人教B版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1.1集合及其表示方法課件

1.1.1集合及其表示方法【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.針對(duì)具體問(wèn)題，能在自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫集合.3.在具體情境中，了解空集的含義．教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一集合的概念在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用“集合”來(lái)對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行分類．把一些能夠確定的、不同的對(duì)象匯集在一起，就說(shuō)由這些對(duì)象組成一個(gè)集合(有時(shí)簡(jiǎn)稱為集)，組成集合的每個(gè)對(duì)象都是這個(gè)集合的元素．

關(guān)系語(yǔ)言描述記法示例a屬于集合Aa是集合A中的元素________若A表示由“世界四大洋”組成的集合，則太平洋∈A，長(zhǎng)江?Aa不屬于集合Aa不是集合A中的元素________a，b，c，…A，B，C，…a∈Aa?A狀元隨筆對(duì)元素和集合之間關(guān)系的兩點(diǎn)說(shuō)明1．符號(hào)“∈”“?”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對(duì)于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言，只有“a∈A

”與“a?A”這兩種結(jié)果．2．∈和?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R∈0是錯(cuò)誤的．3．集合中元素的特征特征含義確定性集合中的元素是確定的，即給定一個(gè)集合，任何元素在不在這個(gè)集合里是確定的．它是判斷一組對(duì)象是否構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn)互異性給定一個(gè)集合，其中任何兩個(gè)元素都是不同的，也就是說(shuō)，在同一個(gè)集合中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)無(wú)序性集合中的元素?zé)o先后順序之分4.空集：一般地，我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作?.5．集合的分類：集合可以根據(jù)它含有的元素個(gè)數(shù)分為兩類：含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集．空集可以看成包含0個(gè)元素的集合，所以空集是有限集．6．幾種常見的數(shù)集及其記法：所有非負(fù)整數(shù)組成的集合，稱為自然數(shù)集，記作N；在自然數(shù)集N中，去掉元素0之后的集合，稱為正整數(shù)集，記作N*或N＋；所有整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；所有有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；所有實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R.知識(shí)點(diǎn)三集合的表示1．列舉法：把集合中的元素________出來(lái)(相鄰元素之間用逗號(hào)分隔)，并用大括號(hào)“{

}”括起來(lái)表示集合的方法叫做________．2．描述法：一般地，如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個(gè)特征性質(zhì)．此時(shí)，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為{x|p(x)}．這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡(jiǎn)稱為描述法．一一列舉列舉法狀元隨筆1．列舉法表示集合時(shí)的5個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)元素與元素之間必須用“，”隔開；(2)集合中的元素必須是明確的；(3)集合中的元素不能重復(fù)；(4)集合中的元素是無(wú)序的；(5)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合時(shí)的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)寫清楚集合中元素的符號(hào)，如數(shù)或點(diǎn)等；(2)說(shuō)明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等；(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母．知識(shí)點(diǎn)四區(qū)間及其表示1．區(qū)間的幾何表示定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a＜x＜b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x＜b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a＜x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]2.實(shí)數(shù)集R的區(qū)間表示：實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為____________，“∞”讀作“無(wú)窮大”；“－∞”讀作“負(fù)無(wú)窮大”；“＋∞”讀作“正無(wú)窮大”．(－∞，＋∞)3．無(wú)窮大的幾何表示定義符號(hào)數(shù)軸表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)狀元隨筆關(guān)于無(wú)窮大的2點(diǎn)說(shuō)明(1)“∞”是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)．(2)以“－∞”或“＋∞”為端點(diǎn)時(shí)，區(qū)間這一端必須是小括號(hào)．基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．下列能構(gòu)成集合的是(

)A．中央電視臺(tái)著名節(jié)目主持人B．我市跑得快的汽車C．上海市所有的中學(xué)生D．香港的高樓答案：C解析：A，B，D中研究的對(duì)象不確定，因此不能構(gòu)成集合．2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一種表示法是(

)A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}答案：B解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4.故選B.3．若1∈{a，a＋1，a2}，則a的值是(

)A．0B．1C．－1D．0或1或－1答案：C解析：由已知條件1∈{a，a＋1，a2}知有三種情況，若a＝1，則a＋1＝2，a2＝1，則a＝a2＝1，與集合元素的互異性相矛盾，故a≠1.若a＋1＝1，即a＝0，則a2＝0，與集合元素的互異性相矛盾，故a≠0.若a2＝1，即a＝±1，當(dāng)a＝－1時(shí)，符合題意．綜上知a＝－1.

【答案】

C

方法歸納判斷一組對(duì)象組成集合的依據(jù)判斷給定的對(duì)象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是不是給定集合的元素．跟蹤訓(xùn)練1若a，b，c，d為集合A中的四個(gè)元素，則以a，b，c，d為邊長(zhǎng)構(gòu)成的四邊形可能是(

)A．矩形B．平行四邊形C．菱形D．梯形答案：D解析：因?yàn)榧现械脑鼐哂谢ギ愋?，所以a，b，c，d互不相等．又矩形、平行四邊形、菱形均有相等的邊，梯形的四條邊可以不相等．所以以a，b，c，d為邊長(zhǎng)構(gòu)成的四邊形可能是梯形．故選D.

【答案】

C

(2)滿足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2個(gè)元素的集合A的個(gè)數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．3a分類處理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4.還討論嗎？【答案】

C【解析】

∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，則4－a＝4，此時(shí)A＝{0，4}滿足要求；若a＝1，則4－a＝3，此時(shí)A＝{1，3}滿足要求；若a＝2，則4－a＝2，此時(shí)A＝{2}不滿足要求．故有且只有2個(gè)元素的集合A有2個(gè)，故選C.方法歸納判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否給出即可．此時(shí)應(yīng)首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的．(2)推理法：對(duì)于某些不便直接表示的集合，判斷元素與集合的關(guān)系時(shí)，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合的元素具有什么屬性，即該集合中元素要符合哪種表達(dá)式或滿足哪些條件．

N自然數(shù)集；Z整數(shù)集；Q有理數(shù)集；R實(shí)數(shù)集．答案：D

(2)[2024·河南南陽(yáng)六校模擬]已知集合A中元素滿足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，則a的取值范圍為___________．－4<a≤－2

題型3集合的表示——列舉法例3用列舉法表示下列集合：(1)方程x(x－1)＝0的所有解組成的集合A；(2)“Welcome”中的所有字母構(gòu)成的集合；(3)2022年冬奧會(huì)的主辦城市組成的集合；

(4)函數(shù)y＝2x－1的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)組成的集合．找準(zhǔn)元素，列舉法是把集合中所有元素一一列舉出來(lái)．

方法歸納1．用列舉法表示集合的三個(gè)步驟(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次．(3)用“{

}”括起來(lái)．2．在用列舉法表示集合時(shí)的關(guān)注點(diǎn)(1)用列舉法書寫集合時(shí)，先應(yīng)明確集合中的元素是什么．(2)元素不重復(fù)，元素?zé)o順序．如集合{1，2，3，4}與{2，1，4，3}表示同一集合．

題型4集合的表示——描述法[數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理]例4(1)用描述法表示下列集合，并指出是有限集還是無(wú)限集．①所有三角形組成的集合；②滿足不等式5x＋2>3x－4的實(shí)數(shù)x組成的集合；③平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；④所有正偶數(shù)組成的集合．【解析】

(1)①所求集合為{x|x是三角形}．該集合是無(wú)限集．②由不等式5x＋2>3x－4，解得x>－3，則所求集合為{x|x>－3}.該集合是無(wú)限集．③設(shè)點(diǎn)P(x，y)在第四象限，則x>0，y<0，所以平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為{(x，y)|x>0且y<0}．該集合是無(wú)限集．④所有正偶數(shù)組成的集合為{x|x＝2n，n∈N*}．該集合是無(wú)限集．狀元隨筆描述法注意元素的共同特征．(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，則(

)A．d∈MB．d∈NC．d∈PD．d∈M且d∈N【答案】B【解析】由題意，設(shè)a＝3k，k∈Z，b＝3y＋1，y∈Z，c＝3m－1，m∈Z，則d＝3k－(3y＋1)＋3m－1＝3(k－y＋m)－2.令t＝k－y＋m，則t∈Z，則d＝3t－2＝3t－3＋1＝3(t－1)＋1，t∈Z，則d∈N，故選B.(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一個(gè)元素，則m的取值集合是___________．{－1，0，1}【解析】當(dāng)m＝0時(shí)，方程mx2＋2x＋m＝0為2x＝0，解得x＝0，A＝{0}；當(dāng)m≠0時(shí)，若集合A只有一個(gè)元素，則一元二次方程mx2＋2x＋m＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，所以判別式Δ＝22－4m2＝0，解得m＝±1；綜上，當(dāng)m＝0或m＝±1時(shí)，集合A只有一個(gè)元素．所以m的值組成的集合是{－1，0，1}．方法歸納描述法表示集合的兩個(gè)步驟2．用描述法表示集合應(yīng)注意的四點(diǎn)(1)寫清楚該集合代表元素的符號(hào)．例如，集合{x∈R|x<1}可以寫成{x|x<1}，而不能寫成{x<1}．(2)所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號(hào)內(nèi)．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，這種表達(dá)方式就不符合要求，需將k∈Z也寫進(jìn)大括號(hào)內(nèi)，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母．(4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)可以省略不寫．例如，方程x2－2x＋1＝0的實(shí)數(shù)解集可表示為{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可寫成{x|x2－2x＋1＝0}．3．解答集合表示方法綜合題的策略(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵．(2)若已知集合是用列舉法給出的，整體把握元素的共同特征是解題的關(guān)鍵．教材反思列舉法和描述法表示集合，關(guān)鍵是找準(zhǔn)元素的特點(diǎn)，有限個(gè)元素一一列舉，無(wú)限個(gè)元素的可以用描述法來(lái)表示集合，需要用一種適當(dāng)方法表示．何謂“適當(dāng)方法”，這就需要我們首先要準(zhǔn)確把握列舉法和描述法的優(yōu)缺點(diǎn)，其次要弄清相應(yīng)集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，這就需要對(duì)集合進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情景選擇相應(yīng)方法，如涉及方程組的解集，則應(yīng)先解方程組．將集合的三種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化也有利于我們弄清楚集合中的元素．

題型5用區(qū)間表示集合[數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象]例5用區(qū)間表示下列集合．(1){x|x≥3}；(2){x|－1<x≤2}；(3){x|x<5}．【答案】(1)[3，＋∞)

(2)(－1，2]

(3)(－∞，5)方法歸納方程、不等式等知識(shí)與集合交匯問(wèn)題的處理(1)準(zhǔn)確理解集合中的元素，明確元素的特征性質(zhì)．(2)解題時(shí)應(yīng)注意方程、不等式等知識(shí)以及轉(zhuǎn)化、分類與整合思想的綜合應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練5

用區(qū)間表示下列不等式，并在數(shù)軸上表示這些區(qū)間．(1)－2<x<5；(2)－3<x≤4；答案：(1)(－2，5)答案：(2)(－3，4](3)2≤x<5；(4)x≤4；答案：(3)[2，5)答案：(4)(－∞，4](5)x>－3；(6)x≥－4.答案：(5)(－3，＋∞)答案：(6)[－4，＋∞)

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)誤原因糾錯(cuò)心得錯(cuò)解忽略了集合中元素的互異性，當(dāng)a＝1時(shí)，在一個(gè)集合中出現(xiàn)了兩個(gè)相同的元素．含有參數(shù)的集合問(wèn)題，涉及的內(nèi)容多為元素與集合的關(guān)系、集合相等，解題時(shí)需要根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論．能

力

提

升

練1.(多選)[2024·上海新場(chǎng)中學(xué)月考]在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，則以下結(jié)論正確的是(

)A．2021∈[1]B．－3∈[3]C．若整數(shù)a，b屬于同一“類”，則a－b∈[0]D．若a－b∈[0]，則整數(shù)a，b屬于同一“類”答案：ACD解析：對(duì)于A，因?yàn)?021＝404×5＋1，所以2021∈[1]，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若a與b屬于同一“類”，則a＝5n1＋k(n1∈Z)，b＝5n2＋k(n2∈Z)，故a－b＝5(n1－n2)∈[0]，故C正確；對(duì)于D，若a－b∈[0]，則a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0，1，2，3，4，則a＝5m＋5n＋k＝5(m＋n)＋k，易知m＋n∈Z，所以a與b屬于同一“類”，故D正確．故選ACD.

7

答案：C

2．(5分)已知集合A＝{一條邊長(zhǎng)為2，一個(gè)角為30°的等腰三角形}，則A中元素的個(gè)數(shù)為(

)A．2B．3C．4D．無(wú)數(shù)個(gè)答案：C解析：兩腰為2，底角為30°；或兩腰為2，頂角為30°；或底邊為2，底角為30°；或底邊為2，頂角為30°.共4個(gè)元素．3．(5分)已知集合A含有三個(gè)元素2，4，6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A，那么a＝(

)A．2

B．2或4C．4

D．0答案：B解析：集合A含有三個(gè)元素2，4，6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A，6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4，綜上所述，a＝2或4.故選B.4．(6分)(多選)下列集合的表示方法不正確的是(

)A．第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集可表示為{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B.不等式x－1＜4的解集為{x＜5}C．{全體整數(shù)}D．實(shí)數(shù)集可表示為R答案：ABC解析：選項(xiàng)A中應(yīng)是xy＜0；選項(xiàng)B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)范格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x；選項(xiàng)C的“{

}”與“全體”意思重復(fù)．二、填空題(每小題5分，共15分)5．(5分)用列舉法表示集合{(x，y)|2x＋y－5＝0，x∈N，y∈N}＝________________________．{(0，5)，(1，3)，(2，1)}解析：∵{(x，y)|2x＋y－5＝0，x∈N，y∈N}，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1