人教B版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.2.1-2課件

1.2.1命題與量詞1.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.全稱量詞與存在量詞．通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義．2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定：①能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定．②能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定．教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一命題用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的________稱為命題．其中________的語(yǔ)句稱為真命題，________的語(yǔ)句稱為假命題．陳述語(yǔ)句判斷為真判斷為假知識(shí)點(diǎn)二全稱量詞和全稱量詞命題全稱量詞________、________、________符號(hào)?全稱量詞命題含有________的命題形式“對(duì)集合M中的所有元素x，r(x)”，可簡(jiǎn)記為_(kāi)_______所有任意每一個(gè)全稱量詞“?x∈M，r(x)”知識(shí)點(diǎn)三存在量詞和存在量詞命題存在量詞________、___________、________符號(hào)表示?存在量詞命題含有________的命題形式“存在集合M中的元素x，s(x)”，可簡(jiǎn)記為_(kāi)_______存在至少有一個(gè)有存在量詞“?x∈M，s(x)”狀元隨筆全稱量詞命題與存在量詞命題的區(qū)別(1)全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對(duì)象都具有某一性質(zhì)，無(wú)一例外，強(qiáng)調(diào)“整體、全部”．(2)存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內(nèi)的對(duì)象有例外，強(qiáng)調(diào)“個(gè)別、部分”．知識(shí)點(diǎn)四命題的否定1．命題的否定：一般地，對(duì)命題p加以否定，就得到一個(gè)新的命題，記作“?p

”，讀作“非p”或“p的否定”．2．命題的真假與命題的否定的真假：如果一個(gè)命題是真命題，那么這個(gè)命題的否定就應(yīng)該是假命題；反之亦然．3．常見(jiàn)的命題的否定形式有原語(yǔ)句是都是>

至少有一個(gè)至多有一個(gè)否定形式不是不都是≤一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)五全稱量詞命題和存在量詞命題的否定1．全稱量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，?p(x)．2．存在量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，?p(x)．狀元隨筆全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．下列語(yǔ)句中命題有________個(gè)，其中真命題有________個(gè)．①“等邊三角形難道不是等腰三角形嗎？”；②“垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？”；③“一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)”；④“珠海是一個(gè)多么美麗的海濱城市??！”；⑤“x＋y為有理數(shù)，則x，y也都是有理數(shù)”；⑥“作△ABC∽△A1B1C1”．A.2，0

B．4，2C．3，2

D．4，3答案：A解析：①是一個(gè)反問(wèn)句，不是命題；②是一個(gè)疑問(wèn)句，不是命題；③符合命題的定義，是命題，是一個(gè)假命題；④是一個(gè)感嘆句，不是命題；⑤符合命題的定義，是命題，是一個(gè)假命題；⑥是作圖語(yǔ)言，不符合命題的定義，不是命題．2．(多選)下列命題中哪些是全稱量詞命題(

)A.任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)B.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)C.有的正方形不是菱形D.三角形的內(nèi)角和是180°答案：ABD解析：命題AB含有全稱量詞，而命題D可以敘述為“每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°”，C是存在量詞命題，故有三個(gè)全稱量詞命題．3．下列命題中存在量詞命題的個(gè)數(shù)是(

)①至少有一個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)；②?x∈R，x2≤0；③有的奇數(shù)能被2整除．A.0

B．1C．2

D．3答案：D解析：①中含有存在量詞“至少”，所以是存在量詞命題；②中含有存在量詞符號(hào)“?”，所以是存在量詞命題；③中含有存在量詞“有的”，所以是存在量詞命題．4．命題“存在實(shí)數(shù)x，使x＞1”的否定是(

)A.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x＞1B.不存在實(shí)數(shù)x，使x≤1C.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1D.存在實(shí)數(shù)x，使x≤1答案：C解析：命題“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1”．題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷與其真假[經(jīng)典例題]例1(1)判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，并判斷其真假．①對(duì)任意x∈R，x2＞0；②有些無(wú)理數(shù)的平方也是無(wú)理數(shù)；③對(duì)頂角相等；④存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；⑤對(duì)任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0；⑥存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．正確地識(shí)別命題中的全稱量詞，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【解析】

①③⑤是全稱量詞命題，①是假命題，∵x＝0時(shí)，x2＝0.③是真命題．⑤是真命題．

【答案】B

方法歸納(1)要判定全稱量詞命題是真命題，需要判斷所有的情況都成立；如果有一種情況不成立，那么這個(gè)全稱量詞命題就是假命題．(2)要判定存在量詞命題是真命題，只需找到一種情況成立即可；如果找不到使命題成立的特例，那么這個(gè)存在量詞命題是假命題．跟蹤訓(xùn)練1

(1)下列命題中是全稱量詞命題，并且又是真命題的是(

)A．π是無(wú)理數(shù)B．?x0∈N，使2x0為偶數(shù)C．對(duì)任意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0D．所有菱形的四條邊都相等答案：D解析：(1)對(duì)于A，π是無(wú)理數(shù)，是真命題，但不是全稱量詞命題，不符合題意；對(duì)于B，?x0∈N，使2x0為偶數(shù)，不是全稱量詞命題，不符合題意；對(duì)于C，對(duì)任意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0，是全稱量詞命題，但當(dāng)x＝－1時(shí)，x2＋2x＋1＝0，為假命題，不符合題意；對(duì)于D，所有菱形的四條邊都相等，是全稱量詞命題并且是真命題，符合題意．(2)下列存在量詞命題是真命題的是(

)A．有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋3x＋4＝0B．至少有一個(gè)整數(shù)n，使得n2＋n為奇數(shù)C．有些實(shí)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)D．存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和小于180°答案：C解析：沒(méi)有實(shí)數(shù)x，使x2＋3x＋4＝0成立，所以A不正確；n為整數(shù)，n2＋n＝n(n＋1)，是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)乘積，一定是偶數(shù)，所以B不正確；有些實(shí)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，例如無(wú)理數(shù)，所以C正確；三角形的內(nèi)角和為180°，所以不可能存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和小于180°，所以D不正確．故選C.題型2含有一個(gè)量詞的命題的否定例2寫出下列命題的否定，并判斷所得命題的真假：(1)p：?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；(2)q：?x∈(－3，＋∞)，x2＞9.【解析】

(1)?p：?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以?p是假命題．(2)?q：?x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因?yàn)閤＝0時(shí)，x2＝0＜9，所以?q是真命題．狀元隨筆先把命題否定，再判斷真假．方法歸納全稱量詞命題的否定是一個(gè)存在量詞命題，存在量詞命題的否定是一個(gè)全稱量詞命題，因此在書寫他們的否定時(shí)，相應(yīng)的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞，同時(shí)否定結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2

(1)[2024·福建廈門月考]設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A，2x∈B，則(

)A．?p：?x∈A，2x∈B

B．?p：?x?A，2x?BC．?p：?x?A，2x∈BD．?p：?x∈A，2x?B?x∈M，p(x)的否定為?x∈M，?p(x)．答案：D解析：將“?”否定為“?”，“2x∈B”否定為“2x?B”，即?p：?x∈A，2x?B，故選D.(2)命題“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是(

)A.?x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．?x∈R，x3－2x＋1＝0D．?x∈R，x3－2x＋1≠0答案：D解析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故排除A；由命題的否定要否定結(jié)論，故排除C；由存在量詞“?”應(yīng)改為全稱量詞“?”，故排除B.題型3利用命題的否定求參數(shù)范圍例3(1)若“?x∈R，x2＋2x－a<0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________；【答案】{a|a>－1}【解析】若“?x∈R，x2＋2x－a<0”是真命題，則Δ>0，即4＋4a>0，解得a>－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>－1}．(2)(多選)[2024·四川南充檢測(cè)]若“?x∈M，|x|>x”為真命題，“?x∈M，x>3”為假命題，則集合M可以是(

)A．{x|x<－5}B．{x|－3<x≤－1}C．{x|x>3}D．{x|0≤x≤3}【答案】

AB【解析】

“?x∈M，|x|>x”為真命題，則x<0；“?x∈M，x>3”為假命題，則“?x∈M，x≤3”為真命題．由上可知，集合M中的元素均為負(fù)數(shù)，∴集合M可以是{x|x<－5}或{x|－3<x≤－1}．故選AB.方法歸納利用含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍(1)含參數(shù)的全稱量詞命題為真時(shí)，常與不等式恒成立有關(guān)，可根據(jù)有關(guān)代數(shù)恒等式(如x2≥0)，確定參數(shù)的取值范圍．(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時(shí)，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問(wèn)題來(lái)處理，可借助根的判別式等知識(shí)解決.跟蹤訓(xùn)練3

(1)能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a＞b＞c，則a＋b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為(

)A．3，2，1B．1，－2，－3C．－1，－2，－3D．0，－2，－3答案：C解析：所舉反例應(yīng)滿足“若a＞b＞c，則a＋b≤c”，可設(shè)a，b，c的值依次為－1，－2，－3.故選C.(2)[2024·四川省內(nèi)江市月考]已知命題p：?x≥3，使得2x－1<m，是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：m≤5

能

力

提

升

練1.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式m＋x2－2x＋5>0對(duì)于任意x∈R恒成立，并說(shuō)明理由；(2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：(1)存在，理由如下：不等式m＋x2－2x＋5>0可化為m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，要使m>－(x－1)2－4對(duì)于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在實(shí)數(shù)m使不等式m＋x2－2x＋5>0對(duì)于任意x∈R恒成立，此時(shí)m>－4.(2)不等式m－(x2－2x＋5)>0可化為m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.∵t＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)．2．已知命題p：?x∈{x|0<x<1}，x＋m－1<0，命題q：?x∈{x|x>0}，mx2＋4x－1≠0.若p是真命題，q是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：因?yàn)閜是真命題，所以x＋m－1<0對(duì)0<x<1恒成立，即m－1<－x對(duì)0<x<1恒成立．當(dāng)0<x<1時(shí)，－1<－x<0，所以m－1≤－1，即m≤0.因?yàn)槊}q是假命題，所以?q：?x∈{x|x>0}，使得mx2＋4x－1＝0為真命題，即關(guān)于x的方程mx2＋4x－1＝0有正實(shí)數(shù)根．(1)當(dāng)m＝0時(shí)，方程為4x－1＝0，有正實(shí)數(shù)根；

一、選擇題(單選每小題5分，多選每小題6分，共21分)1．(5分)下列命題是存在量詞命題的是(

)①有的數(shù)比它的倒數(shù)小；②平行四邊形的對(duì)邊相等；③存在有理數(shù)x，使x2－2＝0；④正方形都是平行四邊形．A．①③B．②④C．①②D．③④答案：A解析：①中含有存在量詞“有的”；②中隱含全稱量詞“所有”；③中含有存在量詞“存在”；④中隱含全稱量詞“所有”．故①③是存在量詞命題．故選A.2．(5分)已知命題p：?x>0，x＋a－1＝0，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．a(chǎn)<1B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)>1D．a(chǎn)≥1答案：D解析：因?yàn)閜為假命題，所以?p為真命題，所以?x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.選D.

答案：D

4．(6分)(多選)[2024·江蘇省鎮(zhèn)江市月考]下列命題為真命題的是(

)A．?x∈R，x2≤1B．a(chǎn)2＝b2是a＝b的必要不充分條件C．集合{(x，y)|y＝x2}與集合{y|y＝x2}表示同一集合D．設(shè)全集為R，若A?B，則(?RB)?(?RA)答案：ABD解析：對(duì)于A，當(dāng)x＝0時(shí)，x2≤1，故A是真命題；對(duì)于B，當(dāng)a2＝b2時(shí)，則a＝±b，當(dāng)a＝b時(shí)，則a2＝b2，則a2＝b2是a＝b的必要不充分條件，故B是真命題；對(duì)于C，集合{(x，y)|y＝x2}與集合{y|y＝x2}不表示同一集合，前者為點(diǎn)集，后者為數(shù)集，故C是假命題；對(duì)于D，若A?B，則A中元素都在B中，不在B中的元素一定不在A中，故x∈?RB，則x∈?RA，即(?RB)?(?RA)，故D是真命題．故選ABD.二、填空題(每小題5分，共15分)5．(5分)“三角形的外角至少有兩個(gè)鈍角”的否定是________．答案：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角解析：原命題省略了全稱量詞“任意”，“至少有兩個(gè)”的否定詞語(yǔ)是“最多有一個(gè)