2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章計(jì)數(shù)原理5.1.1-5.1.2分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理課后素養(yǎng)落實(shí)含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(二十九)分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．某班有男生26人，女生24人，從中選一位擔(dān)當(dāng)學(xué)習(xí)委員，不同的選法有()A．50種 B．26種C．24種 D．616種A[選一位學(xué)習(xí)委員分兩類方法：第一類：選男生，有26種不同的選法；其次類：選女生，有24種不同的選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N＝26＋24＝50種不同的選法．]2．已知集合A?{1，2，3}，且A中至少有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)D[當(dāng)集合A中含一個(gè)元素時(shí)，A＝{1}或{3}；當(dāng)集合A中含兩個(gè)元素時(shí)，A＝{1，2}或{1，3}或{2，3}，∴共有5個(gè)集合．]3．火車上有10名乘客，要在沿途的5個(gè)車站下車，則乘客下車的全部可能狀況共有()A．510種 B．105種C．50種 D．以上都不對(duì)A[完成這件事可分為10步，即10名乘客全部下車，每名乘客選擇下車的不同方法均為5種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，全部可能的狀況為510種．]4．三人踢毽子，相互傳遞，每人每次只能踢一下．由甲起先踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種B．5種C．6種D．12種C[若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有6種不同的傳法．]5．從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加，其和為奇數(shù)的不同取法的種數(shù)為()A．25B．12C．9D．6C[兩個(gè)數(shù)字的和為奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)必需一個(gè)是奇數(shù)，另一個(gè)是偶數(shù)，在所給的6個(gè)數(shù)中，3個(gè)奇數(shù)與3個(gè)偶數(shù)．因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有3×3＝9種不同的取法．]二、填空題6．乘積(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)綻開后，共有________項(xiàng)．12[∵乘積(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)的綻開式中的每一項(xiàng)是由a＋b＋c中的一個(gè)字母與m＋n中的一個(gè)字母與x＋y中的一個(gè)字母的乘積組成．可分步完成此事．所以共有3×2×2＝12項(xiàng)．]7．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為________．5[分兩類：一類是女同學(xué)主持主題班會(huì)有3種方法；一類是男同學(xué)主持主題班會(huì)有2種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有3＋2＝5(種)方法．]8．設(shè)a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有________個(gè)．27[先考慮等邊的狀況，a＝b＝c＝1，2，…，6，有六個(gè)，再考慮等腰的狀況，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此時(shí)c＝1與等邊重復(fù)，若a＝b＝2，c<a＋b＝4，則c＝1，3，有兩個(gè)，若a＝b＝3，c<a＋b＝6，則c＝1，2，4，5，有四個(gè)，若a＝b＝4，c<a＋b＝8，則c＝1，2，3，5，6，有五個(gè)，若a＝b＝5，c<a＋b＝10，則c＝1，2，3，4，6，有五個(gè)，若a＝b＝6，c<a＋b＝12，則c＝1，2，3，4，5，有五個(gè)，故一共有27個(gè)．]三、解答題9．若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？[解]分兩類完成：第1類：當(dāng)A或B中有一個(gè)為0時(shí)，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條；第2類：當(dāng)A，B都不為0時(shí)，確定直線Ax＋By＝0需分兩步完成：第1步：確定A的值，有4種不同的方法，第2步：確定B的值，有3種不同的方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共可確定4×3＝12條直線．由分類加法計(jì)數(shù)原理，方程所表示的不同直線共有2＋12＝14條．10．已知橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1，其中m，n∈{1，2，3，4，5}．(1)求滿意條件的橢圓的個(gè)數(shù)；(2)假如橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，求橢圓的個(gè)數(shù)．[解](1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知m≠n，要確定一個(gè)橢圓，只要把m，n一一確定下來(lái)這個(gè)橢圓就確定了．故要確定一個(gè)橢圓共分兩步，第一步確定m，有5種方法，其次步確定n，有4種方法，共有5×4＝20個(gè)橢圓．(2)要使焦點(diǎn)在x軸上，必需m>n，故可以分類：m＝2，3，4，5時(shí)，n的取值列表為：m2345n11，21，2，31，2，3，4故共有1＋2＋3＋4＝10個(gè)橢圓．11．如圖，小明從街道的E處動(dòng)身，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9B[分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；其次步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B．]12．假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()A．48B．18C．24D．36D[在正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角面中，每個(gè)對(duì)角面有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”．]13．從集合{1，2，3，4，…，10}中，選出5個(gè)數(shù)組成子集，使得這5個(gè)數(shù)中隨意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A．32個(gè)B．34個(gè)C．36個(gè)D．38個(gè)A[將和等于11的放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．從每一小組中取一個(gè)，有2種，共有2×2×2×2×2＝32(個(gè))．]14．(一題兩空)已知a，b∈{0，1，2，3}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圓的個(gè)數(shù)為________，其中與y軸相交的圓的個(gè)數(shù)為________．1612[得到圓的方程分兩步：第一步：確定a有4種選法；其次步：確定b有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有4×4＝16(個(gè))．由與y軸相交知，a＝0或1或2，b有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×4＝12(個(gè))．]15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《續(xù)古摘奇算法》(楊輝)一書中有關(guān)于三階幻方的問(wèn)題：如圖所示，將1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入3×3的方格中，使得每一行、每一列及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等，我們規(guī)定：只要兩個(gè)幻方的對(duì)應(yīng)位置(如每行第一列的方格)中的數(shù)字不全相同，就稱為不同的幻方，那么全部不同的三階幻方的個(gè)數(shù)是()834159672A．9B．8C．6D．4B[因?yàn)槿繑?shù)的和為eq\f(9×1＋9,2)＝45，eq\f(4