2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.1.1隨機(jī)事件的概率學(xué)案新人教A版必修3

PAGE3.1隨機(jī)事務(wù)的概率3.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解隨機(jī)事務(wù)、必定事務(wù)、不行能事務(wù)的含義．(重點(diǎn))2．會(huì)初步列出重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果．(重點(diǎn))3．理解頻率與概率的區(qū)分與聯(lián)系．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))通過(guò)對(duì)概率概念的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).1．必定事務(wù)、不行能事務(wù)與隨機(jī)事務(wù)事務(wù)類(lèi)型定義必定事務(wù)在條件S下，肯定會(huì)發(fā)生的事務(wù)，叫做相對(duì)于條件S的必定事務(wù)，簡(jiǎn)稱(chēng)必定事務(wù)不行能事務(wù)在條件S下，肯定不會(huì)發(fā)生的事務(wù)，叫做相對(duì)于條件S的不行能事務(wù)，簡(jiǎn)稱(chēng)不行能事務(wù)確定事務(wù)必定事務(wù)與不行能事務(wù)統(tǒng)稱(chēng)為相對(duì)于條件S的確定事務(wù)，簡(jiǎn)稱(chēng)確定事務(wù)隨機(jī)事務(wù)在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事務(wù)，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事務(wù)，簡(jiǎn)稱(chēng)隨機(jī)事務(wù)事務(wù)確定事務(wù)與隨機(jī)事務(wù)統(tǒng)稱(chēng)為事務(wù)，一般用大寫(xiě)字母A，B，C……表示2.頻率與概率(1)頻數(shù)與頻率在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．(2)概率隨機(jī)事務(wù)發(fā)生可能性的大小用概率來(lái)度量，概率是客觀(guān)存在的．對(duì)于給定的隨機(jī)事務(wù)A，事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可用頻率fn(A)來(lái)估計(jì)概率P(A)，即P(A)≈eq\f(nA,n).思索：頻率與概率有什么關(guān)系？[提示]頻率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)之前無(wú)法確定，大多會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的變更而變更．做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，得到的頻率值也可能會(huì)不同．概率是一個(gè)事務(wù)的固有屬性，是一個(gè)在0與1之間的確定值，不隨試驗(yàn)結(jié)果的變更而變更．頻率是概率的近似值．概率是頻率的穩(wěn)定值．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率．在實(shí)際問(wèn)題中，通常事務(wù)的概率是未知的，常用頻率估計(jì)概率．1．事務(wù)“經(jīng)過(guò)有信號(hào)燈的路口，遇上紅燈”是()A．必定事務(wù) B．不行能事務(wù)C．隨機(jī)事務(wù) D．以上均不正確[答案]C2．下列說(shuō)法正確的是()A．任何事務(wù)的概率總是在(0,1]之間B．頻率是客觀(guān)存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事務(wù)發(fā)生的頻率一般會(huì)穩(wěn)定于概率D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定C[由頻率與概率的有關(guān)概念知，C正確．]3．“同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地勻稱(chēng)的硬幣，記錄正面對(duì)上的枚數(shù)”，該試驗(yàn)的結(jié)果共有________種．3[正面對(duì)上的枚數(shù)可能為0,1,2，共3種結(jié)果．]4．某人射擊10次，恰有8次擊中靶子，則該人擊中靶子的頻率是________．0.8[eq\f(8,10)＝0.8.]事務(wù)類(lèi)型的推斷【例1】(1)下列事務(wù)：①拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上；②某人買(mǎi)彩票中獎(jiǎng)；③大年初一太原下雪；④標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90℃A．1 B．2C．3 D．4(2)在1,2,3，…，10這10個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)數(shù)字，那么“這三個(gè)數(shù)字的和大于6”A．必定事務(wù) B．不行能事務(wù)C．隨機(jī)事務(wù) D．以上選項(xiàng)均不正確(1)C(2)C[(1)①②③可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事務(wù)，④肯定不發(fā)生，是不行能事務(wù)，故選C.(2)從1,2,3，…，10這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字，這三個(gè)數(shù)字的和可能等于6，也可能大于6，∴數(shù)字之和大于6，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，∴“這三個(gè)數(shù)字的和大于6”推斷一個(gè)事務(wù)是哪類(lèi)事務(wù)的方法推斷一個(gè)事務(wù)是哪類(lèi)事務(wù)要看兩點(diǎn)：一看條件，因?yàn)槿N事務(wù)都是相對(duì)于肯定條件而言的；二看結(jié)果是否發(fā)生，肯定發(fā)生的是必定事務(wù)，不肯定發(fā)生的是隨機(jī)事務(wù)，肯定不發(fā)生的是不行能事務(wù).eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．給出下列四個(gè)命題：①“三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子，其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球”是必定事務(wù)；②當(dāng)“x為某一實(shí)數(shù)時(shí)可使x2<0”是不行能事務(wù)；③“每年的國(guó)慶節(jié)都是晴天”是必定事務(wù)；④“從100個(gè)燈泡(有10個(gè)是次品)中取出5個(gè)，5個(gè)都是次品”A．4 B．3C．2 D．1B[③“每年的國(guó)慶節(jié)都是晴天”是隨機(jī)事務(wù)，故錯(cuò)誤；①②④的推斷均正確．]試驗(yàn)結(jié)果的列舉【例2】設(shè)集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一個(gè)基本領(lǐng)件．(1)“a＋b＝5”(2)“a＝b”這一事務(wù)包含哪幾個(gè)基本領(lǐng)件？(3)“直線(xiàn)ax＋by＝0的斜率k>－1”[解]這個(gè)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件構(gòu)成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(1)“a＋b＝5”(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．(2)“a＝b”這一事務(wù)包含以下4個(gè)基本領(lǐng)件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．(3)直線(xiàn)ax＋by＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)>－1，所以eq\f(a,b)<1.所以a<b.所以包含以下6個(gè)基本領(lǐng)件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．不重不漏地列舉試驗(yàn)的全部可能結(jié)果的方法1結(jié)果是相對(duì)于條件而言的，要弄清試驗(yàn)的結(jié)果，必需首先明確試驗(yàn)中的條件.2依據(jù)日常生活閱歷，依據(jù)肯定的依次列舉出全部可能的結(jié)果，可應(yīng)用畫(huà)樹(shù)狀圖、列表等方法解決.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．下列隨機(jī)事務(wù)中，一次試驗(yàn)各指什么？試寫(xiě)出試驗(yàn)的全部結(jié)果．(1)拋擲兩枚質(zhì)地勻稱(chēng)的硬幣；(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個(gè)元素組成集合A的子集．[解](1)一次試驗(yàn)是指“拋擲兩枚質(zhì)地勻稱(chēng)的硬幣一次”，試驗(yàn)的可能結(jié)果有4個(gè)：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次試驗(yàn)是指“從集合A中一次選取3個(gè)元素組成集合A的一個(gè)子集”，試驗(yàn)的結(jié)果共有4個(gè)：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．隨機(jī)事務(wù)的頻率與概率[探究問(wèn)題]1．隨機(jī)事務(wù)的頻率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)嗎？[提示]頻率是事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，當(dāng)然與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)．2．隨機(jī)事務(wù)的概率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)嗎？[提示]概率是客觀(guān)存在的一個(gè)確定的數(shù)，與試驗(yàn)做不做，做多少次完全無(wú)關(guān)．3．試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率就越接近概率嗎？[提示]不是．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多(足夠多)，頻率穩(wěn)定于概率的可能性在增大．在事務(wù)的概率未知的狀況下，我們常用頻率作為概率的估計(jì)值．即概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的估計(jì)值．【例3】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，接著購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85a1.251.51.752隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)狀況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事務(wù)“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”．求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事務(wù)“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”．求P(B)的估計(jì)值．思路點(diǎn)撥：(1)由已知可得續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)的頻數(shù)(一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻數(shù))，進(jìn)而可得P(A)的估計(jì)值；(2)由已知可得續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%的頻數(shù)(一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻數(shù))，進(jìn)而可得P(B)的估計(jì)值．[解](1)事務(wù)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事務(wù)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3.1．(變條件)某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行飛碟射擊訓(xùn)練，七次訓(xùn)練的成果記錄如下：射擊次數(shù)n100120150100150160150擊中飛碟數(shù)nA819512081119127121(1)求各次擊中飛碟的頻率；(保留三位小數(shù))(2)該射擊運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為多少？[解](1)計(jì)算eq\f(nA,n)得各次擊中飛碟的頻率依次約為0.810，0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.(2)由于這些頻率特別地接近0.800，且在它旁邊搖擺，所以運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為0.800.2．(變結(jié)論)本例條件不變，記C為事務(wù)“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的150%”，求P(C)的估計(jì)值．[解]事務(wù)C發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于或等于4，由表中數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于或等于4的頻率為eq\f(20＋10,200)＝0.15，故P(C)的估計(jì)值為0.15.隨機(jī)事務(wù)概率的理解及求法1理解：概率可看作頻率理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小.當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率越來(lái)越趨近于概率.當(dāng)次數(shù)足夠多時(shí)，所得頻率就近似地看作隨機(jī)事務(wù)的概率.2求法：通過(guò)公式fnA＝eq\f(nA,n)＝eqeqeq\f(m,n)計(jì)算出頻率，再由頻率估算概率.1．辨析隨機(jī)事務(wù)、必定事務(wù)、不行能事務(wù)時(shí)要留意看清條件，在給定的條件下推斷是肯定發(fā)生(必定事務(wù))，還是不肯定發(fā)生(隨機(jī)事務(wù))，還是肯定不發(fā)生(不行能事務(wù))．2．隨機(jī)事務(wù)在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的狀況下，隨機(jī)事務(wù)的發(fā)生呈現(xiàn)肯定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計(jì)的角度，通過(guò)計(jì)算事務(wù)發(fā)生的頻率去估算概率．3．寫(xiě)試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，要按依次寫(xiě)，特殊要留意題目中的有關(guān)字眼，如“先后”“依次”“依次”“放回”“不放回”等．1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“拋擲硬幣五次，均正面對(duì)上”是不行能事務(wù)． ()(2)在平面圖形中，三角形的內(nèi)角和是180°是必定事務(wù)． ()(3)頻率與概率可以相等． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列事務(wù)中的隨機(jī)事務(wù)為()A．若a，b，c都是實(shí)數(shù)，則a(bc)＝(ab)cB．沒(méi)有水和空氣，人也可以生存下去C．拋擲一枚硬幣，反面對(duì)上D．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度達(dá)到60℃C[A中的等式明顯對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，b，c是恒成立的，故A是必定事務(wù)；在沒(méi)有空氣和水的條件下，人是肯定不能生存下去的，故B是不行能事務(wù)；拋擲一枚硬幣時(shí)，在沒(méi)得到結(jié)果之前，并不知道會(huì)是正面對(duì)上還是反面對(duì)上，故C是隨機(jī)事務(wù)；在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的條件下，只有溫度達(dá)到100℃，水才會(huì)沸騰，當(dāng)溫度是603．一個(gè)地區(qū)從某年起4年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下表所示：時(shí)間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)m2883497069948892這一地區(qū)男嬰誕生的概率約是________．(保留4位小數(shù))0．5173[計(jì)算eq\f(m,n)即得男嬰誕生的頻率依次約為0.5200，0.5173，0.5173,0.5173.由于這些頻率特別0.5173，因此，這地區(qū)男嬰誕生的概率為0.5173.]