2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步練習(xí)

第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1用因式分解法解一元二次方程1.(2023河北石家莊外國(guó)語(yǔ)教育集團(tuán)期中)方程4x2=x的根為()A.x1=x2=4 B.x1=0，x2=4 C.x1=x2=14 D.x1=0，x2=2.(2023河南息縣期中)方程x(x-3)=x-3的根是()A.x=3 B.x=0 C.x1=3，x2=0 D.x1=3，x2=13.(2021浙江嘉興中考)小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3(x-3)=(x-3)2的過(guò)程如下框：小敏：兩邊同除以(x-3)，得3=x-3，則x=6小霞：移項(xiàng)，得3(x-3)-(x-3)2=0，提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0，則x-3=0或3-x-3=0，解得x1=3，x2=0你認(rèn)為她們的解法是否正確?若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“?”，并寫出你的解答過(guò)程.4.用因式分解法解下列方程：(1)(y-7)(y+5)=0； (2)4x2=25； (3)(2x-1)2-4=0；(4)4(x-3)2=x(x-3)； (5)3x(x-1)=2-2x.知識(shí)點(diǎn)2靈活選擇方法解一元二次方程5.(2023江蘇濱海期中)解方程x(x-2)+3(x-2)=0，最適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ?)A.直接開(kāi)平方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法6.我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的四種解法：①直接開(kāi)平方法；②配方法；③因式分解法；④公式法.請(qǐng)認(rèn)真觀察(1)~(3)中的幾個(gè)方程，選出較為合適的方法.(填序號(hào))(1)x2+16x=5，選用方法較合適.

(2)2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)，選用方法較合適.

(3)2x2-3x-3=0，選用方法較合適.

(4)請(qǐng)從以下一元二次方程中任選兩個(gè)，并選擇你認(rèn)為合適的方法解這兩個(gè)方程.①(x+1)2=4x；②3x2-6x=0；③x2+x-1=0；④14x2+x+1=0；⑤2x2-6x+8=07.(2023黑龍江齊齊哈爾龍江育英學(xué)校期末)用合適的方法解下列方程：(1)x2+4x-1=0； (2)2x2-7x+3=0；(3)9(x+1)2=(2x-5)2； (4)(x+2)2-10(x+2)+25=0.8.先閱讀下列材料，然后解決后面的問(wèn)題：材料：∵二次三項(xiàng)式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，∴方程x2+(a+b)x+ab=0可以這樣解：(x+a)(x+b)=0，∴x+a=0或x+b=0，∴x1=-a，x2=-b.例如：解方程x2-5x-6=0，x2+(-6+1)x+(-6×1)=0，∴(x-6)(x+1)=0，∴x1=6，x2=-1.據(jù)此回答下列問(wèn)題：(1)將二次三項(xiàng)式x2-3x-10分解因式；(2)解一元二次方程x2-4x+3=0；(3)用因式分解法解方程x2-kx-16=0時(shí)，得到的兩根均為整數(shù)，則k為；

(4)已知實(shí)數(shù)x滿足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，則代數(shù)式x2-x+1的值為.

能力提升全練9.(2021遼寧丹東中考)若實(shí)數(shù)k、b是一元二次方程(x+3)(x-1)=0的兩個(gè)根，且k<b，則一次函數(shù)y=kx+b的圖象不經(jīng)過(guò)()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.(2023江蘇常州期中)已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是8和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2-9x+14=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則三角形的周長(zhǎng)是()A.21 B.21或16 C.16 D.2211.(2023遼寧新民期中)若a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，定義一種運(yùn)算“△”，a△b=a(a+b)，則方程x△(x-1)=2x-1的實(shí)數(shù)根是()A.x1=12，x2=1 B.x1=2，x2=1 C.x1=-2，x2=1 D.x1=-12，x12.(2023河南湯陰期中)如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原正方形空地一邊減少了5m，另一邊減少了6m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長(zhǎng)是m.

13.(2022湖北公安期中)為解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我們可以將x2-1視為一個(gè)整體，設(shè)x2-1=y，則原方程可化為y2-5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4.當(dāng)y=1時(shí)，x2-1=1，所以x=±2；當(dāng)y=4時(shí)，x2-1=4，所以x=±5.所以原方程的根為x1=2，x2=-2，x3=5，x4=-5.以上解方程的方法叫做換元法，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.運(yùn)用上述方法解下列方程：(1)(x2-x)(x2-x-4)=-4；(2)x4+x2-12=0.素養(yǎng)探究全練14.閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)利用直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，對(duì)于關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0，還可以利用下面的方法求解.將方程整理，得x(x+p)=-q.第1步變形得x+p2?得x+p22于是得x+p22=p2當(dāng)p2-4q≥0時(shí)，得x+p2=±p得x1=?p+p2?4q2，當(dāng)p2-4q<0時(shí)，該方程無(wú)實(shí)數(shù)解.第7步學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)上述材料的第2步到第3步依據(jù)的數(shù)學(xué)公式是，第4步到第5步將一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是；

(2)請(qǐng)用材料中提供的方法，解下列方程：2x2+6x-3=0.

第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.D∵4x2=x，∴4x2-x=0，∴x(4x-1)=0，∴x=0或4x-1=0，∴x1=0，x2=142.D∵x(x-3)=x-3，∴(x-1)(x-3)=0，∴x-1=0或x-3=0，解得x1=3，x2=1.故選D.3.解析小敏：?；小霞：?.正確的解答過(guò)程：移項(xiàng)，得3(x-3)-(x-3)2=0，提取公因式，得(x-3)(3-x+3)=0，則x-3=0或3-x+3=0，解得x1=3，x2=6.4.解析(1)由(y-7)(y+5)=0得y-7=0或y+5=0.解得y1=7，y2=-5.(2)原方程可化為4x2-25=0，即(2x)2-52=0.因式分解，得(2x+5)(2x-5)=0，即2x+5=0或2x-5=0，解得x1=-52，x2=5(3)原方程可化為(2x-1)2-22=0.因式分解，得(2x-1+2)(2x-1-2)=0，即(2x+1)(2x-3)=0，所以2x+1=0或2x-3=0.解得x1=-12，x2=3(4)移項(xiàng)，得4(x-3)2-x(x-3)=0.提取公因式，得(x-3)[4(x-3)-x]=0，即(x-3)(3x-12)=0，所以x-3=0或3x-12=0.解得x1=3，x2=4.(5)∵3x(x-1)=2-2x，∴3x(x-1)+2(x-1)=0，∴(x-1)(3x+2)=0，∴x-1=0或3x+2=0，解得x1=1，x2=-235.B由于方程左邊能夠提取公因式分解因式，所以，解方程x(x-2)+3(x-2)=0，最適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ且蚴椒纸夥?，故選B.6.解析(1)②.(2)③.(3)④.(4)選擇②3x2-6x=0，用因式分解法.方程左邊因式分解，得3x(x-2)=0，所以x1=0，x2=2.選擇③x2+x-1=0，用公式法.a=1，b=1，c=-1，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5，∴x=?1±5∴x1=5?12，x2=?解析(1)∵x2+4x-1=0，∴x2+4x=1，∴x2+4x+4=5，∴(x+2)2=5，∴x+2=±5，∴x1=-2+5，x2=-2-5.(2)a=2，b=-7，c=3，∴Δ=b2-4ac=25>0，∴x=?b±b2?4ac2a=7±54(3)∵9(x+1)2=(2x-5)2，∴3(x+1)=±(2x-5)，即3(x+1)=2x-5或3(x+1)=-(2x-5)，∴x1=-8，x2=25(4)∵(x+2)2-10(x+2)+25=0，∴[(x+2)-5]2=0，∴x1=x2=3.8.解析(1)x2-3x-10=(x+2)(x-5).(2)∵x2-4x+3=0，∴(x-3)(x-1)=0，∴x-3=0或x-1=0，∴x1=3，x2=1.(3)∵-16=-1×16=1×(-16)=-2×8=2×(-8)=4×(-4)，∴-k=-1+16或1+(-16)或-2+8或2+(-8)或4+(-4)，∴k=-15或15或-6或6或0.故答案為-15或15或-6或6或0.(4)設(shè)x2-x=m，則原方程可化為m2-4m-12=0，解得m=-2或m=6.當(dāng)m=-2時(shí)，x2-x=-2，即x2-x+2=0，∴Δ=1-8<0，∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故m=-2不合題意，舍去；當(dāng)m=6時(shí)，x2-x=6，即x2-x-6=0，∴Δ=1+24>0，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故m的值為6.∴x2-x+1=m+1=7.故答案為7.能力提升全練9.C∵實(shí)數(shù)k、b是一元二次方程(x+3)(x-1)=0的兩個(gè)根，且k<b，∴k=-3，b=1，∴函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限.故選C.10.A∵x2-9x+14=0，∴(x-2)(x-7)=0，∴x-2=0或x-7=0，∴x1=2，x2=7.當(dāng)三角形的第三邊長(zhǎng)為2時(shí)，2+6=8，不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去；當(dāng)三角形的第三邊長(zhǎng)為7時(shí)，6+7>8，符合三角形三邊的關(guān)系，三角形的周長(zhǎng)為6+8+7=21.故選A.11.A∵x△(x-1)=2x-1，∴x(x+x-1)=2x-1，∴x(2x-1)-(2x-1)=0，∴(2x-1)(x-1)=0，∴2x-1=0或x-1=0，∴x1=12，x2=1.12.10解析設(shè)原正方形空地的邊長(zhǎng)為xm，依題意得(x-5)(x-6)=20，解得x1=10，x2=1(不合題意，舍去)，故原正方形空地的邊長(zhǎng)為10m.故答案是10.13.解析(1)設(shè)x2-x=a，則原方程可化為a2-4a+4=0，解此方程得a1=a2=2，當(dāng)a=2時(shí)，x2-x=2，即x2-x-2=0，因式分解得(x-2)(x+1)=0，解得x1=2，x2=-1，所以原方程的解是