廣西南寧二中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

南寧二中2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)（時間120分鐘，共150分）一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題僅有一個正確選項(xiàng).）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】根據(jù)交集含義即可得到，故選：B.2.命題：的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題“”的否定為“”.故選：C.3.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域求解即可.【詳解】由題意，要使函數(shù)有意義，則，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.4.若，則有（）A.最小值 B.最大值 C.最大值 D.不能確定【答案】B【解析】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)或4時，.所以當(dāng)時，，所以，即函數(shù)有最大值，無最小值.故選：B.5.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過換元法求得的解析式，代入即可.【詳解】因?yàn)椋?，，即，所?故選：B6.若定義在R的奇函數(shù)，若時，則滿足的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出時，、和的解，再由奇函數(shù)性質(zhì)得出時，、和的解，然后分類討論解不等式可得．【詳解】當(dāng)時，，時，，時，，，又是奇函數(shù)，所以時，，時，，且，不等式或或，所以或，綜上．故選：D．7.已知，，，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)?，，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即b<a<c.故選：A.8.若函數(shù)滿足對任意，且，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意可知，分段函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，分別限定各函數(shù)的單調(diào)性以及端點(diǎn)處的取值即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以需滿足，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分，每小題有多個正確選項(xiàng)，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯或不選得0分.）9.下列各組中表示相同集合的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)相同集合的意義，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對于A，集合M，P含有的元素相同，只是順序不同，由于集合的元素具有無序性，因此它們是相同集合，A是；對于B，因?yàn)?，則，因此集合M，P都表示所有偶數(shù)組成的集合，B是；對于C，，即，C是；對于D，因?yàn)榧螹的元素是實(shí)數(shù)，集合P中元素是有序?qū)崝?shù)對，因此集合M，P是不同集合，D不是.故選：ABC10.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式互化運(yùn)算，指數(shù)與對數(shù)互化運(yùn)算逐一判斷每一選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，故A正確；對于B，因?yàn)?，故B錯誤；對于C，因?yàn)椋?，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD.11.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，使函數(shù)的定義域?yàn)榈囊粋€充分不必要條件可能是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由題意可得對于恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)充分不必要條件的定義求解即可.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，可知對于恒成立，?dāng)時，，恒成立；當(dāng)時，，即.綜上所述，，根據(jù)充分不必要條件的定義可知，滿足題意的有，.故選：CD.12.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.的最小值為6B.最小值為3C.的最小值為D.的最小值為8【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式，結(jié)合一元二次不等式解法判斷AB；由的范圍結(jié)合單調(diào)性判斷C；變形給定等式，利用基本不等式求解判斷D.【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，對于A，，則，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為6，A正確；對于B，，則，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以最小值為9，B錯誤；對于C，由選項(xiàng)B知，，，所以當(dāng)時，取得最小值，C正確；對于D，由，得，而，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由，解得，所以當(dāng)時，取得最小值，D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在運(yùn)用基本不等式時，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件.三、填空題（每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實(shí)數(shù)______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)系數(shù)為1得到方程，求出或，結(jié)合單調(diào)性舍去，得到答案.【詳解】由題意得，解得或，當(dāng)時，，在上遞增，滿足要求，當(dāng)時，，在上遞減，不合要求，故.故答案為：314.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為______.【答案】（或）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：（或）15.已知命題：，.若命題為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】寫出命題的否定，則為真命題，從而得到，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】命題：，，則：，，因?yàn)槊}為假命題，所以命題為真命題，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：16.定義區(qū)間（），（]，的長度均為，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如（1，2）[3，5）的長度，設(shè)，其中[]表示不超過的最大整數(shù)，例如[1.3]=1，[-1.4]=-2；[3]=3，{}=-[].若用表示不等式解集區(qū)間的長度，則當(dāng)[-2021，2021]時，d=___________；【答案】【解析】【分析】根據(jù)將化為，對按三種情況進(jìn)行分類討論求得不等式的解集，從而可求得.【詳解】因?yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù)，所以，即，不等式即等價于，即（*），①當(dāng)，即時，不等式（*）化為，即，不成立.②當(dāng)，即時，不等式（*）恒成立.③當(dāng)，即時，不等式（*）化為恒成立.所以不等式在區(qū)間上的解集為，.故答案為：【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義的題目，解題關(guān)鍵點(diǎn)是圍繞著新定義的概念和運(yùn)算進(jìn)行分析.四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.，，，.（1）分別求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，進(jìn)而根據(jù)交集、并集及補(bǔ)集的定義計(jì)算即可；（2）由題意可得，進(jìn)而結(jié)合包含關(guān)系求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，又或，所以?【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.18.求證：是是等邊三角形的充要條件.（這里，，是的三邊邊長）.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)充分性與必要性定義證明即可.【詳解】先證明充分性：由，得，整理得，，所以，即等邊三角形.然后證明必要性：由是等邊三角形，則，所以.綜上所述，是是等邊三角形的充要條件.19.已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，并且滿足（1）求的值.（2）判斷函數(shù)的奇偶性.（3）若，求x的取值范圍.【答案】（1）0;（2）奇函數(shù);（3）.【解析】【分析】(1)令,即可得答案；(2)令y=－x,結(jié)合(1)的結(jié)論即可判斷；(3)由題意可得，，則原不等式等價于，由是定義在R上的增函數(shù)求解即可.【小問1詳解】解：令,得，解得；【小問2詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，令y=－x,則有，即，∴，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)；【小問3詳解】解：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，即有，即，又因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，解得，故x的取值范圍為.20.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)值時，其解集為，求與的值；（2）若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解法及韋達(dá)定理即得；（2）分，，討論，然后結(jié)合條件即得.【小問1詳解】由題意可知的解集為，所以，即；【小問2詳解】由，可得，①當(dāng)時，不等式的解集為，若的解集中恰有兩個整數(shù)解，則；②當(dāng)時，不等式的解集為，若的解集中恰有兩個整數(shù)解，；③當(dāng)時，不等式的解集為，不合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．21.使太陽光射到硅材料上產(chǎn)生電流直接發(fā)電，以硅材料的應(yīng)用開發(fā)形成的光電轉(zhuǎn)換產(chǎn)業(yè)鏈條稱之為“光伏產(chǎn)業(yè)”.某農(nóng)產(chǎn)品加工合作社每年消耗電費(fèi)萬元.為了節(jié)約成本，計(jì)劃修建一個可使用年的光伏電站，并入該合作社的電網(wǎng).修建光伏電站的費(fèi)用（單位：萬元）是關(guān)于面積（單位：）的正比例函數(shù)，比例系數(shù)為.為了保證正常用電，修建后采用光伏電能和常規(guī)電能互補(bǔ)的供電模式用電.設(shè)在此模式下，當(dāng)光伏電站的太陽能面板的面積為（單位：）時，該合作社每年消耗的電費(fèi)為（單位：萬元，為常數(shù)）.記該合作社修建光伏電站的費(fèi)用與16年所消耗的電費(fèi)之和為（單位：萬元）.（1）求常數(shù)的值，并用表示；（2）該合作社應(yīng)修建多大面積的太陽能面板，可使最小?并求出最小值.【答案】（1），，（2）修建的太陽能面板可使最小，的最小值為90萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出的值，進(jìn)而建立函數(shù)模型運(yùn)算即可得解；（2）利用函數(shù)模型、基本不等式運(yùn)算即可得解.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，，解得，所以，.【小問2詳解】因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以該合作社應(yīng)修建的太陽能面板，可使最小，的最小值為90萬元.22.已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值，最小值.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，且，如果對任意都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而求解即可；（2）令，由題意轉(zhuǎn)為問題為成立，進(jìn)而結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（3）由題意轉(zhuǎn)為問題為恒成立，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由題意，函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以函數(shù)在上單