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第06講第六章數(shù)列章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷
(19題新題型)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(23-24高二下?河南安陽?期中)已知數(shù)列{%}的前5項(xiàng)依次為2,2&,2也,4,2君,
按照此規(guī)律,可知4=()
A.8B.12C.16D.32
2.(23-24高二下?甘肅慶陽?期中)已知等比數(shù)列{瑪}的公比為4,則%:%:%的值
為()
A.4B.-C.—D.16
416
2
3.(2024高二?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù),且等比數(shù)列{/}滿足的陽23=1,
則〃4)+/&)+…+/(生024)=C)
A.2024B.1012C.2D.-
2
4.(24-25高二上?全國(guó)?隨堂練習(xí))“珠算之父”程大位是我國(guó)明代著名的數(shù)學(xué)家,他的
應(yīng)用巨著《算法統(tǒng)宗》中有一首“竹筒容米”問題:“家有九節(jié)竹一莖,為因盛米不均平,下
頭三節(jié)六升六,上梢四節(jié)四升四,唯有中間兩節(jié)竹,要將米數(shù)次第盛,若有先生能算法,也
教算得到天明(注:六升六:6.6升,次第盛:盛米容積依次相差同一數(shù)量)用你所學(xué)的
數(shù)學(xué)知識(shí)求得中間兩節(jié)竹的容積為()
A.3.4升B.2.4升C.2.3升D.3.6升
5.(23-24高二下?內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習(xí))數(shù)列滿足%=1,%=31+1,n>2,
則。“=()
3"1?3"1c30T1「3"+11
AA.--------B.----1—C.----------D.------1—
22222222
6.(23-24高二下?河北張家口?開學(xué)考試)已知等差數(shù)列{叫,《,=T048,其前"項(xiàng)和
為九若黑-強(qiáng)=4,則邑磔=()
ZUlo
A.0B.20242C.2025D.20252
7.(2025?廣東?一模)斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入,又稱“兔
子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義:設(shè){4}為斐波那契數(shù)列,
13.(24-25高二上?福建龍巖?階段練習(xí))已知數(shù)列{4},{"}均為等差數(shù)列,且其前"
S2n+l出
項(xiàng)和分另為s”和若消n=17,貝.
1?n+2o7
14.(23-24高一下?上海?期中)將正整數(shù)〃分解成兩個(gè)正整數(shù)除網(wǎng)的積,即〃=勺?月,
當(dāng)熊左2兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí),我們稱其為最優(yōu)分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5
即為20的最優(yōu)分解,當(dāng)勺&是"的最優(yōu)分解時(shí),定義〃")="-耳,則數(shù)列"(5")}的前
2023項(xiàng)和為.
四、解答題:本題共5小題,其中第15題13分,第16,17題15分,第18,19題17分,
共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(24-25高三上?山東日照?開學(xué)考試)已知數(shù)列{為}滿足q=2,^=—.
ann
⑴求數(shù)列{鞏}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)b?=------,求數(shù)列也}的前幾項(xiàng)和S”.
an,an+2
16.(24-25高二上?全國(guó).課后作業(yè))己知數(shù)列{%}滿足q=2,%=8,且
2%=—+%(〃?N,此2).
(1)求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)于VmeN+,將數(shù)列{4}中落在區(qū)間但力為)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為公,求數(shù)列也}的
通項(xiàng)公式.
17.(23-24高二下?四川德陽?期末)數(shù)列{廝}的前"項(xiàng)和為S“,且S“=2(a”—1).
(1)求證:數(shù)列{即}為等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
,a1
(2)令2=(4+1)(%”+]),數(shù)列{b}的前〃項(xiàng)和為求證:Tn<-.
18.(2024高二?全國(guó)?專題練習(xí))己知數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和S“=g(l-qJ(“eN*).若
2+6,=3logy“,且數(shù)列{c“}滿足%=a??2.
⑴求證:數(shù)列也}是等差數(shù)列;
(2)求證:數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和〈<];
(3)若對(duì)一切“eN*恒成立,求實(shí)數(shù)/的取值范圍.
19.(24-25高三上?安徽蚌埠?開學(xué)考試)如果數(shù)列{見}的任意相鄰三項(xiàng)a,T,火,滿
足以4包<由i>2,zeN),則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”.
(1)已知{%}是正項(xiàng)等比數(shù)列,也}是等差數(shù)列,且4=4=1,1+。3二4+”,
h
〃2+2=4-記1g=1?
□求數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和;
口判斷數(shù)列{5}是不是“凸數(shù)列”,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)"項(xiàng)正數(shù)數(shù)列4,%,4是“凸數(shù)列”,求證:
與其中〃>2,
>N.
第06講第六章數(shù)列章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷
(19題新題型)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(23-24高二下?河南安陽?期中)已知數(shù)列{%}的前5項(xiàng)依次為2,2忘,2迅,4,2班,
按照此規(guī)律,可知陽=()
A.8B.12C.16D.32
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】觀察法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】利用觀察法求出數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式即可得解.
【詳解】數(shù)列{?}的前5項(xiàng)依次為2,2立262/2卡,則%=26,
所以%=2>/16=8.
故選:A
z、vi-oIICT-T
2.(23-24局二下?甘肅慶陽?期中)已知等比數(shù)列{%}的公比為4,則357的值
'^^4vZz-
為()
A.4B.-C.—D.16
416
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】利用等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即得.
【詳解】因等比數(shù)列幾}的公比為4,故京京力…』
故選:A.
2
3.(2024高二?全國(guó)?專題練習(xí))己知函數(shù)"X)=,且等比數(shù)列{an}滿足a2a2023=1,
則f(4)+f(%)+…+〃%024)=()
A.2024B.1012C.2D.-
2
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)題意易知尤)+/=2,再利用等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】易知?。?/[小卷+三=2,
又。2a2023=1,所以■/'(%)+”出023)="42)+/-=2.
\a2)
因?yàn)椋??}為等比數(shù)列,所以%。2024=a2a2023=…=^012?1013=1,
所以“卬)+“出)+…+"&24)=1。12*[〃2)+”的。23)]=1012x2=2024.
故選:A
4.(24-25高二上?全國(guó)?隨堂練習(xí))“珠算之父”程大位是我國(guó)明代著名的數(shù)學(xué)家,他的
應(yīng)用巨著《算法統(tǒng)宗》中有一首“竹筒容米”問題:“家有九節(jié)竹一莖,為因盛米不均平,下
頭三節(jié)六升六,上梢四節(jié)四升四,唯有中間兩節(jié)竹,要將米數(shù)次第盛,若有先生能算法,也
教算得到天明(注:六升六:6.6升,次第盛:盛米容積依次相差同一數(shù)量)用你所學(xué)的
數(shù)學(xué)知識(shí)求得中間兩節(jié)竹的容積為()
A.3.4升B.2.4升C.2.3升D.3.6升
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】根據(jù)題意建立數(shù)列模型,由等差數(shù)列定義可求得首項(xiàng)和公差,即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)從下至上各節(jié)的容積分別為4,%,L,%,
由題意知{%}為等差數(shù)列,公差為d,
%+%+%=6.63%+3d=6.6
因?yàn)橐唬?/p>
+%+/+“9=4?444+264=4.4'
a=2.4
解得x
d=-0.2
所以。4+%=2q+7d=3.4.
故選:A
5.(23-24高二下?內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習(xí))數(shù)列{%J滿足%=1,?!?3%+1,n>2,
則%=()
3"1c3"1.3"T1r3"+I1
AA.--------B.1—C.----------D.------1—
22222222
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明等比
數(shù)列
【分析】根據(jù)遞推公式,構(gòu)造等比數(shù)列得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)椋?3%+1,
所以?!?萬=3%―1+1+—,
&+j_
所以見+;=3卜"1+],^^=3,
a,1-l+2
所以""+:=3+畀31=33』(
乙\乙J乙乙
3〃—1
所以%=(一?
故選:A.
6.(23-24高二下?河北張家口?開學(xué)考試)已知等差數(shù)列{%},^=-4048,其前"項(xiàng)和
為心若黑一號(hào)="貝"2您=()
ZUlo
A.0B.20242C.2025D.20252
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和
的基本量計(jì)算
【分析】借助等差數(shù)列求和公式結(jié)合題意計(jì)算可得{%}的公差,即可得Szg.
【詳解】設(shè)數(shù)列{??}的公差為d,則Sn=[24+(;T>]",
故相=[2x(-4048)+19i/]x2019
-------------------------------=—4048H-----d,
202x202
P2x(-4048)+17^1x1817
兒J=一-----』--------J—=一4048+」d
182x182
[2x(-4048)+2024x4]x2025
故瑞喂=d=4,則§2025二
-0,
2
故選:A.
7.(2025?廣東?一模)斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入,又稱“兔
子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義:設(shè){為}為斐波那契數(shù)列,
1(1+J5Y(1-J5
其通項(xiàng)公式為q二木T--------A
q=l,a2=l,an=an_x+an_2(n>3,nGN")設(shè)
V5k2Jk2
〃是log2[(l+6-(1-⑹[<x+4的正整數(shù)解,貝!J〃的最大值為()
A.5B.6C.7D.8
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、遞推數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
【分析】利用給定條件結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造白、24,兩側(cè)同時(shí)平方求最值即可.
【詳解】由題知〃是logjd+石廠一(1一百)[<x+4的正整數(shù)解,
故log2[(1+6)"一(1一石)[<〃+4,
取指數(shù)得(1+石),-(1-君)”<2"+4,
即可<2*24,
根據(jù){an}是遞增數(shù)列可以得到{W}也是遞增數(shù)列,
于是原不等式轉(zhuǎn)化為*<gx28<52.
而生=5,&=8可以得到滿足要求的n的最大值為5,故A正確.
故選:A
8.(23-24高二上?上海嘉定?階段練習(xí))已知無窮等比數(shù)列{%}的公比為4,前"項(xiàng)和
為s“,且!吧S,=s,下列條件中,使得2SR<S5eN,〃>l)恒成立的是()
A.>0,0.6<q<0.7B.q<0,—0.7<q<—0.6
C.%>0,0.7<0.8D.<0,-0.8<q<-0.7
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的極限、無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列不等式恒
成立問題
【分析】首先判斷#1,根據(jù)為無窮遞縮等比數(shù)列可得好(-L,0)50」),再就
%<0,%>0分類討論后可得4的取值范圍,即可判斷.
【詳解】若4=1,則S"=叫,不滿足吧S”S,旦川>1顯然不合題設(shè),所以時(shí)<1且
4W0;
所以5“=4,因?yàn)?=吧5,=5^,則
又對(duì)任意的〃eN*,2s“<S,即2“1/)<包,即2?,。一二)<色,
1—ql—q
若…,則2。-即/>;對(duì)任意的〃eN*恒成立,
當(dāng)0.6<4<0.7或0.7<g<0.8時(shí),當(dāng)〃-時(shí)夕〃.0,
所以對(duì)任意的“eN*,g”>g不恒成立,故A,C錯(cuò)誤;
當(dāng)6<0,則2。-即對(duì)任意的〃eN*恒成立,
當(dāng)〃=2時(shí),若一0.8<4<—0.7,貝I]0.49cq2<0.64,故D不恒成立,
所以%<0,—0.7<夕<一0.6,滿足.
故選:B.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合
題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.(23-24高二下?安徽?階段練習(xí))設(shè){%}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,4是其公比,T“是
其前"項(xiàng)的積,且<<?;,T1=TS>T9,則下列結(jié)論正確的是()
A.0<q<lB.Tl0>T6
c.gD.4與”均為(的最大值
【答案】ACD
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】根據(jù)題意,由等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng),即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意,{4}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,4是其公比,[是其前〃項(xiàng)的積,
由4=4可得/*=1,故C正確;
由可得%>1,則4=;(0,1),故A正確;
{%}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,4?0,1),
則有6>出>>a7>a8=1>a9>a10>,
對(duì)于B,?=%。8。洶0=(小。9『=。;<1,則有幾<",故B錯(cuò)誤,
對(duì)于D,.<丁7="〉丁9〉見,,則心與n均為/的最大值,D正確.
故選:ACD
10.(23-24高二下?內(nèi)蒙古?期末)已知等差數(shù)列{?!埃那啊?xiàng)和為篦,等比數(shù)列也}的
前〃項(xiàng)積為r“,則()
A.{q々}可能為等差數(shù)列B.{%,}不可能為等比數(shù)列
C.是等差數(shù)列D.13,是等比數(shù)列
【答案】AC
【知識(shí)點(diǎn)】判斷等差數(shù)列、由定義判定等比數(shù)列
【分析】對(duì)于AB,舉例判斷,對(duì)于C,根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合題意分析判斷,對(duì)于
D,根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合題意分析判斷,
【詳解】對(duì)于A,當(dāng)他“}為常數(shù)列時(shí),因?yàn)椋?}為等差數(shù)列,所以{“/,}為等差數(shù)歹U,
所以A正確.
對(duì)于B,當(dāng){%}為常數(shù)列,且q產(chǎn)。時(shí),因?yàn)橐玻堑缺葦?shù)列,所以{%〃,}為等比數(shù)列,
所以B錯(cuò)誤.
對(duì)于C,設(shè)也“}的公差為4,則"=叼+亞@1,得2=4+也卻“,
2n2
因?yàn)檗{-所以數(shù)列是等差數(shù)列,所以c正確.
H+1n2InJ
Tn+l
,、on+iT3nb1
對(duì)于D,設(shè)也}的公比為4,則圣=瑞.書=號(hào)=/心
3〃
當(dāng)qwl時(shí),不是常數(shù),所以不是等比數(shù)列,所以D錯(cuò)誤.
故選:AC
11.(24-25高三上?江西贛州?開學(xué)考試)設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為4,其前"項(xiàng)和為S“,
前?項(xiàng)積為T?,并滿足條件:%>1,%。24%。25>1,&嗯<°,下列結(jié)論正確的是()
“2025—1
A.S2024VS2025
B.12024”2026<1
C.心網(wǎng)是數(shù)列{1}中的最大值
D.數(shù)列{1}無最大值
【答案】ABC
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列的
單調(diào)性
【分析】根據(jù)條件。2024。2。25>1判斷4>。,分4上1和。<4<1兩情況討論—4<°得
°202511
成立與否得出。<q<l,即可判斷A;對(duì)于B,利用A的結(jié)論和等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)即可判定;
對(duì)于C,D,由前面推得的%024>1,°<%025<1即可判斷.
【詳解】對(duì)于A,由血吟<0可得,(為3T)(%儂-1)<。(*),
“20251
由4024?2025=a'">1,可得4>°.
當(dāng)”1時(shí),因%>1,則電024>1,。2025>1,即(*)不成立;
當(dāng)0<4<1時(shí),劭3>1,°<。2025<1,(*)成立,故$2024<§2025,即A正確;
對(duì)于B1因%024。2026—1=。2025-1<。,故B正確;
對(duì)于C,D,由上分析出024>1,。<%必<1,且。<4<1,則4)24是數(shù)列{1}中的最大值,
故C正確,D錯(cuò)誤.
故選:ABC.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.(2024高二?全國(guó)?專題練習(xí))已知數(shù)列,/I1的前〃項(xiàng)和可=己”的值
[yjn+y/n+l)
為.
【答案】99
【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和
【分析】由裂項(xiàng)求和法求和,列方程即可求解.
[詳解]—冊(cè)+G=(標(biāo)+冊(cè)冊(cè)廣一品'
_sn=(72-71)+(>/3-^+.+(7^-^=Vn+T-7T=>/n+l-l.
由5“=疝1一1=9,解得"=99.
故答案為:99
13.(24-25高二上?福建龍巖?階段練習(xí))已知數(shù)列{%},圾}均為等差數(shù)列,且其前“
S“2〃+1出
項(xiàng)和分別為S“和&若蕾=F",貝|廣=______.
〃
ln+2勘7
【答案】I9
【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問題
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)/,結(jié)合條件求出答案
"7
即可.
,、,、S/2〃+1
【詳解】因?yàn)橐?},{2}為等差數(shù)列,且于=二7,
13(q+〃i3)
所以生=2%_ai+%3____2____
b]2b7偽+九13伍+九)
2
_S^_2x13+1_27_9
~T^~13+2-15-5,
Q
故答案為:—.
14.(23-24高一下?上海?期中)將正整數(shù)〃分解成兩個(gè)正整數(shù)解質(zhì)的積,即〃=匕次2,
當(dāng)除心兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí),我們稱其為最優(yōu)分解汝口20=1x20=2x10=4x5,其中4x5
即為20的最優(yōu)分解,當(dāng)左&是〃的最優(yōu)分解時(shí),定義國(guó),則數(shù)列"(5")}的前
2023項(xiàng)和為.
【答案】51012-1/-1+51012
【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和
【分析】分"為奇數(shù)和偶數(shù),按照最優(yōu)分解定義,求數(shù)列{/⑺}的通項(xiàng),再求和.
【詳解】當(dāng)〃=2左,eN*)時(shí),52k=5kx5k,則/(52&)=忙一54=0,
當(dāng)〃=2k—1(左eN*)時(shí),5附=5"Tx5*,貝U/(5?i)=4—5A-||=54-5"、
故數(shù)歹ll{f(5")}的前2023項(xiàng)和為
23210111010101210111012
(5_1)+0+(5-5)+0+(5-5)++(5-5)+O+(5-5)=5-1.
故答案為:51012-1.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是對(duì)新概念的理解,并對(duì),分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)
行討論,從而得到數(shù)列{/(5")}的通項(xiàng)公式.
四、解答題:本題共5小題,其中第15題13分,第16,17題15分,第18,19題17分,
共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(24-25高三上?山東日照?開學(xué)考試)已知數(shù)列{%}滿足卬=2,&旦=葉1.
ann
⑴求數(shù)列也"}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)/=------,求數(shù)列出}的前〃項(xiàng)和S,I.
an'an+2
【答案】⑴4=2〃
32〃+3
⑵"-4-2(?+1)(?+2)
【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)
【分析】(1)采用累乘法直接求解即可;
(2)由(1)可得切,采用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.
a?n
【詳解】(1)由題意知:當(dāng)“22時(shí),j=-7,
n
..ci—................a.3..,—a2?a,=-----x???x—3x—2x2=2H.
an_xa2aln-121
當(dāng)〃=1時(shí),q=2滿足4=2n;
綜上所述:an=2n.
工心74411(11}
==
(2)由(1)知:bn=―0//~二,
an-an+22〃?2(〃+2)磯〃+2)2\nn+2)
.iriiiiiiiii)
..Sc=-1—I--------1----------1—I----------------1-------------
”2132435n-1n+1nn+2)
=+_____1132〃+3
2(2M+1n+2)42(71+1)(/J+2),
16.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知數(shù)歹!]{4}滿足q=2,%=8,且
2q,=a“_i+a“+i(neN+,,N2).
⑴求數(shù)列{叫的通項(xiàng)公式;
m2m
(2)對(duì)于VWeN+,將數(shù)列{4}中落在區(qū)間(3,3)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求數(shù)列{〃“}的
通項(xiàng)公式.
【答案】(1)%=3"T
2m
(2)bm=3~'
【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算
【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可;
(2)通過解不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】(1)當(dāng)“22時(shí),。用一%為等差數(shù)列,設(shè)公差為d.
—6—2d,.',d—3,an=2+3(/z—=—1.
(2)由(1)得3'"<3〃_1<3筋',A3,^1+|<n<32^1+1,
.-.n=3m-'+l,3小+2,3"i+3,…,32m-1.
17.(23-24高二下?四川德陽?期末)數(shù)列{斯}的前〃項(xiàng)和為S“,且邑=2(%-1).
(1)求證:數(shù)列{&J為等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
7an1
⑵令或=日產(chǎn)])值J。,數(shù)列{b}的前〃項(xiàng)和為.求證:Tn<-.
【答案】(1)證明見解析,?!?2”
(2)證明見解析
(3)先證明數(shù)列c”為遞減數(shù)列,求出最大值,再解一元二次不等式求解即可;
【詳解】(1)由題意知
當(dāng)〃之2時(shí),鼠_1=;〃1一3%,所以
當(dāng)〃=1時(shí),Si=;—;q=%,所以4二;,
所以數(shù)列{?!埃且浴稙槭醉?xiàng),!為公比的等比數(shù)列,所以%
因?yàn)?+外=31笠?!?,所以勿=31og|a“-2=31og]]]-2=3〃-2,
4八4/
所以優(yōu)=1,令4=6[+(〃-1",可得4=3,
所以數(shù)列{〃}是以1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列.
n
⑵由(1)知g=。"/“=Ix(3〃-2),
所以<=q+Q+
X(3〃-5)+x(3n-2),
兩式相減,可得+X3+WX3+
1c3〃—2
=一+3x
44〃+i
ma,23n+2(1Y
所以雹=3一——xl4I)所以(〈§?
(3)若g4;(『+1)對(duì)一切〃eN*恒成立,只需要c“的最大值小于或等于:(『+1).
因?yàn)镃“M_C“=(3〃+1)X]£|一(3〃+2)X]£|=1_2!L<O,
所以9=,2>。3>。4>,所以數(shù)列{5}的最大項(xiàng)為。和。2,且。1=。2=;.
所以54;儼+1),即/+”220,
解得出1或y-2,即實(shí)數(shù)f的取值范圍是(9,-2]」1,心).
19.(24-25高三上?安徽蚌埠?開學(xué)考試)如果數(shù)列{4}的任意相鄰三項(xiàng)%,滿
足生乎用<aj(i>2,ieN),則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”.
(1)已知{4}是正項(xiàng)等比數(shù)列,也}是等差數(shù)列,且q=4=1,1+0,=%+%
b
a2+2=b3.i己g=j.
an
□求數(shù)列{g}的前〃項(xiàng)和;
□判斷數(shù)列{&}是不是“凸數(shù)列”,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)"項(xiàng)正數(shù)數(shù)列弓,出,,?!笔恰巴箶?shù)列”,求證:
占匆&其
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