甘肅省白銀市平川區(qū)中恒學(xué)校2023-2024學(xué)年高三畢業(yè)班第十七模數(shù)學(xué)試題

甘肅省白銀市平川區(qū)中恒學(xué)校2023-2024學(xué)年高三畢業(yè)班第十七模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，，，則（）A． B．C． D．2．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．3．已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．C． D．4．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．65．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．7．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．8．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．49．2019年10月17日是我國(guó)第6個(gè)“扶貧日”，某醫(yī)院開(kāi)展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng)，現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()A．18種 B．20種 C．22種 D．24種10．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，若，則雙曲線漸近線的斜率為（）A． B． C． D．11．某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無(wú)理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)（如圖），然后向矩形內(nèi)投入粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒，則無(wú)理數(shù)的估計(jì)值是（）A． B． C． D．12．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，BC，的中點(diǎn)，M為棱AD的中點(diǎn)，設(shè)P，Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足平面EFG，，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則＝_______．14．某部門(mén)全部員工參加一項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng)，按年齡分為三組，其人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，若組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該部門(mén)員工總?cè)藬?shù)為_(kāi)_________.15．在中，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)，，則________（用，表示）16．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，是該拋物線上的兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，．（1）求；（2）若，，求，．18．（12分）已知，函數(shù).（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：對(duì)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，總有成立.19．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.20．（12分）如圖，已知三棱柱中，與是全等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．21．（12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，，求的周長(zhǎng).22．（10分）等差數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且其中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請(qǐng)選擇一個(gè)可能的組合，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記（1）中您選擇的的前項(xiàng)和為，判斷是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若有，請(qǐng)求出的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，即；指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則；指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則.綜上所述，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來(lái)比較，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長(zhǎng)求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側(cè)棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長(zhǎng)為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關(guān)系．掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3、B【解析】

方法一：令，則，，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴時(shí)，，，且，∴，即在上單調(diào)遞增，時(shí)，，，且，∴，即在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，∴滿足題意；當(dāng)時(shí)，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，，所以，這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點(diǎn)，須在的左側(cè)附近，，即；在的右側(cè)附近，，即．易知，時(shí)，與相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)與的圖象關(guān)系，可得，故選B．4、C【解析】

根據(jù)列方程，由此求得的值，進(jìn)而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，可得關(guān)于a的不等式組，解得a的范圍.【詳解】，由其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，得，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對(duì)取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【詳解】對(duì)命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識(shí)記真值表，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項(xiàng)，又由，所以．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

設(shè)直線AB的方程為，代入得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當(dāng)Q，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可知拋物線的焦點(diǎn)為，則直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，代入得：.由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當(dāng)Q，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意取最值的條件.9、B【解析】

分兩類：一類是醫(yī)院A只分配1人，另一類是醫(yī)院A分配2人，分別計(jì)算出兩類的分配種數(shù)，再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類：第一類：若醫(yī)院A只分配1人，則乙必在醫(yī)院B，當(dāng)醫(yī)院B只有1人，則共有種不同分配方案，當(dāng)醫(yī)院B有2人，則共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時(shí)，共有種不同分配方案；第二類：若醫(yī)院A分配2人，當(dāng)乙在醫(yī)院A時(shí)，共有種不同分配方案，當(dāng)乙不在A醫(yī)院，在B醫(yī)院時(shí)，共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時(shí)，共有種不同分配方案；共有20種不同分配方案.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用，在做此類題時(shí)，要做到分類不重不漏，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道中檔題.10、C【解析】

如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，計(jì)算，，，，根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：切點(diǎn)為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據(jù)勾股定理：，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.11、D【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式，解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點(diǎn)，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、C【解析】

把截面畫(huà)完整，可得在上，由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對(duì)稱性可得的最小值．【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，易證共面，即平面為截面，連接，由中位線定理可得，平面，平面，則平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．正方體中平面，從而有，∴，∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓（圓在正方形內(nèi)的部分）上，顯然關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，∴所求最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問(wèn)題，解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn)，第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡，第三個(gè)難點(diǎn)是利用對(duì)稱性及圓的性質(zhì)求得最小值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用求出公差，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，?所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問(wèn)題的通性通法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù)，即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人，則組中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴該部門(mén)員工總共有人.故答案為：60.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡(jiǎn)單應(yīng)用，古典概型概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為用向量表示，即可得到結(jié)果．【詳解】在中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過(guò)幾何條件向基底轉(zhuǎn)化．16、2【解析】

運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離，然后求解結(jié)果.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，則，所以，則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運(yùn)用，本題較為基礎(chǔ).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2），或，.【解析】

（1）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化原式為，結(jié)合，可得，即得解；（2）由余弦定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，可得解【詳解】（1）由及正弦定理得．因?yàn)?，所以，代入上式并化?jiǎn)得．由于，所以．又，故．（2）因?yàn)?，，，由余弦定理得?所以．而，所以，為一元二次方程的兩根．所以，或，．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離得在上恒成立.設(shè)，求出即可得到參數(shù)的取值范圍；（2）不妨設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)在上是減函數(shù)，即可得證；【詳解】解：（1）∵∴，且函數(shù)在上為減函數(shù)，即在上恒成立，∴在上恒成立.設(shè)，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，，，則，∴.∵，∴，又，令，∴，∴在上為減函數(shù)，∴，∴，即，∴在上是減函數(shù)，∴，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，.∵，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）依題意，得，，由此能求出橢圓C的方程.（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，設(shè)，由于點(diǎn)在橢圓C上，故，由，知，由此能求出圓T的方程.（3）設(shè)，則直線MP的方程為：，令，得，同理：，由此能證明為定值.【詳解】（1）依題意，得，，，故橢圓C的方程為.（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，設(shè)，由于點(diǎn)在橢圓C上，所以，由，則，.由于，故當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以，故，又點(diǎn)在圓T上，代入圓的方程得到.故圓T的方程為：（3）設(shè)，則直線MP的方程為：，令，得，同理：.故又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故，代入上式得：，所以【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問(wèn)題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】

（1）取BC的中點(diǎn)O，則，由是等邊三角形，得，從而得到平面，由此能證明（2）以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結(jié)果.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連接，，由于與是等邊三角形，所以有，，且，所以平面，平面，所以．（2）設(shè)，是全等的等邊三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，又平面的一個(gè)法向量為，所以二面角的