福建省福州市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次限時訓(xùn)練（10月）數(shù)學(xué)試卷含答案

福建省福州市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次限時訓(xùn)練（10月）數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．三點在一條直線上，則k的值為（

）A． B． C． D．2．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．3．過點且垂直于直線的直線方程為（

）A． B． C． D．4．過點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B．或C．或 D．或5．已知M、N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點，點P在線段MN上，且MP=2PN，設(shè)向量，，，則=（

）A． B．C． D．6．已知點在直線上運動.當(dāng)取最小值時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，三棱錐中，，，兩兩垂直且長度均為1，若，，則（

）A． B． C． D．8．如圖1四邊形與四邊形分別為正方形和等腰梯形，,沿邊將四邊形折起，使得平面平面，如圖2，動點在線段上，分別是的中點，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．(多選)下列四個選項中正確的是（

）A．方程與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線B．直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1C．直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y(tǒng)1D．所有的直線都有點斜式和斜截式方程10．如圖，正方體的棱長為a，以下結(jié)論正確的是（

）.A．B．C．存在實數(shù)，使得D．11．下列命題正確的是（

）A．若是平面的一個法向量，是直線上不同的兩點，則的充要條件是B．已知三點不共線，對于空間中任意一點，若，則四點共面C．已知，若與垂直，則D．已知的頂點分別為，則邊上的高的長為三、填空題（本大題共3小題）12．若過點P(1－a,1＋a)與點Q(3,2a)的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)a的取值范圍是．13．是直線上的兩點，，，且直線與直線成的角，則兩點間的距離是．14．已知點，，若軸上存在一點，使最大，則點的坐標(biāo)為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點，，.(1)求直線，，的斜率和傾斜角；(2)若為的邊上一動點，求直線的斜率的取值范圍.16．如圖，在直三棱柱中-ABC中，ABAC，AB=AC=2，=4，點D是BC的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與所成二面角的正弦值．17．如圖，在正方體中，棱長為1，、分別為、的中點，求下列問題：(1)求到直線的距離；(2)求到面的距離.18．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，．（Ⅰ）求證：直線平面PAC；（Ⅱ）求直線PB與平面PAD所成角的正切值；（Ⅲ）設(shè)點M在線段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值為，求點M到底面ABCD的距離．19．如圖矩形中，，沿對角線將折起，使點A折到點P位置，若，三棱錐的外接球表面積為．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)M為的中點，點N在邊界及內(nèi)部運動，若直線與直線與平面所成角相等，求點N軌跡的長度．

參考答案1．【答案】B【詳解】依題意，即，解得.故選：B2．【答案】D【詳解】由直線，可得直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，可得，所以.故選：D.3．【答案】A【詳解】解：由題意可得直線的斜率為，則過點且垂直于直線的直線斜率為，直線方程為，化為一般式為．故選：A．4．【答案】D【解析】分兩種情況討論：當(dāng)直線過原點時，斜率為，由點斜式寫出直線的方程；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程是：，把點代入方程求解即可.【詳解】當(dāng)直線過原點時，斜率為，由點斜式求得直線的方程是．當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程是：，把點代入方程得，所以直線的方程是.綜上，所求直線的方程為或.故選：D．5．【答案】C【詳解】由題意，=+=×(+)+×=,故選C.6．【答案】D【詳解】設(shè)，即，故，，當(dāng)時，向量數(shù)量積有最小值，此時.故選：D.7．【答案】C【詳解】在三棱錐中，取空間的一個基底，則，由，得，而兩兩垂直，，所以.故選：C8．【答案】A【詳解】解：如圖以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，，動點在線段上，則可設(shè)，，令則則當(dāng)時取最大值故選：9．【答案】BC【詳解】對于A，方程表示直線上去掉點所形成的兩條射線，與方程表示的圖形不相同，A故錯誤；對于B，直線過點，傾斜角為，該直線的斜率不存在，垂直于軸，其方程為，故B正確；對于C，直線過點，斜率為，則其方程為，即，故C正確；對于D，若直線垂直于軸，則直線的斜率不存在，該直線沒有點斜式和斜截式方程，故D錯誤.故選：BC.10．【答案】BD【詳解】以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)，如圖所示，因為正方體的棱長為，可得對于A中，可得，所以，所以A錯誤；對于B中，可得，所以，所以B正確；對于C中，可得，所以向量與不是共線向量，所以不存在實數(shù)，使得，所以C錯誤；對于D中，由，所以D正確.故選：BD.11．【答案】BCD【詳解】若是平面的一個法向量，直線上有不同的兩點，，當(dāng)時，即使，也不能說明，故A錯誤；若，則，所以，所以四點共面，故B正確；由題意可得，若與垂直，則，解得，故C正確；由題意可得，則邊上的高的長即為點到直線的距離，故D正確．故選：BCD.12．【答案】(－2,1)【詳解】由直線的傾斜角α為鈍角，能得出直線的斜率小于0，解不等式求出實數(shù)a的取值范圍．解：∵過點P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直線的傾斜角α為鈍角，∴直線的斜率小于0，，故答案為.13．【答案】5或【詳解】,,或60°或故答案為或．14．【答案】【詳解】設(shè)點關(guān)于軸的對稱點，則，，所以，當(dāng)三點共線時，取得最大值，因為，，所以，所以直線的方程為，當(dāng)，得，所以當(dāng)最大時，點的坐標(biāo)為，故答案為：

15．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）解：因為，，，由斜率公式，可得，再由直線傾斜角的定義得：直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為.（2）如圖所示，當(dāng)直線由繞點逆時針轉(zhuǎn)到時，直線與線段恒有交點，即在線段上，此時的斜率由增大到，所以的取值范圍為.16．【答案】（1）；（2）.【詳解】(1)以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，異面直線與所成角的余弦值為．（2）設(shè)平面的法向量為，，，即且，令，則，是平面的一個法向量，取平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角的大小為，由，得，故平面與平面夾角的正弦值為．17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，.，，則到直線的距離.（2）由（1）可得，，設(shè)為面的法向量，則，即，取，得平面的一個法向量.又，得到面的距離為.18．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)1或者【解析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后求解線面角的正切值即可；(Ⅲ)設(shè)，由題意結(jié)合空間直角坐標(biāo)系求得的值即可確定點M到底面ABCD的距離．【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可知，由線面垂直的定義可知：，且，由線面垂直的判定定理可得：直線平面；(Ⅱ)以點A為坐標(biāo)原點，AD，AP方向為y軸，z軸正方向，如圖所示，在平面ABCD內(nèi)與AD垂直的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：，則直線PB的方向向量，很明顯平面PAD的法向量為，設(shè)直線PB與平面PAD所成角為，則，.(Ⅲ)設(shè)，且，由于，故：，據(jù)此可得：，即點M的坐標(biāo)為，設(shè)平面CMB的法向量為：，則：，據(jù)此可得平面CMB的一個法向量為：，設(shè)平面MBA的法向量為：，則：，據(jù)此可得平面MBA的一個法向量為：，二面角的余弦值為，故：，整理得，解得：或.由點M的坐標(biāo)易知點M到底面ABCD的距離為1或者.19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：設(shè)O為矩形對角線的中點，∴．即．∴O為三棱錐外接球的球心．又∵三棱錐外接球表面積為，∴外接球半徑為2．即．過P點作，垂足為E，過點C作，垂足為F，則，，，，∴而，在中，滿足∴為直角三角形，∵，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）以E為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸、z軸，以平面內(nèi)過E且垂直于的直線為y軸，建立