19.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 同步練習(xí)

第十九章二次函數(shù)和反比例函數(shù)一二次函數(shù)19.4二次函數(shù)的應(yīng)用基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)與一元二次方程(不等式)1.(2023北京一零一中學(xué)月考)已知二次函數(shù)y=x2-4x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(3，0)，則關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是()A.x1=-1，x2=3 B.x1=1，x2=3 C.x1=-1，x2=1 D.x1=-5，x2=32.(2022湖北荊門中考)若函數(shù)y=ax2-x+1(a為常數(shù))的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a滿足的條件為()A.a=14 B.a≤14 C.a=0或a=-14 D.a=0或3.(2023北京門頭溝大峪中學(xué)期中)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式mx2-mx-1<0恒成立，則m的取值范圍是()A.m<-4或m>0 B.m<-4或m≥0 C.-4<m<0 D.-4<m≤04.(2023北京八十中期中)下圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分，有下列結(jié)論：①abc>0；②b2-4ac>0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=-2，x2=3；④關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是x>-2.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.45.(2023北師大附中期中)如圖，直線y=mx+n與拋物線y=x2+bx+c交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A(2，-3)，點(diǎn)B(5，0)，則關(guān)于x的不等式x2+bx+c<mx+n的解集為.

6.(2023北京對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附中期中)已知二次函數(shù)y=x2-2x-3.(1)將y=x2-2x-3化成y=a(x-h)2+k的形式；(2)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；

(3)在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象；(4)不等式x2-2x-3>0的解集是；

(5)當(dāng)0<x<3時(shí)，y的取值范圍是.

知識(shí)點(diǎn)2利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解7.(2023北京朝陽(yáng)日壇中學(xué)開學(xué)考試)根據(jù)表格中二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，可以判斷方程ax2+bx+c=0的一個(gè)解x的取值范圍是()x00.511.52y=ax2+bx+c-1-0.513.57A.0<x<0.5 B.0.5<x<1 C.1<x<1.5 D.1.5<x<2知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用8.(2023北京通州期中)在特定條件下，籃球賽中進(jìn)攻球員投球后，籃球的運(yùn)行軌跡是開口向下的拋物線的一部分.“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊(duì)員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊(duì)員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”.對(duì)于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長(zhǎng)，則被“蓋帽”的可能性越大，收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡(jiǎn)化為下述數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點(diǎn)為P，籃筐中心點(diǎn)為Q，他可以選擇讓籃球在運(yùn)行途中經(jīng)過(guò)A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)并命中Q，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最大的線路是()A.P→A→Q B.P→B→Q C.P→C→Q D.P→D→Q9.(2023北京人大附中月考)如圖，在一面靠墻(墻無(wú)限長(zhǎng))的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆，圍成中間隔有兩道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，面積為S平方米，則S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；花圃面積最大是平方米.

10.(2023北京工業(yè)大學(xué)附中期中)某服裝店銷售一批衣服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫(kù)存，服裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果一件衣服每降價(jià)1元，服裝店平均每天可多售出2件，則每件衣服降價(jià)元時(shí)，服裝店每天盈利最多.

11.(2023北京朝陽(yáng)期中)中國(guó)跳水隊(duì)在第三十二屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上獲得7金5銀的好成績(jī).某跳水運(yùn)動(dòng)員從起跳至入水的運(yùn)動(dòng)路線可以看做是拋物線的一部分，如圖所示，該運(yùn)動(dòng)員起點(diǎn)A距離水面10m，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最高點(diǎn)B距池邊2.5m，入水點(diǎn)C距池邊4m，根據(jù)上述信息，可推斷出點(diǎn)B距離水面

m.12.(2023北京順義期末)圖1是某條公路的一個(gè)具有兩條車道的隧道的橫斷面(隧道頂面為拋物線形).經(jīng)測(cè)量，兩側(cè)墻AD和BC與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB=8米.為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點(diǎn)E，測(cè)量點(diǎn)E到墻面AD的距離AE，點(diǎn)E到隧道頂面的距離EF(EF⊥AB).設(shè)AE=x米，EF=y米.通過(guò)取點(diǎn)、測(cè)量，工程人員得到了x與y的幾組值，如表：x02468y4.05.56.05.54.0(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出隧道頂面到路面AB的最大距離為米，并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)請(qǐng)你幫助工程人員在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系，描出以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出可以表示隧道頂面的函數(shù)圖象；(3)圖3的汽車在隧道內(nèi)正常通過(guò)時(shí)，汽車的任何部位需到左側(cè)墻及右側(cè)墻的距離不小于1米且到隧道頂面的距離不小于0.35米.按照這個(gè)要求，隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為多少米(精確到0.1米)? 能力提升全練13.(2018北京中考)跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一.運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看做是拋物線的一部分，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).下圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為()A.10m B.15m C.20m D.22.5m14.(2023北京海淀十一學(xué)校月考)四位同學(xué)在研究二次函數(shù)y=ax2+bx-6(a≠0)時(shí)，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1；乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=3時(shí)，y=-6；丙同學(xué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為-8；丁同學(xué)發(fā)現(xiàn)x=3是一元二次方程ax2+bx-6=0(a≠0)的一個(gè)根，已知這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則該同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁15.(2023北京十一晉元中學(xué)開學(xué)考試)某市新建的一座景觀橋的示意圖如圖所示.橋的拱肋ADB可視為拋物線的一部分，橋面AB可視為水平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度AB為40米，橋拱的最大高度CD為16米(不考慮燈桿和拱肋的粗細(xì))，則與CD的距離為5米的景觀燈桿MN的長(zhǎng)度為米.

16.(2023北京十四中月考)關(guān)于x的一元二次方程-x2+x-n=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則拋物線y=-x2+x-n的頂點(diǎn)在第

象限.

17.(2022北京中考)單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái).運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看做是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x-h)2+k(a<0).某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練.(1)第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出y與x滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x-h)2+k(a<0)；(2)第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.04×(x-9)2+23.24.記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d2，則d1d2(填“>”“=”或“<”).

素養(yǎng)探究全練18.雖受疫情影響，但北京某景區(qū)最近5年(截止到2022年12月31日)總收入情況還呈連年上升趨勢(shì)，下圖是最近5年該景區(qū)總收入的折線統(tǒng)計(jì)圖.圖中點(diǎn)A，B，C，D，E的橫坐標(biāo)分別代表年度，縱坐標(biāo)代表該年度的總收入(單位：億元).試根據(jù)折線圖的發(fā)展趨勢(shì)，預(yù)測(cè)該景區(qū)第6年(2023年)的總收入.

第十九章二次函數(shù)和反比例函數(shù)一二次函數(shù)19.4二次函數(shù)的應(yīng)用答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.B解法一：【根與系數(shù)的關(guān)系】∵二次函數(shù)y=x2-4x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(3，0)，∴關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一個(gè)根是x=3.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0的另一個(gè)根是t.∴3+t=4，解得t=1，即方程的另一個(gè)根為1.故選B.解法二：【對(duì)稱性】∵二次函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(3，0)，對(duì)稱軸為直線x=-?42×1=2，∴由對(duì)稱性可知圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，∴方程x2-4x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1=1，x2=3.故選B2.D本題受思維定式的影響，往往只考慮函數(shù)是二次函數(shù)的情況而忽視一次函數(shù)的情況.①函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，a≠0，根據(jù)題意可得1-4a=0，∴a=14②函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，a=0，此時(shí)函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).∴a的值為14或0，故選D3.D若m=0，則-1<0，顯然成立；若m≠0，不等式mx2-mx-1<0的解是任意實(shí)數(shù)，令y=mx2-mx-1，則拋物線y=mx2-mx-1的開口向下，與x軸無(wú)交點(diǎn)，∴m<0,m2+4綜上，m的取值范圍是-4<m≤0.故選D.4.B∵拋物線開口向下，交y軸于正半軸，∴a<0，c>0，∵-b2a=12，∴b=-∴abc<0，∴①錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴b2-4ac>0，∴②正確；∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，0)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=12，點(diǎn)(-2，0)關(guān)于直線x=12的對(duì)稱點(diǎn)為(3，0)，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=-2，x2=3，由題圖可知當(dāng)-2<x<3時(shí)，y>0，∴不等式ax2+bx+c>0的解集是-2<x<3，∴④錯(cuò)誤.故選B.5.答案2<x<5解析由題圖可得，在點(diǎn)A，B之間的拋物線在直線下方，∴2<x<5時(shí)，x2+bx+c<mx+n.6.解析(1)y=x2-2x-3=x2-2x+1-3-1=(x-1)2-4，即y=(x-1)2-4.(2)令x=0，則y=-3，即該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-3)，令y=0，則x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=-1，所以該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3，0)，(-1，0).(3)列表：x…-10123…y…0-3-4-30…圖象如圖所示：(4)不等式x2-2x-3>0的解集是x<-1或x>3.(5)當(dāng)0<x<3時(shí)，y的取值范圍是-4≤y<0.7.B觀察題表可知：當(dāng)x=0.5時(shí)，y=-0.5，當(dāng)x=1時(shí)，y=1，∴方程ax2+bx+c=0的一個(gè)解x的取值范圍是0.5<x<1.故選B.8.B對(duì)于B，D兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，而D點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，顯然，籃球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，上升階段的水平距離更長(zhǎng)；對(duì)于A，B兩點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，而A點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的籃球運(yùn)行到與B點(diǎn)橫坐標(biāo)相同時(shí)，在B點(diǎn)上方，故籃球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，上升階段的水平距離更長(zhǎng)；易知，對(duì)于A，C兩點(diǎn)，籃球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，上升階段的水平距離更長(zhǎng).綜上：P→B→Q是被“蓋帽”的可能性最大的線路.故選B.9.答案S=-4x2+24x；36解析由題意知AB=x米，∴BC=(24-4x)米，∴S=AB·BC=x(24-4x)=-4x2+24x(0<x<6)，∵S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36，0<x<6，∴當(dāng)x=3時(shí)，S有最大值，為36，即花圃面積最大是36平方米.10.答案15解析設(shè)每件衣服應(yīng)降價(jià)x元，服裝店獲得的總利潤(rùn)為y元，由題意得y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250，∵-2<0，∴當(dāng)x=15時(shí)，y有最大值，最大值為1250.故每件衣服降價(jià)15元時(shí)，服裝店每天盈利最多.11.答案11.25解析建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意得A(3，10)，C(5，0)，對(duì)稱軸為直線x=3.5，設(shè)拋物線解析式為y=a(x-3.5)2+k，所以10=0.25解得a所以y=-5(x-3.5)2+11.25，所以B(3.5，11.25)，故點(diǎn)B距離水面11.25m.12.解析(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值6.0.由題意，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-4)2+6，把x=0，y=4代入，得16a+6=4，解得a=-18∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-18(x-4)2+6(2)根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫出圖象如圖所示：(3)當(dāng)x=1時(shí)，y=-18×(1-4)2+6=4.8754.875-0.35=4.525(米).答：隧道需標(biāo)注的限高應(yīng)為4.525米.能力提升全練13.B由題圖中給出的點(diǎn)可知，拋物線的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0到20之間.若最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10，由對(duì)稱性可知，(0，54.0)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為(20，54.0)，而54.0<57.9，所以最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于10.故選B.14.B當(dāng)甲同學(xué)的結(jié)論正確時(shí)，-b2a=1，即b=-2a；當(dāng)乙同學(xué)的結(jié)論正確時(shí)，9a+3b-6=-6，可得b=-3a；當(dāng)丙同學(xué)的結(jié)論正確時(shí)，4ac?b24a=?24a?b24a=-8，可得b2=8a；當(dāng)丁同學(xué)的結(jié)論正確時(shí)，9a+3b-6=0，可得b=2-3a.根據(jù)b=-3a和b=2-3a不能同時(shí)成立，可知乙同學(xué)和丁同學(xué)中有一位的結(jié)論是錯(cuò)誤的，假設(shè)丁同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤，聯(lián)立b=-2a和b=-3a，得a=0，b=0，不滿足a≠0，故假設(shè)不成立，故丁同學(xué)的結(jié)論正確，乙同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤.(驗(yàn)證：假設(shè)乙同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤，聯(lián)立b=-2a和b=2-3a，得15.答案15解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線表達(dá)式為y=ax2+16，由題意可知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(20，0)，∴400a+16=0，∴a=-125∴y=-125x2+16，∴當(dāng)x=5時(shí)，y=1516.答案四解析∵關(guān)于x的一元二次方程-x2+x-n=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴Δ=1-4n<0，∴n>14∵拋物線y=-x2+x-n=-x?122+∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為12∵n>14，∴14-n<0，17.解析(1)通過(guò)題中表格可以得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8，23.20)，豎直高度的最大值是23.20米，則解析式為y=a(x-8)2+23.2.∵拋物線過(guò)點(diǎn)(11，22.75)，