化恒等式考慮尤為簡單,讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可

能,此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁,實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.

(3)遇到共起點的兩向量的數(shù)量積問題,常取第三邊的中點,從而運用極化恒等式加以解決.特別適合于

以三角形為載體,含有線段中點的向量問題.

【典型例題】

例1如圖,在△ABC中,。是BC的中點,E,尸是4。上兩個三等分點,BA-CA=4,BFCF=-1,

則而?區(qū)的值是.

7

【答案】-

8

【解析】設(shè)=DF=y

22

由極化恒等式得麗,國二通./=近2-防2=9y-%=4,

BFCF=FBFC=FD-BD'=y2-x2=-1

25

-

解之得可得9a-b=4,a-b=-1,因此尤?=一.8-

8

因止匕麗?在=麗?就=麗2—詼=49_尤2=__—=2.

888

點評:

緊緊把握極化恒等式使用條件,三次使用極化恒等式求解.

例2已知AABC是邊長為2的等邊三角形,P是平面ABC內(nèi)一點,則麗?(2而+無)的最小值為

7

【答案】

【分析】本題的難點在于如何將2方+無“二合一”?注意到兩向量共起點且其系數(shù)和為3,可利用三點

共線的方法將其“二合一”,然后使用極化恒等式.

___2__.1___

【解析】2PB+PC=3PD,則而=§而+gPC,。在BC上

所以PA.(2PB+PC)=3PA.PD

如圖,取BC中點為E,由極化恒等式得麗?麗=|而『-:西2

A9128

在AABD,由余弦定理得AD1=AB2+Bbi-2AB-BD-cosZABD=4+—―2-2------=—

9329

所以當(dāng)陷=0,即尸為AD中點時,(麗?麗匕=一]

_._._7

所以PA.QPB+PC)的最小值-葭此時P為?。局悬c.

例3如圖所示,矩形ABC。的邊48=4,AD=2,以點C為圓心,CB為半徑的圓與CD交于點E,若點P

是圓弧£5(含端點B、E)上的一點,則或PB的取值范圍是.

【答案】[8-8&,0]

【分析】取AB的中點設(shè)為0,則西?麗=西2-;網(wǎng)2=國2-4,然后利用平幾知識確定P0的取值范

圍,代入即可.

【解析】取的中點設(shè)為。,則麗.麗=|麗南『=|而L*

當(dāng)。、P、C共線時,尸。取得最小值為「0=2后—2;當(dāng)尸與8(或E)重合時,P。取得最大值為

PO=2,

所以西?麗的取值范圍是[8-8后,0].

例4半徑為2的圓。上有三點C,滿足殖+通+/=。,點P是圓內(nèi)一點,則可.而+而+無

的取值范圍是()

A.[-4,14)A(T,14]c.[T,4)D(T,4]

【答案】A

【分析】直接兩次使用極化恒等式即可.

【解析】由市+通+/=6得4S+正=正

在平行四邊形A50C中,OB=OC,

故易知四邊形A30C是菱形,且3C=百

設(shè)四邊形A50C對角線的交點為E

--?---?---*2]----2---*2

由極化恒等式得P4-PO=P石——AO=PE-1

4

--?---?——?2-1--*2——>2

PBPC=PE——BC=PE-3

4

^^PA-Jd+PB+PC=2PE2-4

因為P是圓內(nèi)一點,所以0W戶可<3

所以一4<2而2-4<14,W-4<PAPO+PB+PC<14,選A.

例5在AABC中,AC=2BC=4,ZACB為鈍角,M,N是邊上的兩個動點,且MN=1,若由1?國

3

的最小值為一,則cos/ACB=______.

4

1-375

【答案】-------

8

___.—?3

【分析】取的中點尸,由極化恒等式將“CM?CN的最小值為一”轉(zhuǎn)化為A5邊上的高。〃=1,然后利

4

用兩角差的的余弦公式求解.

【解析】取MN的中點P,則由極化恒等式得西.函=|國『一J兩2=|同

?:CMCN的最小值為-\CP\=1

4IImin

由平幾知識知:當(dāng)CP_LAB時,CP最小.

如圖,作CH_LA8,H為垂足,則CH=1

又AC=2BC=4,所以NB=30。,sinA=-

4

I-3J5

所以cosNAC3=cos(150°—A)=----------.

8

A

例6已知直角三角形ABC中,NA=90°,AB=2,AC=4,點尸在以A為圓心且與邊2C相切的圓上,則

旃?定的最大值為()

16+167516+8君1656

A.--------------B.-------------C.—D.—

5555

B

/一1

L

【答案】D

【解析】設(shè)中點為。,

則而?定=而2_:沅2所『_;/20=|囹2_5,

又因為|PDL=M4+r=逐+[=美,所以(而?k=£—5=?,

故選:D.

例7正方體ABCO-ABCQ棱長為2,E是棱A3的中點,尸是四邊形胴。。內(nèi)一點(包含邊界),

―.―.3

且FEFD=),當(dāng)三棱錐廠-AED的體積最大時,跖與平面山狙人所成角的正弦值為()

4

A.-B.叵C.—D.無

3352

【答案】A

?—■3

【分析】由條件所?即=——及極化恒等式入手,設(shè)的中點為G,貝U

4

2

FEFD=FG--DE=FG所以下石2=」,故點尸的軌跡是以G為球心,正為半徑的

44422

球被面所截得的半圓,當(dāng)點尸在半圓弧的最高點時,三棱錐b-AED的體積最大,此時易求得跖與

平面ABB,A所成角的正弦值為;.

【解析】設(shè)DE的中點為G,

2122S3

則由極化恒等式得庵?麗=時—_DE~=FG~=_―,

444

——-21

所以EG=—,

2

故點尸的軌跡是以G為球心,變?yōu)榘霃降那虮幻嫦嗨氐玫陌雸A,

2

當(dāng)點尸在半圓弧的最高點時,三棱錐尸-AED的體積最大,

此時易求得EF與平面ABB^所成角的正弦值為;.

【鞏固練習(xí)】

1.如圖,在平面四邊形ABC。中,。為2D的中點,且。4=3,0C=5.若兆方6=—7,K!|BC-DC=

2.矩形ABCD中,P為矩形A3CD所在平面內(nèi)一點,PA=3,PC=4,矩形對角線AC=6,則麗?兩

值為.

3.若平面向量a,5滿足|2a—例W3,則“3的最小值為.

4.已知平面向量a,b,e滿足|e|=l,ae=\,be=~2,\a+b\=2,那么a力的最大值為.

5.在AABC中,已知3C=2,AB?AC^1,則AABC面積的最大值是.

__.___>___,__,__,___?_uumuum

6.已知單位向量?A,PB,PC滿足2PA+3P3+3尸。=0,則A3-AC的值為()

7.已知研=1為=2,且向量函與無的夾角為120。,又|而|=1,則*.而的取值范圍為()

A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[-3,3]

8.已知平面向量a,瓦c滿足卜|=1,。?%g,a-c=2,|2^-c|=2,那么B-c的最小值為.

jr------

9.已知銳角A43C的外接圓的半徑為1,ZB=-,則84的取值范圍為.

6

10.在AABC中,A6=3,AC=4,ZBAC=60。,若。是AABC所在平面內(nèi)的一點,且AP=2,則麗?正

的最大值為.

11.已知點P是邊長為2g的正三角形ABC內(nèi)切圓上的一點,則麗的取值范圍為.

12.已知正方形ABC。的邊長為1,中心為。,直線/經(jīng)過中心。,交4B于點交CD于點、N,P為平面

上一點,若2加3=4協(xié)+(1-^)OC,則麗PN的最小值為.

13.設(shè)點尸為正三角形AABC的邊8c上的一個動點,當(dāng)麗PC取得最小值時,sin/BIC的值為.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A,3分別在x軸,y軸正半軸上移動,AB=2,若點尸滿足以PB=2,

則0P的取值范圍為.

15.在△ABC中,E,F分別是線段AB,AC的中點,點尸在直線上,若AABC的面積為2,則為PC+

BC之的最小值是.

16.在半徑為1的扇形A08中,若NAOB=60。,C為弧A8上的動點,A8與。C交于點P,則。尸的最小

值是.

17.如圖所示,正方體ABC。-ALBCLDI的棱長為2,MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之

間的線段稱為球的弦),P為正方體表面上的動點,當(dāng)弦MN的長度最大時,屈?麗的取值范圍是

18.已知球。的半徑為1,是球面上的兩點,且A3=若,若點。是球面上任意一點,則麗?麗的

取值范圍是()

13

A.2j_B.——C.D.

2,222°44

【答案或提示】

1.【答案】9

or)2____or)2

【提示】兩次使用極化恒等式,由麗?%萬=。4?-------得&)=8,BCDC=OC2---------=9.

44

2.【答案】一口

2

【提示】設(shè)矩形的對角線交點為0,由中.無=?。2一貯=。。2—9=匕£盤,得尸02=1,

422

TBPD=PO2-^-=--9=--.

422

3.【答案】Q上

8

【解析】根據(jù)極化恒等式得:8〃小=(2〃+力)2—(2a—力)2=(2〃+力)2_92—9,

99

故“?》》-一,所以a年的最小值為

88

4.【答案】一J

4

【提示】由a?e=l,be=12得:ae—be=3,即(0一力)e=3f|0一例cos0=3

a-ft=-[|?+ft|2—|a-6|2]^--

44

5.【答案】72

【提示】取BC的中點為。,則福?恁=-----,所以=0

4

因為8c邊上的高線長不大于中線長,當(dāng)中線就是高線時,面積最大,故AABC面積的最大值0.

6.【答案】A

__.__.2__.

【解析】2PA+3PB+3PC^0^:.RB+PC=--PA,

如圖,

設(shè)5C中點為D,則而=g(而+定)=—g可,且陷=閥=困|=1,

...P,A0三點共線,PD1BC,|PD|=||PC|=1,

/.△ABC為等腰三角形,

國寸一叵『半,

uiauumlUUittp|UUtti|2,4、2(7A/?Ys

:.AB-AC=\AD\-|CD|=^J=|.?:A.

7.【答案】C

【解析】連結(jié)4B,則48=2有設(shè)AB的中點為T,

由Q?麗=P/2—工至?=p/2—3,易知0WPTW2,所以一3WPT2—3W1

4

故—3W福?麗

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