1.2 矩形的性質(zhì)與判定 同步練習(xí)

第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1矩形的定義1.(2022甘肅中考)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個矩形，只需添加的一個條件是.

知識點2矩形的性質(zhì)2.(2023廣東梅州五華期中)矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是()A.對角線互相平分 B.對角線相等C.鄰邊相等 D.對角線互相垂直3.(2023廣東實驗中學(xué)順德學(xué)校月考)如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，AB=2，∠ACB=30°，則對角線AC的長為()A.22 B.4 C.2 4.(2022吉林中考)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是邊AD的中點，點F在對角線AC上，且AF=14AC，連接EF.若AC=10，則EF=.5.如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線AE折疊，點D恰好落在對角線AC上的點F處，若AF=CF，DE=2，則AB=.

6.(2022湖北鄂州中考)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且∠CDF=∠BDC，∠DCF=∠ACD.(1)求證：DF=CF；(2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面積.7.(2022山西中考)如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線.(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點O，交邊AD于點E，交邊BC于點F(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)；(2)猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.知識點3直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)8.(2023陜西師大附中期中)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為邊AB的中點，CD=3，AC=2，則BC的長為()A.3 B.4 C.6 D.429.(2022遼寧大連中考)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°.分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN.直線MN與AB相交于點D，連接CD，若AB=3，則CDA.6 B.3 C.1.5 D.110.如圖所示，一架長5m的梯子(AB)斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，這時梯子的頂端A距地面4m.梯子的正中間P點處有一只老鼠，梯子頂端A的正下方墻角O處有一只貓.下列說法錯誤的是()A.梯子的底端B到墻的距離為3mB.P處的老鼠離地面的距離為2mC.梯子下滑的時候老鼠就會離貓越來越近D.梯子頂端沿墻下滑的長度和梯子底端沿地面向右滑行的距離不一定相等知識點4矩形的判定11.(2022陜西中考)在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是()A.AB=AC B.AC⊥BD C.AB=AD D.AC=BD12.(2022山東聊城中考)要檢驗一個四邊形的桌面是不是矩形，可行的測量方案是()A.測量兩條對角線是否相等B.度量兩個角是不是90°C.測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等D.測量兩組對邊是否分別相等13.(2022四川巴中中考)如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，延長EC至點G，使CG=CE，連接DG、DE、FG.(1)求證：△ABE≌△FCE；(2)若AD=2AB，求證：四邊形DEFG是矩形.14.(2022貴州六盤水中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD.(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形?請寫出證明過程.能力提升全練15.(2022重慶江津期末)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交BC于點E，若△ABE的周長為12，AB=4，則CE的長為()A.92 B.5 C.6 D.16.(2021湖南株洲中考)如圖所示，線段BC為等腰△ABC的底邊，矩形ADBE的對角線AB與DE交于點O，若OD=2，則AC=.

17.(2022湖北荊州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD.若CE=13AE=1，則CD=.18.(2023遼寧鐵嶺期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，動點E以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)沿AC方向運動，點F同時以每秒1個單位長度的速度從點C出發(fā)沿CA方向運動，若AC=12，BD=8，則經(jīng)過秒后，四邊形BEDF是矩形.

19.(2023遼寧遼陽期中)如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點，P是線段EF的中點，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H分別為垂足，連接GH.若AB=8，AD=6，EF=5，則GH的最小值是.

20.(2021江蘇連云港中考)如圖，點C是BE的中點，四邊形ABCD是平行四邊形.(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)如果AB=AE，求證：四邊形ACED是矩形.21.(2022江蘇泰州中考)如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線.(1)求證：AF與DE互相平分；(2)當(dāng)線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形ADFE為矩形?請說明理由.22.(2021河南鄭州楓楊外國語學(xué)校月考)如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A即停止，同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s，連接PQ、AQ、CP.設(shè)點P、Q運動的時間為ts.(1)當(dāng)t為何值時，四邊形ABQP是矩形?(2)當(dāng)t為何值時，四邊形AQCP是菱形?(3)直接寫出(2)中菱形AQCP的周長和面積，周長是cm，面積是cm2.

素養(yǎng)探究全練23.數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等(如圖①所示)”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證.(以上材料來源于《古證復(fù)原的原理》《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》)(1)請根據(jù)圖①完成這個推論的證明過程：證明：S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC)，S矩形EBMF=S△ABC-(+).

易知，S△ADC=S△ABC，=，=.

可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.(2)如圖②，點P是矩形ABCD的對角線BD上一點，過點P作EF∥BC分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接PA，PC.若PE=5，DF=4，求圖中陰影部分的面積.24.(2022河南禹州期末)請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).三等分角是古希臘三大幾何問題之一.如圖1，任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的對角線BA與邊BC的夾角，以B為端點的射線BF交CA于點E，交DA的延長線于點F.若EF=2AB，則射線BF是∠ABC的一條三等分線.證明：如圖2，取EF的中點G，連接AG，∵四邊形BCAD是矩形，∴∠DAC=90°，AD∥BC.在Rt△AEF中，點G是EF的中點，∴AG=12……任務(wù)一：上面證明過程中得出“AG=12EF”的依據(jù)是；任務(wù)二：完成材料證明中的剩余部分；任務(wù)三：如圖3，在矩形ABCD中，對角線AC的延長線與∠CBE的平分線交于點F，若BF=12AC，CF=4，請直接寫出BF的長

第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.∠A=90°(答案不唯一)解析添加的一個條件可以是∠A=90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形.故答案為∠A=90°(答案不唯一).2.B矩形的性質(zhì)：①矩形的對邊相等且平行；②矩形的對角相等，且都是直角；③矩形的對角線互相平分、相等.菱形的性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等，且對邊平行；②菱形的對角相等；③菱形的對角線互相平分、垂直，且每一條對角線平分一組對角.∴矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是對角線相等.故選B.3.B∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，故選B.4.52解析在矩形ABCD中，AO=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=∵AF=14AC，∴AF=12AO，∴點F為又∵點E為邊AD的中點，∴EF為△AOD的中位線，∴EF=125.6解析在矩形ABCD中，∠D=90°，AB=CD.由題意可知△AEF≌△AED，∴∠DAE=∠FAE，EF=DE=2，∠EFA=∠D=90°，又∵AF=CF，∴EF垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠FAE=∠FCE，在Rt△ACD中，∠DAC+∠FCE=90°，∴∠DAE+∠FAE+∠FCE=90°，∵∠DAE=∠FAE=∠FCE，∴∠FCE=30°，在Rt△CEF中，EF=2，∴CE=2EF=4，∴AB=DC=DE+CE=2+4=6.6.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ACD=∠∵∠CDF=∠BDC，∠DCF=∠ACD，∴∠CDF=∠DCF，∴DF=CF.(2)由(1)可知DF=CF，∵∠CDF=60°，∴△CDF是等邊三角形，∴CD=DF=6，∵∠CDF=∠BDC=60°，OC=OD，∴△OCD是等邊三角形，∴OD=CD=6，∴BD=2OD=12，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴BC=BD2?CD2=122?627.解析(1)如圖：(2)AE=CF，證明如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,8.D∵∠ACB=90°，點D是斜邊AB的中點，∴AB=2CD，∵CD=3，∴AB=6，在Rt△ACB中，由勾股定理得BC=AB9.C由已知可得，MN是線段AC的垂直平分線，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD，∵∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴CD=BD，∴AD=BD，∴點D為AB的中點，∵AB=3，∠ACB=90°，∴CD=12AB=1.10.C梯子的底端B到墻的距離為52?42=3(m)，A選項說法正確，不符合題意；如圖1，連接OP，在Rt△AOB中，點P為AB的中點，則OP=12AB=BP=2.5m，即OP的長度不變，C選項說法錯誤，符合題意；如圖1，過點P作PH⊥OB于H，∵OP=BP，∴點H為OB的中點，又點P為AB的中點，∴PH為△AOB的中位線，∴PH=12OA=2m，即P處的老鼠離地面的距離為2m，B選項說法正確，不符合題意；如圖2，當(dāng)梯子頂端沿墻下滑2m到點C時，∴BD=OD-OB=(21-3)m，∴梯子頂端沿墻下滑的長度和梯子底端沿地面向右滑行的距離不一定相等，D選項說法正確，不符合題意.故選C.11.D由對角線相等的平行四邊形是矩形，知選項D符合題意，故選D.12.C選項A，測量兩條對角線是否相等，不能判定是不是平行四邊形，更不能判定是不是矩形，故選項A不符合題意；選項B，度量兩個角是不是90°，不能判定是不是平行四邊形，更不能判定是不是矩形，故選項B不符合題意；選項C，測量對角線交點到四個頂點的距離是否相等，可以判定是不是矩形，故選項C符合題意；選項D，測量兩組對邊是否分別相等，可以判定是不是平行四邊形，但不能判定是不是矩形，故選項D不符合題意.故選C.13.證明(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠CFE，∵E為BC的中點，∴EC=EB，在△ABE和△FCE中，∠EAB=∠CFE,∠BEA(2)∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∴DC=CF，又∵CE=CG，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∵E為BC的中點，CE=CG，∴BC=EG，又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，∴DF=EG，∴平行四邊形DEFG是矩形.14.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B=∠D，AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC，∠DCF=∠ACF=12∠ACD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，∠B=∠D,(2)當(dāng)△ABC滿足AB=AC時，四邊形AECF是矩形.證明：由(1)可知∠CAE=∠ACF，∴AE∥CF，∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴平行四邊形AECF是矩形.能力提升全練15.B在矩形ABCD中，OA=OC，又OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE=CE，∵△ABE的周長為12，AB=4，∴AE+BE=8，∵AE2=BE2+AB2，∴AE2=(8-AE)2+42，∴AE=5，∴CE=5.故選B.16.4解析∵四邊形ADBE是矩形，∴AB=DE，DO=OE，∴AB=DE=2OD=4，∵AB=AC，∴AC=4，故答案為4.17.6解析如圖，連接BE，∵CE=13AE=1，∴AE=3，AC=4，根據(jù)作圖可知MN為AB的垂直平分線，∴AE=BE=3，在Rt△ECB中，BC=BE2?CE2=22，∴∴CD=1218.2或10解析設(shè)運動的時間為t秒，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=12，BD=8，∴OA=OC=12AC=6，OB=OD=12BD=4，∵AE=CF=t，=OF=6-t或OE=OF=t-6，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴當(dāng)EF=BD時，四邊形BEDF是矩形，∴OE=OD，∴6-t=4或t-6=4，∴t=2或t=10，∴經(jīng)過2秒或10秒后，四邊形BEDF是矩形，故答案為2或10.19.7.5解析連接AC，AP，CP，如圖所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠BCD=90°，∴AC=AB2+BC2=82+62=10，∵P是線段EF的中點，∴AP=12EF=2.5，∵PG90°，∴四邊形PGCH是矩形，∴GH=CP，當(dāng)A，P，C三點共線時，CP的值最小，為AC-AP=10-2.5=7.5，∴GH的最小值是7.5，故答案為7.5.20.證明(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC.∵點C是BE的中點，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴四邊形ACED是矩形.21.解析(1)證明：由題意可得點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點.∵點D是AB的中點，∴AD=12AB，∵點E是AC的中點，點F是BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB，EF=12AB，∴EF=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴AF與DE(2)當(dāng)AF=12BC時，四邊形ADFE為矩形理由：∵線段DE為△ABC的中位線，∴DE=12BC，∵AF=12BC，∴AF=DE，由(1)得四邊形ADFE是平行四邊形，∴四邊形ADFE22.解析(1)由題意得BQ=DP=tcm，則AP=CQ=(6-t)cm，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴當(dāng)BQ=AP時，四邊形ABQP為矩形，∴t=6-t，解得t=3，故當(dāng)t=3時，四邊形ABQP為矩形.(2)由(1)可知，四邊形AQCP為平行四邊形，∴當(dāng)AQ=CQ時，四邊形AQCP為菱形，即當(dāng)32+t2=6-解