4.4-4.5 相似三角形判定定理的證明 同步練習

第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件*5相似三角形判定定理的證明基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1相似三角形的概念1.已知△ABC∽△A'B'C'，若AC=3，A'C'=1.8，則△A'B'C'與△ABC的相似比為()A.23 B.32 2.(2019甘肅蘭州中考)已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，則BCB'C'A.2 B.43 C.3 知識點2相似三角形的判定定理13.如圖所示的三個三角形，相似的是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③4.(2023陜西西安交大附中月考)如圖，△ABC中，CE⊥AB，垂足為點E，BD⊥AC，垂足為點D，CE與BD交于點F，則圖中與△BEF不相似的三角形是()A.△ABD B.△CDF C.△BCD D.△ACE5.下列各組圖形中有可能不相似的是()A.各有一個角是50°的兩個等腰三角形B.各有一個角是60°的兩個等腰三角形C.各有一個角是100°的兩個等腰三角形D.兩個等腰直角三角形6.(2023陜西師大附中月考)如圖，在?ABCD中，G是AB延長線上一點，連接DG交BC于點E，則圖中相似三角形共有()A.2對 B.3對 C.4對 D.5對7.(2022山東菏澤中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是邊AC上一點，且BE=BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC.8.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于O.M，N分別是OD，OB的中點，過M作PE∥AB，分別交AD，BC于P，E.連接PN并延長交BC于F，若AB=12，PD=3，求EF的長.知識點3相似三角形的判定定理29.(2023山東濟南市中期中)如圖，已知△ABC，則下列4個三角形中，與△ABC相似的是() 10.如圖，△ACD和△ABC相似需具備的條件是()A.ACCD=ABBC B.CDAD=BCAC C.AC2=AD·11.(2023上海楊浦期中)如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9，當BD=時，△ABD∽△DBC.

[變式](2022甘肅酒泉金塔期末)在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=105°，AC=4cm，AB=6cm，DE=3cm，則DF=時，△ABC與△DEF相似.

12.(2022云南廣南期末)如圖，在△ABC中，D、E分別是AC、BC邊上的點，BC=6，AC=4，CE=2，AD=1.求證：△ABC∽△EDC.知識點4相似三角形的判定定理313.若△ABC和△DEF滿足下列條件，其中能使△ABC與△DEF相似的是()A.AB=3，BC=8，AC=9，DE=163，EF=2，DFB.AB=4，BC=6，AC=8，DE=5，EF=10，DF=16C.AB=1，BC=2，AC=2，DE=6，EF=3，DF=5D.AB=1，BC=5，AC=3，DE=15，EF=23，DF=614.(2023湖南岳陽七校聯(lián)考期中改編)如圖，小正方形的邊長為1，則下列選項中的三角形與△ABC相似的是() 15.如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點F，點E在BD上，且ABAE(1)∠1與∠2相等嗎?為什么?(2)判斷△ABE與△ACD是否相似，并說明理由.知識點5黃金分割16.(2023江蘇徐州期末)點B把線段AC分成兩部分，如果BCAB=ABAC=A.5+12 B.5?1217.(2022湖南衡陽中考)在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部(腰部以上)與下部(腰部以下)的高度比等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.下圖是按此比例設(shè)計的一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是(結(jié)果精確到0.01m.參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)()A.0.73m B.1.24m C.1.37m D.1.42m能力提升全練18.(2022山東泰安寧陽期末)如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，且將這個四邊形分成①②③④四個三角形，若OA∶OC=OB∶OD，則下列結(jié)論中一定正確的是()A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似19.(2022吉林長春期末)如圖，△ABC中，∠A=76°，AB=8，AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是()A B C D20.(2020云南昆明中考)在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.如圖，△ABC是格點三角形，在圖中的6×6正方形網(wǎng)格中作出格點三角形ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格點三角形只算一個)，這樣的格點三角形一共有()A.4個 B.5個 C.6個 D.7個21.(2023山西代縣期末)數(shù)學(xué)中，把5?12這個比稱為黃金分割比.鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，P是AB的黃金分割點(AP>BP)，若線段AB的長為8cm，則BP的長為cm22.(2021廣西貴港中考)尺規(guī)作圖(只保留作圖痕跡，不要求寫出作法).如圖，已知△ABC，且AB>AC.(1)在AB邊上求作點D，使DB=DC；(2)在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB.23.(2022上海中考)如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF=BE，AE2=AQ·AB.求證：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ.24.(2020江蘇南京中考)如圖，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分別是AB、A'B'上的點，ADAB(1)當CDC'D'=ACA'C'=證明的途徑可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭瘢?2)當CDC'D'=ACA'C'=BCB'C'時，判斷素養(yǎng)探究全練25.學(xué)習圖形的相似后，我們可以借助探索兩個直角三角形全等的條件所獲得的經(jīng)驗，繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件.(1)“對于兩個直角三角形，滿足一邊、一銳角分別相等或兩直角邊分別相等，這兩個直角三角形全等.”類似地，可以得到：“滿足或的兩個直角三角形相似.”

(2)“滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.”類似地，可以得到“滿足的兩個直角三角形相似.”

請結(jié)合下列所給圖形，寫出已知，并完成說明過程.已知：如圖，.

試說明：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.26.(2023陜西師大附中月考)【問題呈現(xiàn)】(1)如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD、CE.求證：BD=CE.【類比探究】(2)如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、CE，則BDCE=【拓展提升】(3)如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，連接BD、CE，CE交AB于點F.①求BDCE②延長CE交BD于點G，求∠BGC.

第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件*5相似三角形判定定理的證明答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.D由于對應(yīng)邊的比是相似比，且相似比有順序性，故△A'B'C'與△ABC的相似比為A'C'AC=1.82.B∵△ABC∽△A'B'C'，∴BCB'C'=AB3.A分別求出三個三角形中第三個角的度數(shù)，①②兩個三角形滿足兩角分別相等，故①②相似，故選A.4.C∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°，∵∠FBE=∠ABD，∴△FBE∽△ABD，∵∠BFE=∠CFD，∴△BFE∽△CFD，∵∠FCD=∠ACE，∴△CFD∽△CAE，∴△BFE∽△CAE，綜上所述，題圖中與△BEF相似的三角形有△ABD、△CDF、△ACE，題圖中與△BEF不相似的三角形是△BCD.故選C.5.A選項A中，當一個三角形中，50°的角為頂角，底角為65°，另一個三角形中，50°的角為底角，頂角為80°時，這兩個三角形不相似，故選A.6.B∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴△GBE∽△GAD∽△DCE，∴相似三角形共有3對.故選B.7.證明∵BE=BC，∴∠C=∠CEB，∵∠CEB=∠AED，∴∠C=∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D=∠ABC=90°，∴△ADE∽△ABC.8.解析在菱形ABCD中，BC=AB=12，AB∥CD，AD∥BC.∵PE∥AB，∴PE∥CD，∴四邊形CDPE是平行四邊形，∴CE=PD=3.∵O是對角線的交點，∴OB=OD，∵M，N分別是OD，OB的中點，∴DN∶NB=3∶1.∵AD∥BC，∴∠PDN=∠FBN，∠DPN=∠BFN，∴△PDN∽△FBN，∴PD∶BF=DN∶NB，∴3∶BF=3∶1，∴BF=1，∴EF=BC-CE-BF=12-3-1=8.9.D由題圖可知AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∴∠A=30°，根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”可知D中三角形與△ABC相似.10.C∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∴根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”得出添加的條件是ACAB=ADAC，即AC2=11.6解析∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，當滿足ABBD=BDBC時，△ABD∽△DBC，∵AB=4，BC=9，∴4故答案為6.[變式]2cm或4.5cm解析∵∠A=∠D，AB=6cm，AC=4cm，DE=3cm，∴當△ABC∽△DEF時，ABDE=ACDF，即當△ABC∽△DFE時，ABDF=ACDE，即6DF=綜上所述，當DF=2cm或4.5cm時，△ABC和△DEF相似.故答案為2cm或4.5cm.12.證明∵AC=4，AD=1，∴CD=AC-AD=4-1=3，又∵BC=6，CE=2，∴CBCD=63=2，CA又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△EDC.13.AA中，∵ABEF=32，∴ABEF∴△ABC與△DEF相似.易知B，C，D不正確，故選A.14.C根據(jù)題意可得AB=2，BC=2，AC=10，∴BC∶AB∶AC=1∶2∶A.三邊之比為2∶5∶3，A中的三角形與△ABCB.三邊之比為1∶5∶10，B中的三角形與△ABCC.三邊之比為2∶22∶25=1∶D.三邊之比為5∶4∶29，D中的三角形與故選C.15.解析(1)∠1與∠2相等.理由如下：∵ABAE=BCED=∴∠BAC=∠EAD.∴∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF，即∠1=∠2.(2)△ABE與△ACD相似.理由如下：∵ABAE=ACAD又∵∠1=∠2，∴△ABE∽△ACD.16.B∵點B把線段AC分成兩部分，BCAB=ABAC=k，∴點B是線段AC的黃金分割點，AB>BC，∴17.B設(shè)下部的高度為xm，則上部的高度是(2-x)m，∵雕像上部(腰部以上)與下部(腰部以下)的高度比等于下部與全部的高度比，∴2?xx=x2，解得x=5∴x=5-1≈1.24，故選B.能力提升全練18.B在△AOB與△COD中，AOCO=BODO，∠AOB∴△AOB∽△COD，∴①與③相似，故B選項正確，又由于①與②，①與④，②與④均不滿足相似的判定條件，故A，C，D選項均不正確，故選B.19.C選項A，陰影三角形與原三角形有兩個角分別相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；選項B，陰影三角形與原三角形有兩個角分別相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；選項C，兩三角形有兩邊成比例，但其夾角不相等，故兩三角形不相似，故本選項符合題意；選項D，陰影三角形中，夾∠A的兩邊長分別為6-2=4，8-5=3，則兩三角形兩邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意.故選C.20.C如圖：使得△ADE∽△ABC的格點三角形一共有6個.故選C.21.(12-45)解析∵點P是AB的黃金分割點(AP>BP)，線段AB的長為8cm，∴APAB=5?12，即AP8=5∴BP=AB-AP=(12-45)cm.22.解析(1)如圖，點D即為所求.(2)如圖，點E即為所求.23.證明(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，AC∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF.(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∵AE2=AQ·AB，AC=AB，∴AEAQ又∠CAE=∠BAF，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，又∵∠B=∠C，∴△BFQ∽△CAF，∴BQCF=FQAF，即CF·FQ24.解析(1)CDC'D'=ACA'C'=AD(2)相似.理由：如圖，過點D、D'分別作DE∥BC，D'E'∥B'C'，DE交AC于E，D'E'交A'C'于E'.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DE∵ADAB=A'D'A'B'，∴DEBC=D'E'B'C'，即ECAC=E'C'A'C'，∴ECE'C'=AC