廣東省湛江市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案

廣東省湛江市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（

）A． B．1 C． D．2．向量，若，則（

）A． B．C． D．3．空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離是（

）A． B． C． D．5．空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．下列命題中正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．若和都為基底，則可以為D．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為120°，則直線l與平面所成的角為30°8．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面積為，則三棱錐（以A為頂點(diǎn)）的側(cè)面積的最大值為（

）

A．6 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題正確的是（

）A．若，則與，共面B．若，則共面C．若，則共面D．若，則共面10．不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個(gè)黑球、3個(gè)白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取出2個(gè)小球，記事件“取出的兩個(gè)球是一個(gè)黑球、一個(gè)白球”，事件“兩個(gè)球中至多一個(gè)黑球”，事件“兩個(gè)球均為白球”，則（

）A． B． C． D．11．在中，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則是直角三角形C．若，則是鈍角三角形D．若，則是等邊三角形三、填空題（本大題共3小題）12．在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，，則13．已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為2，方差為4，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)2，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的方差為.14．在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)F滿足，則.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)；(3)記中點(diǎn)為，求中線的長(zhǎng).16．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．17．某中學(xué)高一年級(jí)的同學(xué)們學(xué)習(xí)完《統(tǒng)計(jì)與概率》章節(jié)后，統(tǒng)一進(jìn)行了一次測(cè)試，并將所有測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中．(1)求出a，b，估計(jì)測(cè)試成績(jī)的分位數(shù)和平均分；(2)按照人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取4人，再?gòu)倪@4人中任選2人，求這2人成績(jī)都在80,90內(nèi)的概率．18．如圖所示，已知正方體的棱長(zhǎng)為3，，分別是，的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且平面.(1)求的長(zhǎng)；(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)棱上是否存在點(diǎn)，它與點(diǎn)到平面的距離相等，若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案1．【答案】C【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】.故選：C.2．【答案】C【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，由題意可得，所以則.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程組，解方程組即可得到答案.3．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】，，由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為.故選C.4．【答案】B【分析】先求與同方向的單位向量和的坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線的距離的向量公式即得.【詳解】由題意，,則與同方向的單位向量為，又,于是，點(diǎn)A到直線的距離是：.故選：B.5．【答案】B【分析】結(jié)合圖形和題設(shè)條件，利用向量的加減數(shù)乘運(yùn)算即得.【詳解】如圖，連結(jié)，因，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，于是，.故選B.6．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，，進(jìn)而求出線線角的向量公式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則.所以，因?yàn)?，所?故選C.

7．【答案】D【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由是空間向量的一個(gè)基底，得不共面，則不共線，假設(shè)，則，即共面，與是空間的一個(gè)基底矛盾，因此不可以為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為120°，則直線l與平面所成的角為，D正確.故選：D8．【答案】B【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，因?yàn)锳D⊥平面ABC，，所以三棱錐的外接球，即為以為棱的長(zhǎng)方體的外接球，故，其中，故，三棱錐（以A為頂點(diǎn)）的側(cè)面積為，由基本不等式得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選B.9．【答案】ABD【分析】利用共面向量定理:即若一條向量用另外兩條向量線性表示，則這三條向量一定共面，用此法可判斷三條向量共面，再利用有公共點(diǎn)的三條向量共面，進(jìn)而可判斷四點(diǎn)共面，針對(duì)，可以利用線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行判斷.【詳解】選項(xiàng)A，根據(jù)共面向量基本定理可知，與，共面；所以選項(xiàng)A是正確的；選項(xiàng)B，根據(jù)共面向量基本定理可知，共面，由于它們有公共點(diǎn)，所以共面；選項(xiàng)C，舉反例說(shuō)明，若，，是一個(gè)正方體同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量，則它們的和向量是以為起點(diǎn)的對(duì)角線向量，而是該對(duì)角線向量的相反向量，此時(shí)顯然四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上，所以C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)D，由可得，則，即，則，此時(shí)與選項(xiàng)B一樣，可以判斷共面，即D選項(xiàng)是正確的；故選：ABD．10．【答案】AB【分析】利用列舉法寫(xiě)出隨機(jī)取出個(gè)小球的基本事件，根據(jù)題設(shè)描述列舉對(duì)應(yīng)事件，由古典概型的概率求法求概率.【詳解】記個(gè)白球?yàn)椋瑐€(gè)黑球?yàn)?，隨機(jī)取出個(gè)小球的事件如下，，事件對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，故A正確；事件對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，事件對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，又，故D錯(cuò)誤；其中對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，故B正確；對(duì)應(yīng)的基本事件有，所以，故C錯(cuò)誤.故選AB.11．【答案】CD【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)AB；正弦定理角化邊余弦定理得角的范圍判斷選項(xiàng)C；正弦定理結(jié)合倍角公式化簡(jiǎn)判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，中，若，則有或，當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，，為直角三角形，故A選項(xiàng)不正確，對(duì)于B，中，若，則或，即或，因此不一定是直角三角形，故B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C，中，若，則根據(jù)正弦定理得，余弦定理得，則為鈍角，是鈍角三角形，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，中，若，則，即，由，得，所以，，是等邊三角形，故D選項(xiàng)正確．故選：CD．12．【答案】【詳解】由題意知.故答案為：13．【答案】【詳解】原7個(gè)數(shù)的方差為，即，加入一個(gè)新數(shù)據(jù)2后所得8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，所以這8個(gè)數(shù)的方差為.故答案為:.14．【答案】【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以，?/p>

因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，．故答案為?15．【答案】(1)2(2)(3)【詳解】（1）由正弦定理可得，所以；（2）由余弦定理得，即，舍去負(fù)值，所以；（3）在中由余弦定理得：，則.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè),連接,如圖所示:因?yàn)镺,E分別為,的中點(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫?平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因?yàn)?為的中點(diǎn),所以,又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?所以,因?yàn)槠矫?平面,且,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以平面平面．17．【答案】(1)，，85，76.5(2)【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，即，又，所以，，前三組的頻率之和為，前四組的頻率之和為，則分位數(shù)，且．測(cè)試成績(jī)的平均分為：.（2）成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的人數(shù)之比為，故抽取的4人中成績(jī)?cè)趦?nèi)的有3人，設(shè)為，，，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有1人，設(shè)為，再?gòu)倪@4人中選2人，這2人的所有可能情況為，，，，，，共6種，這2人成績(jī)均在內(nèi)的情況有，，，共3種，故這2人成績(jī)都在內(nèi)的概率．18．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)表示的位置，求出平面的一個(gè)法向量以及，由題意，由此即可求出參數(shù)，進(jìn)而得解；（2）求出，結(jié)合第一問(wèn)中求出的，由向量夾角公式即可得解.【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，取，則，故.設(shè)，則.因?yàn)槠矫?，所以，所以，所?（2）因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，故.所以直線與平面所成角的正弦值為.【方法總結(jié)】利用空間向量求解立體幾何問(wèn)題的一般步驟（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)公式求出相應(yīng)的角或距離.19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，且【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值；（3）分析可知，平面，設(shè)，其中，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知，與平面的法向量垂直，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出的值，進(jìn)而可求得線段的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，因?yàn)?，且平面，所以平?因?yàn)槠?/p>